ANALISE TRANSCENDANTE.
Sur quelques cas de développement des fonctions,
et en particulier sur le développement des puissances
fractionnaires des sinus et cosinus ;
Par
M. Stein, professeur de mathématiques au gymnase de Trèves,
ancien élève de l’école polytechnique.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
§. I.
Sur le développement des puissances fractionnaires d’un binôme.
D’après les principes connus, on a
![{\displaystyle (a+b)^{\frac {m}{n}}=a^{\frac {m}{n}}+{\frac {m}{n}}a^{{\frac {m}{n}}-1}.b+{\frac {m}{n}}.{\frac {{\frac {m}{n}}-1}{2}}.a^{{\frac {m}{n}}-1}.b^{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfa1d435291de497d34e530701973ab9fc24fc98)
Mais on sait que
doit avoir
valeurs distinctes ; donc le développement ci-dessus, ne donnant qu’une seule de ces valeurs, n’est pas complet, c’est-à-dire, qu’il n’exprime pas la valeur complète de la fonction
[1].
D’un autre côté, on sait que la fonction
ne saurait admettre plus de
valeurs distinctes, d’où on doit conclure que toute équation de la forme
![{\displaystyle (a+b)^{\frac {m}{n}}=\operatorname {f} (a,b,m,n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c03dd29a0057a1e03a4e9a155150fcb6c6273a75)
où la fonction
admet
valeurs différentes et se trouve telle
![{\displaystyle \left\{\operatorname {f} (a,b,m,n)\right\}^{n}=(a+b)^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12458785f1ec00ee68ed4458c71f12275aea4b28)
donne toutes les valeurs possibles ou, un d’autres termes, la valeur complète de ![{\displaystyle (a+b)^{\frac {m}{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed9b34e517f6fcbb04d332771bfc095a4e875f85)
Cela posé, désignons par
le développement ci-dessus ; en observant que
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{1}}=\operatorname {Cos} .{\frac {2p\varpi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2p\varpi }{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a5bd63169318e9cd1a3208e4001395c5e306255)
étant un nombre entier quelconque, on pourra écrire
![{\displaystyle (a+b)^{\frac {m}{n}}=\left(\operatorname {Cos} .{\frac {2p\varpi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2p\varpi }{n}}\right)D\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34d834b5340887dae566a67b04d8707c5c96372c)
équation qui sera vraie quel que soit le nombre entier positif
Et comme alors son second membre, comme le premier, admettra
valeurs différentes, ce second membre sera le développement complet de
[2].
Toutes les fois donc qu’on voudra raisonner sur le développement de la fonction
il faudra employer le développement complet
![{\displaystyle \left(\operatorname {Cos} .{\frac {2p\varpi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2p\varpi }{n}}\right)D.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87ec932dbdafd342440ea32c1acbd870abf9fabe)
et non pas sa valeur particulière ![{\displaystyle D.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f173f63969b15d29f4efe8403a0a7032ec8f8186)
§. II.
Sur le développement des puissances fractionnaires des sinus et cosinus.
1. Les considérations exposées dans le précédent §., bien qu’extrêmement simples, paraissent de nature à faire évanouir toutes les difficultés que présentent les développemens de
![{\displaystyle 2^{\frac {m}{n}}\operatorname {Sin} .^{\frac {m}{n}}x,\qquad 2^{\frac {m}{n}}\operatorname {Cos} .^{\frac {m}{n}}x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92c44b97481945b2060bf32a7f429702b70f01e5)
et même à montrer comment ces difficultés, qui ont tant occupé les géomètres depuis quelques années[3], se seraient pour ainsi
dire évanouies d’elles-mêmes, ou plutôt ne se seraient point présentées, si l’on avait raisonné avec la rigueur convenable.
En effet, suivant le procédé indiqué par M. Lacroix (Trait. de cal. diff. et intég., tom. III, pag. 609), posons
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .^{\frac {m}{n}}x=\left({\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}+e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2}}\right)^{\frac {m}{n}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac2731b5943c4166210fe7e859883cc63057f010)
mais ayons soin, en développant le second membre suivant la formule du binôme, d’employer l’expression complète, telle que nous l’avons trouvée §. I. Après être repassé des exponentielles aux fonctions circulaires, nous trouverons
![{\displaystyle 2^{\frac {m}{n}}\operatorname {Cos} .^{\frac {m}{n}}x=\left(\operatorname {Cos} .{\frac {2p\varpi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2p\varpi }{n}}\right)\times }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdd2c7248eada599f5b368bb3e77cecaef1b0ad9)
![{\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}\operatorname {Cos} .{\frac {m}{n}}x+{\frac {m}{n}}\operatorname {Cos} .\left({\frac {m}{n}}-2\right)x+{\frac {m}{n}}.{\frac {m-n}{2n}}\operatorname {Cos} .\left({\frac {m}{n}}-4\right)x+\ldots \\\\+{\sqrt {-1}}\left\{\operatorname {Sin} .{\frac {m}{n}}x+{\frac {m}{n}}\operatorname {Sin} .\left({\frac {m}{n}}-2\right)x+\ldots \right\}\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a6949d25f3e52c8b52417a40147802d8ed56cc3)
Cette expression est nécessairement complète ; c’est-à-dire qu’elle donne toutes les
valeurs différentes de la fonction
Il est très-facile de la vérifier pour des cas particuliers, ainsi que l’a fait M. Poisson pour la formule complète qu’il a donnée ; mais cela n’est point nécessaire, puisqu’il ne saurait y avoir de doute sur son exactitude.
2. Rien de plus facile maintenant que de trouver la valeur de
qu’il faudra prendre pour obtenir une racine déterminée de l’expression
En effet, posons, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&P=\operatorname {Cos} .{\frac {m}{n}}x+{\frac {m}{n}}\operatorname {Cos} .\left({\frac {m}{n}}-2\right)x+{\frac {m}{n}}.{\frac {m-n}{2n}}\operatorname {Cos} .\left({\frac {m}{n}}-4\right)x+\ldots \\\\&Q=\operatorname {Sin} .{\frac {m}{n}}x+{\frac {m}{n}}\operatorname {Sin} .\left({\frac {m}{n}}-2\right)x+{\frac {m}{n}}.{\frac {m-n}{2n}}\operatorname {Sin} .\left({\frac {m}{n}}-4\right)x+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90ddfa7728429b72a4f5f04c1bb16b7c54f82091)
soit en outre désignée par
la racine réelle positive de
l’équation ci-dessus pourra être écrite ainsi
![{\displaystyle R\left(\operatorname {Cos} .{\frac {2p'\varpi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2p'\varpi }{n}}\right)=\left(\operatorname {Cos} .{\frac {2p\varpi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2p\varpi }{n}}\right)\left(P+{\sqrt {-1}}Q\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f24fa1ec61b9afbfb4ff0495e9ba8c9ff0a52341)
représentant un nombre entier quelconque, généralement différent de
Effectuant de part et d’autre les opérations indiquées et posant, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {2p\varpi }{n}}=k,\qquad {\frac {2p'\varpi }{n}}=k',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3257e6ca977753a4bd2562d0a72c93950496ebf7)
il viendra
![{\displaystyle R\operatorname {Cos} .k'+{\sqrt {-1}}R\operatorname {Sin} .k'=P\operatorname {Cos} .k-Q\operatorname {Sin} .k+{\sqrt {-1}}\left(P\operatorname {Sin} .k+Q\operatorname {Cos} .k\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17e8de57e03227f80919c8be478a6296f8e800b4)
d’où, en égalant séparément les parties réelles et les parties imaginaires[4],
![{\displaystyle R\operatorname {Cos} .k'=P\operatorname {Cos} .k-Q\operatorname {Sin} .k,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b45e01db76f2d59058009e6f43dae53ab063fa4b)
(1)
![{\displaystyle R\operatorname {Sin} .k'=P\operatorname {Sin} .k+Q\operatorname {Cos} .k,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc9ab4d6a8f1e12777940b7c9fc456f4a343010c)
(2)
Prenant la somme des carrés des deux membres de ces équations, on aura d’abord la relation
![{\displaystyle R^{2}=P^{2}+Q^{2},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdd445c518d58a09b73929549a72fecc39ade423)
d’où
![{\displaystyle \quad R=\pm {\sqrt {P^{2}+Q^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61745ba0330ee01140cfc9f3566c7fffe69868bb)
au moyen de laquelle on pourra toujours calculer la valeur réelle unique ou la valeur réelle positive de
après avoir déterminé
et
Les équations (1, 2) donneront ensuite
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .k={\frac {P\operatorname {Cos} .k'+Q\operatorname {Sin} .k'}{R}},\qquad \operatorname {Sin} .k={\frac {P\operatorname {Sin} .k'-Q\operatorname {Cos} .k'}{R}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e32741d91b21fda9e003dd00b41003b1e637e97)
Au moyen de ces valeurs, celle de
pourra être écrite ainsi
![{\displaystyle 2^{\frac {m}{n}}\operatorname {Cos} .^{\frac {m}{n}}x=\pm {\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}\left(\operatorname {Cos} .k'+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .k'\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43ab8cf80ac9415b7ae43d1f958d4bda656463ab)
![{\displaystyle =+{\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}\left(\operatorname {Cos} .{\frac {2p'\varpi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2p'\varpi }{n}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c19fba7622f78c99c739883f8d9ad95364e22bb)
Ainsi,
et
étant calculés, on aura la valeur d’une racine quelconque déterminée de
en évaluant le second membre au moyen de
qui sera donné, puisqu’on suppose que la racine dont il s’agit est déterminée. Si, par exemple, on demandait la racine entièrement réelle, il faudrait supposer
d’où
ou
ou
ce qui ferait retomber sur la valeur
![{\displaystyle R=\pm {\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1c72f550cfb18c7805835e8ee80f5fbc3bb310c)
3. Ce qui précède suppose qu’une au moins des valeurs de
est réelle ; mais si
est pair et
négatif, il n’y en a pour lors que d’imaginaires. Dans ce cas, nous désignerons par
la valeur positive de
purement imaginaire, et nous aurons
![{\displaystyle R{\sqrt {-1}}\left(\operatorname {Cos} .k'+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .k'\right)=\left(\operatorname {Cos} .k+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .k\right)\left(P+{\sqrt {-1}}Q\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d2b53b3d1ee519e0c89119dd91337f1b8363b79)
En développant et égalant séparément les parties réelles et les parties imaginaires de l’équation résultante, nous trouverons
![{\displaystyle {\begin{aligned}R\operatorname {Cos} .k'=&P\operatorname {Cos} .k-Q\operatorname {Sin} .k,\\-R\operatorname {Sin} .k'=&P\operatorname {Sin} .k+Q\operatorname {Cos} .k,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dea5c799056578a164828e497122e8ce63b4b4c8)
d’où
![{\displaystyle R^{2}=P^{2}+Q^{2},\qquad R=\pm {\sqrt {P^{2}+Q^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aa029e5087f0c6413eda4415506b1ba7cf54f2a)
et, par suite,
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .k={\frac {P\operatorname {Cos} .k'-Q\operatorname {Sin} .k'}{R}},\qquad \operatorname {Sin} .k=-{\frac {P\operatorname {Sin} .k'+Q\operatorname {Cos} .k'}{R}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ba9fd2641010a7d0edbd4be1b39066534cd7e66)
ce qui donne
![{\displaystyle 2^{\frac {m}{n}}\operatorname {Cos} .^{\frac {m}{n}}x={\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}\left(\operatorname {Cos} .k'+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .k'\right){\sqrt {-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e605aac1dbeda65b04a6241a7f435fbbee5bdd0)
![{\displaystyle ={\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}\left(\operatorname {Cos} .{\frac {2p'\varpi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2p'\varpi }{n}}\right){\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/876ddbaa2c1d937b2076f72fa90fbbe846d82e35)
4. Ces formules se vérifient aisément pour divers cas particuliers, comme, par exemple, pour
et
mais ces vérifications sont complètement inutiles, puisque les formules ne sauraient manquer d’être exactes ; et l’on peut, à l’inverse, s’en servir, dans chaque cas particulier, pour déterminer les valeurs des séries représentées par
et
ce qui peut offrir d’intéressans résultats.
Nous croyons pouvoir affirmer, en terminant, que toutes les difficultés auxquelles ont pu et pourraient encore donner lieu à l’avenir les développemens de
et
se résoudront aisément et complètement à l’aide des considérations qui viennent d’être exposées.