ANNALES
DE MATHÉMATIQUES
PURES ET APPLIQUÉES.
ANALISE TRANSCENDANTE.
Essai d’une méthode générale, servant à intégrer, avec une approximation illimitée, toute équation différentielle à deux variables ;
Par
M. le professeur
Kramp, correspondant de l’académie royale
des sciences, doyen de la faculté des sciences de Strasbourg,
Chevalier de l’Ordre royal de la Légion d’honneur.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Dans plusieurs précédens mémoires[1], nous avons enseigné à construire des formules à l’aide desquelles on peut intégrer, entre deux limites données et avec tout le degré d’approximation qu’on peut désirer, toute fonction différentielle d’une seule variable : nous nous proposons de montrer ici comment, en suivant l’esprit de la même méthode, on peut parvenir à intégrer, avec le même degré d’approximation, toute équation différentielle d’ordre et de degré quelconque, entre deux variables
Ce sujet semble devoir mériter d’autant plus d’intérêt que notre indigence, relativement à cette branche d’analise, n’est malheureusement que trop bien connue : que les équations généralement intégrables se réduisent à un très-petit nombre de classes ; et qu’encore leurs intégrales ne sont, pour la plupart, que des équations compliquées et transcendantes, dont on ne saurait, le plus souvent, tirer aucun parti, pour obtenir la valeur de l’une des variables en fonction de l’autre.
Soit une équation différentielle quelconque, représentée généralement par
![{\displaystyle \mathrm {F} \left(x,y,{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}},{\frac {\operatorname {d^{2}} y}{\operatorname {d} x^{2}}},{\frac {\operatorname {d^{3}} y}{\operatorname {d} x^{3}}}\ldots ,{\frac {\operatorname {d} ^{n}y}{\operatorname {d} x^{n}}}=0\right)\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64fa3d1d3cdb04198244507a6f4af3584d20c443)
(1)
si son intégrale pouvait être obtenue, et si cette intégrale était résoluble par rapport à
on en tirerait, pour cette variable, une expression de cette forme
![{\displaystyle y=f\left(x,C_{1},C_{2},C_{3},\ldots C_{n}\right),\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7d4cf37609f4e2d04326246dc3a7146050ebc7)
(2)
laquelle, après avoir déterminé les constantes
, par
conditions distinctes, prendrait cette nouvelle forme
![{\displaystyle y=\varphi \left(x\right)\,;\qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3b78726dee15b2ef6be0d81bb83df1b02d15343)
(3)
et alors seulement il deviendrait possible d’assigner, soit exactement, soit par approximation, la valeur
de
, répondant à une valeur quelconque
attribuée à
cette valeur serait, en effet,
![{\displaystyle b=\varphi \left(a\right).\qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/229120ce747146f070e55d062c0ac39c4b1adb7b)
(4)
L’objet que nous nous proposons ici est de parvenir à cette valeur
de
sans passer par le double intermédiaire de l’intégration de l’équation (1) et de la résolution de son intégrale par rapport à ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Observons d’abord, avant d’entrer en matière, que ce que nous dirons ici du cas où c’est
que l’on veut obtenir en fonction de
doit s’entendre également du cas où ce serait au contraire
qu’il s’agirait de déterminer en fonction de
attendu que, par des formules connues, on peut, dans l’équation (1), changer l’hypothèse relative à la variable indépendante et traiter ensuite
par rapport à
dans l’équation résultante, comme nous allons traiter, dans celle-ci,
par rapport à
Ces choses ainsi entendues, considérons l’équation (3) ; cette équation exprime une certaine courbe, dont l’ordonnée
répondant à l’abscisse donnée
est l’inconnue de notre problème. Considérons sur cette courbe un arc très-petit coupé à peu près à son milieu par l’ordonnée
Plus cet arc sera petit, et plus il deviendra permis de le considérer comme se confondant sensiblement avec l’arc d’une certaine courbe parabolique ayant une équation de la forme
![{\displaystyle y=A+Bx+Cx^{2}+\ldots Rx^{m}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f62eb39503e8bf60f80dbab37310ea3431e9cf75)
(5)
et même, si la courbe (3) était connue, rien ne serait plus facile que d’assigner les valeurs des coefficiens
propres à satisfaire à cette condition ; on voit d’ailleurs que, plus le nombre arbitraire
ou le nombre
des coefficiens serait considérable, et plus aussi les deux courbes approcheraient de coïncider exactement à une petite distance de part et d’autre de l’ordonnée
Alors donc, en faisant
dans l’équation (5), la valeur qui en résulterait pour
pourrait être sensiblement prise pour l’ordonnée cherchée ![{\displaystyle b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef051eb30c89e5493d672f6479566c673b0890a)
Voyons donc si nous ne pourrions pas parvenir à déterminer les coefficiens de l’équation (5). D’abord, ces coefficiens doivent être tels que les conditions relatives à la détermination des constantes se trouvent satisfaites ; ce qui établira déjà entre eux un nombre
de relations. Il ne s’agira donc plus que d’en trouver
autres.
De l’équation (5) on tire
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=&\ \ B+\ \ 2Cx+\ \ 3Dx^{2}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +mRx^{m-1},\\\\{\frac {\operatorname {d^{2}} y}{\operatorname {d} x^{2}}}=&2C+\ \ 6Dx+12Ex^{2}+\ldots \ldots \ldots +m(m-1)Rx^{m-2},\\\\{\frac {\operatorname {d^{3}} y}{\operatorname {d} x^{3}}}=&6D+24Ex+60Fx^{2}+\ldots +m(m-1)(m-2)Rx^{m-3},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87253403db7bba4aefa6fd108dc0b0c75fd099bb)
(6)
en substituant ces valeurs dans l’équation (1), elle prendra la forme
![{\displaystyle \psi (x,A,B,C\ldots R)=0\qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8acfe13ab6ec03993a9640b201482756a8afa64a)
(7)
Or, il est clair, par ce qui précède, que, si les coefficiens inconnus
avaient été convenablement déterminés, cette dernière équation serait identique, ou du moins à très-peu près, pour toutes les valeurs de
peu différentes de la valeur
en exprimant donc qu’elle devient telle, en effet, pour de pareilles valeurs, au nombre de
on se procurera, entre les coefficiens
le nombre d’équations nécessaires pour compléter leur détermination.
Comme le nombre
est arbitraire, et assujetti seulement à n’être pas trop petit ; on pourra toujours le prendre tel que le nombre
soit un nombre impair
alors, ce qu’il y aura de mieux à faire, sera de mettre successivement pour
dans (7) les nombres ![{\displaystyle a,a\pm z,a\pm 2z,a\pm 3z,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92f638642874156fdd5aac164df04df4bbccc10c)
étant une fraction arbitraire, mais très-petite ; on conçoit en effet qu’en considérant ainsi des points situés de part et d’autre de l’ordonnée
et très-rapprochés de cette ordonnée, on obtiendra un plus haut degré de précision.
On peut, au surplus, simplifier le procédé, en changeant d’abord dans l’équation proposée (1),
en
alors, il suffira de substituer les nombres
à la place de
dans l’équation (7), et de chercher simplement la valeur A de
qui répond à
Et, comme l’exactitude de cette valeur dépendra, en grande partie, de la petitesse de
ce qu’il y aura de mieux à faire sera d’y supposer
Il est entendu, au surplus, que, dans la recherche des conditions relatives à la détermination des constantes, il faudra également avoir égard au changement de
en
Comme, dans le cas où l’équation (1) se trouverait d’un degré un peu élevé, l’équation (7), renfermant alors des puissances des coefficiens ![{\displaystyle A,B,C,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d10da99bdcf75812adc8a1aea123c3e420ca892b)
pourrait être incommode pour la détermination de ces coefficiens ; on ferait bien de différentier une ou plusieurs fois l’équation (1), et de combiner ses différentielles tant entre elles qu’avec elle-même, de manière à obtenir l’équation la plus simple possible, laquelle serait alors substituée à cette équation (1). Il faudrait seulement, aux conditions déjà établies pour la détermination des constantes, en ajouter d’autres en nombre égal à l’excès de l’ordre de différentielle de la nouvelle équation sur l’ordre de l’équation (1).
Enfin, notre procédé pourra également être employé à résoudre, par approximation, les équations transcendantes à deux variables non résolubles immédiatement. Il ne faudra pour cela que les différentier un nombre de fois suffisant pour qu’on puisse, entre elles et leurs différentielles, éliminer toutes les transcendantes. Le résultat de l’élimination sera alors l’équation qu’il faudra prendre pour l’équation (1).
Il ne nous reste plus présentement qu’à appliquer notre procédé à des exemples ; mais, afin de faire mieux apprécier les services qu’on peut s’en promettre, nous choisirons de préférence des équations qu’on sache intégrer, et dont l’intégrale soit connue. En outre, afin qu’on puisse juger de l’influence du nombre des termes admis dans la valeur hypothétique de
sur l’exactitude de la formule finale, nous ferons croître ce nombre par degré, en le prenant d’abord fort petit, et en l’augmentant ensuite successivement.
PROBLÈME I. Un nombre étant donné, trouver son logarithme naturel ?
Solution. Soient
le nombre dont il s’agit, et
son logarithme cherché ; l’équation du problème sera
![{\displaystyle y=\operatorname {Log} (x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8754a6ee77806767f19869b53c6dec3e9aa28f9)
ou, en différentiant,
![{\displaystyle x{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=1\,;\qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c198b21f32f186c5452d6a4e03efbeb38105bb2d)
(1)
et il s’agira de déterminer, au moyen de cette dernière équation, la valeur de
qui répond à une valeur quelconque
de
en observant d’ailleurs que la constante que comporte son intégrale doit être déterminée par cette considération qu’à la valeur
doit répondre la valeur ![{\displaystyle y=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9bd6ae8686fc84f378d56cc491c7113fb947cd5)
Changeons d’abord
en
cela changera
en
et notre équation deviendra
![{\displaystyle (a+zx){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}-z=0.\qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cbaae0a591f01206e8d08698d92a41f9030b77a)
(1)
où la constante devra être déterminée par cette considération qu’à
ou
devra répondre
et il s’agira simplement de déterminer, au moyen de cette dernière équation, la valeur de
qui répond à ![{\displaystyle x=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71320d636c7a43546bf4e94edb94649c5b2e82b9)
Soit posé d’abord simplement
![{\displaystyle y=A+Bx,\qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/990fdfed1859c994c2453fe62c62785a31c2fb58)
(5)
de manière que A soit le nombre cherché ou
nous en déduirons
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=B\,;\qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4f2a946973956c8d7275d61846b6087020eb184)
(6)
substituant ces valeurs dans l’équation (1), elle deviendra
![{\displaystyle (a+zx)B-z=0\,;\qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc9089780d2704b407838018eaca13eebde390e0)
(7)
dans laquelle faisant la supposition unique
nous aurons
;
la condition relative à la constante donnera ensuite
;
éliminant donc
entre ces deux équations, il viendra
![{\displaystyle A={\frac {a-1}{a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f641443540997f86b6db34bb0e5ac7bd1fa2f8a4)
résultat où
disparaît de lui-même ; changeant donc
en
nous aurons, pour première approximation,
![{\displaystyle \operatorname {Log} .x={\frac {a-1}{a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cab3f14a8ddef1edc26a23c8821c59b8add8c32)
Cette formule est exacte pour les logarithmes de zéro et de l’unité, et même pour les logarithmes de tous les nombres très-voisins de l’unité ; elle donne tous les autres beaucoup trop faibles, et d’autant trop faibles que les nombres sont plus grands ; ce qui s’aperçoit sur-le-champ, en remarquant qu’elle donne l’unité pour le logarithme de l’infini, lequel, comme on sait, doit être lui-même infini.
Posons, en second lieu,
![{\displaystyle y=A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b973fab3020109d298f1dc8bd0afa9a73fc5ada)
(5′)
d’où
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=B+2Cx+3Dx^{2}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e2fb76f463db742eebbfbbebbf0008b8172b520)
(6′)
en substituant dans l’équation (1), elle deviendra
![{\displaystyle (a+zx)\left(B+2Cx+3Dx^{2}\right)-z=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91f2d1fd32173521c6af98cd7bbb8e6bd8e9314b)
ou, en ordonnant par rapport à ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
![{\displaystyle (aB-z)+(Bz+2aC)x+(2Cz+3aD)x^{2}+3Dzx^{3}=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0d206fbe8b3654be759aa894dc1064b12a8c1d9)
(7′)
En mettant successivement pour
dans cette équation, les valeurs
on obtient
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&(aB-z)-(Bz+2aC)+(2Cz+3aD)-3Dz,\\\\0=&(aB-z),\\\\0=&(aB-z)+(Bz+2aC)+(2Cz+3aD)+3Dz,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7e5479005cd9b7a83f9f0543e3f434e15d9d83e)
Prenant les différences consécutives de ces équations, nous obtiendrons ces deux-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&(Bz+2aC)-(2Cz+3aD)+3Dz,\\\\0=&(Bz+2aC)+(2Cz+3aD)+3Dz.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9adbf1ae504c399181a76a10d89a59174f870391)
Prenant la demi-différence de ces dernières, nons aurons
![{\displaystyle 2Cz+3aD=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9978aea7b3df3d96380a7c621718fb22f2110ec)
d’où, en remontant à celles qui précèdent, nous conclurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}Bz+2aC=&-3Dz,\\\\-z+aB=&0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d666b404c2ce78e6e44dde14c0264b8dd7ad0fb0)
Cela donne
![{\displaystyle B=+{\frac {z}{a}},\qquad C=-{\frac {z^{2}}{2(a^{2}-z^{2})}},\qquad D=+{\frac {z^{3}}{3(a^{2}-z^{2})}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a093b0fc600600bf8f51749e7e5e810b31d95794)
mais la condition relative à la constante donne
![{\displaystyle A={\frac {a-1}{z}}B-{\frac {(a-1)^{2}}{z^{2}}}C+{\frac {(a-1)^{3}}{z^{3}}}D\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e94098090eb39134552556106934f4a2d97c1965)
substituant donc les valeurs ci-dessus ; il viendra
![{\displaystyle A={\frac {a-1}{a}}+{\frac {(a-1)^{2}}{2(a^{2}-z^{2})}}+{\frac {(a-1)^{3}}{3(a^{2}-z^{2})}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6491b51217e40c716281156668fb6feabf3a623a)
faisant enfin
et changeant
en
nous aurons
![{\displaystyle \operatorname {Log} .x={\frac {x-1}{x}}+{\frac {(x-1)^{2}}{2x^{2}}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3x^{3}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/685ecf25f4f6380d17e84f89189d1e911aaf9c71)
formule plus exacte que la précédente ; mais, comme elle, seulement pour les valeurs de
peu différentes de l’unité.
Posons encore
![{\displaystyle y=A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}+Ex^{4}+Fx^{5}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7e8612669eb0d2165edfbe3dea312f8e32517d7)
(5″)
d’où
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=B+2Cx+3Dx^{2}+4Ex^{3}+5Fx^{4}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a90f7f6bee2c7e5790586637654debbe4d3d662)
(6″)
en substituant dans l’équation (1), elle deviendra
![{\displaystyle (a+zx)\left(B+2Cx+3Dx^{2}+4Ex^{3}+5Fx^{4}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0ea6934dd9a32fbb42452f80256108117640cab)
ou, en développant, ordonnant par rapport à
et posant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}aB-z=&A',\qquad &3Dz+4aE=&D',\\Bz+2aC=&B',&4Ez+5aF=&E',\\2Cz+3aD=&C',&5Fz=&F'\,;\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/238dc167b4b80451ac81b518bfa1588541c1716e)
![{\displaystyle 0=A'+B'x+C'x^{2}+D'x^{3}+E'x^{4}+F'x^{5}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7305ca8ff66b9b6f86e388a695833466f29230ff)
(7″)
mettant successivement pour
dans cette équation, les valeurs ![{\displaystyle -2,-1,0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5758d28faab7cc399336e47aceb776373266dfb8)
il viendra
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{6}0=&A'&-&2B'&+&4C'&-&8D'&+&16E'&-&32F',\\0=&A'&-&\ \ B'&+&\ \ C'&-&\ \ D'&+&\quad E'&-&\quad F',\\0=&A',\\0=&A'&+&\ \ B'&+&\ \ C'&+&\ \ D'&+&\quad E'&+&\quad F',\\0=&A'&+&2B'&+&4C'&+&8D'&+&16E'&+&32F'\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfff9549ee3b9288d0eb766260025520ee24ac4d)
en prenant les différences consécutives, nous aurons
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{6}0=&B'&-&3C'&+&7D'&-&15E'&+&31F',\\0=&B'&-&\ \ C'&+&\ \ D'&-&\quad E'&+&\quad F',\\0=&B'&+&\ \ C'&+&\ \ D'&+&\quad E'&+&\quad F',\\0=&B'&+&3C'&+&7D'&+&15E'&+&31F'\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c112888338feecc1362ffbef5e08d60e6a24c128)
prenant la moitié des différences consécutives de celles-ci, nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&C'-3D'+7E'-15F',\\0=&C'\qquad \quad +\ \ E',\\0=&C'+3D'+7E'+15F',\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2030cf50665dd8019cf3d593eb849dcdca5293e5)
prenant le tiers des différences consécutives de ces dernières, nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&D'-2E'+5F',\\0=&D'+2E'+5F',\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac772b4b684964c14119727de45aed641932b815)
prenant enfin le quart de la différence de ces deux-ci, il viendra
![{\displaystyle E'=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b18a17de99bafb38d93aae8b41cebe9aff48aba8)
d’où, en remontant
![{\displaystyle {\begin{aligned}&D'=-5F',\\&C'=0,\\&B'=+4F',\\&A'=0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a51ea541ef436cd19a0967baa5830f61fa4d33fc)
remettant pour ces lettres les quantités dont elles sont le symbole, nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}4Ez+5aF=&0,\\3Dz+4aE=&-25Fz,\\2Cz+3aD=&0,\\Bz+2aC=&+20Fz,\\-z+\ \,aB=&0\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b23114674e05b6d4d0e06603bf9f662c4183b589)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}B=&+{\frac {z}{a}}\\C=&-{\frac {z^{2}\left(a^{2}-5z^{2}\right)}{2\left(a^{4}-5a^{2}z^{2}+4z^{4}\right)}},\\D=&+{\frac {z^{3}\left(a^{2}-5z^{2}\right)}{3a\left(a^{4}-5a^{2}z^{2}+4z^{4}\right)}},\\E=&-{\frac {z^{4}}{4\left(a^{4}-5a^{2}z^{2}+4z^{4}\right)}},\\F=&+{\frac {z^{5}}{5a\left(a^{4}-5a^{2}z^{2}+4z^{4}\right)}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e722ba01054bf35627b9237ab4bf8c3aec6461f)
mais, par la condition qui détermine la constante, on a
![{\displaystyle A={\frac {a-1}{z}}B-{\frac {(a-1)^{2}}{z^{2}}}C+{\frac {(a-1)^{3}}{z^{3}}}D-{\frac {(a-1)^{4}}{z^{4}}}E+{\frac {(a-1)^{5}}{z^{5}}}F\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/940510cc6faf7b8b13c4c9a61a1a5c3d11d569b2)
substituant donc, il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}A=&{\frac {a-1}{a}}+{\frac {(a-1)^{2}\left(a^{2}-5z^{2}\right)}{2\left(a^{4}-5a^{2}z^{2}+4z^{4}\right)}}+{\frac {(a-1)^{3}\left(a^{2}-5z^{2}\right)}{3a\left(a^{4}-5a^{2}z^{2}+4z^{4}\right)}}\\&+{\frac {(a-1)^{4}}{4\left(a^{4}-5a^{2}z^{2}+4z^{4}\right)}}+{\frac {(a-1)^{5}}{5a\left(a^{4}-5a^{2}z^{2}+4z^{4}\right)}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2732d25f5dadbfe3bf8693a2ab6473972c9c6523)
faisant enfin
et changeant ensuite
en
nous aurons
![{\displaystyle \operatorname {Log} .x={\frac {x-1}{x}}+{\frac {(x-1)^{2}}{2x^{2}}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3x^{3}}}+{\frac {(x-1)^{4}}{4x^{4}}}+{\frac {(x-1)^{5}}{5x^{5}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56ef8c8dc7a4542d2a985d0a0b7fcde251d92dc6)
formule plus approchée encore que les précédentes ; mais toujours pour des valeurs de
peu différentes de l’unité.
Il n’est pas nécessaire d’aller plus loin pour être conduit à soupçonner que, si on admettait une infinité de termes dans la valeur hypothétique de
auquel cas le procédé pourrait passer pour
rigoureux, on aurait
![{\displaystyle \operatorname {Log} .x={\frac {x-1}{x}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-1}{x}}\right)^{2}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {x-1}{x}}\right)^{3}+{\frac {1}{4}}\left({\frac {x-1}{x}}\right)^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc67a19ac3f3e1a3caa06f36fa0e4897f69f1d3)
![{\displaystyle +{\frac {1}{5}}\left({\frac {x-1}{x}}\right)^{5}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6410ec50b32cbb87e7d3dba80ec1aa24b4fa4b12)
or, cette valeur est en effet exacte ; car si l’on y fait
![{\displaystyle {\frac {x-1}{x}}=-t\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a5e42b7bc65eb7cf6b25a229a8bde31a477d293)
d’où
![{\displaystyle \quad x={\frac {1}{1+t}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a64effd13c25a7ca7fdf7721bcd9ff7da4560a3)
elle devient, en substituant et changeant les signes
![{\displaystyle \operatorname {Log} .(1+t)=t-{\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{3}}t^{3}-{\frac {1}{4}}t^{4}+{\frac {1}{5}}t^{5}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef0a6c8cd8c11a2282c9996531942e76e543573b)
formule connue.
Ainsi, l’exemple que nous avons choisi, tout en justifiant complètement
notre méthode, montre clairement, en outre, que cette
méthode n’est point seulement un procédé approximatif, mais qu’elle
peut même donner le développement général et rigoureux en série
d’une fonction transcendante proposée.
PROBLÈME II. Trouver le nombre auquel répond un logarithme naturel proposé ?
Solution. Cette question étant l’inverse de la précédente, il faudra,
pour la résoudre, changer
en
et vice versâ, dans l’équation
de la première, qui deviendra ainsi
![{\displaystyle y-{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd26555cc430193e7224d39dd589551d642648a)
ou, en changeant
en ![{\displaystyle a+zx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaa28f43c7edea52125747b8ac3f2e4c0aeccc8b)
![{\displaystyle zy-{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=0,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2be851cf105f1c1ab8ffa00183e3224a73587ea)
(1)
la constante devant ici être déterminée par la considération qu’à
doit répondre
ou ![{\displaystyle x=-{\frac {a}{z}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/198979b8450fc8dc9d3dd81aeb0cacc5a5fb688b)
Posons d’abord simplement
![{\displaystyle y=A+Bx,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc7ca02d25a5644b3586dc506d38b7f8e29e654b)
(5)
d’où
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=B\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f848da15903e297d83f473c96e7d8cb2b485e123)
(6)
en substituant dans l’équation (1), elle deviendra.
![{\displaystyle z(A+Bx)-B=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c545f8c43501f3130834e71b90cad64ffdee6ed9)
ou
![{\displaystyle (Az-B)+Bzx=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce308191e29ebc04f86daea48adf50116d9b8945)
(7)
nous aurons ici à faire la seule supposition
qui nous donnera
![{\displaystyle Az=B\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f934a04f081e06f7a1d44391ab10dc0ff4f506f)
la condition qui doit déterminer la constante donnera, en outre,
![{\displaystyle 1=A-B{\frac {a}{z}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb01e96d044e12265d1a45bbd28f98b6c4c964b7)
éliminant
entre ces deux équations,
disparaîtra de lui-même ; et, en changeant ensuite
en
nous aurons, pour première approximation,
![{\displaystyle e^{x}={\frac {1}{1-x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/791bff0f4f944ea244bad94417a7cf92f528bb5a)
Posons, en second lieu,
![{\displaystyle y=A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b973fab3020109d298f1dc8bd0afa9a73fc5ada)
(5′)
d’où
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=B+2Cx+3Dx^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b7a4caee1401f79db9ca6dabf04db3d9644f241)
(6′)
en substituant dans l’équation (1), elle deviendra,
![{\displaystyle z\left(A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}\right)-\left(B+2Cx+3Dx^{2}\right)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/777a95b9c1af6283539fae14fae09d50d1b25fbc)
ou, en ordonnant,
![{\displaystyle 0=(Az-B)+(Bz-2C)x+(Cz-3D)x^{2}+Dzx^{3}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccb97173986d41764b1dfdbc98ccd8537e2023bd)
(7′)
Nous aurons seulement ici à faire pour
les suppositions
ce qui donnera
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&(Az-B)-(Bz-2C)+(Cz-3D)-Dz,\\0=&(Az-B),\\0=&(Az-B)+(Bz-2C)+(Cz-3D)+Dz\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4d1f35ffb620e49451c551777a613ecf9346538)
prenant les différences consécutives, il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&(Bz-2C)-(Cz-3D)+Dz,\\0=&(Bz-2C)+(Cz-3D)+Dz\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4775a6f003c4ecbd2e526260f1a1cee17f84248)
en prenant la demi-différence de ces deux équations, il viendra
![{\displaystyle Cz-3D=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f0447f6ac12e742eee7189eeb7000ca2de64903)
d’où, en remontant,
![{\displaystyle Bz-2C=-Dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b52effe7a8b4661218c9b2de1bb4d0098596e7c)
![{\displaystyle Az-B=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d82ad151e7b25dce3316bb137fd0154fd328ba4)
ce qui donnera
![{\displaystyle B=Az,\qquad C={\frac {3z^{2}}{6-z^{2}}}A,\qquad D={\frac {z^{3}}{6-z^{2}}}A\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3b248f38fed3cc035139d3774e78390729ae676)
mais, par la condition qui détermine la constante, on a
![{\displaystyle 1=A-B{\frac {a}{z}}+C{\frac {a^{2}}{z^{2}}}-D{\frac {a^{3}}{z^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/303d35b38f5c8095b2e24c4c3caeb393dca44ff1)
en substituant donc, il viendra
![{\displaystyle 1-A\left\{1-a+{\frac {3a^{2}}{6-z^{2}}}-{\frac {a^{3}}{6-z^{2}}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba8831f4c825fd0cc4757a19f17e487ecb69f246)
faisant enfin
et changeant
en
il viendra, pour seconde approximation
![{\displaystyle e^{x}={\frac {1}{1-{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{6}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58a1e6aa1de83f46701d1a7f714397c1156df70a)
Posons encore
![{\displaystyle y=A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}+Ex^{4}+Fx^{5}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7e8612669eb0d2165edfbe3dea312f8e32517d7)
(5″)
d’où
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=B+2Cx+3Dx^{2}+4Ex^{3}+5Fx^{4},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cbd95f7f03b4974e329965f9f39849f5b9a64a1)
(6″)
substituant ces valeurs dans l’équation (1), elle deviendra
![{\displaystyle z\left(A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}+Ex^{4}+Fx^{5}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0dd5709e3e9ed8f146eef76af5dc185e2b29aed)
![{\displaystyle -\left(B+2Cx+3Dx^{2}+4Ex^{3}+5Fx^{4}\right)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23459b4bb20b9a9276f071ad4a70f4e49a196005)
ou en ordonnant et posant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}Az-\ \ B=&A',\qquad &Dz-4E=&D',\\Bz-2C=&B',&Ez+5F=&E',\\Cz-3D=&C',&Fz=&F'\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83e2c1b8f74e1c86c4753a9bab0686eccf4868e6)
![{\displaystyle 0=A'+B'x+C'x^{2}+D'x^{3}+E'x^{4}+F'x^{5}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98ba093e3f9e60574604f46681ac8b7abfc524fb)
(7″)
En supposant successivement, dans cette dernière équation,
![{\displaystyle x=-2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f2001c9bd4853d4c4e6e25b29c5f32ff60ca130)
on en tirera, comme dans le précèdent problème ;
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&A'=0,\\&B'=+4F',\\&C'=0,\\&D'=-5F',\\&E'=0,\end{aligned}}\right\}{\rm {c'est-{\grave {a}}-dire\left\{{\begin{aligned}Az-\ \ B=&0,\\Bz-2C=&+4Fz,\\Cz-3D=&0,\\Dz-4E=&-5Fz,\\Ez-5F=&0\,;\end{aligned}}\right.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2298dac7eb16e4ed69e7a7931575a709b4fb97f)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {B}{z}}=A,\\&{\frac {C}{z^{2}}}={\frac {15\left(4-z^{2}\right)}{2\left(60-15z^{2}+2z^{4}\right)}}A,\\&{\frac {D}{z^{3}}}={\frac {5\left(4-z^{2}\right)}{2\left(60-15z^{2}+2z^{4}\right)}}A,\\&{\frac {E}{z^{4}}}={\frac {5}{2\left(60-15z^{2}+2z^{4}\right)}}A,\\&{\frac {F}{z^{5}}}={\frac {1}{2\left(60-15z^{2}+2z^{4}\right)}}A\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f44c822f010aeac1be68034a7938b069ad2a790)
la condition relative à la constante est d’ailleurs ici
![{\displaystyle 1=A-{\frac {B}{z}}a+{\frac {C}{z^{2}}}a^{2}-{\frac {D}{z^{3}}}a^{3}+{\frac {E}{z^{4}}}a^{4}-{\frac {F}{z^{5}}}a^{5}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e9707f75b6f11776f1d1aee8b794d8ffbd94f17)
en substituant donc, il viendra
![{\displaystyle 1=A\left\{1-a+a^{2}.{\frac {15\left(4-z^{2}\right)}{2\left(60-15z^{2}+2z^{4}\right)}}-a^{3}.{\frac {5\left(4-z^{2}\right)}{2\left(60-15z^{2}+2z^{4}\right)}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebd7063258bab8da413d09a47d8d9a58151e2095)
![{\displaystyle \left.+a^{4}.{\frac {5}{2\left(60-15z^{2}+2z^{4}\right)}}-a^{5}.{\frac {1}{2\left(60-15z^{2}+2z^{4}\right)}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de1ad959c6b4e7ae5f75a7aaa44fab9f2ac6f547)
faisant enfin
tirant la valeur de
et changeant
en
nous aurons, pour troisième approximation,
![{\displaystyle e^{x}={\frac {1}{1-{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{5}}{5!}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f43535150e7cf074eb78a04c67195dc81d55ac36)
Il n’en faut pas davantage pour être conduit à soupçonner que
l’on doit avoir généralement et rigoureusement
![{\displaystyle e^{x}={\frac {1}{1-{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{5}}{5!}}+\ldots }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6669ab1b630f1c6796519d5d5516e26a3a87937a)
et en effet, cette formule est exacte ; car, en y changeant
en
elle devient
![{\displaystyle e^{x}=1+{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a1bcfc92180ebe127c5e6c1dd4b378362c55046)
formule connue.
PROBLÈME III. Trouver le sinus et le cosinus d’un arc donné quelconque ?
Solution. Soit
l’arc donné et
son sinus ; on aura l’équation
![{\displaystyle y=\operatorname {Sin} .x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee90d0c771c80c52831faea334578d1e0c158c46)
d’où, en différentiant,
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=\operatorname {Cos} .x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ca008e76c982b7bfc7272b9538fc95ceb706784)
en prenant la somme des quarrés de ces deux équations, il viendra
![{\displaystyle y^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/388e6d9f231d8c22d4b9c5f85d103c118e802490)
Pour nous délivrer des quarrés, qui embarrasseraient le calcul, différentions de nouveau ; ce qui donnera, en divisant par ![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8baaf829d89112266c952cb4c8d4a382cdf80c75)
![{\displaystyle y+{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71bc47c82cc2a196ebcb2529b8942722a611a5a7)
Les deux constantes que comporte l’intégrale de cette équation doivent être déterminées par cette double considération qu’à
doivent répondre
et ![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a706f961882d2eaed9072dc5c20f6b6b3d789f5b)
Changeons
x
a+zx ; l’équation différentielle deviendra
![{\displaystyle z^{2}y+{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3136c5e11e9c0e99ef7ebc15c123869f35d3d968)
(1)
les deux constantes devront alors être déterminées par cette double considération qu’à
ou à
doivent répondre
et les sinus et cosinus de
seront ce que deviennent
et
respectivement, lorsqu’on suppose ![{\displaystyle x=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71320d636c7a43546bf4e94edb94649c5b2e82b9)
Comme nous avons déjà deux conditions à remplir, relativement
aux constantes ; la supposition la plus simple que nous puissions
admettre est
![{\displaystyle y=A+Bx+Cx^{2}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d884d8c92f839c7281e5440c292c06c3d64ef97)
(5)
d’où
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=B+2Cx,\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=2C\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faf1110825a48641e8b6c748dc93f2c5f726b42b)
(6)
de sorte qu’on aura
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .a=A,\qquad \operatorname {Cos} .a={\frac {B}{z}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/561c01ac00634051f971fee5087d3d9689c85e41)
En substituant dans l’équation (1), elle deviendra
![{\displaystyle z^{2}\left(A+Bx+Cx^{2}\right)+2C=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10746832e9408fc5e9d535d36ea11e47131bdfbf)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle \left(Az^{2}+2C\right)+Bz^{2}+Cz^{2}x^{2}=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5818e2263dfc7be0e13ee52bc6172309e82b8f05)
(7)
Nous ferons ici la seule hypothèse
; laquelle donnera
![{\displaystyle Az^{2}+2C=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b229605d0cc5874a1324daef8d641d8b05895a9)
ou bien
![{\displaystyle A+2{\frac {C}{z^{2}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6ded63f483ece470a7a407f84d4770ed0687c21)
les conditions relatives aux constantes donnent d’ailleurs,
![{\displaystyle 0=A-a{\frac {B}{z}}+a^{2}{\frac {C}{z^{2}}},\qquad 1={\frac {B}{z}}-2a{\frac {C}{z^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b2bbea78eb3f95c6ee98595d0ed54bc85eab872)
éliminant donc
entre ces équations, et tirant des équations résultantes les valeurs de
et
il viendra
![{\displaystyle A={\frac {a}{1+{\frac {a^{2}}{2}}}},\qquad {\frac {B}{z}}={\frac {1-{\frac {a^{2}}{2}}}{1+{\frac {a^{2}}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf8621bb4313fdb8f3fbab1bbe454d1b494f451)
d’où
disparaît de lui-même. Changeant donc
en
nous aurons, pour première approximation,
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .x={\frac {x}{1+{\frac {x^{2}}{2}}}},\qquad \operatorname {Cos} .x={\frac {1-{\frac {x^{2}}{2}}}{1+{\frac {x^{2}}{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a07d5232167bb0f18103fdd32ea9106593304b)
d’où
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .x={\frac {x}{1-{\frac {x^{2}}{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f10d83119b6982d4d5cb3950a0a1803042b1ae)
Posons, en second lieu,
![{\displaystyle y=A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}+Ex^{4},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/551c76c92f6241752dfcaadba181339875cb3492)
(5′)
d’où
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=B+2Cx+3Dx^{2}+4Ex^{3},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=2C+6Dx+12Ex^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8cb63f685a7db62831b5ff92b63d905c2256dd3)
(6′)
en substituant ces valeurs dans l’équation (1), elle deviendra
![{\displaystyle z^{2}\left(A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}+Ex^{4}\right)+2\left(C+3Dx+6Ex^{2}\right)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7fcb30e83be0b44c569b5f74538c2951b62a22f)
ou, en ordonnant,
(7′)
supposant successivement
égal à
, il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&\left(Az^{2}+2C\right)-\left(Bz^{2}+6D\right)+\left(Cz^{2}+12E\right)-Dz^{2}+Ez^{2},\\0=&\left(Az^{2}+2C\right),\\0=&\left(Az^{2}+2C\right)+\left(Bz^{2}+6D\right)+\left(Cz^{2}+12E\right)+Dz^{2}+Ez^{2}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/766cdb697509117c3d4eead2e7889c2951088d24)
prenant les différences consécutives de ces trois équations, il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&\left(Bz^{2}+6D\right)-\left(Cz^{2}+12E\right)+Dz^{2}-Ez^{2},\\0=&\left(Bz^{2}+6D\right)+\left(Cz^{2}+12E\right)+Dz^{2}-Ez^{2}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b838a857c5128e57631cc29129b8cbbfc6d6f1ee)
prenant enfin la demi-différence de ces deux-ci, on aura
![{\displaystyle 0=\left(Cz^{2}+12E\right)+Ez^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec1b0126c8de83961f3484c3e0c2d514b34d4219)
d’où, en remontant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&(Bz^{2}+6D)+Dz^{2},\\0=&(Az^{2}+2C).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11db5412c03729a78cfef2b1d449ce5f17e23231)
On tirera de ces trois dernières équations
![{\displaystyle {\frac {C}{z}}=-{\frac {1}{2}}A,\quad {\frac {D}{z^{3}}}=-{\frac {1}{6+z^{2}}}.{\frac {B}{z}},\quad {\frac {E}{z^{4}}}=+{\frac {A}{2\left(12+z^{2}\right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1e3377267151354e15e5e15716addb95730ac01)
les conditions relatives aux constantes sont d’ailleurs ici
![{\displaystyle 0=A-a{\frac {B}{z}}+a^{2}{\frac {C}{z^{2}}}-a^{3}{\frac {D}{z^{3}}}+a^{4}{\frac {E}{z^{4}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95b613658e62fa0aad5fd8c7aada86eabb4fc4de)
![{\displaystyle 1={\frac {B}{z}}-2a{\frac {C}{z^{2}}}+3a^{2}{\frac {D}{z^{3}}}-4a^{3}{\frac {E}{z^{4}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fc5181fd9082bba49a1de2cf2c2e13f56321394)
en y substituant donc les trois valeurs ci-dessus, elles deviendront en faisant de suite
excepté dans le dénominateur de ![{\displaystyle B.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eccf5bca7cdc1fa4439af2d31831db6bde00473)
![{\displaystyle \left(1-{\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {a^{4}}{24}}\right)A-\left(a-{\frac {a^{3}}{6}}\right){\frac {B}{z}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f87c455a9e29e2526a1fde81d3ea1a84a38dc581)
![{\displaystyle \left(a-{\frac {a^{3}}{6}}\right)A+\left(1-{\frac {a^{2}}{2}}\right){\frac {B}{z}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9607fa57dfaada745e0c9176e22f5b1e3d58aca)
desquelles on tirera
![{\displaystyle A={\frac {a-{\frac {a^{3}}{6}}}{1-{\frac {a^{4}}{24}}+{\frac {a^{6}}{144}}}},\qquad {\frac {B}{z}}={\frac {1-{\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {a^{4}}{24}}}{1-{\frac {a^{4}}{24}}+{\frac {a^{6}}{144}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2503dba731d5679d2aa59c00c2f6bc78d6a91ab)
changeant donc
en
nous aurons, pour seconde approximation,
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .x={\frac {{\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}}{\left(1-{\frac {x^{2}}{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}\right)+\left({\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}\right)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/416fe30746ef44dec67f86049885571019492ded)
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .x={\frac {1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}}{\left(1-{\frac {x^{2}}{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}\right)+\left({\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}\right)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea2c5bb5735c268eb1083f7cc9ffbabb73cdbfbb)
d’où
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .x={\frac {{\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}}{1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecaaacec9bf25fbc552b2b38b06b37180c722a89)
Si nous admettions deux termes de plus à la valeur hypothétique
de
en opérant d’une manière semblable, nous trouverions, pour
troisième approximation,
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .x={\frac {{\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}}{\left(1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}\right)+\left({\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}\right)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36f883978e1ffd26a2933c230df072112890d5fa)
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .x={\frac {1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}}{\left(1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}\right)+\left({\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}\right)^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2048cc75e066beae5c00f1512d3a34d8650c6eae)
d’où
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .x={\frac {1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}}{1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2b6c8251797e79b1651ffc9b6169b063d122fde)
La marche de ces résultats nous conduit à soupçonner avec fondement, qu’en posant, en général,
![{\displaystyle {\begin{aligned}M&=\ 1\ -{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\ldots ,\\N&={\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9cc7bb212e34271b4b40255f7a089a71467d138)
on doit avoir
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .x={\frac {N}{M^{2}+N^{2}}},\qquad \operatorname {Cos} .x={\frac {M}{M^{2}+N^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ebb57e42b0bf02bffc2049623a463a873ce2218)
d’où
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .x={\frac {N}{M}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb71ee752617252cf5e65222945ec80c1e742f42)
or, s’il en est ainsi, on devra avoir
![{\displaystyle 1=\operatorname {Sin} .^{2}x+\operatorname {Cos} .^{2}x=\left({\frac {N}{M^{2}+N^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {M}{M^{2}+N^{2}}}\right)^{2}={\frac {1}{M^{2}+N^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52e01bcf86ef52b0c708aa4c95646bf8adff5abc)
d’où on conclura
![{\displaystyle M^{2}+N^{2}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a6790708bda44b594e5f7b422738b35bc6e7cdb)
on aura donc simplement
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .x=N,\qquad \operatorname {Cos} .x=M\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21ce76564696b45d24420fe352d5cf593ac9db44)
c’est-à-dire
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Sin} .x&={\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots \\\operatorname {Cos} .x&=\ 1\ -{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/027fdf873ee1fd6f453767d2eeec4c98957593c5)
ce qui, en effet, est rigoureusement vrai
PROBLÈME IV. Déterminer la longueur d’un arc de cercle dont la tangente est donnée ?
Solution. Soit
la tangente donnée et
l’arc cherché auquel
elle appartient ; nous aurons l’équation
![{\displaystyle x=\operatorname {Tang} .y,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/552263a4928c074af46455b09e380865bea13e8b)
ou
![{\displaystyle \qquad x\operatorname {Cos} .y=\operatorname {Sin} .y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93058af7430cb3101a1387ddc29af296f9cecdeb)
ou en différentiant,
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .y-x{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\operatorname {Sin} .y={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\operatorname {Cos} .y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1c0a1f53178c7312fc7c651f16f6efd3a205531)
En éliminant
entre ces deux équations,
disparaîtra aussi, et nous aurons l’équation
![{\displaystyle \left(1+x^{2}\right){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}-1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40b8f5826fe86f945e89a5abfd72f03da3317e23)
Dans laquelle la constante doit se déterminer par cette considération que
et
doivent être nuls en même temps.
Changeant, dans cette équation,
en
elle deviendra
![{\displaystyle \left\{(1+a^{2})+2azx+z^{2}x^{2}\right\}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}-z=0,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc7e6250f801c0ef2d02d00f46024a75152268d)
(1)
où la constante se déterminera par la considération qu’à
ou
doit répondre
et l’arc cherché, dont la tangente est
sera ce que devient
lorsqu’on suppose ![{\displaystyle x=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71320d636c7a43546bf4e94edb94649c5b2e82b9)
Posons d’abord simplement,
![{\displaystyle y=A+Bx,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc7ca02d25a5644b3586dc506d38b7f8e29e654b)
(5)
d’où
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=B\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f50e382225a542ba35bc55ad401f81538d0b837)
(6)
mettant cette valeur dans (1), elle deviendra
![{\displaystyle B\left\{\left(1+a^{2}\right)+2azx+z^{2}x^{2}\right\}-z=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15a54ee7b33c2f0787c6c6e1a0f2095127165909)
ou, en ordonnant,
![{\displaystyle \left\{(1+a^{2})B-z\right\}+2azBx+z^{2}Bx^{2}=0,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15d36682e7ee3d97bb18b0012208b2b9009f2554)
(7)
En supposant
celle équation donnera
![{\displaystyle (1+a^{2})B-z=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dacb26cd5db02b47d784019c119eaa3cf1fa2ec)
la condition relative à la constante donnera d’ailleurs
![{\displaystyle 0=A-{\frac {a}{z}}B\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b2641e2d1497116a8e53d67a028e6acca0cec4c)
éliminant
entre les deux, on aura
![{\displaystyle A={\frac {a}{1+a^{2}}}={\frac {a}{1+a^{2}}}.{\frac {\left(a+{\sqrt {-1}}\right)-\left(a-{\sqrt {-1}}\right)}{2{\sqrt {-1}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b101d47fe2c9204632b8c97ab65fa9d77cd5468e)
changeant donc
en
nous aurons, pour première approximation,
![{\displaystyle \operatorname {Arc} (\operatorname {Tang} .=x)={\frac {x}{1+x^{2}}}.{\frac {\left(x+{\sqrt {-1}}\right)-\left(x-{\sqrt {-1}}\right)}{2{\sqrt {-1}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01de152dcef99ec1a89629234e43d0b6e96fdc95)
Posons, en second lieu,
![{\displaystyle y=A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/371d62f24d618edd97cc829789f07e5f784f3d92)
d’où
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=B+2Cx+3Dx^{2}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e2fb76f463db742eebbfbbebbf0008b8172b520)
(6′)
substituant dans l’équation (1), elle deviendra
![{\displaystyle \left\{\left(1+a^{2}\right)+2azx+z^{2}x^{2}\right\}\left(B+2Cx+3Dx^{2}\right)-z=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ee8886fc8722cb98ccf7c3d6359e64216a7e24)
ou en développant ; ordonnant et posant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}(1+a^{2})B-z=&A',\\2aBz+2(1+a^{2})C=&B',\\Bz^{2}+4aCz+3(1+a^{2})D=&C',\\2Cz^{2}+6aDz=&D',\\3Dz^{2}=&E'\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8ad7e4633027ad26fea4388278c3a2f8c7d304f)
![{\displaystyle 0=A'+B'x+C'x^{2}+D'x^{3}+E'x^{4},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28943b425dd34be6d94bf849d659d6ebe2bee95b)
(7′)
faisant successivement pour
, dans cette dernière, les suppositions
il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&A'-B'+C'-D'+E',\\0=&A',\\0=&A'+B'+C'+D'+E'\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03004cce91cd2e081a6288e8414170b750d8e1db)
d’où, en prenant les différences consécutives,
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=B'-C'+D'-E',\\0=B'+C'+D'+E'\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48c1ee4d1766b02b78d22b3d28052ae285b8f257)
prenant la demi-différence de ces deux dernières, il viendra
![{\displaystyle C'+E'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7ba9911131d61e40a85db07e75a177aed1c4d39)
d’où
![{\displaystyle B'+D'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d80de068682be21946afc8b224f400127808e2e4)
nous avons d’ailleurs
![{\displaystyle A'=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffee633c769b804e11339fcebcdc630e1356c899)
nous aurons donc, en substituant,
![{\displaystyle (1+a^{2})B-z=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e2802ba30e199407cfdd3d34118e8be0c80e1c1)
![{\displaystyle 2azB+\left\{(1+a^{2})+z^{2}\right\}C+3azD=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51563aa807ea2e89488e1cfc5ae73608bbe0b345)
![{\displaystyle z^{2}B+4aCz+3\left\{(1+a^{2})+z^{2}\right\}D=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeaadc747da30d06ca4207ef43f750e55e80c611)
d’où on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {B}{z}}={\frac {3z^{2}}{1+a^{2}}},\\&{\frac {C}{z^{2}}}={\frac {a}{\left(1+a^{2}\right)^{2}+2\left(1-a^{2}\right)z^{2}+z^{4}}},\\&{\frac {D}{z^{3}}}={\frac {\left(1-3a^{2}\right)+z^{2}}{3\left(1+a^{2}\right)\left\{\left(1+a^{2}\right)^{2}+2\left(1-a^{2}\right)z^{2}+z^{4}\right\}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9067334712cebd1322a724785762a8196d90433)
La condition relative à la constante donne d’ailleurs
![{\displaystyle A=a{\frac {B}{z}}+a^{2}{\frac {C}{z^{2}}}+a^{3}{\frac {D}{z^{3}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f1ae9d246745b925108c8027caf31bc83895167)
substituant donc, et faisant, après la substitution,
nous aurons
![{\displaystyle A={\frac {a}{1+a^{2}}}-{\frac {a^{2}}{2\left(1+a^{2}\right)^{2}}}.2a+{\frac {a^{3}}{3\left(1+a^{2}\right)^{3}}}\left(3a^{2}-1\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/604b2a4f89e3e95c539b9ebce4946d0f7de716ec)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle {\begin{aligned}A=&{\frac {a}{1+a^{2}}}.{\frac {\left(a+{\sqrt {-1}}\right)-\left(a-{\sqrt {-1}}\right)}{2{\sqrt {-1}}}}\\+&{\frac {a^{2}}{2\left(1+a^{2}\right)^{2}}}.{\frac {\left(a+{\sqrt {-1}}\right)^{2}-\left(a-{\sqrt {-1}}\right)^{2}}{2{\sqrt {-1}}}}\\+&{\frac {a^{3}}{3\left(1+a^{2}\right)^{3}}}.{\frac {\left(a+{\sqrt {-1}}\right)^{3}-\left(a-{\sqrt {-1}}\right)^{3}}{2{\sqrt {-1}}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88e0a03bc2c4965f274905d8a17e8f857edd0e8e)
ou bien, en changeant
en ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Arc} (\operatorname {Tang} =x)=&{\frac {x}{1+x^{2}}}.{\frac {\left(x+{\sqrt {-1}}\right)-\left(x-{\sqrt {-1}}\right)}{2{\sqrt {-1}}}}\\+&{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{1+x^{2}}}\right)^{2}.{\frac {\left(x+{\sqrt {-1}}\right)^{2}-\left(x-{\sqrt {-1}}\right)^{2}}{2{\sqrt {-1}}}}\\+&{\frac {1}{3}}\left({\frac {x}{1+x^{2}}}\right)^{3}.{\frac {\left(x+{\sqrt {-1}}\right)^{3}-\left(x-{\sqrt {-1}}\right)^{3}}{2{\sqrt {-1}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaebe69adcdd280a46ac377125159971a934d229)
En admettant deux termes de plus dans la valeur hypothétique
de
on trouverait
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Arc} (\operatorname {Tang} =x)=&{\frac {x}{1+x^{2}}}.{\frac {\left(x+{\sqrt {-1}}\right)-\left(x-{\sqrt {-1}}\right)}{2{\sqrt {-1}}}}\\+&{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{1+x^{2}}}\right)^{2}.{\frac {\left(x+{\sqrt {-1}}\right)^{2}-\left(x-{\sqrt {-1}}\right)^{2}}{2{\sqrt {-1}}}}\\+&{\frac {1}{3}}\left({\frac {x}{1+x^{2}}}\right)^{3}.{\frac {\left(x+{\sqrt {-1}}\right)^{3}-\left(x-{\sqrt {-1}}\right)^{3}}{2{\sqrt {-1}}}}.\\+&{\frac {1}{4}}\left({\frac {x}{1+x^{2}}}\right)^{4}.{\frac {\left(x+{\sqrt {-1}}\right)^{4}-\left(x-{\sqrt {-1}}\right)^{4}}{2{\sqrt {-1}}}}.\\+&{\frac {1}{5}}\left({\frac {x}{1+x^{2}}}\right)^{5}.{\frac {\left(x+{\sqrt {-1}}\right)^{5}-\left(x-{\sqrt {-1}}\right)^{5}}{2{\sqrt {-1}}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/577e8dad53962838680c86e605580fc4d17c080b)
série, dont la loi est évidente, et qu’on peut prolonger aussi loin qu’on le voudra.
Il ne serait peut-être pas aisé de ramener ce développement aux
formules connues ; mais on ne saurait néanmoins en contester l’exactitude.
Pour ne laisser aucun doute à cet égard, appliquons-le
à la recherche du nombre
dont la valeur, approchée à moins
d’une demi-unité décimale du 12.e ordre, est
![{\displaystyle {\frac {\varpi }{4}}=0{,}785398163397.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3852bda2d79fce6120677033c58e5cab01f99cec)
Pour y parvenir, il ne s’agira que de faire
dans la formule
ci-dessus ; les termes, dont l’indice est divisible par
disparaîtront
d’eux-mêmes, et il viendra
![{\displaystyle {\begin{array}{rll}{\frac {\varpi }{4}}=&+\left({\frac {1}{2}}.{\frac {1}{2}}\ \ \ +{\frac {1}{2}}.{\frac {1}{2}}\quad +{\frac {1}{2^{2}}}.{\frac {1}{3}}\right)=&+{\frac {5}{1.2.3}}\\&-\left({\frac {1}{2^{3}}}.{\frac {1}{5}}\ \ +{\frac {1}{2^{3}}}.{\frac {1}{6}}\ \ +{\frac {1}{2^{4}}}.{\frac {1}{7}}\right)&-{\frac {1}{2^{2}}}.{\frac {46}{5.6.7}}\\&+\left({\frac {1}{2^{5}}}.{\frac {1}{9}}\ \ +{\frac {1}{2^{5}}}.{\frac {1}{10}}\ +{\frac {1}{2^{6}}}.{\frac {1}{11}}\right)&+{\frac {1}{2^{4}}}.{\frac {127}{9.10.11}}\\&-\left({\frac {1}{2^{7}}}.{\frac {1}{13}}\ +{\frac {1}{2^{7}}}.{\frac {1}{14}}\ +{\frac {1}{2^{8}}}.{\frac {1}{15}}\right)&-{\frac {1}{2^{6}}}.{\frac {248}{13.14.15}}\\&+\left({\frac {1}{2^{9}}}.{\frac {1}{17}}\ +{\frac {1}{2^{9}}}.{\frac {1}{18}}\ +{\frac {1}{2^{10}}}.{\frac {1}{19}}\right)&+{\frac {1}{2^{8}}}.{\frac {409}{17.18.19}}\\&-\left({\frac {1}{2^{11}}}.{\frac {1}{21}}+{\frac {1}{2^{11}}}.{\frac {1}{22}}+{\frac {1}{2^{12}}}.{\frac {1}{23}}\right)&-{\frac {1}{2^{10}}}.{\frac {610}{21.22.23}}\\&+\left({\frac {1}{2^{13}}}.{\frac {1}{25}}+{\frac {1}{2^{13}}}.{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{2^{14}}}.{\frac {1}{27}}\right)&+{\frac {1}{2^{12}}}.{\frac {851}{25.26.27}}\\&-\left({\frac {1}{2^{15}}}.{\frac {1}{29}}+{\frac {1}{2^{15}}}.{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{2^{16}}}.{\frac {1}{31}}\right)&-{\frac {1}{2^{14}}}.{\frac {1132}{29.30.31}}\\&+\left({\frac {1}{2^{17}}}.{\frac {1}{33}}+{\frac {1}{2^{17}}}.{\frac {1}{34}}+{\frac {1}{2^{18}}}.{\frac {1}{35}}\right)&+{\frac {1}{2^{16}}}.{\frac {1453}{33.34.35}}\\&-\left({\frac {1}{2^{19}}}.{\frac {1}{37}}+{\frac {1}{2^{19}}}.{\frac {1}{38}}+{\frac {1}{2^{20}}}.{\frac {1}{39}}\right)&-{\frac {1}{2^{18}}}.{\frac {1814}{37.38.39}}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/128b0ea85968057ce870bc4af3b5f13bd22cb0fc)
![{\displaystyle {\begin{array}{rll}&+\left({\frac {1}{2^{21}}}.{\frac {1}{41}}+{\frac {1}{2^{21}}}.{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{2^{22}}}.{\frac {1}{43}}\right)&+{\frac {1}{2^{20}}}.{\frac {2215}{41.42.43}}\\&-\left({\frac {1}{2^{23}}}.{\frac {1}{45}}+{\frac {1}{2^{23}}}.{\frac {1}{46}}+{\frac {1}{2^{24}}}.{\frac {1}{47}}\right)&-{\frac {1}{2^{22}}}.{\frac {2656}{45.46.47}}\\&+\left({\frac {1}{2^{25}}}.{\frac {1}{49}}+{\frac {1}{2^{25}}}.{\frac {1}{50}}+{\frac {1}{2^{26}}}.{\frac {1}{51}}\right)&+{\frac {1}{2^{24}}}.{\frac {3137}{49.50.51}}\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &-\ldots \ldots \ldots \ldots \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4033a0c67bb8127819dc7dc1623574c8bd39d55)
série dont le terme général est
![{\displaystyle \left(-{\frac {1}{4}}\right)^{n-1}.{\frac {20n^{2}-19n+4}{(4n-3)(4n-2)(4n-1)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2960de75d1ee19790063a215766db6c0ff7afd0)
En réduisant ses termes en décimales, on aura
![{\displaystyle {\begin{array}{rll}{\frac {\varpi }{4}}&=+{\frac {5}{1.2.3}}&=+0{,}833333333\\&-{\frac {1}{4^{1}}}.{\frac {46}{5.6.7}}&=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots -0{,}054761905\\&+{\frac {1}{4^{2}}}.{\frac {127}{9.10.11}}&=+0{,}008017677\\&-{\frac {1}{4^{3}}}.{\frac {248}{13.14.15}}&=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots -0{,}001419414\\&+{\frac {1}{4^{4}}}.{\frac {409}{17.18.19}}&=+0{,}000274795\\&-{\frac {1}{4^{5}}}.{\frac {610}{21.22.23}}&=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots -0{,}000056061\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b04a658a7cf75121b716d981206912bed0666674)
![{\displaystyle {\begin{array}{rll}&+{\frac {1}{4^{6}}}.{\frac {851}{25.26.27}}&=+0.000011838\\&-{\frac {1}{4^{7}}}.{\frac {1132}{29.30.31}}&=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots -0{,}000002562\\&+{\frac {1}{4^{8}}}.{\frac {1453}{33.34.35}}&=+0{,}000000565\\&-{\frac {1}{4^{9}}}.{\frac {1814}{37.38.39}}&=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots -0{,}000000126\\&+{\frac {1}{4^{10}}}.{\frac {2215}{41.42.43}}&=+0.000000029\\&-{\frac {1}{4^{11}}}.{\frac {2656}{45.46.47}}&=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots -0{,}000000007\\&+{\frac {1}{4^{12}}}.{\frac {3137}{49.50.51}}&=+0{,}000000001\quad {\underline {\qquad \qquad \qquad }}\\&&{\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad }}-0{,}056240075\\&&\quad +0{,}841638238\quad +0{,}841638238\\&&\qquad \qquad \qquad \qquad \quad {\underline {\qquad \qquad \qquad }}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e51bae3c39f32107dbd09b226606f6e29719fc99)
Ce qui donne
valeur exacte jusqu’à la dernière décimale inclusivement.
Nous étant ainsi assurés de l’exactitude et de la commodité de
notre méthode, par son application à des cas déjà connus ; il ne
nous reste plus qu’à l’appliquer à des équations différentielles qu’on
ne sait pas encore intégrer, et à examiner si elle ne serait pas susceptible
de quelques simplifications ; et ce sera le sujet d’un second
mémoire.