QUESTIONS RÉSOLUES.
Solution du problème proposé dans la note de la
page 231 du I.er volume de ce recueil ;
Par un Abonné.
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Problème. Par deux points donnés, sur un plan, faire passer une courbe telle que la portion de ce plan comprise entre cette courbe, les ordonnées des deux points donnés et l’axe des abscisses, soit équivalente à un quarré donné ?
Solution. Avant de nous occuper de cette question en particulier, occupons-nous d’une question plus générale. Soit
une fonction donnée quelconque de la variable indépendante
de sa fonction
et des coefficiens différentiels de cette dernière. Supposons que la relation entre
et
ne soit pas déterminée, et proposons-nous de trouver quelle ievrait être cette relation, pour que l’intégrale
prise entre deux limites données
et
fût égale à une quantité donnée
Soit
une fonction de
dont la valeur, prise entre les limites
et
soit égale à
c’est-à-dire, telle qu’en représentant respectivement par
et
ce qu’elle devient lorsqu’on y fait successivement
on ait
en posant
![{\displaystyle V={\frac {\operatorname {d} X}{\operatorname {d} x}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/789c6818def70ffd2870cfe6111edd00634a2dde)
(1)
on aura
![{\displaystyle \int V\operatorname {d} x=\int {\frac {\operatorname {d} X}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} x=\int \operatorname {d} X=X+{\rm {Const.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/135dc942bf3177f1a72d398ff045537c262cea86)
qui prise, en effet, entre
et
devient égale à
comme l’exige le problème. Or, l’équation (1) est une équation différentielle ou non, qui établit entre
et
la relation demandée.
Le problème se réduit donc à assigner la forme de la fonction
or, il est aisé de voir que cette fonction satisfera généralement aux conditions auxquelles elle doit être assujettie, en posant
![{\displaystyle X={\frac {k^{2}\operatorname {F} (x)}{\operatorname {F} (a)-\operatorname {F} (g)}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/089fe7d06cf63026e489193e387a9dbf4226041b)
(2)
désignant, une fonction tout-à-fait arbitraire, et même discontinue si l’on veut. On conclut de là, en effet,
![{\displaystyle A={\frac {k^{2}\operatorname {F} (a)}{\operatorname {F} (a)-\operatorname {F} (g)}},\qquad G={\frac {k^{2}\operatorname {F} (g)}{\operatorname {F} (a)-\operatorname {F} (g)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8caabe9c9c93c8046d90ab7ee40a7a1ff300c267)
d’où
![{\displaystyle A-G=k^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0501af091a21a43d2468c24444baebc727e22bfc)
ainsi qu’il était demandé.
On aura donc ainsi
![{\displaystyle V={\frac {\operatorname {d} X}{\operatorname {d} x}}={\frac {k^{2}\operatorname {F} '(x)}{\operatorname {F} (a)-\operatorname {F} (g)}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf73f76a24f7eb047c5f5a54f30028772758abbd)
(3)
désignant, suivant l’usage, la dérivée de
il ne s’agira donc que d’intégrer cette dernière, si toutefois elle est différentielle, pour obtenir la relation cherchée.
Pour appliquer présentement ces principes à la résolution de la question proposée, soient
les deux points donnés, par lesquels doit passer la courbe cherchée, et soit
le quarré auquel doit être équivalent l’espace compris entre cette courbe, les ordonnées des deux points donnés et l’axe des
Supposons, en premier lieu, qu’on n’exige pas que la courbe passe par ces deux points, mais seulement qu’elle se termine à leurs ordonnées, considérées comme des droites indéfinies ; la question se trouvera donc ainsi réduite à trouver la relation entre
et
qui rend égale à
l’intégrale
prise entre les limites
et
or, on a ici
l’équation de la courbe cherchée sera donc, par la formule (3),
![{\displaystyle y={\frac {k^{2}\operatorname {F} '(x)}{\operatorname {F} (a)-\operatorname {F} (g)}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d1b52914762ad6a3b748819cc43fa224b542156)
(4)
Il ne s’agit plus présentement que de profiter de l’indétermination de la fonction
pour assujettir la courbe à passer par les points
Pour le faire de la manière la plus générale, soit posé
![{\displaystyle \operatorname {F} (x)=M\phi (x)+N\psi (x)+P\chi (x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbcb593609b28d5dca39b9c14a5248b0f9771207)
et
étant des constantes arbitraires ; on aura ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {F} (x)=M\phi '(x)+N\psi '(x)+P\chi '(x),\\&\operatorname {F} (a)=M\phi \,\ (a)+N\psi \,\ (a)+P\chi \,\ (a),\\&\operatorname {F} (g)=M\phi \,\ (g)+N\psi \,\ (g)+P\chi \,\ (g),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c3e02cb67107690d78c471a2df5b1ba1adc705e)
d’où
![{\displaystyle \operatorname {F} (a)-\operatorname {F} (g)=M\left[\phi (a)-\phi (g)\right]+N\left[\psi (a)-\psi (g)\right]+P\left[\chi (a)-\chi (g)\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c83a69e744a0a5af873c29ccb46226267685a15d)
mettant donc toutes ces valeurs dans la formule (4), chassant le dénominateur ; transposant et ordonnant par rapport aux constantes, il viendra
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&M\left\{\left[\phi (a)-\phi (g)\right]y-k^{2}\phi '(x)\right\}\\+&N\left\{\left[\psi (a)-\psi (g)\right]y-k^{2}\psi '(x)\right\}\\+&P\left\{\left[\chi (a)-\chi (g)\right]y-k^{2}\chi '(x)\right\}\end{aligned}}\right\}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bed1d4128dbaf624a676009751c11dc3a185e426)
exprimant ensuite que les coordonnées des deux points
satisfont à cette dernière équation, il viendra
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&M\left\{\left[\phi (a)-\phi (g)\right]b-k^{2}\phi '(a)\right\}\\+&N\left\{\left[\psi (a)-\psi (g)\right]b-k^{2}\psi '(a)\right\}\\+&P\left\{\left[\chi (a)-\chi (g)\right]b-k^{2}\chi '(a)\right\}\\\end{aligned}}\right\}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8287ebcb2ddac79333ef61ea5193a4f5f0618d53)
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&M\left\{\left[\phi (a)-\phi (g)\right]h-k^{2}\phi '(g)\right\}\\+&N\left\{\left[\psi (a)-\psi (g)\right]h-k^{2}\psi '(g)\right\}\\+&P\left\{\left[\chi (a)-\chi (g)\right]h-k^{2}\chi '(g)\right\}\end{aligned}}\right\}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bdb7559a86fb31be8e7cb79a0bb6820f32d58b7)
éliminant donc, entre ces deux dernières et la précédente, deux quelconques des trois constantes
la troisième disparaîtra d’elle-même, et il viendra, pour l’équation de la courbe cherchée,
![{\displaystyle \left\{(\phi a-\phi g)(\psi 'a.\chi 'g-\psi 'g.\chi 'a)+(\psi a-\psi g)(\chi 'a.\phi 'g-\chi 'g.\phi 'a)\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeeda64b66d18df5e41cdc51d70238a4a6e293fb)
![{\displaystyle \left.+(\chi a-\chi g)(\phi 'a.\psi 'g-\phi 'g.\psi 'a)\right\}y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fd9869b3fd33b7348fbda9c27b68f75a35417e3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&=\left\{k^{2}(\psi 'a.\chi 'g-\psi 'g.\chi 'a)+(\psi a-\psi g)(h\chi 'a-b\chi 'g)+(\chi a-\chi g)(b\psi 'g-h\psi 'a)\right\}\phi 'x\\&+\left\{k^{2}(\chi 'a.\phi 'g-\chi 'g.\phi 'a)+(\chi a-\chi g)(h\phi 'a-b\phi 'g)+(\phi a-\phi g)(b\chi 'g-h\chi 'a)\right\}\psi 'x\\&+\left\{k^{2}(\phi 'a.\psi 'g-\phi 'g.\psi 'a)+(\phi a-\phi g)(h\psi 'a-b\psi 'g)+(\psi a-\psi g)(b\phi 'g-h\phi 'a)\right\}\chi 'x\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae9906297871f6ffcdfeab42b688ee60972d87a4)
équation qui, aux notations près, est exactement la même que celle de l’endroit cité.