Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 10/Analise indéterminée, article 4
Solutions du problème d’analise indéterminée proposé
à la page 244 du présent volume ;
Vecten, licencié ès sciences,
A. Ollive, licencié ès lettres,
Et Un abonné.
PROBLÈME. Quelles sont les valeurs entières les plus générales de et qui rendent entière la fonction ?
Soit dit M. Sarrus, le plus grand commun diviseur de et de telle sorte qu’on ait et étant deux nombres entiers premiers entre eux, on aura
et étant premiers entre eux, devront l’être également avec il sera donc nécessaire, et en même temps il suffira, pour que la fonction soit entière, que soit divisible par on devra donc avoir étant un nombre entier quelconque ; on aura donc ainsi, pour les valeurs cherchées de et de
au moyen de quoi on aura, en effet,
nombre entier, pourvu qu’on prenne des nombres entiers pour
M. Vecten est exactement parvenu à la même formule ; mais nous ignorons de quelles considérations il l’a déduite.
Par les procédés ordinaires de l’analise indéterminée, M. A. Ollive est tombé sur des valeurs de la forme
Ces formules rentrent exactement dans les précédentes ; en posant, en effet,
il vient
ce qui donne, en substituant,
comme ci-dessus.
Un Abonné s’est borné à considérer l’équation identique
en observant que si, dans le dernier membre, on remplaçait respectivement par et , ce dernier nombre devenant
M. Ollive observe que, si l’on veut rendre égal à un nombre entier donné, il suffira de décomposer ce nombre entier en trois facteurs, ce qui est toujours possible, dût-on prendre deux de ces facteurs égaux à l’unité ; on prendra ensuite ces trois facteurs pour
Il suit de là que dans le cas même où le nombre entier donné serait un nombre premier le problème serait encore susceptible de deux solutions, suivant que l’on ferait, ou bien l’un des deux nombres et égaux à ce nombre premier ; les valeurs de et seraient, dans le premier cas,
et dans le second
On peut, au surplus, remarquer qu’il est impossible que et soient tous deux impairs, puisqu’alors étant impair ne pourrait être divisé par qui serait nécessairement un nombre pair. c’est une observation qui n’a pas échappé à M. Ollive.