TRIGONOMÉTRIE.
Essai sur diverses expressions approchées de la
circonférence du cercle.
Par M. Th. Barrois.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Soient
et
deux nombres entiers positifs quelconques, et soient
et
respectivement les périmètres des polygones réguliers de
côtés inscrit et circonscrit au cercle dont le rayon est l’unité, et dont conséquemment la circonférence est
; on aura évidemment.
![{\displaystyle p=2.^{m+1}n\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{2.^{m}n}},\ P=2.^{m+1}n\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{2.^{m}n}}=2.^{m+1}n{\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{2.^{m}n}}}{\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2.^{m}n}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed51d9ed5a79721e04d7e144a862ff3eef1165d)
![{\displaystyle P-p=2.^{m+1}n{\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{2.^{m}n}}-\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{2.^{m}n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a143555bb5ba0531b963897430872ac85f5f31a3)
Mais on sait que,
étant un arc quelconque ; on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Sin} .x=&2\operatorname {Cos} .{\frac {x}{2}}\operatorname {Sin} .{\frac {x}{2}}\\=&4\operatorname {Cos} .{\frac {x}{2}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{4}}\operatorname {Sin} .{\frac {x}{4}}\\=&8\operatorname {Cos} .{\frac {x}{2}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{4}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{8}}\operatorname {Sin} .{\frac {x}{8}}\\=&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\=&2^{m}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{2}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{4}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{8}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{16}}\ldots \operatorname {Cos} .{\frac {x}{2^{m}}}\operatorname {Sin} .{\frac {x}{2^{m}}}\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef31e7e24aedad21f82e82ee925d8672489a421a)
D’où
![{\displaystyle 2^{m}\operatorname {Sin} .{\frac {x}{2^{m}}}={\frac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Cos} .{\frac {x}{2}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{4}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{8}}\ldots \operatorname {Cos} .{\frac {x}{2^{m}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21eaea7f489de434eea2614bd949dfc56199c4c6)
En faisant dans cette formule
, elle deviendra
![{\displaystyle 2^{m}\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{2^{m}n}}={\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{n}}}{\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{4n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{8n}}\ldots \operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2^{m}n}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d2469de146ff0b62eb719475821e4e893f6643)
valeur qui, substituée dans celles de
et
, les change en celles-ci
![{\displaystyle p={\frac {2n\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{n}}}{\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{4n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{8n}}\ldots \operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2^{m}.n}}}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97059a7848f36ca9b9f7ceb2622368f322b0a332)
(1)
![{\displaystyle P={\frac {2n\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{n}}}{\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{4n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{8n}}\ldots \operatorname {Cos} .^{2}{\frac {\varpi }{2^{m}.n}}}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cd39be20f9a8d5b532a6bafa1692066ee536f1d)
(2)
Et tels sont les périmètres des deux polygones dont il s’agit ; on voit que leurs expressions ne diffèrent que par le facteur
qui n’est qu’à la première puissance dans le dénominateur de la première, tandis qu’il se trouve au quarré dans le dénominateur de la seconde.
On a évidemment
et
; on aura donc aussi
![{\displaystyle \varpi >{\frac {n\operatorname {Sin} .{\frac {\pi }{n}}}{\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{4n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{8n}}\ldots \operatorname {Cos} .{\frac {\pi }{2^{m}.n}}}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f86057d0f0cbebdb3a522fd6c2ccea23e1f407b7)
(3)
![{\displaystyle \varpi <{\frac {n\operatorname {Sin} .{\frac {\pi }{n}}}{\operatorname {Cos} .{\frac {\pi }{2n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\pi }{4n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\pi }{8n}}\ldots \operatorname {Cos} .^{2}{\frac {\pi }{2^{m}.n}}}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9da9eddce04258ca2b935f35dd12a765fd52d5de)
(4)
Voila donc deux limites de la valeur du nombre
; limites d’autant plus resserrées, toutes choses égales d’ailleurs, que
sera plus grand. En prenant l’une ou l’autre pour valeur approchée de
la limite de l’erreur sera
![{\displaystyle 2^{m}.n\left\{\operatorname {Tang} .{\frac {\pi }{2^{m}.n}}-\operatorname {Sin} .{\frac {\pi }{2^{m}.n}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d58aac6dcdcbcbd9ff95068043887b80bb46c583)
Si donc on suppose
on aura exactement, quel que soit
![{\displaystyle \varpi ={\frac {n\operatorname {Sin} .{\frac {\pi }{n}}}{\operatorname {Cos} .{\frac {\pi }{2n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\pi }{4n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\pi }{8n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\pi }{16n}}\ldots 1}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/468f83d3e90488ec3960af179335c3fd159b9428)
(5)
le nombre des facteurs du dénominateur devant être infini, et conséquemment le dernier étant l’unité.
On sait que,
étant un arc quelconque, on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}x=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+2\operatorname {Cos} .x}},\\\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{4}}x=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\operatorname {Cos} .x}}}},\\\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{8}}x=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\operatorname {Cos} .x}}}}}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/392281299c198f83de5bd2124682adf717fdbea7)
d’où il résulte, pour l’équation (5), cette autre forme
![{\displaystyle \varpi ={\tfrac {n\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{n}}}{{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+2\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{n}}}}.{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{n}}}}}}.{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{n}}}}}}}}\ldots 1}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b538b5fca7272398b9edd441ae8b4958e3ff0cbe)
(6)
Ainsi, toutes les fois que
sera l’un des nombres dans lesquels la circonférence peut être géométriquement divisée, c’est-à-dire, quelqu’un des nombres de la suite 2, 3, 5, 17, 257,…, l’expression de
sera entièrement algébrique.
Si, par exemple, on suppose
![{\displaystyle n=2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4014eb4f6564eccaacc683fc9ff882da482c5268)
d’où
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{n}}=\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{2}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d5dbe53ad29e6eb83c655c1063eb2ef5af98d03)
et
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{n}}=\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88f7b879b1bb67f3260f56e20a3a98e3725165e2)
il viendra
![{\displaystyle \varpi ={\frac {2}{{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}.{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}.{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}.{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}\ldots 1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa56f7b2025fda4fb3f2ae69420e7eee4766a247)
Si, par exemple, on suppose
d’où
et
il viendra
![{\displaystyle \varpi ={\frac {{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}{{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}.{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}.{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}.{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}\ldots 1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ab4e986b2f52f78c3ee57e41af19e395d4f8530)
et ainsi de suite.
Ces diverses expressions semblent propres à mettre en évidence l’incommensurabilité du nombre
et de toutes les puissances de ce nombre.