Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 13/Trigonométrie, article 4

Sommation de diverses séries de sinus et de cosinus d’arcs multiples ; par M. Querret.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 13, 1823 (p. 353-360).

QUESTIONS RÉSOLUES.

Solution des trois problèmes d’analise transcendante
énoncés à la page 247 du présent volume ;

M. Querret, chef d’institution, à St-Malo.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

PROBLÈME. Assigner la somme finie de chacune des trois suites infinies que voici :

1.^o ${\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}-{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {a^{5}\operatorname {Cos} .5x}{5}}-{\frac {a^{7}\operatorname {Cos} .7x}{7}}+\ldots$

2.^o $\operatorname {Cos} .x+{\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}.{\frac {\operatorname {Cos} .5x}{5}}+{\frac {1.3.5}{2.4.6}}.{\frac {\operatorname {Cos} .7x}{7}}+\ldots$

3.^o ${\frac {\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .2x\operatorname {Cos} .2y}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .3x\operatorname {Cos} .3y}{3}}-{\frac {\operatorname {Cos} .4x\operatorname {Cos} .4y}{4}}+\ldots$

Solution. Nous allons déduire la sommation de chacune de ces trois suites du théorème que nous avons établi à la page 107 de ce volume, et que nous rappelons en ces termes :

Si l’on représente par $\operatorname {f} (a)$ la somme de la suite infinie

$A_{0}+A_{1}a+A_{2}a^{2}+A_{3}a^{3}+A_{4}a^{4}+\ldots ,$

dans laquelle $A_{0},A_{1},A_{2},\ldots ,$ sont supposés représenter des coefficiens numériques ; les sommes des deux séries

$A_{0}+A_{1}a\operatorname {Cos} .x+A_{2}a^{2}\operatorname {Cos} .2x+A_{3}a^{3}\operatorname {Cos} .3x+A_{4}a^{4}\operatorname {Cos} .4x+\ldots$

$A_{0}+A_{1}a\operatorname {Sin} .x\ +A_{2}a^{2}\operatorname {Sin} .2x\ +A_{3}a^{3}\operatorname {Sin} .3x\ +A_{4}a^{4}\operatorname {Sin} .4x\ +\ldots$

seront respectivement

${\frac {\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]+\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]}{2}},$

et

${\frac {\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]-\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]}{2{\sqrt {-1}}}}.$

Cela posé, on a

${\frac {a}{1}}-{\frac {a^{3}}{3}}+{\frac {a^{5}}{5}}-{\frac {a^{7}}{7}}+{\frac {a^{9}}{9}}-\ldots =\operatorname {Arc} .(\operatorname {Tang} .=a),$

donc 1.^o la somme de la série

${\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}-{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {a^{5}\operatorname {Cos} .5x}{5}}-{\frac {a^{7}\operatorname {Cos} .7x}{7}}+\ldots$

sera

${\frac {\operatorname {Arc} .\left[\operatorname {Tang} .=a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]+\operatorname {Arc} .\left[\operatorname {Tang} .=a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]}{2}}$

Soient $M$ le premier de ces arcs et $N$ le second, on aura pour la somme de la série ${\frac {M+N}{2}},$ et de plus

$\operatorname {Tang} .M=a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right),$

$\operatorname {Tang} .N=a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\,;$

d’où

$\operatorname {Tang} .M+\operatorname {Tang} .N=2a\operatorname {Cos} .x,$

d’où encore

$1-\operatorname {Tang} .M\operatorname {Tang} .N=1-a^{2}\,;$

donc

$\operatorname {Tang} .(M+N)={\frac {\operatorname {Tang} .M+\operatorname {Tang} .N}{1-\operatorname {Tang} .M\operatorname {Tang} .N}}={\frac {2a\operatorname {Cos} .x}{1-a^{2}}}\,;$

donc

$M+N=\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {2a\operatorname {Cos} .x}{1-a^{2}}}\right)\,;$

donc enfin

${\frac {M+N}{2}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {2a\operatorname {Cos} .x}{1-a^{2}}}\right)$

qui sera conséquemment la somme finie demandée de la première des trois séries infinies proposées.

Si l’on suppose $a=1,$ on a

${\frac {M+N}{2}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .=\infty \right)={\frac {1}{4}}\varpi \,;$

donc, comme on le savait déjà,

${\frac {\varpi }{4}}=\operatorname {Cos} .x-{\frac {\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {\operatorname {Cos} .5x}{5}}-{\frac {\operatorname {Cos} .7x}{7}}+\ldots$

quel que soit $x.$

En second lieu

$a+{\frac {1}{2}}.{\frac {a^{3}}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}.{\frac {a^{5}}{5}}+{\frac {1.3.5}{2.4.6}}.{\frac {a^{7}}{7}}+\ldots =\operatorname {Arc} .(\operatorname {Sin} .=a)\,;$

ainsi qu’il est aisé de s’en assurer, en intégrant par les séries la fonction différentielle

${\frac {\operatorname {d} a}{\sqrt {1-a^{2}}}}=\operatorname {d} .\operatorname {Arc} .(\operatorname {Sin} .=a)\,;$

donc, la, somme de la série

$\operatorname {Cos} .x+{\frac {1}{2}}.{\frac {\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}.{\frac {\operatorname {Cos} .5x}{5}}+{\frac {1.3.5}{2.4.6}}.{\frac {\operatorname {Cos} .7x}{7}}+\ldots$

sera

${\frac {\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .=\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)+\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .=\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)}{2}}.$

Soient $P$ le premier de ces arcs et $Q$ le second ; la somme cherchée sera donc

${\frac {P+Q}{2}},$

et l’on aura

$\operatorname {Sin} .P=\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x,$

$\operatorname {Sin} .Q=\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x,$

d’où

$\operatorname {Cos} .P={\sqrt {-2{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .x}},$

$\operatorname {Cos} .Q={\sqrt {+2{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .x}},$

donc

$\operatorname {Cos} .P\operatorname {Cos} .Q=2\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .x\,;$

on a d’ailleurs

$\operatorname {Sin} .P\operatorname {Sin} .Q=1\,;$

donc

$\operatorname {Cos} .(P+Q)=\operatorname {Cos} .P\operatorname {Cos} .Q-\operatorname {Sin} .P\operatorname {Sin} .Q=2\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .x-1\,;$

donc aussi

$P+Q=\operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .=2\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .x-1),$

et par suite

${\frac {P+Q}{2}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .=2\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .x-1)\,;$

qui est conséquemment la somme finie demandée de la seconde des trois séries infinies proposées.

Si l’on suppose $x=0,$ on a

${\frac {P+Q}{2}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .=-1)={\frac {1}{2}}\varpi \,;$

donc, comme on le savait déjà,

${\frac {1}{2}}\varpi =1+{\frac {1}{2}}.{\frac {1}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}.{\frac {1}{5}}+{\frac {1.3.5}{2.4.6}}.{\frac {1}{7}}+{\frac {1.3.5.7}{2.4.6.8}}.{\frac {1}{9}}+\ldots$

Quant à la troisième série, on peut la mettre sous cette forme

${\frac {1}{2}}\left\{{\begin{array}{l}&{\frac {\operatorname {Cos} .(x+y)}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .2(x+y)}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .3(x+y)}{3}}-{\frac {\operatorname {Cos} .4(x+y)}{4}}+\ldots \\\\+&{\frac {\operatorname {Cos} .(x-y)}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .2(x-y)}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .3(x-y)}{3}}-{\frac {\operatorname {Cos} .4(x-y)}{4}}+\ldots \end{array}}\right\}.$

Or on a, (pag. 114 du présent volume)

${\frac {\operatorname {Cos} .x}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .2x}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .3x}{3}}-{\frac {\operatorname {Cos} .4x}{4}}+\ldots =\operatorname {Log} .2+\operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x,$

c’est-à-dire

${\frac {\operatorname {Cos} .x}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .2x}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .3x}{3}}-{\frac {\operatorname {Cos} .4x}{4}}+\ldots =\operatorname {Log} .2\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x\,;$

en changeant donc, tour à tour $x$ en $x+y$ et $x-y,$ il viendra

${\frac {\operatorname {Cos} .(x+y)}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .2(x+y)}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .3(x+y)}{3}}-{\frac {\operatorname {Cos} .4(x+y)}{4}}+\ldots$

$=\operatorname {Log} .2\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x+y)$

${\frac {\operatorname {Cos} .(x-y)}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .2(x-y)}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .3(x-y)}{3}}-{\frac {\operatorname {Cos} .4(x-y)}{4}}+\ldots$

$=\operatorname {Log} .2\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x-y)$

donc, en prenant la demi-somme,

${\frac {\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .2x\operatorname {Cos} .2y}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .3x\operatorname {Cos} .3y}{3}}$

$-\ldots ={\frac {1}{2}}\left\{\operatorname {Log} .2\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x-y)+\operatorname {Log} .2\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x+y)\right\}$

ou encore

${\frac {\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .2x\operatorname {Cos} .2y}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .3x\operatorname {Cos} .3y}{3}}-\ldots$

$={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .4\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x-y)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x+y)$

mais

$2\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x-y)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x+y)=\operatorname {Cos} .x+\operatorname {Cos} .y$

d’où

$4\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x-y)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x+y)=2\left(\operatorname {Cos} .x+\operatorname {Cos} .y\right)$

donc enfin, la somme finie de la troisième des suites infinies proposées est

${\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .\left(2\operatorname {Cos} .x+2\operatorname {Cos} .y\right).$

Si, au lieu de prendre la demi-somme des deux séries ci-dessus, on prend leur demi-différence, on aura

${\frac {\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y}{1}}-{\frac {\operatorname {Sin} .2x\operatorname {Sin} .2y}{2}}+{\frac {\operatorname {Sin} .3x\operatorname {Sin} .3y}{3}}-\ldots$

$={\frac {1}{2}}\left\{\operatorname {Log} .2\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x-y)-\operatorname {Log} .2\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x+y)\right\}\,;$

ou encore

${\frac {\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y}{1}}-{\frac {\operatorname {Sin} .2x\operatorname {Sin} .2y}{2}}+{\frac {\operatorname {Sin} .3x\operatorname {Sin} .3y}{3}}-\ldots$

$={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .{\frac {\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x-y)}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x+y)}}.$

Or,

${\frac {\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x-y)}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x+y)}}={\frac {2\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x-y)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x+y)}{2\operatorname {Cos} .^{2}{\frac {1}{2}}(x+y)}}={\frac {\operatorname {Cos} .x+\operatorname {Cos} .y}{1+\operatorname {Cos} .(x+y)}}\,;$

donc enfin

${\frac {\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y}{1}}-{\frac {\operatorname {Sin} .2x\operatorname {Sin} .2y}{2}}+{\frac {\operatorname {Sin} .3x\operatorname {Sin} .3y}{3}}-\ldots$

$={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .{\frac {\operatorname {Cos} .x+\operatorname {Cos} .y}{1+\operatorname {Cos} .(x+y)}}.$

Si, dans ce résultat et dans le précédent, on fait $y=x,$ ils deviendront

${\frac {\operatorname {Cos} .^{2}x}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .^{2}2x}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .^{2}3x}{3}}-{\frac {\operatorname {Cos} .^{2}4x}{4}}+\ldots ={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .4\operatorname {Cos} .x,$

${\frac {\operatorname {Sin} .^{2}x}{1}}-{\frac {\operatorname {Sin} .^{2}2x}{2}}+{\frac {\operatorname {Sin} .^{2}3x}{3}}-{\frac {\operatorname {Sin} .^{2}4x}{4}}+\ldots ={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .{\frac {2\operatorname {Cos} .x}{1+\operatorname {Cos} .2x}}.$

En résumé, si nous faisons abstraction des divers résultats particuliers auxquels nous sommes parvenus, et qui n’avalent pas été demandés, nous aurons

1.^o ${\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {2a\operatorname {Cos} .x}{1-a^{2}}}\right)={\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}-{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {a^{5}\operatorname {Cos} .5x}{5}}-\ldots$

2.^o ${\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .=2\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .x-1\right)=\operatorname {Cos} .x+{\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}.{\frac {\operatorname {Cos} .5x}{5}}+\ldots$

3.^o ${\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .2\left(\operatorname {Cos} .x+\operatorname {Cos} .y\right)={\frac {\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .2x\operatorname {Cos} .2y}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .3x\operatorname {Cos} .3y}{3}}-\ldots$

résultats qu’au surplus on peut présentement vérifier d’un grand nombre de manières diverses.