ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.
Recherches sur les fractions continues ;
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Malgré les travaux d’un grand nombre d’illustres géomètres,
la théorie des fractions continues est loin encore d’être aussi avancée
que son importance pourrait le faire désirer. Nous savons développer
une fonction en fraction continue ; nous savons, dans quelques cas,
revenir d’une fraction continue à la fonction génératrice ; nous savons
aussi, dans quelques cas, reconnaître qu’une fraction continue est
incommensurable ; mais personne encore n’a établi la limite précise
qui sépare les fractions continues rationnelles de celles qui ne le
sont pas. On ne saurait douter non plus que les fractions continues
ne doivent affecter certaines formes particulières, suivant qu’elles sont
racines d’équations de tel ou de tel autre degré, mais, passé le second degré, pour lequel nous savons que les racines se développent en fractions
continues périodiques, nous ne connaissons plus les caractères qui distinguent les racines soumises à un pareil développement, ce qui serait pourtant d’autant plus important qu’à cette connaissance se rattacherait
immédiatement la recherche des diviseurs commensurables de tous
les degrés des équations numériques. Nous ne savons pas même former immédiatement la somme ou la différence de deux fractions
continues, leur produit ou le quotient de leurs divisions ; et, à plus forte raison, ne savons-nous pas en assigner les puissances et les racines.
Dans cet état d’indigence où nous nous trouvons relativement à
ce genre de fonctions, toute recherche qui les concerne semble
devoir être accueillie avec quelque intérêt ; et c’est, en particulier,
ce qui doit recommander aux yeux des géomètres le mémoire de
M. Bret, à la page 37 de ce volume ; mémoire dans lequel, après
avoir donné plus de généralité à des théorèmes qu’on ne démontre
communément que pour les fractions continues dans lesquelles les
numérateurs sont égaux à l’unité, il a donné, pour le développement
des fonctions en fractions continues, une méthode qui lui est
propre et qu’il a appliquée ensuite à la recherche de plusieurs résultats non moins curieux qu’ils sont élégants.
Ces résultats, au surplus, ainsi que beaucoup d’autres du même
genre, avaient déjà été déduits par Lagrange de l’application des
fractions continues à l’intégration par approximation des équations
différentielles à deux variables[1]. Mais, la méthode de Lagrange,
comme celle de M. Bret, peut paraître longue et laborieuse ; et
ni l’une ni l’autre n’ont une marche assez uniforme et régulière
pour qu’il soit permis d’asseoir solidement une induction sur les
résultats qu’on en obtient.
Il nous a paru qu’on pouvait parvenir simplement à ces mêmes
résultats, de manière à ne laisser aucun doute sur la loi qui les
régit, et qu’on pouvait en même temps établir plusieurs théorèmes
curieux sur certaines classes de fractions continues ; en développant
en fraction de cette sorte la série très-remarquable dont M. de
Stainville s’est occupé à la page 229 du présent volume. C’est ce
que nous nous proposons de montrer ici.
Soit donc la série
![{\displaystyle 1+a{\frac {z}{1}}+a(a+k){\frac {z^{2}}{1.2}}+a(a+k)(a+2k){\frac {z^{3}}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8adc775995cfcae846e3043a666b04e565ed70e4)
qu’il soit question de développer en fraction continue ; pour procéder à ce développement, nous emploîrons la méthode indiquée par
Euler ; c’est-à-dire que nous poserons successivement
![{\displaystyle 1+a{\frac {z}{1}}+a(a+k){\frac {z^{2}}{1.2}}+a(a+k)(a+2k){\frac {z^{3}}{1.2.3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4e81f4fbcfd77aa0b89d98a4d03338cad9382d0)
![{\displaystyle +a(a+k)(a+2k)(a+3k){\frac {z^{4}}{1.2.3.4}}+\ldots ={\frac {1}{1-A}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da1147bc261d5e62ef435349b5769b42ee2a49f6)
![{\displaystyle A=az.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d42520154123f31bc7c069d79da5ed8bc446c27b)
![{\displaystyle {\frac {1+{\frac {1}{2}}(a+k){\frac {z}{1}}+{\frac {1}{3}}(a+k)(a+2k){\frac {z^{2}}{1.2}}+{\frac {1}{4}}(a+k)(a+2k)(a+3k){\frac {z^{3}}{1.2.3}}+\ldots }{1+a{\frac {z}{1}}+a(a+k){\frac {z^{2}}{1.2}}+a(a+k)(a+2k){\frac {z^{3}}{1.2.3}}+a(a+k)(a+2k)(a+3k){\frac {z^{4}}{1.2.3.4}}+\ldots }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96b85ebc95376de1dd42648642fa26e3b9889fc8)
![{\displaystyle ={\frac {az}{1+B}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c6bd779cee23e47aaecd98e22bb729f649ba06f)
![{\displaystyle B=(a-k)z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12bd127288961f8d53ed5bf3cdceb97ef87da777)
![{\displaystyle {\frac {1+{\frac {2}{3}}(a+k){\frac {z}{1}}+{\frac {2}{4}}(a+k)(a+2k){\frac {z^{2}}{1.2}}+{\frac {2}{5}}(a+k)(a+2k)(a+3k){\frac {z^{3}}{1.2.3}}+\ldots }{2+{\frac {1.2}{2}}(a+k){\frac {z}{1}}+{\frac {1.2}{3}}(a+k)(a+2k){\frac {z^{2}}{1.2}}+{\frac {1.2}{4}}(a+k)(a+2k)(a+3k){\frac {z^{3}}{1.2.3}}+\ldots }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a894e1f8415d4835412e2ceae8c3ba9d2dc54a7)
![{\displaystyle ={\frac {(a-k)z}{2-C}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad1bfbec2a4995c70320eccf650a489b3d1ced8c)
![{\displaystyle C=(a+k)z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb427cf873b45a9bf5f4242c2fc2bb2e8b93e0cd)
![{\displaystyle {\frac {1+{\frac {2.3}{3.4}}(a+k){\frac {z}{1}}+{\frac {2.3}{4.5}}(a+2k)(a+3k){\frac {z^{2}}{1.2}}+{\frac {2.3}{5.6}}(a+2k)(a+3k)(a+4k){\frac {z^{3}}{1.2.3}}+\ldots }{3+{\frac {2.3}{3}}(a+k){\frac {z}{1}}+{\frac {2.3}{4}}(a+k)(a+2k){\frac {z^{2}}{1.2}}+{\frac {2.3}{5}}(a+k)(a+2k)(a+3k){\frac {z^{3}}{1.2.3}}+\ldots }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f6fe0a5459014a3ec0aee8b56314ad76bd16e05)
![{\displaystyle ={\frac {(a+k)z}{3+D}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9381296d980cb6fd3870223df31667bb72a99c44)
![{\displaystyle D=2(a-2k)z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f948d5fa8e57467d8cf0121c9ad515be217f1089)
![{\displaystyle {\frac {1+{\frac {3.4}{4.5}}(a+k){\frac {z}{1}}+{\frac {3.4}{5.6}}(a+2k)(a+3k){\frac {z^{2}}{1.2}}+{\frac {3.4}{6.7}}(a+2k)(a+3k)(a+4k){\frac {z^{3}}{1.2.3}}+\ldots }{4+{\frac {2.3.4}{3.4}}(a+2k){\frac {z}{1}}+{\frac {2.3.4}{4.5}}(a+2k)(a+3k){\frac {z^{2}}{1.2}}+{\frac {2.3.4}{5.6}}(a+2k)(a+3k)(a+4k){\frac {z^{3}}{1.2.3}}+\ldots }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/019a6cb94e6c170274da03f3760eba97b13cbf94)
![{\displaystyle ={\frac {2(a-2k)z}{4-E}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a9cf92885a4923f7f87e2ac80487e995fe3f4dc)
![{\displaystyle E=2(a+2k)z.{\frac {1+{\frac {3.4.5}{4.5.6}}(a+3k){\frac {z}{1}}+{\frac {3.4.5}{5.6.7}}(a+3k)(a+4k){\frac {z^{2}}{1.2}}+\ldots }{5+{\frac {3.4.5}{4.5}}(a+2k){\frac {z}{1}}+{\frac {3.4.5}{5.6}}(a+2k)(a+3k){\frac {z^{2}}{1.2}}+\ldots }}={\frac {2(a+2k)z}{5+F}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd646a3b0503c78eec17557242141d9dc539bf3)
![{\displaystyle F=3(a-3k)z.{\frac {1+{\frac {4.5.6}{5.6.7}}(a+3k){\frac {z}{1}}+{\frac {4.5.6}{6.7.8}}(a+3k)(a+4k){\frac {z^{2}}{1.2}}+\ldots }{6+{\frac {3.4.5.6}{4.5.6}}(a+3k){\frac {z}{1}}+{\frac {3.4.5.6}{5.6.7}}(a+3k)(a+4k){\frac {z^{2}}{1.2}}+\ldots }}={\frac {3(a-3k)z}{6-G}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc54c0539aceb66e7a78ebe5f8c198915bf3db33)
![{\displaystyle G=3(a+3k)z.{\frac {1+{\frac {4.5.6.7}{5.6.7.8}}(a+4k){\frac {z}{1}}+{\frac {4.5.6.7}{6.7.8.9}}(a+4k)(a+5k){\frac {z^{2}}{1.2}}+\ldots }{7+{\frac {4.5.6.7}{5.6.7}}(a+3k){\frac {z}{1}}+{\frac {4.5.6.7}{6.7.8}}(a+3k)(a+4k){\frac {z^{2}}{1.2}}+\ldots }}={\frac {3(a+3k)z}{7+H}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b879f473ba3428570a6879ec89127c7b7c7aac6)
Nous remarquerons qu’il n’y a point d’induction dans tout ceci, attendu que, d’une part, on peut toujours calculer le terme général soit du numérateur, soit du dénominateur de chacune de ces fractions et que de l’autre on peut prouver que, si la loi qui se manifeste pour les valeurs successives de
se soutient jusqu’à une quelconque de ces quantités, elle aura également lieu pour celle qui la suivra immédiatement.
En représentant donc, comme l’a fait M. de Stainville, par
la
série proposée, nous tirerons de tout cela
![{\displaystyle \operatorname {f} a={\cfrac {1}{1-{\cfrac {az}{1+{\cfrac {(a-k)z}{2-{\cfrac {(a+k)z}{3+{\cfrac {2(a-2k)z}{4-{\cfrac {2(a+2k)z}{5+{\cfrac {3(a-3k)z}{6-\ldots }}}}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c248bab73a3e76001aa861f061f05724421e09b8)
formule fondamentale pour toutes les recherches qui vont nous
occuper.
1.o On a vu (pag. 235) que
![{\displaystyle \operatorname {f} a.\operatorname {f} b=\operatorname {f} (a+b)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d6f622f2cabd31b0155544ee0c8347e9f585ae2)
donc, si l’on a les deux fractions continues
![{\displaystyle {\cfrac {1}{1-{\cfrac {az}{1+{\cfrac {(a-k)z}{2-{\cfrac {(a+k)z}{3+{\cfrac {2(a-2k)z}{4-\ldots }}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dda486029e6486dee18b2ef2312ebabacad59027)
![{\displaystyle {\cfrac {1}{1-{\cfrac {bz}{1+{\cfrac {(b-k)z}{2-{\cfrac {(b+k)z}{3+{\cfrac {2(b-2k)z}{4-\ldots }}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bc3c6ed9f53188862bfdc32c0d1c2b40ebad95a)
leur produit sera la fraction continue
![{\displaystyle {\cfrac {1}{1-{\cfrac {(a+b)z}{1+{\cfrac {((a+b-k)z}{2-{\cfrac {((a+b+k)z}{3+{\cfrac {2((a+b-2k)z}{4-{\cfrac {2((a+b+2k)z}{5+\ldots }}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cdeae220a52fb5425f2132e2747f87a6e62826e)
voilà donc du moins des fractions continues dont on sait immédiatement assigner le produit.
2.o On a vu aussi (pag. 236) que
![{\displaystyle (\operatorname {f} a)^{m}=\operatorname {f} ma\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78e1709b50cbe3bc6f82ff131d7e88992a2a41c3)
donc, la m.me puissance de la fraction continue
![{\displaystyle {\cfrac {1}{1-{\cfrac {az}{1+{\cfrac {(a-k)z}{2-{\cfrac {(a+k)z}{3+{\cfrac {2(a-2k)z}{4-{\cfrac {2(a+2k)z}{5+\ldots }}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e927b5f3b6ad2f7ab2e9f09e6892fc43429830b)
est la fraction continue
![{\displaystyle {\cfrac {1}{1-{\cfrac {maz}{1+{\cfrac {(ma-k)z}{2-{\cfrac {(ma+k)z}{3+{\cfrac {2(ma-2k)z}{4-{\cfrac {2(ma+2k)z}{5+\ldots }}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a27ed851e0e736b20c432c6284d6ba14d68fe362)
voilà donc du moins une fraction continue dont nous savons assigner
immédiatement une puissance d’un degré quelconque.
3.o Nous avons vu encore (pag. 237) que
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {f} a}{\operatorname {f} b}}=\operatorname {f} (a-b)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e08d86a07cff3eb33f90e7686b7626958b0bff5a)
donc, si l’on a les deux fractions continues
![{\displaystyle {\cfrac {1}{1-{\cfrac {az}{1+{\cfrac {(a-k)z}{2-{\cfrac {(a+k)z}{3+{\cfrac {2(a-2k)z}{4-{\cfrac {2(a+2k)z}{5+\ldots }}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e927b5f3b6ad2f7ab2e9f09e6892fc43429830b)
![{\displaystyle {\cfrac {1}{1-{\cfrac {bz}{1+{\cfrac {(b-k)z}{2-{\cfrac {(b+k)z}{3+{\cfrac {2(b-2k)z}{4-{\cfrac {2(b+2k)z}{5+\ldots }}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1aa14fa9e446e5a26c9c52ff0b92211f05c5764)
le quotient de la division de la première par la seconde sera
![{\displaystyle {\cfrac {1}{1-{\cfrac {(a-b)z}{1+{\cfrac {(a-b-k)z}{2-{\cfrac {(a-b+k)z}{3+{\cfrac {2(a-b-2k)z}{4-{\cfrac {2(a-b+2k)z}{5+\ldots }}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81fb423c105b2eed98e6f2d3f2ac4b78e7ad6150)
voilà donc du moins des fractions continues que l’on sait immédiatement diviser l’une par l’autre.
4.o Nous avons vu enfin (pag. 237) que
![{\displaystyle {\sqrt[{m}]{\operatorname {f} a}}=\operatorname {f} {\cfrac {a}{m}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a57b26705eabccf4a2da0dd62a52b2ae9e47f900)
donc la racine m.me de la fraction continue
![{\displaystyle {\cfrac {1}{1-{\cfrac {az}{1+{\cfrac {(a-k)z}{2-{\cfrac {(a+k)z}{3+{\cfrac {2(a-2k)z}{4-{\cfrac {2(a+2k)z}{5+\ldots }}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e927b5f3b6ad2f7ab2e9f09e6892fc43429830b)
est la fraction continue
![{\displaystyle {\cfrac {1}{1-{\cfrac {{\cfrac {a}{m}}z}{1+{\cfrac {\left({\cfrac {a}{m}}-k\right)z}{2-{\cfrac {\left({\cfrac {a}{m}}+k\right)z}{3+{\cfrac {2\left({\cfrac {a}{m}}-2k\right)z}{4-{\cfrac {2\left({\cfrac {a}{m}}+2k\right)z}{5+\ldots }}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ae988920e81e58647bd61c1e93cdc74aefa8afa)
encore, en réduisant
![{\displaystyle {\cfrac {1}{1-{\cfrac {az}{m+{\cfrac {m(a-mk)z}{2m-{\cfrac {m(a+mk)z}{3m+{\cfrac {2m(a-2mk)z}{4m-{\cfrac {2m(a+2mk)z}{5m+\ldots }}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b379b514a79111816d489531109528f85f9a4c2)
voilà donc du moins une fraction continue dont nous savons assigner
immédiatement une racine d’un degré quelconque.
5.o Si, dans notre série, on fait
elle se réduira
à
faisant donc les mêmes substitutions dans la fraction continue
équivalente à sa m.me puissance ; il viendra, en changeant
en
![{\displaystyle (1+x)^{m}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {mx}{1+{\cfrac {(m+1)x}{2-{\cfrac {(m-1)x}{3+{\cfrac {2(m+2)x}{4-{\cfrac {2(m-2)x}{5+\ldots }}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca4e7ddaea6863aa93bb415ec9c8bb82fa921a30)
de là on conclura
![{\displaystyle {\cfrac {1}{(1+x)^{m}}}=(1+x)^{-m}=1-{\cfrac {mx}{1+{\cfrac {(m+1)x}{2-{\cfrac {(m-1)x}{3+{\cfrac {2(m+2)x}{4-{\cfrac {2(m-2)x}{5+\ldots }}}}}}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af979f51e116db32736877ad1507419afc9dc462)
ce qui, en changeant le signe de
donnera cette autre expression,
![{\displaystyle (1+x)^{m}=1+{\cfrac {mx}{1-{\cfrac {(m-1)x}{2+{\cfrac {(m+1)x}{3-{\cfrac {2(m-2)x}{4+{\cfrac {2(m+2)x}{5-\ldots }}}}}}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e207db7407bb93366c36291a3ab65e478b741f)
6.o Si, dans notre série, on suppose simplement
elle devient,
changeant
en
![{\displaystyle 1+{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{1.2}}+{\frac {x^{3}}{1.2.3}}+{\frac {x^{4}}{1.2.3.4}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/197836df62e8d4df61c4bf1b47453eefaa649d7e)
que l’on sait être égal à
étant la base des logarithmes népériens ; faisant donc la même substitution dans la fraction continue,
équivalente, nous aurons
![{\displaystyle e^{x}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2-{\cfrac {x}{3+{\cfrac {2x}{4-{\cfrac {2x}{5+{\cfrac {3x}{6-{\cfrac {3x}{7+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323ba039fee1156c32fbf5f802ef6289b573dd84)
ou, en simplifiant
![{\displaystyle e^{x}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2-{\cfrac {x}{3+{\cfrac {x}{2-{\cfrac {x}{5+{\cfrac {x}{2-{\cfrac {x}{7+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0958bc79af9e8cc6f39559ad222a38a32d84e528)
de là on conclut
![{\displaystyle {\cfrac {1}{e^{x}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aa3301f82512ddf6b7464dac8257b28141ad327)
ou
![{\displaystyle e^{-x}=1-{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2-{\cfrac {x}{3+{\cfrac {x}{2-{\cfrac {x}{5+{\cfrac {x}{2-{\cfrac {x}{7+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69e9fae366caca4874acf72a8e703d83660acc7c)
ce qui, en changeant le signe de
donne cette nouvelle expression
![{\displaystyle e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{2+{\cfrac {x}{3-{\cfrac {x}{2+{\cfrac {x}{5-{\cfrac {x}{2+{\cfrac {x}{7-\ldots }}}}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0a4e208e637978fce1cea32071a0889fae4bd26)
on en conclut, en posant ![{\displaystyle x=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0954524da2f040331897141e1bfa00761a40126)
![{\displaystyle e={\cfrac {1}{1-{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2-{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{2-{\cfrac {1}{5+{\cfrac {1}{2-{\cfrac {1}{7+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acdcf59224446bbba09a0b0c3ac4d4d1598b4e6b)
ou bien
![{\displaystyle e=1+{\cfrac {1}{1-{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3-{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{5-{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{7-\ldots }}}}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9010598645ffc8e2798ba7398120c8acd561734c)
résultats déjà obtenus par M. Bret, à la page 50 de ce volume ;
mais dont notre procédé rend la loi beaucoup plus manifeste.
7.o On sait que
![{\displaystyle (1+x)^{m}=1+{\frac {m\operatorname {l} (1+x)}{1}}+{\frac {m^{2}\operatorname {l} ^{2}(1+x)}{1.2}}+{\frac {m^{3}\operatorname {l} ^{3}(1+x)}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02a95494f977817c80b02b1891bd321a7376ec51)
égalant celle valeur de
au dernier des deux développemens que nous en avons obtenus ci-dessus, il viendra, en supprimant l’unité de part et d’autre et divisant ensuite par ![{\displaystyle m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {l} (1+x)}{1}}+{\frac {m\operatorname {l} ^{2}(1+x)}{1.2}}+\ldots ={\cfrac {mx}{1-{\cfrac {(m-1)x}{2+{\cfrac {(m+1)x}{3-{\cfrac {2(m-2)x}{4+{\cfrac {2(m+2)x}{5-\ldots }}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72bcaf3547a0c5ace6e05ff980d33922044eeebd)
faisant enfin l’indéterminée
nous aurons
![{\displaystyle \operatorname {l} (1+x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2-{\cfrac {x}{3+{\cfrac {4x}{4-{\cfrac {4x}{5+{\cfrac {9x}{6-{\cfrac {9x}{7+{\cfrac {16x}{8-{\cfrac {16x}{9+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0dc4729443d4940572c6df5c2e8ed67e48a9a47)
et par conséquent
![{\displaystyle \operatorname {l} 2={\cfrac {1}{1-{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3-{\cfrac {4}{4+{\cfrac {4}{5-{\cfrac {9}{6+{\cfrac {9}{7-\ldots }}}}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2d9ab1e5f844923e0f22776f1c3a3038f7c3912)
8.o Si dans notre série fondamentale et dans le développement
de sa m.me puissance, on fait
, on aura
![{\displaystyle \left(1-{\frac {z}{1}}+{\frac {z^{2}}{1.2}}+{\frac {z^{3}}{1.2.3}}+{\frac {z^{4}}{1.2.3.4}}-\ldots \right)^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/138427b7b4d5a7071f58cb639c7cebb45cea65c5)
![{\displaystyle ={\cfrac {1}{1+{\cfrac {mz}{1-{\cfrac {mz}{2+{\cfrac {mz}{3-{\cfrac {2mz}{4+{\cfrac {2mz}{5-\ldots }}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca1e06747ff63a9262c89b55cfd649995dae92e5)
Si, au contraire, on fait, à la fois,
, il viendra
![{\displaystyle \left(1-z+z^{2}-z^{3}+z^{4}-z^{5}+\ldots \right)^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe24cc760d71a815464cd42c3d8fac9d4bc1a566)
![{\displaystyle ={\cfrac {1}{1+{\cfrac {mz}{1-{\cfrac {(m-1)z}{2+{\cfrac {(m+1)z}{3-{\cfrac {2(m-2)z}{4+{\cfrac {2(m+2)z}{5-\ldots }}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c93999c86e535883ae9d090708d182c029524729)
Comme ces recherches ne présentent rien de difficile, nous croyons pouvoir nous dispenser de les pousser plus loin.