Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Géométrie transcendante, article 2

Recherche des surfaces dans lesquelles les plans tangens aux extrémités des cordes sont également inclinés sur ces cordes ; par M. Gergonne.

Annales de mathématiques pures et appliquées, Tome 15, 1821 (p. 67-68).

PROBLÈME. Une des propriétés de la sphère est que les plans tangens aux extrémités de ses cordes font des angles égaux avec elles ; mais on conçoit que cette propriété pourrait fort bien n’être pas exclusive à la sphère. On propose donc d’examiner si elle ne conviendrait pas à d’autres surfaces courbes, et de donner, dans le cas de l’affirmative, l’équation générale de ces surfaces ?^[1]

Solution. Tout étant supposé ici comme dans le précédent problème, il faudra exprimer que la corde fait des angles égaux tant avec le plan tangent qu’avec le plan des $xy\,;$ égalant donc entre eux les sinus de ces angles, nous aurons

${\frac {z'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}}={\frac {z'-x'{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} x'}}-y'{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} y'}}}{\sqrt {\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)\left\{1+\left({\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} y'}}\right)^{2}\right\}}}}\,;$

ou en simplifiant, chassant les dénominateurs, quarrant et supprimant les accens désormais superflus

$z^{2}\left\{1+\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}\right)^{2}\right\}=\left(z-x{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}-y{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}\right)^{2}.$

Telle est donc l’équation différentielle partielle commune à toutes les surfaces demandées ; équation qu’il s’agirait d’intégrer pour avoir la solution complète du problème.

1. C’est proprement là la question qui a été proposée.