Des théorèmes mécaniques (trad. Reinach)/Théorème V
(Théorème V)[1].
Tout segment de paraboloïde de révolution, déterminé par un plan perpendiculaire à l’axe, a son 
Fig. 7. centre de gravité situé sur la droite qui forme l’axe
du segment, en un point tel que sa distance au sommet soit double de sa distance à la base.
Soit un segment de paraboloïde déterminé par un plan perpendiculaire à l’axe (fig. 7). Coupons-le par un autre plan passant par l’axe, qui détermine la parabole ΒΑΓ. Soit ΒΓ l’intersection des deux plans, ΑΔ l’axe du segment et de la courbe.
Prolongeons ΑΔ d’une longueur égale ΑΘ, considérons ΔΘ comme un levier dont le milieu fixe est Α, et inscrivons dans le segment de paraboloïde un cône ΑΒΓ. Enfin menons à l’intérieur de la parabole une parallèle quelconque ΞΟ à ΒΓ, qui coupera la parabole en Ξ, Ο, et les arêtes du cône en Π, Ρ.
Dans la parabole, ΞΣ, ΒΔ sont des perpendiculaires à l’axe. On a donc :
(1) |
ΔΑΑΣ = ΒΔ²ΞΣ². |
D’autre part (à cause des triangles semblables), on a :
(2) |
ΔΑΑΣ = ΒΔΠΣ = ΒΔ²ΒΔ.ΠΣ. |
Par conséquent, en combinant (1) et (2):
d’où résulte que :
ΞΣ est donc moyen proportionnel entre ΒΔ et ΠΣ, et l’on a (en divisant les deux membres par ΠΣ²) :
Mais nous avons vu (2) que ΒΔΠΣ = ΔΑΑΣ = ΘΑΑΣ, donc :
Menons par ΞΟ un plan perpendiculaire à ΑΔ : il coupera le segment de paraboloïde suivant le cercle ΞΟ, le cône suivant le cercle ΠΡ.
Le rapport ΞΣ²ΣΠ² est aussi celui du cercle ΞΟ au cercle ΠΡ. On a donc :
Ainsi le cercle ΞΟ restant en place équilibrera, par rapport au point Α, le cercle ΠΡ transporté au point Θ, car ils ont pour centres de gravité les points Σ et Θ, dont les distances au point fixe Α sont inversement proportionnelles aux surfaces des cercles considérés.
On démontrera de même que, pour toute autre parallèle à ΒΓ menée dans la parabole, et par laquelle on mène un plan perpendiculaire à ΑΔ, le cercle déterminé dans le segment de paraboloïde, restant en place, équilibrera, par rapport au point Α, le cercle déterminé dans le cône, transporté au centre de gravité Θ.
Remplissons de cercles pareils le segment et le cône. Au total, la somme des cercles du segment, c’est-à-dire le segment, restant en place, équilibrera, par rapport au point Α, la somme des cercles du cône, c’est-à-dire le cône, transporté au point Θ du levier comme centre de gravité. Le centre de gravité du système total est Α, le centre de gravité du cône transporté est Θ ; dès lors (lemme I) le centre de gravité de la différence, c’est-à-dire du segment de paraboloïde, sera situé sur la droite ΑΘ prolongée dans la direction de Α, en un point Κ tel que
Mais on sait (Théorème IV) que le segment vaut les 3/2 du cône ; donc aussi ΑΘ = 32 ΑΚ, et par conséquent le centre de gravité du segment de paraboloïde est bien situé en un point de l’axe tel que sa distance au sommet soit double de sa distance à la base.
- ↑ Dans le texte grec, nouvellement découvert, du Traité des Corps flottants (passage correspondant à II, 377, Heib.), ce théorème est mentionné comme démontré ἐν ταῖς Ἰσορροπίαις. Comme il n’en est pas question dans le Traité qui nous est parvenu sous ce titre, Heiberg croit qu’il s’agit du Traité (perdu) περὶ ζυγῶν.