QUESTIONS RÉSOLUES.
Solution des trois problèmes d’analise transcendante
énoncés à la page 247 du présent volume ;
M. Querret, chef d’institution, à St-Malo.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
PROBLÈME. Assigner la somme finie de chacune des trois suites infinies que voici :
1.
o
2.
o
3.
o
Solution. Nous allons déduire la sommation de chacune de ces trois suites du théorème que nous avons établi à la page 107 de ce volume, et que nous rappelons en ces termes :
Si l’on représente par la somme de la suite infinie
dans laquelle sont supposés représenter des coefficiens numériques ; les sommes des deux séries
seront respectivement
et
Cela posé, on a
donc 1.o la somme de la série
sera
Soient le premier de ces arcs et le second, on aura pour la somme de la série et de plus
d’où
d’où encore
donc
donc
donc enfin
qui sera conséquemment la somme finie demandée de la première des trois séries infinies proposées.
Si l’on suppose on a
donc, comme on le savait déjà,
quel que soit
En second lieu
ainsi qu’il est aisé de s’en assurer, en intégrant par les séries la fonction différentielle
donc, la, somme de la série
sera
Soient le premier de ces arcs et le second ; la somme cherchée sera donc
et l’on aura
d’où
donc
on a d’ailleurs
donc
donc aussi
et par suite
qui est conséquemment la somme finie demandée de la seconde des trois séries infinies proposées.
Si l’on suppose on a
donc, comme on le savait déjà,
Quant à la troisième série, on peut la mettre sous cette forme
Or on a, (pag. 114 du présent volume)
c’est-à-dire
en changeant donc, tour à tour en et il viendra
donc, en prenant la demi-somme,
ou encore
mais
d’où
donc enfin, la somme finie de la troisième des suites infinies proposées est
Si, au lieu de prendre la demi-somme des deux séries ci-dessus, on prend leur demi-différence, on aura
ou encore
Or,
donc enfin
Si, dans ce résultat et dans le précédent, on fait ils deviendront
En résumé, si nous faisons abstraction des divers résultats particuliers auxquels nous sommes parvenus, et qui n’avalent pas été demandés, nous aurons
1.
o
2.
o
3.
o
résultats qu’au surplus on peut présentement vérifier d’un grand nombre de manières diverses.