ASTRONOMIE.
Mémoire sur les occultations des étoiles fixes par la lune ;
Par
M. le professeur
Kramp, doyen de la faculté des
sciences de Strasbourg, correspondant de l’académie
des sciences, chevalier de l’Ordre royal de la légion
d’honneur.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Problème I. Soient une étoile fixe quelconque (fig. I), l’arc de grand cercle dirigé de l’étoile vers le point d’équinoxe du printemps. Soient de plus le centre de la lune, vu, dans le même instant, par deux observateurs, situés en deux points quelconques de la surface de la terre. On demande la relation générale entre les diverses quantités que le problème donne lieu de considérer ?
2. Solution. Les quantités données du problème sont les demi-diamètres de la lune et de la terre ; nous nommerons le premier
et le second Ensuite la distance du centre de la lune au centre
de la terre ; nous la désignerons par Cela rend le demi-diamètre apparent de la lune égal à
et sa parallèle horizontale égale à
De même que dans nos précédens mémoires, nous ne ferons aucun
usage des parallaxes : nous y suppléerons par la considération des
coordonnées.
3. Il faudra fixer les trois axes rectangulaires, auxquels nous assignerons le centre de la terre pour point d’intersection commun,
et auxquels nous rapporterons tant le centre de la lune que les deux
points de la surface de la terre où les deux observateurs sont placés.
En désignant par les coordonnées de l’un, et par les coordonnées de l’autre, nous supposerons l’axe des dirigé du
centre de la terre vers l’étoile ; l’axe des sera perpendiculaire au
précédent et dans le plan qui passe par l’équinoxe du printemps ;
l’axe des sera perpendiculaire au plan des deux autres.
4. Nous nommerons les coordonnées du centre de la
lune, respectivement parallèles aux et prises dans le même
sens ; ce qui donne
Comme, près de la conjonction, le quarré l’emporte beaucoup sur la somme la différence sera presque nulle ; et, à plus forte raison,
sera-t-il permis de faire
5. Le point est infiniment éloigné de l’œil ; ses coordonnées
sont donc infiniment grandes ; ce qui nous empêche de les faire
entrer dans le calcul. À leur défaut, nous introduirons les angles
que font les rayons visuels des deux observateurs avec les axes de
notre problème. Nous ferons,
Pour le premier observateur,
Angle avec l’axe des
Angle avec l’axe des
Pour le second observateur,
Angle avec l’axe des
Angle avec l’axe des
6. Nous avons exposé, dans le tableau suivant, pour chacun
des deux observateurs, les coordonnées des trois points par lesquels
passe le rayon visuel ; savoir :
1.o Le lieu de l’observateur ;
2.o Le centre de la lune ;
3.o Le lieu apparent de ce centre dans l’espace.
nous aurons donc les quatre proportions
d’où il résulte
7. En éliminant ici les coordonnées du centre de la lune,
on formera deux nouvelles équations, auxquelles, pour en faire
mieux ressortir la symétrie, nous donnerons la forme suivante :
Elles font connaître la relation entre le déplacement de l’observateur et celui du lieu apparent du centre de la lune ; elles contiennent ainsi la solution du problème.
8. Elles deviennent beaucoup plus simples, si l’on suppose l’un
des deux observateurs au centre même de la terre. Il en résulte ce
genre d’occultation qu’à l’imitation de l’éclipse géocentrique nous
nommerons occultation géocentrique. En plaçant au centre de la
terre celui des deux à qui se rapportent les lettres accentuées de même que nous aurons
et nos deux équations deviendront
9. Des trois axes principaux auxquels nous avons rapporté jusqu’ici le lieu de l’observateur, celui des était dirigé vers l’étoile
elle-même ; celui des perpendiculaire à celui-là, était dirigé
dans un plan passant par l’équinoxe du printemps ; et celui des était perpendiculaire au plan des deux autres. Pour nous rapprocher
du mouvement journalier de la terre, nous introduirons trois nouveaux axes rectangulaires, ayant encore leur intersection commune
au centre de la terre, afin d’y rapporter nos trois nouvelles variables,
que nous désignerons par les lettres majuscules
L’axe des sera dirigé vers le point d’équinoxe du printemps,
intersection commune de l’équateur et de l’écliptique ; l’axe des sera mené dans le plan de l’équateur même ; et l’axe des aboutira à
son pôle. Ainsi, le plan sera celui de l’équateur ; le plan sera le colure des solstices ; et le plan sera le colure des équinoxes.
10. En prenant l’orthoëdre (fig.2) comme le représentant
du système des trois axes rectangulaires que nous avons employés
jusqu’ici ; on pourra prendre le côté pour le plan du cercle
qui va de l’étoile immédiatement au point d’Aries ; le troisième
sommet pour le pôle de ce plan ; et le sommet pour le
lieu de l’étoile. Prolongeant le côté jusqu’au point d’Aries,
qui est ici désigné par et menant sur la surface de la sphère
l’arc faisant avec un angle égal à celui que fait l’équateur avec cet arc, le grand cercle dont fera partie pourra
représenter l’équateur. Il ne restera plus qu’à prendre l’arc égal
à un quart de circonférence, et assigner la position du point pôle de cet arc ; pour avoir, dans le nouvel orthoëdre le représentant du nouveau système de coordonnées que nous avons
désigné d’avance par les lettres majuscules
11. Soit l’arc distance de l’étoile au point d’équinoxe,
au moment de l’observation ; et soit l’angle que fait cet arc avec l’équateur Je choisis les lettres et pour établir une
sorte d’analogie entre la question actuelle, relative aux occultations
d’étoiles par la lune, et le problème des éclipses de soleil, que
j’ai traité dans des mémoires auxquels celui-ci fait suite. Il est clair,
au reste, qu’en désignant
Par
l’ascension droite de l’étoile,
Par
sa déclinaison ;
On aura
desquels on tirera
12. Menons des trois sommets de l’un des deux orthoëdres aux
trois sommets de l’autre, des arcs de grands cercles qui ne sont pas
exprimés dans la figure, mais qu’il est aisé d’imaginer. On aura
13. On aura enfin pour résultat les six égalités qui suivent, lesquelles renferment la solution du problème qui nous occupe,
et réciproquement
Ce sont les mêmes formules qu’on a déjà vu paraître dans le
Mémoire sur les éclipses de soleil (tom. VI, pag. 142). Seulement
et désignent ici des angles un peu différens.
14. L’angle que fait, dans un instant donné, le méridien d’un
lieu avec le colure des équinoxes, est ce qu’on appelle ascension droite du milieu du ciel, ascension droite du méridien, angle horaire de l’équinoxe ; et comme, dans toute cette analise, l’un
des deux côtés sera toujours le colure des équinoxes, nous le nommerons simplement angle horaire. Au moment du midi vrai, l’angle
horaire sera donc égal à l’ascension droite du soleil. Et, si l’on
désigne par l’ascension droite du soleil au midi vrai d’un certain
jour, et par ce qu’elle sera midi vrai du jour suivant, l’angle
horaire aura augmenté pendant cet intervalle de quantité angulaire que, pour abréger, nous désignerons par Comme de plus cette augmentation sera proportionnelle au temps ; il
s’ensuit qu’en prenant pour unité la durée entière d’un jour solaire,
l’angle horaire au bout du temps considéré comme une fraction
quelconque du jour, sera égal à
15. Si de plus on désigne par la distance angulaire entre le
méridien dont nous parlons et un autre méridien terrestre, situé à
son orient ; l’angle horaire au moment du midi vrai étant il
sera pour le second, dans le même instant, et, après une fraction du jour exprimée par il sera en conservant
à sa signification Ainsi, désignant généralement
l’angle horaire par on aura
16. L’autre angle qui sert à déterminer la position du lieu de
l’observateur, par rapport à nos trois axes principaux, c’est la latitude du lieu ; nous la désignerons par Ce doit être pris positivement pour une latitude australe, et négativement pour une
latitude boréale. C’est précisément le contraire de ce que nous avons fait dans les éclipses de soleil. L’angle est une quantité constante
pour chaque lieu de la terre : l’angle est une quantité variable
qui, pendant sa rotation, varie proportionnellement au temps.
17. La tangente de l’angle horaire est, dans ce cas, égale à
et, dans la supposition d’une terre sphérique, la latitude a pour sinus Il en résulte
Moyennant ces formules, on aura, pour chaque instant, les coordonnées de tout lieu dont on connaît la latitude. Les
formules ci-dessus (13) nous aideront à en déduire les coordonnées
qui se rapportent immédiatement à la phase de l’éclipse,
et qui pourront servir dans l’application de nos premières formules.
18. Le calcul de l’occultation géocentrique n’a aucune difficulté.
Il faudra, pour l’instant proposé, déterminer les coordonnées
(fig. 1) du lieu géocentrique du centre de
la lune, par rapport à l’étoile que nous supposons toujours en Ayant déjà désigné
Par
l’ascension droite de l’étoile,
Par
sa déclinaison ;
et ayant déterminé par leur moyen les deux quantités angulaires
qui répondent à ce qu’étaient, dans le calcul des éclipses
de soleil, la longitude de cet astre et l’obliquité de l’écliptique,
nous désignerons de plus
Par
l’ascension droite de la lune,
Par
sa déclinaison.
Par ce moyen, nous aurons
19. Comme et sont des quantités constantes, et que et sont des fonctions du temps ; il s’ensuit qu’en n’embrassant qu’un
intervalle de temps peu considérable, il sera permis de supposer
Les quantités numériques étant presque immédiatement données par les tables. Le temps sera, et pourra toujours
être exprimé en fraction de l’intervalle d’une heure : c’est à peu
près le maximum de la durée d’une occultation d’étoile fixe.
20. Le moment de la conjonction est indiquée par ce qui, donne
et La plus courte distance apparente
des centres, et c’est
répond à l’équation
ce qui donne
elle sera égale
Mais tout
cela ne peut regarder que l’occultation géocentrique.
21. La latitude connue du lieu, les angles horaires qu’on vient
de déterminer, et la connaissance des quatre quantités
lesquelles impliquent celle de introduisent aux coordonnées
moyennant les précédentes formules (17). Ensuite,
les formules (13) font connaître, sans difficulté, les coordonnées
dont la valeur numérique est changée à chaque instant,
en vertu de la rotation de la terre, ainsi que du mouvement propre de la lune. Ensuite de quoi les formules (8), c’est-à-dire,
nous ferons connaître, pour chaque instant demandé, les deux
coordonnées La somme de leurs quarrés, ou sera
égale, au moment de l’immersion de même qu’à celui de l’émersion,
au quarré du demi-diamètre apparent de la lune ; quantité variable
qui dépendra du temps, mais dont on trouve cependant la valeur
méridienne à la cinquième page de chaque mois de la connaissance
des temps, laquelle fera connaître, moyennant un calcul très-facile,
le demi-diamètre de la lune, à tous les instans de la journée.
22. Le problème n’est pas encore résolu. Il faut déterminer,
jusqu’à la précision d’une seconde au moins, le véritable moment
tant de l’immersion que de l’émersion de l’étoile. Le moment n’est
calculé dans nos éphémérides que pour un certain nombre de cas
très-déterminés, et encore ne l’est-il qu’à la précision des minutes de temps. La méthode suivante m’a paru, par sa simplicité et par
sa généralité, l’emporter sur toutes les autres.
23. Désignons par la distance apparente entre l’étoile et le
centre de la lune, à l’époque désignée par Il est visible qu’entre
des limites de temps très-resserrées, on peut fort bien supposer
Cela étant, supposons qu’aux temps marqués par et il réponde des distances . On aura donc
Les temps et sont donnés, ainsi que les distances qui
leur répondent respectivement. Les coefficiens ne le sont pas ;
mais on les détermine très-aisément par les deux formules suivantes, auxquelles conduisent les deux équations ci-dessus
d’où il résulte
Cette dernière formule nous met dans le cas de déterminer l’instant
où la distance des centres a une valeur déterminée, et par conséquent celui où elle est égale au demi-diamètre apparent de la lune.
24. Dans les exemples qui vont suivre, on doit observer que, pour abréger, nous avons mis partout et au lieu de
et et qu’il en est de même des tangentes et
cotangentes, sécantes et cosécantes, tant de que des autres angles.
Il faut observer de plus que les signes plus et moins qui paraissent
affecter les caractéristiques, regardent les lignes trigonométriques
elles-mêmes, et non leurs logarithmes. Ainsi, par exemple, l’expression
signifie simplement que l’angle
est aigu, parce que son cosinus est positif ; mais
fait entendre que l’angle est plus grand que deux angles droits,
ou bien qu’étant toujours, abstraction faite du signe, égal à il doit être pris négativement. Au moyen de cette notation, on
verra toujours clairement si un logarithme, somme de plusieurs
autres, appartient à un nombre positif ou à un nombre négatif.
25. EXEMPLE I. On trouve dans la Connaissance des temps
(année 1819) l’indication suivante :
« Le 13 avril immersion d’Antarès, vers 10 heures.
Émersion, à
Antarès au centre de la lune.
L’émersion a lieu quelques minutes avant le lever de la lune ».
On sait que, pour Antarès, on a, 1.er janvier 1810,
Ascension droite moyenne
Déclinaison australe moyenne
Variat. annuelle de l’ascens. droite
Variat. annuelle de la déclinaison
D’où il suit qu’on doit avoir
Ascens. droite vraie, ou
Déclinaison vraie,
ou
En conséquence,
Donc
Et par conséquent,
26. Quant à l’ascension droite de la lune, et ses différences, on trouve
et quant à la déclinaison, on a
Il en résulte (Annales, tom. VI, pag. 153)
Dans ces deux formules, le temps est compté depuis le 12 à minuit, heure vraie de Paris ; et l’on a pris pour unité la durée d’une demi-journée solaire.
27. Nous allons resserrer ces limites du temps. La durée entière
d’une occultation d’étoile fixe n’excède guère une heure. Celle
d’Antarès, dont il s’agit ici, compte son immersion de 10 heures,
et son émersion a lieu vers les 11 heures. Donc, en remplaçant
le des précédentes formules le des formules résultantes
sera compté depuis dix heures du soir, en fraction d’un jour de
douze heures, et ce sera là notre unité de temps. On aura, en
supprimant les et les après la substitution, ce qui sera
très-permis,
28. Faisant usage de ces valeurs, dans les formules (18, 19), nous aurons
Il en résulte que
29. On a de plus la hauteur du pôle pour Paris, ou
Quant à la différence des ascensions droites on trouve
donc
et voilà toutes les données relatives à l’occultation géocentrique.
30. Occultation pour Paris.
d’où il résulte
et de là
donc aussi
et, par suite
ce qui donne
et de là
Demi-diamètre apparent de la lune
Différence
Cette différence, qui est en parties décimales d’un degré, se réduit
en temps à six quinzièmes d’une minute ; et comme, dans la Connaissance de temps, le calcul n’a été poussé qu’à des minutes entières,
on voit bien qu’elle a dû échapper au calculateur. Pour fixer
exactement l’instant de l’immersion, faisons usage de la méthode
exposée (28) ; et cherchons quelle doit être la distance des centres
à du soir.
31. Occultation pour Paris, une minute après la précédente.
La hauteur du pôle c’est à cela que se réduit le calcul de l’angle horaire fondé sur ce qu’à chaque minute de rotation, cet angle augmente de ou de des qui en font la différence, dans une journée entière. On aura donc
d’où on tirera
et de là
donc
ce qui donne
Demi-diamètre de la lune
Différence
L’erreur de la formule précédente, qui était se trouve
donc réduite à ; ce qui fait upe diminution de Cette
différence est beaucoup trop petite pour répondre à tout le reste
de la prédiction. Pour y parvenir, calculons une table qui donne
les valeurs de et pour toutes les valeurs de ,
de cinq en cinq minutes.
Ayant trouvé (28),
Il en résulte que, de cinq en cinq minutes, les valeurs de et forment deux progressions arithmétiques, dans lesquelles la différence constante sera
Ayant de plus
on voit que les valeurs de ou
de l’angle horaire formeront de même une progression arithmétique
dont la différence constante sera la 240.e partie de ; c’est-à-dire
; on aura donc la table suivante :
33. Connaissant les coordonnées de même que les angles
horaires on aura facilement (13, 8) les coordonnées qui
se rapportent à l’observation de Paris ; de là on déduira avec facilité les distances des centres, égales à
en voici la table :
34. L’immersion et l’émersion d’Antarès devant se faire au moment
où
devient égale au demi-diamètre apparent de la lune
qui, le 13 avril, est de à l’horizon, et qui, de là jusqu’au
zénith, ne peut changer que de tout au plus ; on voit qu’on
aura, pour le véritable moment,
La durée entière de l’occultation serait donc tandis que,
dans la Connaissance des temps, elle se trouve prédite de II
y est dit de plus que l’étoile doit se trouver au centre de la lune dans le plus fort le l’occultation ; tandis qu’ici le minimum de la
distance des centres est de
ce qui n’est que les
six septièmes, ou plus exactement les treize quinzièmes du demi-diamètre de la lune,
35. La ville de Berlin est située à
de latitude boréale ; et de plus à
ou à en
temps à l’orient de Paris.
Les Éphémérides de Berlin fixent cette même occultation à
pour l’immersion et à
pour l’émersion ; ce sont là deux
choses qu’il importe d’examiner. La table (32) reste en entier ; et,
quant à la table (33), voici ce qu’un calcul exact nous a fait connaître.
On aura, d’après ce calcul, le véritable moment
la durée entière de l’occultation sera donc . D’après le calcul
des astronomes de Berlin, la durée entière de cette occultation
serait de Le plus fort de l’occultation arrive à On
peut observer que pour des temps égaux ou, pour parler plus
exactement, pour des temps équidifférens, les et les correspondans forment deux progressions qui, à quelques secondes près,
sont sensiblement arithmétiques ; ce qui rend le calcul de ces coordonnées beaucoup plus facile.
36. EXEMPLE II. On trouve, dans le même volume de la
Connaissance des temps, ce qui suit :
« Le 12 mars, immersion de de la Vierge à ;
Émersion à
Plus courte distance de l’étoile au sud du centre de la lune, ».
On sait que, pour de la Vierge, on a
donc
On conclut de là
et ensuite
donc encore
37. Quant à l’ascension droite de la lune, on trouve
Et, quant à la déclinaison, on aura
Il en résulte
Dans les deux formules, le temps est compté depuis le 11 à minuit ; et l’unité de temps est la durée d’un demi-jour solaire.
38. En remplaçant dans ces équations, par comme nous
l’avons fait dans le cas précédent, on en formera deux autres, dans
lesquelles le temps sera compté depuis 8 heures du soir du 12 avril ;
l’unité de temps étant toujours la durée d’une journée solaire. On
aura, en employant ce nouveau langage, et en supprimant les et les
les expressions suivantes
39. Faisant usage de ces valeurs particulières, dans les formules (18, 19), nous aurons
40. Quant à la différence des ascensions droites, on aura, pour le 12 à midi,
donc enfin, à 8 heures du soir,
41. En, voilà assez pour calculer les et de même que
les angles horaires pour tout le temps de l’occultation, de en minutes ; en voici le tableau
42. Il en résulte, en prenant d’abord la première ligne de la table, et en supposant
ce qui suit
donc
donc enfin
ce qui excède de beaucoup le demi-diamètre apparent de la lune à cette époque.
43. Examinons l’état du ciel à 8 heures du soir ; c’est le moment
pour lequel nous aurons
Ces données nous fourniront
et de là
donc enfin
ce qui est prodigieusement éloigné de la prédiction qui a été faite.