ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.
Démonstration d’un fait de calcul algébrique très-important
et très-remarquable, et des principales
conséquences qui en résultent ;
Par
M. de Stainville, répétiteur d’analise à l’école royale
polytechnique.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Soit la série indéfinie
![{\displaystyle 1+a{\frac {z}{1}}+a(a+k){\frac {z^{2}}{1.2}}+a(a+k)(a+2k){\frac {z^{3}}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8adc775995cfcae846e3043a666b04e565ed70e4)
et soit une autre série
![{\displaystyle 1+b{\frac {z}{1}}+b(b+k){\frac {z^{2}}{1.2}}+b(b+k)(b+2k){\frac {z^{3}}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f263feb660debc38d27aed0db5bc44c37863837b)
ne différant uniquement de celle-là qu’en ce que
y a pris la
place de
Nous nous proposons, en premier lieu, de démontrer
que le produit de ces deux séries est une série composée en
de la même manière que la première l’est en
et la seconde en
c’est-à-dire, que ce produit est
![{\displaystyle 1+(a+b){\frac {z}{1}}+(a+b)(a+b+k){\frac {z^{2}}{1.2}}+(a+b)(a+b+k)(a+b+2k){\frac {z^{3}}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4badee9bac58211ea6217873a4a632755db57c7a)
Pour y parvenir, assurons-nous d’abord de la forme des premiers
termes du développement de ce produit ; nous trouverons, pour
ces premiers termes
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}1+c&\\+b&\\\\\\\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}{\frac {z}{1}}+a(a+k)&\\+\ \qquad 2ab&\\+\ b(b+k)&\\\\\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}{\frac {z^{2}}{1.2}}+a(a+k)(a+2k)&\\+\ \ \ \qquad 3ab(a+k)&\\+\ \ \ \qquad 3ab(b+k)&\\+\ b(b+k)(b+2k)&\\\\\end{aligned}}\right|{\begin{aligned}{\frac {z^{3}}{1.2.3}}+\ldots &\\+\ldots &\\+\ldots &\\+\ldots &\\+\ldots &\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4f0a962daacc92c765ea1eb9858a4cfecf6ccff)
On voit d’abord que le coefficient de
est
Celui de
peut
se décomposer en ces deux parties
![{\displaystyle a\left[(a+k)+b\right]\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff841de98d358bf00891bf8bffcd9400714a961e)
ou
![{\displaystyle \quad a(a+b+k),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d851117a5add492943747bd0ad4c10c1c38f8fd)
![{\displaystyle b\left[(b+k)+a\right]\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/433b680b5538b906eebb3d6ebc2dbe3984708e46)
ou
![{\displaystyle \quad b(a+b+k),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f12266e76acaccb953d32cb30e9302c82310fd1)
dont la somme sera conséquemment
![{\displaystyle (a+b)(a+b+k).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34a53aff967981c6cb2e2eb3f40184dacdd0a02b)
Le coefficient de
peut également se décomposer en ces deux parties
![{\displaystyle a\left\{(a+k)(a+2k)+2b(a+k)+b(b+k)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2c9b98a6ab6db06badb2be666d54ff0f3b3fd21)
![{\displaystyle b\left\{(b+k)(b+2k)+2a(b+k)+a(a+k)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7626ee97b986d6d84cc1a71cf41a4c60f6ce154)
or, le multiplicateur de
dans la première partie, est évidemment
ce que devient le coefficient de
lorsqu’on y change
en
et le multiplicateur de
dans la seconde est ce que devient ce
même coefficient, lorsqu’on y change
en
puis donc que
nous avons trouvé que le coefficient de
revenait à
il en résulte que le multiplicateur de
dans la première partie du coefficient de
et celui de
dans la seconde
sera également
![{\displaystyle (a+b+k)(a+b+2k)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4190c523cb3ee1d39ee3a39c25fca655001e87bb)
l’ensemble de ces deux parties, ou le coefficient de
sera donc
![{\displaystyle a(a+b+k)(a+b+2k)+b(a+b+k)(a+b+2k)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f421dfe08b6347608621971e7d56b6a383c1386)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle (a+b)(a+b+k)(a+b+2k).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49cda9cfd2e841ed77b7901fb3a963fa043640fd)
Il demeure donc prouvé, par ce qui précède, que du moins la
loi dont il s’agit se soutient pour les quatre premiers termes du
produit de nos deux séries ; et il ne serait pas difficile de s’assurer
qu’elle a également lieu pour un plus grand nombre de termes
de ce produit.
Il n’est donc plus question, pour compléter notre démonstration,
que de prouver que si cette même loi se soutient jusqu’au coefficient de
inclusivement, elle aura lieu également pour celui de
or, on trouve, pour le premier de ces deux coefficiens,
![{\displaystyle {\begin{aligned}a(a+k)(a+2k)(a+3k)\ldots \left[a+(p-2)k\right]&\\+{\frac {p-1}{1}}b.a(a+k)(a+2k)\ldots \ldots \left[a+(p-3)k\right]&\\+{\frac {p-1}{1}}.{\frac {p-2}{2}}b(b+k).a(a+k)\ldots \left[a+(p-4)k\right]&\\+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+{\frac {p-1}{1}}.{\frac {p-2}{2}}a(a+k).b(b+k)\ldots \left[b+(p-4)k\right]&\\+{\frac {p-1}{1}}a.b(b+k)(b+2k)\ldots \ldots \left[b+(p-3)k\right]&\\+b(b+k)(b+2k)(b+3k)\ldots \left[b+(p-2)k\right]&\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c8a17f3a92f872a07f56d5653a9e5b6739cfdc2)
et pour le second
![{\displaystyle {\begin{aligned}a(a+k)(a+2k)(a+3k)\ldots \left[a+(p-1)k\right]&\\+{\frac {p}{1}}b.a(a+k)(a+2k)\ldots \ldots \left[a+(p-2)k\right]&\\+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}b(b+k).a(a+k)\ldots \left[a+(p-3)k\right]&\\+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}a(a+k).b(b+k)\ldots \left[b+(p-3)k\right]&\\+{\frac {p}{1}}a.b(b+k)(b+2k)\ldots \ldots \left[b+(p-2)k\right]&\\+b(b+k)(b+2k)(b+3k)\ldots \left[b+(p-1)k\right]&\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/816f1484c53ce508cc19ea8dfb9e8d772f54521b)
Or, en. remarquant que
![{\displaystyle {\frac {p}{1}}={\frac {p-1}{1}}+1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa2a9f22110078afd1e5a5020a49ad57fcea0dbc)
![{\displaystyle {\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}={\frac {p-1}{1}}.{\frac {p-2}{2}}+{\frac {p-1}{1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d985d08975a28b37fac70cc70740f2324ef03895)
![{\displaystyle {\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}.{\frac {p-2}{3}}={\frac {p-1}{1}}.{\frac {p-2}{2}}.{\frac {p-3}{3}}+{\frac {p-1}{1}}.{\frac {p-2}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b5231bbdc2e63b4790055e0dd1436cc0a8760dd)
on verra que ce coefficient peut se décomposer en deux parties
dont la première est
![{\displaystyle a\left\{{\begin{aligned}a(a+k)(a+2k)(a+3k)\ldots \left[a+(p-1)k\right]&\\+{\frac {p-1}{1}}b.a(a+k)(a+2k)\ldots \ldots \left[a+(p-2)k\right]&\\+{\frac {p-1}{1}}.{\frac {p-2}{2}}b(b+k).(a+k)\ldots \left[a+(p-3)k\right]&\\+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+{\frac {p-1}{1}}(a+k).(b+k)\ldots \left[b+(p-3)k\right]&\\+b(b+k)(b+2k)\ldots \ldots \left[b+(p-2)k\right]&\\\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c81b9d0b803544e1b8add800970fdd434f95fada)
et la seconde
![{\displaystyle b\left\{{\begin{aligned}a(a+k)(a+2k)\ldots \left[a+(p-2)k\right]&\\+{\frac {p-1}{1}}(b+k).a(a+k)\ldots \ldots \left[a+(p-3)k\right]&\\+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+{\frac {p-1}{1}}.{\frac {p-2}{2}}a(a+k).(b+k)\ldots \left[b+(p-3)k\right]&\\+{\frac {p-1}{1}}a.(b+k).(b+2k)\ldots \left[b+(p-2)k\right]&\\+(b+k)(b+2k)(b+3k)\ldots \ldots \left[b+(p-1)k\right]&\\\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a742ee2b48f60aefbe0d29abbf2b7297071c1758)
Or, il est aisé de voir que le multiplicateur de
dans la première
de ces deux parties, est ce que devient le coefficient de
lorsqu’on y change
en
et que le multiplicateur de
dans
la seconde, est ce que devient ce même coefficient, lorsqu’on y
change
en
si donc, comme nous le supposons, le coefficient de
est en effet réductible à la forme
![{\displaystyle (a+b)(a+b+k)(a+b+2k)\ldots \left[a+b+(p-2)k\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1750d098101831b5c597a5fa723e2146d98f638)
le multiplicateur de
dans la première de ces deux parties, et
celui de
dans la seconde, sera également
![{\displaystyle (a+b+k)(a+b+2k)(a+b+3k)\ldots \left[a+b+(p-1)k\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd3d14055e12030290988d42e0fe1819642f7353)
en réunissant donc ces deux parties, et ayant égard au facteur
commun qui les affecte, on aura, pour le coefficient de ![{\displaystyle {\frac {z^{p}}{1.2\ldots p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cd8525b44eea8d187ee3cd3090712a5079551b2)
![{\displaystyle (a+b)(a+b+k)(a+b+2k)\ldots \left[a+b+(p-1)k\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94f03fcf5eb037c896a6975a41b05f64e7ea9c5d)
comme nous l’avions annoncé. Il est donc prouvé, par ce qui
précède, que, si la loi dont il s’agit se soutient jusqu’à un terme
quelconque du produit, elle aura lieu également pour le terme
qui le suivra immédiatement ; puis donc que nous nous sommes
assurés de son existence pour les quatre premiers termes, il s’ensuit
qu’elle a lieu pour tous, et qu’ainsi le théorème est démontré en
toute rigueur.
Pour abréger, désignons par
notre première série, c’est-à-dire, posons
![{\displaystyle \operatorname {f} a=1+a{\frac {z}{1}}+a(a+k){\frac {z^{2}}{1.2}}+a(a+k)(a+2k){\frac {z^{3}}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b52d5a614afab847e76df8b44b10b2cb3d2126f)
nous aurons pareillement
![{\displaystyle \operatorname {f} b=1+b{\frac {z}{1}}+b(b+k){\frac {z^{2}}{1.2}}+b(b+k)(b+2k){\frac {z^{3}}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1753830f53262219c384cb18c6149d49dfc7aee)
et encore
![{\displaystyle \operatorname {f} (a+b)=1+(a+b){\frac {z}{1}}+(a+b)(a+b+k){\frac {z^{2}}{1.2}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1f626ccfb301330ac655415c90712cd48d04d99)
en conséquence, le théorème qui vient d’être démontré pourra être
écrit sous cette forme très-simple
![{\displaystyle \operatorname {f} a.\operatorname {f} b=\operatorname {f} (a+b).\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2810d03a54e1fd51d3da4bb91a8cf6cadabdc95f)
(I)
On remarquera que, d’après cette notation, on doit évidemment
avoir ![{\displaystyle \operatorname {f} 0=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12c5fcac6294505cbf2a014d1146144295b52baf)
Si dans l’équation (I) on change
en
elle deviendra
![{\displaystyle \operatorname {f} a.\operatorname {f} (b+c)=\operatorname {f} (a+b+c)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f14b5b7790751a77c8e93ac2f19ddef8cedebca0)
mais, en vertu de là même équation
![{\displaystyle \operatorname {f} (b+c)=\operatorname {f} b.\operatorname {f} c\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7869e2f0529147d0a503685bf09bfc50122c1bb7)
substituant donc, on aura
![{\displaystyle \operatorname {f} a.\operatorname {f} b.\operatorname {f} c=\operatorname {f} (a+b+c).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b13da8ebd4acea02fa37199168dab5ef03ef23a7)
En supposant que
se change en
et se conduisant de la
même manière, on prouvera pareillement que
![{\displaystyle \operatorname {f} a.\operatorname {f} b.\operatorname {f} c.\operatorname {f} d=\operatorname {f} (a+b+c+d)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/045999c0f1f4e6ac9086cfabd57f4de6884f4915)
et en poursuivant toujours ainsi, on se convaincra qu’en général
![{\displaystyle \operatorname {f} a.\operatorname {f} b.\operatorname {f} c.\operatorname {f} d\ldots =\operatorname {f} (a+b+c+d+\ldots )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23413b91d5db17959dac7464a185aa6b624c197c)
c’est-à-dire, que le produit de tant de série qu’on voudra, de la forme de la série
et ne différant les unes des autres qu’en ce
que
s’y trouve successivement changé en
est une
série composée exactement en
de la même manière
quel est la première en
la seconde en
la troisième en
la
quatrième en
et ainsi de suite.
Si dans la dernière équation ci-dessus on suppose les quantités
égales entre elles et à la première
et leur
nombre égal à
elle deviendra
![{\displaystyle (\operatorname {f} a)^{m}=\operatorname {f} ma\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16baa0dc0f44fcadf45a08a00da768763944b446)
(II)
c’est-à-dire qu’une puissance entière et positive quelconque
de
la série
est une série composée en
de la même manière
que celle-là l’est en ![{\displaystyle a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b803da9c45c1186883bde55107e9ccb102c92c6)
Suivant l’équation (I) on a
![{\displaystyle \operatorname {f} b.\operatorname {f} c=\operatorname {f} (b+c)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30a207454a3390c5dca8348e01c53efef85e064a)
posons
d’où
il viendra, en substituant
![{\displaystyle \operatorname {f} b.\operatorname {f} (a-b)=\operatorname {f} a\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d94836d69965260988f5e4d6ebeb86a602e71b)
d’où
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {f} a}{\operatorname {f} b}}=\operatorname {f} (a-b)\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa2f574aedfa6ddd7ea442abb486434728989cea)
(III)
c’est-à-dire que le quotient de la division de la série
par la série
est une série composée en
de la même manière que le
dividende l’est en
et le diviseur en ![{\displaystyle b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef051eb30c89e5493d672f6479566c673b0890a)
Par l’équation (II), on a
![{\displaystyle (\operatorname {f} b)^{m}=\operatorname {f} mb\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3df5138add45aae035ec42ce2fc07c5bc0e4557)
posant
d’où
il viendra
![{\displaystyle \left(\operatorname {f} {\frac {a}{m}}\right)^{m}=\operatorname {f} a\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f53c8e5b675774797541ac54603d354183af866a)
d’où on tirera, en extrayant la racine et renversant
![{\displaystyle {\sqrt[{m}]{\operatorname {f} a}}=\operatorname {f} {\frac {a}{m}})\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0b62e9f5bcc606f19da205ac7f5f5f830f7163)
(IV)
c’est-à-dire que la racine d’un degré quelconque
entier et positif
, de la série
n’est autre chose qu’une série composée en
de la même manière que la puissance l’est en ![{\displaystyle a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b803da9c45c1186883bde55107e9ccb102c92c6)
On aura, d’après cela
![{\displaystyle (\operatorname {f} a)^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{\operatorname {f} a^{m}}}={\sqrt[{n}]{\operatorname {f} ma}}=\operatorname {f} {\frac {m}{n}}a\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bda28dc27eb271531e840b14b7ef7c372a38a882)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle (\operatorname {f} a)^{\frac {m}{n}}=\operatorname {f} {\frac {m}{n}}a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/351bd11c9544c5161f3637ab3ba4aa49949d1294)
et
étant deux nombres positifs quelconques. L’équation (II)
![{\displaystyle (\operatorname {f} a)^{m}=\operatorname {f} ma}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5eb0b82adc0c104847893748ebdb6c941ced3cd)
a donc lieu, quelque nombre positif, entier ou fractionnaire qu’on
représente par
Il serait ensuite aisé de prouver, à l’aide des
raisonnemens usités en pareil cas, qu’il en sera encore de même
lorsque
sera un incommensurable positif quelconque.
On aura encore, quel que soit le nombre positif
![{\displaystyle (\operatorname {f} a)^{-m}={\frac {1}{(\operatorname {f} a)^{m}}}={\frac {\operatorname {f} 0}{(\operatorname {f} a)^{m}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf187def7372376d6bc11b22a1102a0cdccee14d)
ou, d’après ce qui précède et le théorème (II)
![{\displaystyle (\operatorname {f} a)^{-m}={\frac {\operatorname {f} 0}{\operatorname {f} ma}}=\operatorname {f} (0-ma)=\operatorname {f} (-m)a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19e15906ee6a003f893d12b51ef0d10963e871f4)
Ainsi, quelque nombre entier ou fractionnaire, positif ou négatif,
commensurable ou incommensurable qu’on représente par
il
est toujours vrai de dire qu’on a
![{\displaystyle (\operatorname {f} a)^{m}=\operatorname {f} ma,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e7f93029e19fae5cb24399301d6d6c4fdc16302)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle \left\{1+a{\frac {z}{1}}+a(a+k){\frac {z^{2}}{1.2}}+a(a+k)(a+2k){\frac {z^{3}}{1.2.3}}+\ldots \right\}^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5782dc72bf6f9a5771575f547e0028f977af4f88)
![{\displaystyle =1+ma{\frac {z}{1}}+ma(ma+k){\frac {z^{2}}{1.2}}+ma(ma+k)(ma+2k){\frac {z^{3}}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ce8a9b979d6c252e9dfd472e036d9ac5bf59e14)
et cela quels que soient d’ailleurs
et ![{\displaystyle k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb6778a29f576eb23da1dbddffb73b2571359ac)
Si, dans cette équation, on fait
et
elle deviendra
![{\displaystyle (1+z)^{m}=1+{\frac {m}{1}}z+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}z^{2}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}z^{3}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c89bcd68f850594e1e3bdf63b2c784ee56294291)
la formule du binome se trouve donc ainsi démontrée, quel que
soit l’exposant ![{\displaystyle m.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bd92c867d56467c0f878ef318eefcd701b8ec1a)
Si, dans la même équation, on suppose
elle deviendra
![{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1.2}}+{\frac {1}{1.2.3}}+\ldots \right)^{Ax}=1+{\frac {Ax}{1}}+{\frac {A^{2}x^{2}}{1.2}}+{\frac {A^{3}x^{3}}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1885c3a12431bd2a508cfebb4cfcfe7c7c64ea0f)
La série du premier membre est, comme l’on sait, un nombre
incommensurable[1], compris entre
et
c’est la base du système de logarithmes népériens ; en le représentant par
suivant
l’usage, on aura
![{\displaystyle e^{Ax}=1+{\frac {Ax}{1}}+{\frac {A^{2}x^{2}}{1.2}}+{\frac {A^{3}x^{3}}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4e0543cfb5b9b845a2131bb1bc055b426c24112)
Si l’on fait
auquel cas
sera le logarithme népérien de
on aura
![{\displaystyle a^{x}=1+{\frac {x\operatorname {l} a}{1}}+{\frac {x^{2}\operatorname {l} ^{2}a}{1.2}}+{\frac {x^{3}\operatorname {l} ^{3}a}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/318f6fb933b71b3ff89d4ba57aae681877f1e79f)
formule qui donne le développement des exponentiels en séries ou,
ce qui revient au même, le développement d’un nombre
en fonction de son logarithme.
Si, dans cette dernière formule, on change
en
et
en
elle deviendra
![{\displaystyle (1+x)^{m}=1+{\frac {m\operatorname {l} (1+x)}{1}}+{\frac {m^{2}\operatorname {l} ^{2}(1+x)}{1.2}}+{\frac {m^{3}\operatorname {l} ^{3}(1+x)}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02a95494f977817c80b02b1891bd321a7376ec51)
mais on a, d’un autre côté,
![{\displaystyle (1+x)^{m}=1+m{\frac {x}{1}}+m(m-1){\frac {x^{2}}{1.2}}+m(m-1)(m-2){\frac {x^{3}}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a8de4708956e3a191fc0909271b67bbe818d910)
égalant donc entre elles ces deux valeurs, en supprimant l’unité
de part et d’autre, et divisant par
il viendra
![{\displaystyle \operatorname {l} (1+x)+{\frac {m\operatorname {l} ^{2}(1+x)}{1.2}}+{\frac {m^{2}\operatorname {l} ^{3}(1+x)}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/235584f4dbcaff87d5e7f8d9ed34fff2c6a43a11)
![{\displaystyle ={\frac {x}{1}}+(m-1){\frac {x^{2}}{1.2}}+(m-1)(m-2){\frac {x^{3}}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4a3e9d3af08311c873b3122419ac50a9ef27b00)
faisant enfin, dans cette dernière équation,
on aura
![{\displaystyle \operatorname {l} (1+x)={\frac {x}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bede6eeb9f0349f80e9959c0092559ec4ea61543)
formule qui donne le logarithme népérien de
en fonction
du nombre ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Ceux qui désireront de plus amples détails sur ce sujet pourront
consulter nos Mélanges d’analise algébrique et de géométrie (veuve
Courcier, Paris, 1815).
Dans un prochain article, nous nous occuperons du développement
des fonctions circulaires en séries.