ANALISE TRANSCENDANTE.
Essai sur la sommation d’une classe très-générale
de séries ;
M. Querret, chef d’institution à St-Malo.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
1. Par les premiers principes de la théorie des fonctions circulaires, on a
![{\displaystyle 2\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .u=\operatorname {Cos} .(t+u)+\operatorname {Cos} .(t-u)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb22ec1c7e3232f31583028d3d693cd884509baf)
d’où, en multipliant par ![{\displaystyle 2\operatorname {Cos} .v,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2917770f9200d970106b48fa7e255fc57dd496a9)
![{\displaystyle 4\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .u\operatorname {Cos} .v=2\operatorname {Cos} .(t+u)\operatorname {Cos} .v+2\operatorname {Cos} .(t-u)\operatorname {Cos} .v.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f55a293dca146dc926781c50a4c332fcd25ce59)
Mais si, dans la première équation, on change successivement
en
et en
, il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}&2\operatorname {Cos} .(t+u)\operatorname {Cos} .v=\operatorname {Cos} .(t+u+v)+\operatorname {Cos} .(t+u-v),\\&2\operatorname {Cos} .(t-u)\operatorname {Cos} .v=\operatorname {Cos} .(t-u+v)+\operatorname {Cos} .(t-u-v)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2053d5854aef725e1afa3e75e87625784993740)
ce qui donnera, en substituant dans la seconde équation,
![{\displaystyle {\begin{array}{r}4\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .u\operatorname {Cos} .v=\operatorname {Cos} .(t+u+v)+\operatorname {Cos} .(t+u-v)\\+\operatorname {Cos} .(t-u+v)\\+\operatorname {Cos} .(t-u-v)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6a8c3cdaafedd77fa87a4e4e69e82db6dc72f75)
En multipliant de nouveau celle-ci par
il viendra
![{\displaystyle 8\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .u\operatorname {Cos} .v\operatorname {Cos} .x=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aeef47dd2baf53bfa56c14fc1d257bf8229ec9f)
![{\displaystyle {\begin{array}{r}2\operatorname {Cos} .(t+u+v)\operatorname {Cos} .x+2\operatorname {Cos} .(t+u-v)\operatorname {Cos} .x\\+2\operatorname {Cos} .(t-u+v)\operatorname {Cos} .x\\+2\operatorname {Cos} .(t-u-v)\operatorname {Cos} .x\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/826291e978b36ce14bccefb0eb83ea83f49939ef)
mais, par la première équation,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&2\operatorname {Cos} .(t+u+v)\operatorname {Cos} .x=\operatorname {Cos} .(t+u+v+x)+\operatorname {Cos} .(t+u+v-x),\\&2\operatorname {Cos} .(t+u-v)\operatorname {Cos} .x=\operatorname {Cos} .(t+u-v+x)+\operatorname {Cos} .(t+u-v-x),\\&2\operatorname {Cos} .(t-u+v)\operatorname {Cos} .x=\operatorname {Cos} .(t-u+v+x)+\operatorname {Cos} .(t-u+v-x),\\&2\operatorname {Cos} .(t-u-v)\operatorname {Cos} .x=\operatorname {Cos} .(t-u-v+x)+\operatorname {Cos} .(t-u-v-x)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf01753538a5ba1defb0a9d58b1baac396dcca1)
substituant donc ces valeurs dans l’équation précédente, elle deviendra
![{\displaystyle 8\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .u\operatorname {Cos} .v\operatorname {Cos} .x=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aeef47dd2baf53bfa56c14fc1d257bf8229ec9f)
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}\operatorname {Cos} .(t+u+v+x)&+\operatorname {Cos} .(t+u+v-x)+\operatorname {Cos} .(t+u-v-x)\\&+\operatorname {Cos} .(t-u-v-x)+\operatorname {Cos} .(t-u+v-x)\\&+\operatorname {Cos} .(t-u+v+x)+\operatorname {Cos} .(t-u-v+x)\\&+\operatorname {Cos} .(t-u-v-x)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b54c97ed6137a0fc6699a04554914384d7d931c7)
et on pourrait ainsi pousser le procédé si loin qu’on voudrait.
2. Si présentement on fait
égal à
dans la première, à
dans la seconde, à
dans la troisième, et qu’en outre on fasse
dans l’équation
on aura
![{\displaystyle {\begin{array}{lr}{\text{Pour un arc,}}&\operatorname {Cos} .t=\operatorname {Cos} .s,\qquad \qquad \qquad \qquad \\{\text{Pour deux,}}&2\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .u=\operatorname {Cos} .s+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cos} .(s-2t),\\&+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cos} .(s-2u)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6972976f9ecaff184a7f732b5d9e732488401d3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Pour trois,}}\;4\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .u\operatorname {Cos} .v=\operatorname {Cos} .s&+\operatorname {Cos} .(s-2t),\\&+\operatorname {Cos} .(s-2u)\\&+\operatorname {Cos} .(s-2v)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cff2e13d9da9514bce37dfbd0e1d80ef305d5fd4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Pour quatre,}}\;8\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .u\operatorname {Cos} .v\operatorname {Cos} .x&=\\\operatorname {Cos} .s+\operatorname {Cos} .(s-2t)&+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cos} .\left[s-2(t+u)\right]\\+\operatorname {Cos} .(s-2u)&+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cos} .\left[s-2(t+v)\right]\\+\operatorname {Cos} .(s-2v)&+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cos} .\left[s-2(u+v)\right]\\+\operatorname {Cos} .(s-2x)&+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cos} .\left[s-2(t+x)\right]\\&+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cos} .\left[s-2(u+x)\right]\\&+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cos} .\left[s-2(v+x)\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93c8ca4958b88fcfa69eb7ee6d4050fe79caab8f)
et ainsi de suite.
3. Si, dans les résultats auxquels nous venons de parvenir, on change respectivement
en
il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Pour un arc}},&\operatorname {Sin} .t=+\operatorname {Sin} .s,\\{\text{Pour deux,}}\;2\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .u=-\operatorname {Cos} .s&+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cos} .(s-2t),\\&+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cos} .(s-2u)\\{\text{Pour trois,}}\;4\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .u\operatorname {Sin} .v=-\operatorname {Sin} .s&+\operatorname {Sin} .(s-2t),\\&+\operatorname {Sin} .(s-2u)\\&+\operatorname {Sin} .(s-2v)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ce769f5f2d3167600382fec29b76bd4935a313d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Pour quatre,}}\;8\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .u\operatorname {Sin} .v\operatorname {Sin} .x&=\\{\frac {1}{2}}\operatorname {Cos} .s-\operatorname {Cos} .(s-2t)&+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cos} .\left[s-2(t+u)\right],\\-\operatorname {Cos} .(s-2u)&+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cos} .\left[s-2(t+v)\right]\\-\operatorname {Cos} .(s-2v)&+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cos} .\left[s-2(u+v)\right]\\-\operatorname {Cos} .(s-2x)&+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cos} .\left[s-2(t+x)\right]\\&+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cos} .\left[s-2(u+x)\right]\\&+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cos} .\left[s-2(v+x)\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb236b172c7f8dd4b7ed3321087e3ce68e993b80)
et ainsi de suite.
4. Pour écrire ces formules sous une forme plus briève et pouvoir en généraliser l’expression, adoptons les notations que voici :
étant des quantités en nombre quelconque, et
la caractéristique d’une fonction quelconque ; nous poserons
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Sigma \operatorname {F} (t)=\operatorname {F} (t)+\operatorname {F} (u)+\operatorname {F} (v)+\operatorname {F} (x)+\ldots \\&\Sigma \operatorname {F} (t,u)=\operatorname {F} (t,u)+\operatorname {F} (t,v)+\operatorname {F} (u,v)+\operatorname {F} (t,x)+\operatorname {F} (u,x)+\operatorname {F} (v,x)+\ldots \\&\Sigma \operatorname {F} (t,u,v)=\operatorname {F} (t,u,v)+\operatorname {F} (t,u,x)+\operatorname {F} (t,v,x)+\operatorname {F} (u,v,x)+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6e73dcf0993e00ab88c97acc58838475916562b)
On voit d’après cela que, si les quantités
sont au nombre de
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}\Sigma \operatorname {F} (t)&{\text{aura }}{\frac {n}{1}}{\text{ termes,}}\\\Sigma \operatorname {F} (t,u)&{\text{aura }}{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}{\text{ termes,}}\\\Sigma \operatorname {F} (t,u,v)&{\text{aura }}{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{3}}{\text{ termes,}}\\\Sigma \operatorname {F} (t,u,v,x)&{\text{aura }}{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{3}}.{\frac {n-3}{4}}{\text{ termes,}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e27f14b77191bc64b1c1de22072fd1fb483efc8d)
On voit assez, d’après cela, ce que signifieront
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Sigma \operatorname {Sin} .(s-2t),\,\quad \Sigma \operatorname {Sin} .\left[s-2(t+u)\right],\,\quad \Sigma \operatorname {Sin} .\left[s-2(t+u+v)\right],\ldots \\&\Sigma \operatorname {Cos} .(s-2t),\quad \Sigma \operatorname {Cos} .\left[s-2(t+u)\right],\quad \Sigma \operatorname {Cos} .\left[s-2(t+u+v)\right],\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49a7b756b0d035204455277065f04ae799faebbe)
et toutes les autres expressions analogues.
5. Au moyen de ces notations, les résultats auxquels nous sommes parvenus ci-dessus (2, 3) pourront être écrits comme il suit :
Pour un arc,
![{\displaystyle \quad \operatorname {Cos} .t=\operatorname {Cos} .s,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35979c55b3bde45baa1bfcd52acbe457ebc9ac72)
Pour deux,
![{\displaystyle \ \ \quad 2\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .u=\operatorname {Cos} .s+{\tfrac {1}{2}}\Sigma \operatorname {Cos} .[s-2t],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b40bde3cf43b53ddc8785fd88b5c6a687cef5f2)
Pour trois,
![{\displaystyle \ \ \quad 4\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .u\operatorname {Cos} .v=\operatorname {Cos} .s+\Sigma \operatorname {Cos} .[s-2t],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b9f92f482247512fc46fd2b5960686b38a08a43)
Pour quatre,
![{\displaystyle \quad 8\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .u\operatorname {Cos} .v\operatorname {Cos} .x=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eece8e7435967e9a86c9642f704ce41322614d29)
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .s+\Sigma \operatorname {Cos} .[s-2t]+{\tfrac {1}{2}}\Sigma \operatorname {Cos} .\left[s-2(t+u)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/301758a271aee7ae9e0ca1dc06b5a03f0769eca1)
Pour un arc,
![{\displaystyle \quad \operatorname {Sin} .t=+\operatorname {Sin} .s,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3bc99dfab65c18c4cbe4f6776ddce9e6c05eb6b)
Pour deux,
![{\displaystyle \ \ \quad 2\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .u=-\operatorname {Cos} .s+{\tfrac {1}{2}}\Sigma \operatorname {Cos} .[s-2t],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a835de1fd61d7f78009f618c3cf6d3e88e4747c)
Pour trois,
![{\displaystyle \ \ \quad 4\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .u\operatorname {Sin} .v=-\operatorname {Sin} .s+\Sigma \operatorname {Sin} .[s-2t],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e2fe07477eac20a96803c670d80c97cdf9d8cc1)
Pour quatre,
![{\displaystyle \quad 8\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .u\operatorname {Sin} .v\operatorname {Sin} .x=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a75fe35e49a164e899e3f93fc23da1b506ac567e)
![{\displaystyle +\operatorname {Cos} .s-\Sigma \operatorname {Cos} .[s-2t]+{\tfrac {1}{2}}\Sigma \operatorname {Cos} .\left[s-2(t+u)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0354da741fa49648fa004bb109bd99031b3f40e)
6. La loi de ces divers résultats devenant ainsi manifeste, nous pourrons, en la généralisant, parvenir aux trois lemmes que voici :
étant des arcs en nombre quelconque
, et leur somme
,
LEMME I.
On a, quel que soit
![{\displaystyle 2^{n-1}\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .u\operatorname {Cos} .v\operatorname {Cos} .x\ldots =\operatorname {Cos} .s+\Sigma \operatorname {Cos} .[s-2t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72c92c4593794ed5fee8d1c4b9a8ec890500f390)
![{\displaystyle +\Sigma \operatorname {Cos} .\left[s-2(t+u)\right]+\Sigma \operatorname {Cos} .\left[s-2(t+u+v)\right]+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07306a068e0d0bba70af41caaf6087ca67a345bd)
la suite devant être poussée à autant de termes qu’on pourra le faire, sans que le nombre des arcs
dont le double de la somme se trouve retranché à
excède la moitié du nombre
et le dernier terme devant être réduit à sa moitié, lorsque
est un nombre pair.
LEMME II.
Lorsque
est un nombre pair, on a
![{\displaystyle \pm 2^{n-1}\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .u\operatorname {Sin} .v\operatorname {Sin} .x\ldots =\operatorname {Cos} .s-\Sigma \operatorname {Cos} .[s-2t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1f513866d1681868b7da3ce1a215a749de7e165)
![{\displaystyle +\Sigma \operatorname {Cos} .\left[s-2(t+u)\right]-\Sigma \operatorname {Cos} .\left[s-2(t+u+v)\right]+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f8bc78fec3d94aaf1f8cf96d24d9572cd422989)
le signe supérieur ou le signe inférieur devant être pris, suivant que
est de la forme
ou de la forme
la série devant s’arrêter au terme dans lequel le nombre des arcs
dont le double de la somme est retranché à
sera précisément égal à la moitié de
et ce dernier terme devant être réduit à sa moitié seulement.
LEMME III.
Lorsque
est un nombre impair ; on a
![{\displaystyle \pm 2^{n-1}\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .u\operatorname {Sin} .v\operatorname {Sin} .x\ldots =\operatorname {Sin} .s-\Sigma \operatorname {Sin} .[s-2t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f81c72a0312f13b4a965ab238aa66f37975c4d)
![{\displaystyle +\Sigma \operatorname {Sin} .\left[s-2(t+u)\right]-\Sigma \operatorname {Sin} .\left[s-2(t+u+v)\right]+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c54d86da5b01cd0c44e8f7fe9e449f7a053a6aa)
le signe supérieur ou le signe inférieur devant être pris suivant que
est de la forme
ou
et la série devant être poussée à autant de termes qu’on pourra le faire sans que le nombre des arcs
dont le double de la somme se trouve retranché à
excède la moitié du nombre ![{\displaystyle n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59df02a9f67a5da3c220f1244c99a46cc4eb1c6)
7. Si présentement nous supposons tous les arcs
égaux entre eux et au premier, ce qui donnera
nous déduirons, comme corollaires de ces trois lemmes, les formules connues que voici :
Corollaire I.
On a, quel que soit le nombre entier positif
![{\displaystyle 2^{n-1}.\operatorname {Cos} .^{n}t=\operatorname {Cos} .nt+{\frac {n}{1}}\operatorname {Cos} .(n-2)t+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}\operatorname {Cos} .(n-4)t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54d3435ea82fed857f414bede3b1a3baab5faf03)
![{\displaystyle +{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{3}}\operatorname {Cos} .(n-6)t+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99542266a9f74645a8e23d7b00aed0dfe3634636)
série qu’il faudra pousser aussi loin qu’on pourra le faire, sans admettre d’arcs négatifs, et où il ne faudra prendre seulement que la moitié du dernier terme, si
est un nombre pair.
Corollaire II.
Lorsque
est un nombre pair, on a
![{\displaystyle \pm 2^{n-1}.\operatorname {Sin} .^{n}t=\operatorname {Cos} .nt-{\frac {n}{1}}\operatorname {Cos} .(n-2)t+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}\operatorname {Cos} .(n-4)t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/832488b801808f5e361e8f6ab7e5ba86b848902f)
![{\displaystyle -{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{3}}\operatorname {Cos} .(n-6)t+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2411b874d346fbf7f116cba8be7a5a1cf489c4c8)
le signe supérieur ou le signe inférieur devant être pris, suivant que
sera de la forme
ou de la forme
et la série devant être poussée aussi loin qu’on pourra le faire sans y admettre d’arcs négatifs, en réduisant son dernier terme à sa moitié seulement.
Corollaire III.
Lorsque
est un nombre impair, on a
![{\displaystyle \pm 2^{n-1}.\operatorname {Sin} .^{n}t=\operatorname {Sin} .nt-{\frac {n}{1}}\operatorname {Sin} .(n-2)t+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}\operatorname {Sin} .(n-4)t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c74d3c8dfd7c6d30224da2c9332bca7999533d4)
![{\displaystyle -{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{3}}\operatorname {Sin} .(n-6)t+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f1fe204272a4cd988fb8963f0334b304010ac37)
le signe supérieur ou le signe inférieur devant être pris suivant que
sera de la forme
ou de la forme
et la série devant être poussée aussi loin qu’on pourra le faire sans y admettre d’arcs négatifs.
8. Soit
![{\displaystyle \operatorname {f} [a]=A_{1}a+A_{2}a^{2}+A_{3}a^{3}+A_{4}a^{4}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de812ba28b2182f952ddd9938f9ed70ff12b25d)
une série infinie que l’on sache sommer, et dans laquelle
sont des coefficiens numériques ; on aura les deux remarques suivantes :
Remarque I.
La somme finie de la série infinie
![{\displaystyle A_{1}a\operatorname {Cos} .t+A_{2}a^{2}\operatorname {Cos} .2t+A_{3}a^{3}\operatorname {Cos} .3t+A_{4}a^{4}\operatorname {Cos} .4t+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b22093be6fc06baa9957783e9661d8b6fe1709b)
est
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .t+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)\right]+\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .t-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)\right]}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e027cd9aa04249edf4766be65dc4543827cbdb0)
Remarque II.
La somme de la série infinie
![{\displaystyle A_{1}a\operatorname {Sin} .t+A_{2}a^{2}\operatorname {Sin} .2t+A_{3}a^{3}\operatorname {Sin} .3t+A_{4}a^{4}\operatorname {Sin} .4t+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1175a464d978205b69eb293de400b90794e95e4)
est
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .t+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)\right]-\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .t-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)\right]}{2{\sqrt {-1}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca070b3781afb1be10f57bcb0d37f45d6e7c9161)
En effet, 1.o suivant la définition de
les sommes des deux séries
![{\displaystyle A_{1}a\left(\operatorname {Cos} .t+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)+A_{2}a^{2}\left(\operatorname {Cos} .t+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0440f364f3b70a4b0b32e422db23271775d4ded)
![{\displaystyle +A_{3}a^{3}\left(\operatorname {Cos} .t+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)^{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22080d45e4a3296560c9fe16ea0bc795efc473fc)
![{\displaystyle A_{1}a\left(\operatorname {Cos} .t-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)+A_{2}a^{2}\left(\operatorname {Cos} .t-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f12d1a246f1b3efd1aab3f4c175ca194b3811af)
![{\displaystyle +A_{3}a^{3}\left(\operatorname {Cos} .t-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)^{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d69f3dd17a7483c3d04deef0690a1d310f2328e0)
ou de leurs équivalentes
![{\displaystyle A_{1}a\left(\operatorname {Cos} .t+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)+A_{2}a^{2}\left(\operatorname {Cos} .2t+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/540bfee6fe834a04627057ff5fc2f03d3fbb1ace)
![{\displaystyle +A_{3}a^{3}\left(\operatorname {Cos} .3t+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .3t\right)+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac3e91522a093ab20134e0cce0da52f2af008180)
![{\displaystyle A_{1}a\left(\operatorname {Cos} .t-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)+A_{2}a^{2}\left(\operatorname {Cos} .2t-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841cc4529de34d77e652ffc30e2f76f2530a49d7)
![{\displaystyle +A_{3}a^{3}\left(\operatorname {Cos} .3t-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .3t\right)+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f778cdb1c90084e3e7f29327b722e3496e4b953)
sont respectivement
![{\displaystyle \operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .t+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)\right],\qquad \operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .t-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6558937d5dc67cc1285cea237d5452b105c0a340)
donc la demi-somme de ces deux séries et le quotient de leur demi-différence par
lesquelles ne sont autre chose que les deux séries proposées, doivent avoir respectivement pour sommes la demi-somme de leurs sommes respectives et le quotient de la demi-différence de ces mêmes sommes par
ainsi que nous l’avons annoncé.
9. Soient respectivement
les fonctions auxquelles se réduisent
![{\displaystyle {\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .t+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)\right]+\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .t-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)\right]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d800dec0308349b7d5ee6a03443446ac10add7be)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .t+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)\right]-\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .t-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)\right]}{\sqrt {-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a15e225532a582aed993129e23d99bdcef117457)
lorsqu’on les a débarrassées des imaginaires qu’elles contiennent, on aura les théorèmes suivans :
THÉORÈME I.
La somme de la série infinie
![{\displaystyle A_{1}a\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .u\operatorname {Cos} .v\ldots +A_{2}a^{2}\operatorname {Cos} .2t\operatorname {Cos} .2u\operatorname {Cos} .2v\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82e999d4c5c81c48852bbc5d24ec69c32be18f0)
![{\displaystyle +A_{3}a^{3}\operatorname {Cos} .3t\operatorname {Cos} .3u\operatorname {Cos} .3v\ldots +\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4532d58e387bc5df2b4f95c70a158d35d70ac309)
dans laquelle on suppose les arcs
au nombre de
et leur somme
a pour expression finie
![{\displaystyle {\frac {1}{2^{n}}}\left\{\operatorname {F} [s]+\Sigma \operatorname {F} [s-2t]+\Sigma \operatorname {F} \left[s-2(t+u)\right]+\Sigma \operatorname {F} \left[s-2(t+u+v)\right]+\ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/803d09f9d99e7eb40cf0095276cac19fb8382572)
en observant, par rapport à la limitation de cette série, ce qui a déjà été dit (Lemme I).
THÉORÈME II.
Si
est un nombre pair, la somme de la série infinie
![{\displaystyle A_{1}a\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .u\operatorname {Sin} .v\ldots +A_{2}a^{2}\operatorname {Sin} .2t\operatorname {Sin} .2u\operatorname {Sin} .2v\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505249d6ddc55f770334b762c5968a8ce16a703c)
![{\displaystyle +A_{3}a^{3}\operatorname {Sin} .3t\operatorname {Sin} .3u\operatorname {Sin} .3v\ldots +\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a748db626e69c63b598859c65e0c30808c6441a)
a pour expression finie
![{\displaystyle \pm {\frac {1}{2^{n}}}\left\{\operatorname {F} [s]-\Sigma \operatorname {F} [s-2t]+\Sigma \operatorname {F} \left[s-2(t+u)\right]-\Sigma \operatorname {F} \left[s-2(t+u+v)\right]+\ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa750852bce2ab644e40a6f74d960793b6cd365f)
en observant, pour le signe et la limitation de cette série, ce qui a été prescrit (Lemme II).
THÉORÈME III.
Si
est un nombre impair, la somme de la série infinie
![{\displaystyle A_{1}a\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .u\operatorname {Sin} .v\ldots +A_{2}a^{2}\operatorname {Sin} .2t\operatorname {Sin} .2u\operatorname {Sin} .2v\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505249d6ddc55f770334b762c5968a8ce16a703c)
![{\displaystyle +A_{3}a^{3}\operatorname {Sin} .3t\operatorname {Sin} .3u\operatorname {Sin} .3v\ldots +\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a748db626e69c63b598859c65e0c30808c6441a)
a pour expression finie
![{\displaystyle \pm {\frac {1}{2^{n}}}\left\{\operatorname {F} '[s]-\Sigma \operatorname {F} '[s-2t]+\Sigma \operatorname {F} '\left[s-2(t+u)\right]-\Sigma \operatorname {F} '\left[s-2(t+u+v)\right]+\ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69fae118701e75ebe5d270e0a7eb233a0cb4c6a7)
en observant, pour le signe et la limitation de cette série, ce a été dit (Lemme III).
Il nous suffira de démontrer le premier de ces deux théorèmes pour faire voir de quelle manière doivent se démontrer les deux qui le suivent.
Par le Lemme I, on a successivement
![{\displaystyle {\begin{array}{l}2^{n-1}\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .u\operatorname {Cos} .v\ldots =\\\quad \qquad \qquad \operatorname {Cos} .s+\Sigma \operatorname {Cos} .[s-2t]+\Sigma \operatorname {Cos} .\left[s-2(t+u)\right]+\ldots \\2^{n-1}\operatorname {Cos} .2t\operatorname {Cos} .2u\operatorname {Cos} .2v\ldots =\\\quad \qquad \qquad \operatorname {Cos} .2s+\Sigma \operatorname {Cos} .2[s-2t]+\Sigma \operatorname {Cos} .2\left[s-2(t+u)\right]+\ldots \\2^{n-1}\operatorname {Cos} .3t\operatorname {Cos} .3u\operatorname {Cos} .3v\ldots =\\\quad \qquad \qquad \operatorname {Cos} .3s+\Sigma \operatorname {Cos} .3[s-2t]+\Sigma \operatorname {Cos} .3\left[s-2(t+u)\right]+\ldots \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fabbd7dd92743d3da04ba4ea4a3f3aa220f80560)
En prenant la somme des produits respectifs ds ces équations par
la somme des premiers membres sera la suite infinie proposée multipliée par
quant à la somme des seconds membres elle sera composée de cette suite de séries infinies que voici :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\qquad 2\left(A_{1}a\operatorname {Cos} .s+A_{2}a^{2}\operatorname {Cos} .2s+A_{3}a^{3}\operatorname {Cos} .3s+\ldots \right)\\&+2\Sigma \left\{A_{1}a\operatorname {Cos} .[s-2t]+A_{2}a^{2}\operatorname {Cos} .2[s-2t]+A_{3}a^{3}\operatorname {Cos} .3[s-2t]+\ldots \right\}\\&+2\Sigma \left\{A_{1}a\operatorname {Cos} .[s-2(t+u)]+A_{2}a^{2}\operatorname {Cos} .2[s-2(t+u)]\right.\\&\left.\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +A_{3}a^{3}\operatorname {Cos} .3[s-2(t+u)]+\ldots \right\}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c62f77d8a2a2b1a3b669cd4ddbca53733f86c1e8)
Or, d’après la définition de la fonction
et la Remarque I, la somme de la première série est
et les sommes des autres séries, sous le signe
sont successivement
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {F} [s-2t]}{2}},\qquad {\frac {\operatorname {F} \left[s-2(t+u)\right]}{2}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89033a453776aef4d2d306eae5952b9b5b56dbfa)
en les ajoutant donc et divisant ensuite par
on obtiendra la somme annoncée de la série proposée.
On démontrera les deux autres théorèmes, à l’aide des Lemmes II et III, comme nous avons démontré celui-là à l’aide du Lemme I.
10. En supposant, dans nos trois théorèmes, que les arcs
deviennent égaux entre eux et au premier, ce qui donne
on en conclut les trois corollaires que voici :
Corollaire I.
Quel que soit le nombre entier positif
la somme de la série infinie
![{\displaystyle A_{1}a\operatorname {Cos} .^{n}t+A_{2}a^{2}\operatorname {Cos} .^{n}2t+A_{3}a^{3}\operatorname {Cos} .^{n}3t+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b11c9be269117683e74fe5efdb74f7a70a6d4209)
a pour expression finie
![{\displaystyle {\frac {1}{2^{n}}}\left\{\operatorname {F} [nt]+{\frac {n}{1}}\operatorname {F} [(n-2)t]+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}\operatorname {F} [(n-4)t]+\ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/753e7189dcb0908e39067719b2559ff0f864ad56)
en observant les limitations prescrites (7, Corollaire I).
Corollaire II.
Si
est un nombre pair, la somme de la série infinie
![{\displaystyle A_{1}a\operatorname {Sin} .^{n}t+A_{2}a^{2}\operatorname {Sin} .^{n}2t+A_{3}a^{3}\operatorname {Sin} .^{n}3t+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a70b2361035ab9c1a62b4ec23d5ee249f71f353)
a pour expression finie
![{\displaystyle \pm {\frac {1}{2^{n}}}\left\{\operatorname {F} [nt]-{\frac {n}{1}}\operatorname {F} [(n-2)t]+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}\operatorname {F} [(n-4)t]-\ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d32a7a062c939461274c3a70b95067ba1d7c4a1)
en observant, pour le choix du signe et pour le nombre des termes, ce qui a été prescrit (7, Corollaire II).
Corollaire III.
Si
est un nombre impair, la somme de la série infinie
![{\displaystyle A_{1}a\operatorname {Sin} .^{n}t+A_{2}a^{2}\operatorname {Sin} .^{n}2t+A_{3}a^{3}\operatorname {Sin} .^{n}3t+A_{4}a^{4}\operatorname {Sin} .^{n}4t+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5143a1dbd0eb5db519cdca9cdc7d7c907a094132)
a pour expression finie
![{\displaystyle \pm {\frac {1}{2^{n}}}\left\{\operatorname {F} '[nt]-{\frac {n}{1}}\operatorname {F} '[(n-2)t]+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}\operatorname {F} '[(n-4)t]-\ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a40daa9d2bf6d80889c7009984904bd606e3ec1)
en observant, pour le choix du signe et le nombre des termes du développement, ce qui a été prescrit (7, Corollaire III).
Remarque générale.
11. Comme toutes les séries que nous avons considérées (8, 9, 10) sont dépourvues de leur premier terme, il faudra avoir soin, lorsque le contraire arrivera, d’ajouter ce premier terme à la somme donnée par ce qui précède
12. On sait que
![{\displaystyle e^{a}=1+{\frac {a}{1}}+{\frac {a^{2}}{1.2}}+{\frac {a^{3}}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}}{1.2.3.4}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51c30f99e00a84e6ce201a264c0016e9b14c74cc)
d’où
![{\displaystyle e^{a}-1={\frac {a}{1}}+{\frac {a^{2}}{1.2}}+{\frac {a^{3}}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}}{1.2.3.4}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/650afe18b1f737ddaf837617005f26d94e0b7a2b)
de sorte qu’on a ici
![{\displaystyle \operatorname {f} [a]=e^{a}-1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a71570b6c5fe884706ec981b1e4fc8281a598ed3)
donc, 1.o la somme de la série
![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Cos} .t}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2t}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3t}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Cos} .4t}{1.2.3.4}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e94a4a7ec613228ad437bfcdcbbe5f7432a33f7)
sera (Remarque I.)
![{\displaystyle {\frac {\left\{e^{a\left(\operatorname {Cos} .t+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)}-1\right\}+\left\{e^{a\left(\operatorname {Cos} .t-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)}-1\right\}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e8f948869d6c9af5167b379611fd5454a87e2c9)
ou bien
![{\displaystyle e^{a\operatorname {Cos} .t}.{\frac {e^{+{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .t}+e^{-{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .t}}{2}}=e^{a\operatorname {Cos} .t}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .t)-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e38e54bacdeb32cc0c552ad83e6cdc851ece4f15)
de sorte qu’en ajoutant
de part et d’autre, on a
![{\displaystyle e^{a\operatorname {Cos} .t}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .t)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/466a449d49813a6bb6010b830340de0e76f2ab8b)
![{\displaystyle 1+{\frac {a\operatorname {Cos} .t}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2t}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3t}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Cos} .4t}{1.2.3.4}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3665f29d41321ffd7cb29bb6f074be05ee39464e)
2.o La somme de la série
![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Sin} .t}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .2t}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .3t}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Sin} .4t}{1.2.3.4}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60fb48416855af68ea68ebcf4802b6de55c72fe)
sera (Remarque II)
![{\displaystyle {\frac {\left\{e^{a\left(\operatorname {Cos} .t+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)}-1\right\}-\left\{e^{a\left(\operatorname {Cos} .t-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)}-1\right\}}{2{\sqrt {-1}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ca4f26ade2a563675e8efc1a8230245505a9251)
ou bien
![{\displaystyle e^{a\operatorname {Cos} .t}.{\frac {e^{+{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .t}-e^{-{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .t}}{2{\sqrt {-1}}}}=e^{a\operatorname {Cos} .t}.\operatorname {Sin} .(a\operatorname {Sin} .t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/894d61281fae421c0c3f53c66a5a2984a4cf7c8c)
de sorte qu’on aura
[1]
13. D’après cela, on aura ici
![{\displaystyle \operatorname {F} [t]=2\left\{e^{a\operatorname {Cos} .t}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .t)-1\right\},\qquad \operatorname {F} '[t]=2e^{a\operatorname {Cos} .t}.\operatorname {Sin} .(a\operatorname {Sin} .t)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70b36ef1976c483e5a17d87953e14fbc42301d46)
substituant donc ces valeurs dans les formules ci-dessus (9, 10), nous aurons, par le Théorème I, quel que soit ![{\displaystyle n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397bfafc701afdf14c2743278a097f6f2957eabb)
![{\displaystyle 1+{\frac {a\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .u\operatorname {Cos} .v\ldots }{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2t\operatorname {Cos} .2u\operatorname {Cos} .2v\ldots }{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3t\operatorname {Cos} .3u\operatorname {Cos} .3v\ldots }{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2ead52e91c0cecb5e675c4aa1bf1b0cd19c5f7)
![{\displaystyle ={\frac {1}{2^{n-1}}}\left\{e^{a\operatorname {Cos} .s}.\operatorname {Cos} .[a\operatorname {Sin} .s]+\Sigma e^{a\operatorname {Cos} .(s-2t)}.\operatorname {Cos} .\left[a\operatorname {Sin} .(s-2t)\right]\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ab8b06dfde8d79880689715fe1cd410bae6841a)
![{\displaystyle \left.+\Sigma e^{a\operatorname {Cos} .(s-2t-2u)}.\operatorname {Cos} .\left[a\operatorname {Sin} .(s-2t-2u)\right]+\ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a75230e989b416570a3b7f4f78b005ebc870b94)
par le Théorème II, pour
pair,
![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .u\operatorname {Sin} .v\ldots }{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .2t\operatorname {Sin} .2u\operatorname {Sin} .2v\ldots }{2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .3t\operatorname {Sin} .3u\operatorname {Sin} .3v\ldots }{3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e72cbdf03d0b875dc65796333eba6f87fe31125)
![{\displaystyle =\pm {\frac {1}{2^{n-1}}}\left\{e^{a\operatorname {Cos} .s}.\operatorname {Cos} .[a\operatorname {Sin} .s]-\Sigma e^{a\operatorname {Cos} .(s-2t)}.\operatorname {Cos} .\left[a\operatorname {Sin} .(s-2t)\right]\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fb373cfe95c9109e6f4172361f84c8b55d2f966)
![{\displaystyle \left.+\Sigma e^{a\operatorname {Cos} .(s-2t-2u)}.\operatorname {Cos} .\left[a\operatorname {Sin} .(s-2t-2u)\right]-\ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2fc96aae246926872bee09b19bdc78b576e0f7c)
par le Théorème III, pour
impair,
![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .u\operatorname {Sin} .v\ldots }{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .2t\operatorname {Sin} .2u\operatorname {Sin} .2v\ldots }{2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .3t\operatorname {Sin} .3u\operatorname {Sin} .3v\ldots }{3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e72cbdf03d0b875dc65796333eba6f87fe31125)
![{\displaystyle =\pm {\frac {1}{2^{n-1}}}\left\{e^{a\operatorname {Cos} .s}.\operatorname {Sin} .[a\operatorname {Sin} .s]-\Sigma e^{a\operatorname {Cos} .(s-2t)}.\operatorname {Sin} .\left[a\operatorname {Sin} .(s-2t)\right]\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cc028b1ad51d047d2d8f7075234e003af2cfe12)
![{\displaystyle \left.+\Sigma e^{a\operatorname {Cos} .(s-2t-2u)}.\operatorname {Sin} .\left[a\operatorname {Sin} .(s-2t-2u)\right]-\ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aa6bdbf957de63801787a1df37aec1054b66789)
par le Corollaire I, quel que soit ![{\displaystyle n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397bfafc701afdf14c2743278a097f6f2957eabb)
![{\displaystyle 1+{\frac {a\operatorname {Cos} .^{n}t}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .^{n}2t}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .^{n}3t}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Cos} .^{n}4t}{1.2.3.4}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af78947b6e23a440b242b70e8696fc2f5ad7e0de)
![{\displaystyle ={\frac {1}{2^{n-1}}}\left\{e^{a\operatorname {Cos} .nt}.\operatorname {Cos} .[a\operatorname {Sin} .nt]+{\frac {n}{1}}e^{a\operatorname {Cos} .(n-2)t}.\operatorname {Cos} .\left[a\operatorname {Sin} .(n-2)t\right]\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1029cc3492bf5f6575c5e05d4952f71a1aa8b3a)
![{\displaystyle \left.+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}e^{a\operatorname {Cos} .(n-4)t}.\operatorname {Cos} .\left[a\operatorname {Sin} .(n-4)t\right]+\ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a2ee93d85e7a91d645004cf9f6befc462f3583)
par le Corollaire II, pour
pair,
![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Sin} .^{n}t}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .^{n}2t}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .^{n}3t}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Sin} .^{n}4t}{1.2.3.4}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc41b20a74ac4851e478c0197c7c3fcb7f80291c)
![{\displaystyle \left.+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}e^{a\operatorname {Cos} .(n-4)t}.\operatorname {Cos} .\left[a\operatorname {Sin} .(n-4)t\right]+\ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a2ee93d85e7a91d645004cf9f6befc462f3583)
et par le Corollaire III, pour
impair,
![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Sin} .^{n}t}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .^{n}2t}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .^{n}3t}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Sin} .^{n}4t}{1.2.3.4}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc41b20a74ac4851e478c0197c7c3fcb7f80291c)
![{\displaystyle =\pm {\frac {1}{2^{n-1}}}\left\{e^{a\operatorname {Cos} .nt}.\operatorname {Sin} .[a\operatorname {Sin} .nt]-{\frac {n}{1}}e^{a\operatorname {Cos} .(n-2)t}.\operatorname {Sin} .\left[a\operatorname {Sin} .(n-2)t\right]\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc1eb44455f41f6efa65adcf392f5476c59cc43c)
![{\displaystyle \left.+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}e^{a\operatorname {Cos} .(n-4)t}.\operatorname {Sin} .\left[a\operatorname {Sin} .(n-4)t\right]+\ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7fa2e41dc37aea86fc336ab4fbf3fa5b1966293)
14. Si, par exemple, on suppose
les première, deuxième, quatrième et cinquième formules deviendront, en ayant toujours égard aux limitations prescrites pour les seconds membres,
1.o
![{\displaystyle 1+{\frac {a\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .u}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2t\operatorname {Cos} .2u}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3t\operatorname {Cos} .3u}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Cos} .4t\operatorname {Cos} .4u}{1.2.3.4}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63a0ef90c3a9f6e3c2d50805d8d89f4a0661e93e)
![{\displaystyle =+{\tfrac {1}{2}}\left\{e^{a\operatorname {Cos} .(t+u)}.\operatorname {Cos} .\left[a\operatorname {Sin} .(t+u)\right]+e^{a\operatorname {Cos} .(t-u)}.\operatorname {Cos} .\left[a\operatorname {Sin} .(t-u)\right]\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfa12a35ed3b434b6af12a9befc4d68f8c69015f)
2.o
![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .u}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .2t\operatorname {Sin} .2u}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .3t\operatorname {Sin} .3u}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Sin} .4t\operatorname {Sin} .4u}{1.2.3.4}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9930139726b0c37189afed5ea65ea1bb734edbd3)
![{\displaystyle =-{\tfrac {1}{2}}\left\{e^{a\operatorname {Cos} .(t+u)}.\operatorname {Cos} .\left[a\operatorname {Sin} .(t+u)\right]-e^{a\operatorname {Cos} .(t-u)}.\operatorname {Cos} .\left[a\operatorname {Sin} .(t-u)\right]\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4cf805d05f8d25062f1c7a44da05234ffa32d4c)
3.o ![{\displaystyle 1+{\frac {a\operatorname {Cos} .^{2}t}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}2t}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .^{2}3t}{1.2.3}}+\ldots =+{\frac {1}{2}}\left\{e^{a\operatorname {Cos} .2t}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .2t)+e^{a}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b41ae093653fcf46b2cd23183c658c182b069485)
4.o ![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Sin} .^{2}t}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}2t}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .^{2}3t}{1.2.3}}+\ldots =-{\frac {1}{2}}\left\{e^{a\operatorname {Cos} .2t}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .2t)-e^{a}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36ae355655e23cc146ac3b3d5c0d93879c046078)
Ces deux dernières formules avaient déjà été données par M. Stein, à la page 112 du présent volume.
15. Si l’on suppose
les première, troisième, quatrième et sixième formules deviendront
1.o ![{\displaystyle 1+{\frac {a\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .u\operatorname {Cos} .v}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2t\operatorname {Cos} .2u\operatorname {Cos} .2v}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3t\operatorname {Cos} .3u\operatorname {Cos} .3v}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323ec594643c903024ce378b647d9207cd8f0193)
![{\displaystyle =+{\frac {1}{4}}\left\{{\begin{aligned}&e^{a\operatorname {Cos} .(t+u+v)}.\operatorname {Cos} .\left[a\operatorname {Sin} .(t+u+v)\right]\\\\+&e^{a\operatorname {Cos} .(t+u-v)}.\operatorname {Cos} .\left[a\operatorname {Sin} .(t+u-v)\right]\\\\+&e^{a\operatorname {Cos} .(u+v-t)}.\operatorname {Cos} .\left[a\operatorname {Sin} .(u+v-t)\right]\\\\+&e^{a\operatorname {Cos} .(v+t-u)}.\operatorname {Cos} .\left[a\operatorname {Sin} .(v+t-u)\right]\end{aligned}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c3c4565a8296a07a1fe3fdceac98d14a9d70954)
2.o ![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .u\operatorname {Sin} .v}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .2t\operatorname {Sin} .2u\operatorname {Sin} .2v}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .3t\operatorname {Sin} .3u\operatorname {Sin} .3v}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87fd1e80e2da701c7632884a5d11e3b08164dd46)
![{\displaystyle =-{\frac {1}{4}}\left\{{\begin{aligned}&e^{a\operatorname {Cos} .(t+u+v)}.\operatorname {Sin} .\left[a\operatorname {Sin} .(t+u+v)\right]\\\\-&e^{a\operatorname {Cos} .(t+u-v)}.\operatorname {Sin} .\left[a\operatorname {Sin} .(t+u-v)\right]\\\\-&e^{a\operatorname {Cos} .(u+v-t)}.\operatorname {Sin} .\left[a\operatorname {Sin} .(u+v-t)\right]\\\\-&e^{a\operatorname {Cos} .(v+t-u)}.\operatorname {Sin} .\left[a\operatorname {Sin} .(v+t-u)\right]\end{aligned}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10e27db274a4ba4cf2e5c84a81a53472c94b079d)
3.o ![{\displaystyle 1+{\frac {a\operatorname {Cos} .^{3}t}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .^{3}2t}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .^{3}3t}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95da391e3d63fad26b6320404621bc84e85cf1c7)
![{\displaystyle =+{\frac {1}{4}}\left\{e^{a\operatorname {Cos} .3t}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .3t)+3e^{a\operatorname {Cos} .t}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .t)\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fb9bce09284a5a01cdf3161a42e70e86e84d33e)
4.o ![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Sin} .^{3}t}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .^{3}2t}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .^{3}3t}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09f0799be88de3d2dd7a907899c14aa809edc27d)
![{\displaystyle =-{\frac {1}{4}}\left\{e^{a\operatorname {Cos} .3t}.\operatorname {Sin} .(a\operatorname {Sin} .3t)-3e^{a\operatorname {Cos} .t}.\operatorname {Sin} .(a\operatorname {Sin} .t)\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a0a664598d5b940a2ec33f838ed0498fe003a6)
et ainsi de suite.
APPLICATION II.
16. On sait qu’en faisant usage des logarithmes naturels on a
![{\displaystyle \operatorname {Log} .(1+a)={\frac {a}{1}}-{\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {a^{3}}{3}}-{\frac {a^{4}}{4}}+{\frac {a^{5}}{5}}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2eb31d311a8425749a2093b9c11a93d6c59c053)
de sorte qu’ici
![{\displaystyle \operatorname {f} [a]=\operatorname {Log} .(1+a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade74a31a20a51ba9fb3cac62a4f8ff8a6111d49)
donc, 1.o la somme de la série
![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Cos} .t}{1}}-{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2t}{2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3t}{3}}-{\frac {a^{4}\operatorname {Cos} .4t}{4}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1339535f869c82b7cbe796dea1b52319f9171f66)
sera (Remarque I)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Log} .\left\{1+a\left(\operatorname {Cos} .t+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)\right\}+\operatorname {Log} .\left\{1+a\left(\operatorname {Cos} .t-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)\right\}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48d8cf343cf1f5c16673be082f4138eb544bb87c)
ou bien
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Log} .\left\{(1+a\operatorname {Cos} .t)+{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .t\right\}\left\{(1+a\operatorname {Cos} .t)-{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .t\right\}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23307600fd184f73ba0f710068919743435df63f)
![{\displaystyle ={\frac {\operatorname {Log} .\left\{(1+a\operatorname {Cos} .t)^{2}+a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}t\right\}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2efb79d16ff48ae7632a650d1e2bcc7e0254e9a)
ou enfin
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Log} .\left(1+2a\operatorname {Cos} .t+a^{2}\right)}{2}}=\operatorname {Log} .{\sqrt {1+2a\operatorname {Cos} .t+a^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cac1a01658bfc6c7e522de6714910b8fd1dcbd4)
2.o la somme de la série
![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Sin} .t}{1}}-{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .2t}{2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .3t}{3}}-{\frac {a^{4}\operatorname {Sin} .4t}{4}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee613ba14831a118582235ad06bc304d788ce7ff)
sera (Remarque II)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Log} .\left\{1+a\left(\operatorname {Cos} .t+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)\right\}-\operatorname {Log} .\left\{1+a\left(\operatorname {Cos} .t-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)\right\}}{2{\sqrt {-1}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e98362e2e9474ae4941743d3c52716392cda0915)
ou bien
![{\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\operatorname {Log} .{\frac {(1+a\operatorname {Cos} .t)+{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .t}{(1+a\operatorname {Cos} .t)-{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8df793f97a71f65f6935563518bef4993e915b6)
En vertu de la formule connue
![{\displaystyle \operatorname {Log} .{\frac {p}{q}}=2\left\{{\frac {p-q}{p+q}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {p-q}{p+q}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {p-q}{p+q}}\right)^{5}+\ldots \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad72fec13dfa858c244dd6051575633bd9349d05)
cette somme devient
![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Sin} .t}{1+a\operatorname {Cos} .t}}-{\frac {1}{3}}\left({\frac {a\operatorname {Sin} .t}{1+a\operatorname {Cos} .t}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {a\operatorname {Sin} .t}{1+a\operatorname {Cos} .t}}\right)^{5}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/936b32b456b702e1270df09393279e3a8ef6368e)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle \operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {a\operatorname {Sin} .t}{1+a\operatorname {Cos} .t}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1105c2a3ab026b5eb0b381f94e0e15314703597)
17. D’après cela, on aura ici
![{\displaystyle \operatorname {F} [t]=2\operatorname {Log} .{\sqrt {1+2a\operatorname {Cos} .t+a^{2}}},\ \operatorname {F} '[t]=2\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {a\operatorname {Sin} .t}{1+a\operatorname {Cos} .t}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be3c6fe02ad9c5069c7e88480b32e38ded1a7243)
substituant donc ces valeurs dans les formules ci-dessus (9, 10), nous aurons, par le Théorème I, quel que soit
,
![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .u\operatorname {Cos} .v\ldots }{1}}-{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2t\operatorname {Cos} .2u\operatorname {Cos} .2v\ldots }{2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3t\operatorname {Cos} .3u\operatorname {Cos} .3v\ldots }{3}}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03a27d7d3d7b7f23f7dd103f738c289911e04437)
![{\displaystyle =+{\frac {1}{2^{n-1}}}\left\{\operatorname {Log} .{\sqrt {1+2a\operatorname {Cos} .s+a^{2}}}+\Sigma \operatorname {Log} .{\sqrt {1+2a\operatorname {Cos} .(s-2t)+a^{2}}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a8cf453a475bfc4c56383daace33c39e866655a)
![{\displaystyle \left.+\Sigma \operatorname {Log} .{\sqrt {1+2a\operatorname {Cos} .(s-2t-2u)+a^{2}}}+\ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c196195ae5cb36fcd99056c64632fe61a78768ce)
par le Théorème II, pour
pair,
![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .u\operatorname {Sin} .v\ldots }{1}}-{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .2t\operatorname {Sin} .2u\operatorname {Sin} .2v\ldots }{2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .3t\operatorname {Sin} .3u\operatorname {Sin} .3v\ldots }{3}}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7602231455881035924b17e64ec96df5cbfbc37a)
![{\displaystyle =\pm {\frac {1}{2^{n-1}}}\left\{\operatorname {Log} .{\sqrt {1+2a\operatorname {Cos} .s+a^{2}}}-\Sigma \operatorname {Log} .{\sqrt {1+2a\operatorname {Cos} .(s-2t)+a^{2}}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49818deac991a711b593837cd54a093a6c273e1e)
![{\displaystyle \left.+\Sigma \operatorname {Log} .{\sqrt {1+2a\operatorname {Cos} .(s-2t-2u)+a^{2}}}-\ldots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2156e91cba60194b7d1ba77484c9cc460b221e76)
par le Théorème III, pour
impair,
![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .u\operatorname {Sin} .v\ldots }{1}}-{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .2t\operatorname {Sin} .2u\operatorname {Sin} .2v\ldots }{2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .3t\operatorname {Sin} .3u\operatorname {Sin} .3v\ldots }{3}}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7602231455881035924b17e64ec96df5cbfbc37a)
![{\displaystyle =\pm {\frac {1}{2^{n-1}}}\left\{\operatorname {Arc} .\left[\operatorname {Tang} .={\frac {a\operatorname {Sin} .s}{1+a\operatorname {Cos} .s}}\right]-\Sigma \operatorname {Arc} .\left[\operatorname {Tang} .={\frac {a\operatorname {Sin} .(s-2t)}{1+a\operatorname {Cos} .(s-2t)}}\right]\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c349934c139e2351aa3d3e5b3a199aaa6bf31a12)
![{\displaystyle \left.+\Sigma \operatorname {Arc} .\left[\operatorname {Tang} .={\frac {a\operatorname {Sin} .(s-2t-2u)}{1+a\operatorname {Cos} .(s-2t-2u)}}\right]-\ldots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc268923f44378b82e8eae05710c3cda35a9a11)
par le Corollaire I, quel que soit ![{\displaystyle n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397bfafc701afdf14c2743278a097f6f2957eabb)
![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Cos} .^{n}t}{1}}-{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .^{n}2t}{2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .^{n}3t}{3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Cos} .^{n}4t}{4}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8311249d79eab478590c9dcc3b3f05f26b490e09)
![{\displaystyle =+{\frac {1}{2^{n-1}}}\left\{\operatorname {Log} .{\sqrt {1+2a\operatorname {Cos} .nt+a^{2}}}+{\frac {n}{1}}\operatorname {Log} .{\sqrt {1+2a\operatorname {Cos} .(n-2)t+a^{2}}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abc28feee3e075d5e07ca6eb91d8e19d24a12dd6)
![{\displaystyle \left.+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}\operatorname {Log} .{\sqrt {1+2a\operatorname {Cos} .(n-4)t+a^{2}}}+\ldots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0727433b86e3f6e47c44d9cd5c7ef84dc03a04ec)
par le Corollaire II, pour
pair,
![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Sin} .^{n}t}{1}}-{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .^{n}2t}{2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .^{n}3t}{3}}-{\frac {a^{4}\operatorname {Sin} .^{n}4t}{4}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e090f0ef6758d66d61efcbb29d70602dc3c2898)
![{\displaystyle =\pm {\frac {1}{2^{n}}}\left\{\operatorname {Log} .{\sqrt {1+2a\operatorname {Cos} .nt+a^{2}}}-{\frac {n}{1}}\operatorname {Log} .{\sqrt {1+2a\operatorname {Cos} .(n-2)t+a^{2}}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee4969e2d520564358b0aeb8395f77b64b475204)
![{\displaystyle \left.+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}\operatorname {Log} .{\sqrt {1+2a\operatorname {Cos} .(n-4)t+a^{2}}}-\ldots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a24ca96d7d5ea5844f85ec754e92cf25fa005707)
par le Corollaire III, pour
impair,
![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Sin} .^{n}t}{1}}-{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .^{n}2t}{2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .^{n}3t}{3}}-{\frac {a^{4}\operatorname {Sin} .^{n}4t}{4}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e090f0ef6758d66d61efcbb29d70602dc3c2898)
![{\displaystyle =\pm {\frac {1}{2^{n}}}\left\{\operatorname {Arc} .\left[\operatorname {Tang} .={\frac {a\operatorname {Sin} .nt}{1+a\operatorname {Cos} .nt}}\right]-{\frac {n}{1}}\operatorname {Arc} .\left[\operatorname {Tang} .={\frac {a\operatorname {Sin} .(n-1)t}{1+a\operatorname {Cos} .(n-1)t}}\right]+\ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27b394bc669ba4db00f7217c24aaee37362ca065)
18. Si, par exemple, on suppose
les première, deuxième, quatrième et cinquième formules deviendront, en ayant toujours égard aux limitations prescrites pour les seconds membres,
1.
o ![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .u}{1}}-{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2t\operatorname {Cos} .2u}{2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3t\operatorname {Cos} .3u}{3}}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/717d3118d8401341a3216e5767041fdd846e05c6)
![{\displaystyle =+{\frac {1}{2}}\left\{\operatorname {Log} .{\sqrt {1+2a\operatorname {Cos} .(t+u)+a^{2}}}+\operatorname {Log} .{\sqrt {1+2a\operatorname {Cos} .(t-u)+a^{2}}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8613959fa3225334995618b04ba75ccb7f25a750)
2.
o ![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .u}{1}}-{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .2t\operatorname {Sin} .2u}{2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .3t\operatorname {Sin} .3u}{3}}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9598070646b5d7aa2baaee2564e87835437a130b)
![{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}\left\{\operatorname {Log} .{\sqrt {1+2a\operatorname {Cos} .(t+u)+a^{2}}}-\operatorname {Log} .{\sqrt {1+2a\operatorname {Cos} .(t-u)+a^{2}}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83bfcf2176c47b839df3038dbc9a1cb100e8553f)
3.
o ![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Cos} .^{2}t}{1}}-{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}2t}{2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .^{2}3t}{3}}-{\frac {a^{4}\operatorname {Cos} .^{2}4t}{4}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66ce46f23c965cb0a01db73942956b80446cdaf5)
![{\displaystyle =+{\frac {1}{2}}\left\{\operatorname {Log} .{\sqrt {1+2a\operatorname {Cos} .2t+a^{2}}}+\operatorname {Log} .(1+a)\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ffb2ee9b4fd9f9f73fb8ff720b2e2f09edd8992)
4.
o ![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Sin} .^{2}t}{1}}-{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}2t}{2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .^{2}3t}{3}}-{\frac {a^{4}\operatorname {Sin} .^{2}4t}{4}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e2905744928fe5a6c734d2c14730c8cfe9fa227)
![{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}\left\{\operatorname {Log} .{\sqrt {1+2a\operatorname {Cos} .2t+a^{2}}}-\operatorname {Log} .(1+a)\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18a689178b734ae75be01c5be77c891f07eefbba)
19. Si l’on suppose
les première, troisième, quatrième et sixième formules donneront
1.o ![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .u\operatorname {Cos} .v}{1}}-{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2t\operatorname {Cos} .2u\operatorname {Cos} .2v}{2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3t\operatorname {Cos} .3u\operatorname {Cos} .3v}{3}}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af4f7c564fc03fc5b8599ca8e01b8fdbbf6455a2)
![{\displaystyle =+{\frac {1}{4}}\left\{{\begin{aligned}&\operatorname {Log} .{\sqrt {1+2a\operatorname {Cos} .(t+u+v)+a^{2}}}\\+&\operatorname {Log} .{\sqrt {1+2a\operatorname {Cos} .(t+u-v)+a^{2}}}\\+&\operatorname {Log} .{\sqrt {1+2a\operatorname {Cos} .(u+v-t)+a^{2}}}\\+&\operatorname {Log} .{\sqrt {1+2a\operatorname {Cos} .(v+t-u)+a^{2}}}\end{aligned}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/178bc4ecd225aba0a2916741aec5f4db942db073)
2.o ![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .u\operatorname {Sin} .v}{1}}-{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .2t\operatorname {Sin} .2u\operatorname {Sin} .2v}{2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .3t\operatorname {Sin} .3u\operatorname {Sin} .3v}{3}}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37eebb61322347a6298dc5428b4b191804b3b6f3)
![{\displaystyle =-{\frac {1}{4}}\left\{{\begin{aligned}&\operatorname {Arc} .\left[\operatorname {Tang} .={\frac {a\operatorname {Sin} .(t+u+v)}{1+a\operatorname {Cos} .(t+u+v)}}\right]\\-&\operatorname {Arc} .\left[\operatorname {Tang} .={\frac {a\operatorname {Sin} .(t+u-v)}{1+a\operatorname {Cos} .(t+u-v)}}\right]\\-&\operatorname {Arc} .\left[\operatorname {Tang} .={\frac {a\operatorname {Sin} .(u+v-t)}{1+a\operatorname {Cos} .(u+v-t)}}\right]\\-&\operatorname {Arc} .\left[\operatorname {Tang} .={\frac {a\operatorname {Sin} .(v+t-u)}{1+a\operatorname {Cos} .(v+t-u)}}\right]\end{aligned}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f1d78bfbfe17bca7837afc5c192f6a391c315dd)
3.
o ![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Cos} .^{3}t}{1}}-{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .^{3}2t}{2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .^{3}3t}{3}}-{\frac {a^{4}\operatorname {Cos} .^{4}4t}{4}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d26d70dc6c80b8d516747db1c1a84a723a497081)
![{\displaystyle =+{\frac {1}{4}}\left\{\operatorname {Log} .{\sqrt {1+2a\operatorname {Cos} .3t+a^{2}}}+3\operatorname {Log} .{\sqrt {1+2a\operatorname {Cos} .t+a^{2}}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f545c1c82cac66f9c5c0ed240f09c5d11a0e6e07)
4.
o ![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Sin} .^{3}t}{1}}-{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .^{3}2t}{2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .^{3}3t}{3}}-{\frac {a^{4}\operatorname {Sin} .^{4}4t}{4}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2bf176d5492d4859c11ff3478f26975a81db63e)
![{\displaystyle =-{\frac {1}{4}}\left\{\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {a\operatorname {Sin} .3t}{1+a\operatorname {Cos} .3t}}\right)-3\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {a\operatorname {Sin} .t}{1+a\operatorname {Cos} .t}}\right)\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ef46145377a59488876d748bf58f792b475a29)
20. Nous ne pousserons pas plus loin, pour le moment, ces applications qui n’ont, comme l’on voit, rien de bien difficile, et qui conduisent à des résultats très-remarquables. Il nous suffisait d’établir les principes généraux et de montrer la marche du calcul. Mais, dans un supplément au présent mémoire, nous nous occuperons de la construction des formules générales servant à sommer les séries infinies de la forme
![{\displaystyle A_{1}a\operatorname {Cos} .\alpha t\operatorname {Cos} .\beta u\operatorname {Cos} .\gamma v\ldots +A_{2}a^{2}\operatorname {Cos} .\alpha 2t\operatorname {Cos} .\beta 2u\operatorname {Cos} .\gamma 2v\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7946ce5099b4940203d2aed60e25021c17e1dd6a)
![{\displaystyle +A_{3}a^{3}\operatorname {Cos} .\alpha 3t\operatorname {Cos} .\beta 3u\operatorname {Cos} .\gamma 3v\ldots +\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0da325b63bcf6fd62a762226c15288cd095ded9)
![{\displaystyle A_{1}a\operatorname {Sin} .\alpha t\operatorname {Sin} .\beta u\operatorname {Sin} .\gamma v\ldots +A_{2}a^{2}\operatorname {Sin} .\alpha 2t\operatorname {Sin} .\beta 2u\operatorname {Sin} .\gamma 2v\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d5c65fe26e0b5037575fc05d1223afb3d63dec1)
![{\displaystyle +A_{3}a^{3}\operatorname {Sin} .\alpha 3t\operatorname {Sin} .\beta 3u\operatorname {Sin} .\gamma 3v\ldots +\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f2dcc636d9e741a33584eb5a49298d1a93f3510)
lorsqu’on sait sommer la série infinie
[2]