QUESTIONS RÉSOLUES.
Solution des deux problèmes de géométrie énoncés
à la page 132 du présent volume ;
Par
M. Querret, ancien chef d’institution.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
PROBLÈME I. Entre tous les arcs de cercles de même longueur et de différens rayons, quel est celui qui comprend le plus grand segment circulaire entre lui et sa corde ?
Solution. Pour fixer les idées, supposons qu’il soit question d’un segment plus petit que le demi-cercle. Soient la longueur constante de l’arc dont il s’agit, la longueur variable de son rayon, et l’aire du segment qui lui répond, nous trouverons successivement
Angle du secteur
Aire du secteur
Corde de l’arc
Flèche de l’arc
Hauteur du triangle
Aire du triangle
secteur-triangle
Nous remarquerons que cette dernière formule convient également au cas où le segment devrait excéder le demi-cercle, pourvu que, comme on le pratique ordinairement, soit pris avec son signe.
On peut même concevoir tels segmens de cercles qui excèdent tant qu’on voudra le cercle auquel ils se trouvent correspondre. Un segment de cercle est, en effet, la surface comprise entre un arc quelconque et sa corde ; or, rien n’empêche qu’on ne prenne l’arc plus grand qu’une circonférence et même plus grand que tant de circonférences on voudra ; et alors le segment vaudra lui-même plus d’un cercle entier, et pourra même surpasser tel nombre de cercles on voudra. Cette remarque rendra plus faciles à interpréter les résultats que nous allons obtenir.
En différentiant deux fois consécutivement la valeur de on trouvera
Suivant donc les théories connues, on obtiendra la condition commune au maximum et au minimum en égalant à zéro la valeur de et les valeurs de qui résulteront de cette condition répondront au maximum ou au minimum suivant qu’elles rendront négatif ou positif.
L’égalité à zéro de la valeur de donne
ou bien
ou encore
En égalant le premier facteur à zéro, il vient
d’où
et
Cette valeur répond évidemment au cas où l’arc est une ligne droite. Il se confond alors avec sa corde, et le segment est nul et conséquemment minimum. On trouve, en effet, pour infini,
Angle du secteur
Aire du secteur
Corde de l’arc
Segment
comme cela doit être. On trouve ensuite qui est le caractère du minimum.
Si, au contraire, on égale le dernier facteur à zéro, il viendra
ou
étant un nombre entier positif quelconque, ce qui donne
Il en résulte
et on trouve, en conséquence,
Angle du secteur
Aire du secteur
Corde de l’arc
Flèche de l’arc
Segment
on trouve de plus
ce qui montre que l’aire du segment est ici un maximum ; mais, à cause de l’indétermination de , on voit qu’il y a ici une infinité de maxima, lesquels consistent tous en un certain nombre de cercles plus un demi-cercle. La valeur
prouve en outre que le maximum maximorum aura lieu, lorsqu’on aura , et alors le segment sera évidemment un simple demi-cercle.
PROBLÈME II. Entre toutes les calottes sphériques de même surface et de différens rayons, quelle est celle qui comprend le plus grand segment sphérique entre elle et le plan du cercle qui lui sert de base ?
Solution. Pour fixer les idées, supposons qu’il soit question d’une calotte moindre que l’hémisphère. Soient la surface constante de la calotte dont il s’agit, la longueur variable du rayon de la sphère à laquelle elle appartient, et enfin le volume du segment sphérique qui lui répond ; nous trouverons successivement
Flèche de la calotte
Volume du secteur
Hauteur du cône
Rayon de sa base
Aire de cette base …
Volume du cône
secteur-cône …
En différentiant deux fois la valeur de , on trouve
En égalant donc à zéro la valeur de on obtiendra pour la condition commune au maximum et au minimum
d’où
il faut donc que le rayon soit égal à la flèche du segment, ou en d’autres termes, que ce segment soit une hémisphère.
On tire de là
et par suite
et comme est positif, il s’ensuit que cette valeur est négative et qu’ainsi l’hémisphère est le segment maximum.
Si l’on supposait le secteur plus grand que l’hémisphère, on aurait
Hauteur du cône
Son volume
secteur
cône
valeur pareille à la précédente, et qui conduirait aux conséquences.