PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE.
Essai sur une manière de représenter les quantités
imaginaires, dans les constructions géométriques ;
Par M. Argand.
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Au Rédacteur Des Annales,
Monsieur,
Le mémoire de M. J. F. Français qui a paru à la page 61 du 4.e volume des Annales, a pour objet d’exposer quelques nouveaux principes de géométrie de position, dont les conséquences tendent particulièrement à modifier les notions admises jusqu’ici sur la nature des quantités imaginaires.
En terminant son mémoire, M. Français annonce qu’il a trouvé le fond de ces nouvelles idées dans une lettre de M. Legendre qui en parlait comme d’une chose qui lui avait été communiquée, et il témoigne le désir que le premier auteur de ces idées mette au jour son travail sur ce sujet. Il y a tout lieu de croire que le vœu de M. Français est depuis long-temps rempli. J’ai publié en 1806, un opuscule sous le titre d’Essai sur une manière de représenter
les quantités imaginaires, dans les constructions géométriques, dont les principes sont entièrement analogues à ceux de M. Français, ainsi que vous pourrez en juger par l’exemplaire que j’ai l’honneur de vous adresser[1] d’examiner mon manuscrit et de me donner ses avis, et ce doit
être là, si je ne m’abuse, la source de la communication dont parle M. Français.
L’écrit dont il s’agit n’ayant été répandu qu’à très-petit nombre, il est extrêmement probable qu’aucun de vos lecteurs n’en a connaissance ; et je crois pouvoir prendre cette occasion de leur en présenter un extrait, présumant que cette matière pourra les intéresser, au moins par sa nouveauté ; et faire naître chez quelques-uns d’entre eux des réflexions propres à perfectionner et à étendre une théorie dont mon ouvrage ne présente encore que les premières bases.
I. Si nous considérons la suite des grandeurs
nous pouvons concevoir chacun de ses termes comme naissant de celui qui le précède, en vertu d’une opération la même pour tous, et qui peut être répétée indéfiniment.
Dans la suite inverse
on peut également concevoir chaque terme comme provenant du précédent ; mais la suite ne peut être prolongée au-delà de zéro, qu’autant qu’il sera possible d’opérer sur ce dernier terme comme sur les précédens.
Or, si a désigne, par exemple, un objet matériel, comme un franc, un gramme, les termes qui, dans la seconde suite, devraient suivre zéro, ne peuvent rien représenter de réel. On doit donc les qualifier à d’imaginaires.
Si a, au contraire, désigne un certain degré de pesanteur, agissant sur le bassin A, d’une balance contenant des poids dans ses deux bassins ; comme il est possible de diminuer a, soit en enlevant des poids au bassin A, soit en en ajoutant au bassin B, la suite en question pourra être prolongée au-delà de zéro ; et seront des quantités aussi réelles que
Cette distinction des grandeurs en réelles et imaginaires est plutôt physique qu’analitique ; elle n’est pas d’ailleurs tout à fait insolite dans le langage de la science. Le nom de foyer imaginaire est usité en optique, pour désigner le point de concours des rayons qui, analitiquement parlant, sont négatifs.
2. Lorsque nous comparons entre elles, sous le point de vue appelé rapport géométrique, deux quantités d’un genre susceptible de fournir
des valeurs négatives, l’idée de ce rapport est évidemment complexe.
Elle se compose 1.o de l’idée du rapport numérique, dépendant
de leurs grandeurs respectives, considérées absolument ; 2.o de l’idée
du rapport des directions ou sens auxquels elles appartiennent :
rapport qui, dans ce cas-ci, ne peut être que l’identité ou l’opposition.
Ainsi, quand nous disons que
nous énonçons, non seulement que mais nous affirmons
de plus que la direction de la quantité est, relativement à la direction de la quantité ce que la direction de est
relativement à la direction de et nous pouvons même exprimer cette dernière conception d’une manière absolue, en écrivant
(A)
3. Soit proposé maintenant de déterminer la moyenne proportionnelle
entre et c’est-à-dire, d’assigner la quantité qui satisfait
à la proportion
On ne pourra égaler à aucun nombre positif ou négatif, d’où
il semble qu’on doit conclure que la quantité cherchée est imaginaire.
Mais, puisque nous avons trouvé plus haut que les quantités négatives,
qui paraissaient d’abord ne pouvoir exister que dans l’imagination,
acquièrent une existence réelle, lorsque nous combinons l’idée de
la grandeur absolue avec celle de la direction ; l’analogie doit nous
porter à chercher si l’on ne pourrait pas obtenir un résultat analogue,
relativement à la quantité proposée.
Or, s’il existe une direction telle que la direction positive
soit à ce que celle-ci est à la direction négative, en désignant
par l’unité prise dans la direction la proportion
(B)
présentera 1.o une proportion purement numérique 2.o une proportion ou similitude de rapports de direction, analogue à
celle de la proportion et, puisqu’on admet la vérité de cette
dernière, on ne saurait se refuser à reconnaître également la légitimité
de la proportion
4. Nous allons encore établir ici une distinction physique entre
les quantités réelles et imaginaires. Que l’unité dont il s’agit soit,
comme plus haut, un certain degré de pesanteur, agissant sur un
des bras d’une balance. Nous avons trouvé que ce genre de grandeur
peut réellement être positif ou négatif ; mais on ne saurait aller
plus loin ; et on ne peut, en aucune manière y concevoir un genre
de poids tel que représente quelque chose de réel. Donc, dans
ce cas, est une quantité imaginaire.
Prenons maintenant pour unité positive une ligne (fig. 1),
considérée comme ayant sa direction de K à A. Suivant les notions
universellement reçues, l’unité négative sera égale à mais
prise dans un sens opposé.
Tirons perpendiculaire à nous aurons la relation suivante :
La direction de est, à la direction de comme celle-ci est à
la direction de
La condition nécessaire pour réaliser la proportion (B) se trouvera
donc complètement satisfaite, en prenant pour d la direction de
et on aura quantité tout aussi réelle que et On
voit aussi que la même condition est également remplie par
opposée à ces deux dernières quantités étant entre elles
ainsi que cela doit être.
De même qu’on a assigné une moyenne proportionnelle réelle
entre et ou entre et on pourra construire
les moyennes entre et et
De là, et par une suite de raisonnemens que nous supprimons,
on arrivera à cette conséquence générale que, si (fig. 2)
on a, abstraction faite des grandeurs absolues,
C’est là le principe fondamental de la théorie dont nous avons
essayé de poser les premières bases, dans l’écrit dont nous donnons
ici un extrait. Ce principe n’a rien au fond de plus étrange que
celui sur lequel est fondée la conception du rapport géométrique
entre deux lignes de signes différens, et il n’en est proprement
qu’une généralisation.
5. Comme, dans ce qui suivra, nous aurions à répéter fréquemment la phrase : lignes considérées comme tirées dans une certaine direction, nous emploirons l’expression abrégée : lignes en direction
ou lignes dirigées ; et nous dénoterons par la ligne dirigée
de en et par simplement, cette même ligne, considérée
dans sa grandeur absolue. Nous préférons le mot de direction à
celui de position, parce que le premier indique, entre les deux
extrémités de la ligne, une différence, essentielle dans notre théorie,
que ne marque pas le dernier. Nous pourrons réserver celui-ci pour
désigner collectivement deux directions opposées, et nous dirons
que et ont la même position.
6. Nous allons maintenant examiner comment les lignes dirigées
se combinent entre elles par addition et multiplication ; et en construire les sommes et les produits.
La multiplication ne présente aucune difficulté. Un produit n’étant autre chose que le quatrième terme de la proportion il ne s’agit que d’appliquer aux lignes données le principe du n.o 4.
Quant à l’addition, la règle que nous allons donner peut se démontrer facilement par les théorèmes qui donnent les sinus et cosinus
de la somme de deux arcs ; mais il semble qu’il serait plus élégant
de la tirer, a priori, des principes de la chose. En raisonnant par
analogie, on peut remarquer que, lorsqu’il s’agit d’ajouter deux
lignes, positives ou négatives on a pour règle générale quels
que soient les signes, de tirer d’abord l’une des lignes, par exemple ; de prendre le point d’arrivée de cette ligne pour
point de départ de la ligne de tirer ensuite et la ligne
dont les points de départ et d’arrivée sont
respectivement le point de départ de la première ligne et le point d’arrivée
de la seconde ligne sera
Généralisons ce principe et nous conclurons que étant des points quelconques, on a
7. On peut décomposer une ligne en direction donnée (fig. 3}
en deux parties appartenant à des positions données et Il suffit, pour cela, de tirer, sur les lignes parallèles à et on aura
mais, comme on a
et
et comme d’ailleurs il n’y a que ces deux manières d’opérer la décomposition proposée, il faut en conclure, en général, que si, ayant
ont la même direction et la même direction et n’appartenant pas à la même position, on doit avoir aussi
et
Cette partition a fréquemment lieu, lorsque l’une des positions
est celle de et l’autre la position perpendiculaire ; ce qui revient
à la séparation du réel et de l’imaginaire.
8. Passons aux applications, et établissons d’abord quelques conséquences dont l’emploi est le plus fréquent.
Soient (fig. 4) des
arcs égaux, au nombre de de chaque côté du point étant
prise pour unité ; et soit on aura
Et, si l’on prend, sur les rayons correspondans, les longueurs étant à volonté, on aura encore
Si sur des rayons pris pour bases, on construit des figures semblables, et que soient des lignes homologues de ces figures, on aura
(C)
9. Soient (fig. 5) on aura (5, 6, 7)
donc, en séparant,
Soient (fig. 6) prenons et tirons et se coupant en nous aurons
(n.
o 8. C)
Donc, en séparant,
Soient (fig. 7) des arcs égaux, au nombre de et faisons Nous aurons
On aura encore
Faisant et ensuite on obtient, par les termes affectés de
Soit l’arc (fig. 7) divisé en parties égales. Les rayons forment une progression géométrique, et les arcs correspondans, ou certains multiples de ces arcs, peuvent être pris pour les logarithmes de ces rayons.
Posons étant le module indéterminé.
Si l’on fait l’arc pourra être considéré comme une droite perpendiculaire sur on aura donc ou ainsi
Faisant il vient
ou encore, parce que est indéterminé
Divisons les deux arcs égaux (fig. 8) en parties égales ; tirons la double tangente et les sécantes nous aurons (8)
donc les arcs correspondans, ou certains multiples de ces arcs peuvent encore être pris pour les logarithmes de ces mêmes quantités, savoir :
Soit on a
Soit encore (fig. 9) l’arc divisé en un nombre infini de parties égales, dont soit la première, prenons et tirons et nous aurons
(D)
mais (8),
d’où
En substituant ces valeurs dans la série (D) et séparant, il vient
9. Nous bornerons ici ces applications. On peut, ainsi que nous l’avons fait dans notre Essai, obtenir, d’une manière analogue, les principaux théorèmes de la trigonométrie, comme les développemens de les sommes de séries et la décomposition de en facteurs du second degré.
Comme application à l’algèbre, nous démontrerons que tout polynôme
est décomposable en facteurs du premier degré ou, ce qui revient au même, qu’on peut toujours trouver une quantité qui, prise pour rende égal à zéro le polynôme proposé que nous désignerons par Les lettres n’étant point d’ailleurs restreintes ici à n’exprimer que des nombres réels.
Soient les valeurs de résultant des suppositions et étant des nombres pris à volonté et désignant un rayon en direction ; on aura
étant des quantités connues, dépendantes de qui s’obtiennent en développant les puissances
de . Si l’on suppose infiniment petit, les termes affectés de
disparaissent, et l’on a simplement
Construisons le second membre de cette équation, suivant les
règles précédentes. Soit l’angle que fait avec la ligne prise
pour origine des angles ; on peut prendre de manière que fasse
avec cette même ligne un angle c’est-à-dire, que la direction
de soit opposée à celle de La grandeur de sera ainsi
plus petite que celle de On obtiendra, de la même manière,
une nouvelle valeur de plus petite que
et ainsi de suite,
jusqu’à ce que soit nul ; donc, etc.
Cette démonstration est cependant sujette à une difficulté dont
nous devons la remarque à M. Legendre. La quantité peut être
nulle, et alors la construction prescrite n’est plus praticable ; mais
nous observerons que cette objection n’anéantit pas notre démonstration ; car le terme ou le terme si est nulle, et
ainsi de suite, peut remplacer le terme puisque
sont des quantités de la même nature que or, quand même on
voudrait supposer tous ces termes nuls, le dernier au moins ne
le serait pas.
10. La théorie dont nous venons de donner un aperçu, peut être
considérée sous un point de vue propre à écarter ce qu’elle peut
présenter d’obscur, et qui semble en être le but principal, savoir :
d’établir des notions nouvelles sur les quantités imaginaires. En effet,
mettant de côté la question si ces notions sont vraies ou fausses,
on peut se borner à regarder cette théorie comme un moyen de
recherches, n’adopter les lignes en direction que comme signes des
quantités réelles ou imaginaires, et ne voir, dans l’usage que nous
en avons fait, que le simple emploi d’une notation particulière. Il
suffit, pour cela, de commencer par démontrer, au moyen des
premiers théorèmes de la trigonométrie, les règles de multiplication
et d’addition données plus haut ; les applications iront de suite,
et il ne restera plus à examiner que la question de didactique
« si l’emploi de cette notation peut être avantageux, s’il peut ouvrir
des chemins plus courts et plus faciles, pour démontrer certaines
vérités ? » c’est ce que le fait seul peut décider.
11. Nous ne croyons pas devoir omettre quelques aperçus sur
une extension dont nos principes paraissent susceptibles. Soient,
comme plus haut (fig.10),
tout autre rayon mené dans le plan de ceux-là, sera de la forme
et réciproquement, toute expression de cette forme sera celle d’une ligne dirigée dans ce plan.
Tirons maintenant, du centre une perpendiculaire à
ce plan. Que sera la ligne dirigée relativement aux précédentes ?
Leur est-elle tout à fait hétérogène, ou bien peut-on la rapporter
analitiquement à l’unité primitive et assigner son expression
algébrique, comme celle de
?
Si nous nous laissons guider par l’analogie, voici ce qu’elle nous
suggère sur ces questions.
En prenant pour unité des angles la circonférence entière, il suit
des principes ci-dessus qu’un rayon en direction, faisant un angle
avec peut être exprimé par Mais, d’après la nature des
exposans, cette expression a des valeurs multiples, lorsque est fractionnaire, ce qui peut amener quelques difficultés. On évitera
cet inconvénient, en employant la notation de M. Français (mémoire cité), et en écrivant on aura ainsi
Nous avons pris, de part et d’autre du point sur la circonférence deux directions opposées, affectées l’une aux angles
positifs, l’autre aux angles négatifs ; or, si nous appliquons aux
angles les mêmes considérations qu’aux lignes, nous serons conduits
à prendre les angles imaginaires dans une direction perpendiculaire
à celle qui appartient aux angles réels.
Supposons que le demi-cercle tourne autour de le point décrivant le cercle puisqu’on a déjà
on pourra dire que
d’où on conclura
Telle paraît devoir être l’expression analitique demandée.
Si l’on prend un point sur le cercle tel qu’on ait on aura pareillement
et, en faisant pour abréger
c’est l’expression générale de tous les rayons perpendiculaires au rayon primitif de
Cherchons maintenant l’expression de l’angle
De part et d’autre du point sur la circonférence les angles sont positifs et négatifs réels, et le plan est perpendiculaire à leur direction ; il semblerait donc que l’angle est ainsi que l’angle et qu’il en doit être de même de tout angle étant pris sur la circonférence mais on s’aperçoit bientôt de la fausseté de cette conclusion, en faisant coïncider avec le point ce qui donnerait tandis que cet angle est évidemment
Pour éclaircir cette difficulté, observons qu’une direction étant
adoptée pour celle de il y a une infinité de directions qui lui
sont perpendiculaires, parmi lesquelles on en prend arbitrairement
une, pour l’affecter à l’unité imaginaire L’expression générale
de toute unité prise dans l’une de ces directions est, comme nous
venons de le voir,
Imaginons au point une infinité de direction perpendiculaires
à la circonférence en ce point ; une de ces directions sera parallèle
à C’est celle que nous avons prise pour construire les angles
imaginaires positifs c’est-à-dire, que nous avons choisi,
pour ce cas, Pareillement, au point la direction
parallèle à nous a donné les angles imaginaires négatifs
c’est-à-dire, que nous avons fait
Donc l’analogie nous conduit à faire lorsqu’il s’agit
de la direction parallèle à à partir du point
L’angle aura donc pour expression
12. Nous ne pousserons pas plus loin ces aperçus ; et nous observerons, en terminant, que les expressions,
qui désignent
des lignes considérées par rapport à une, à deux, à trois dimensions, ne sont que les premiers termes d’une suite qui peut être
prolongée indéfiniment.
Si les notions exposées dans l’article précédent étaient admises,
la question, souvent agitée, de savoir si toute fonction peut être
ramenée à la forme se trouverait résolue négativement ;
et offrirait l’exemple le plus simple d’une quantité non réductible à cette forme, et aussi hétérogène par rapport
à que l’est celle-ci par rapport à
Il existe, à la vérité, des démonstrations tendant à établir que
la fonction peut toujours être réduite à la forme mais qu’il nous soit permis de remarquer sur
ces démonstrations, que celles qui emploient le développement en
séries, ne sauraient être concluantes qu’autant qu’on prouverait que
et ont des valeurs finies. Il arrive souvent, en effet, dans
l’analise, qu’une série qui, par sa nature, ne peut exprimer que
des quantités réelles, prend une valeur, ou plutôt une forme infinie ; lorsqu’elle doit représenter une quantité imaginaire ; et on
peut présumer pareillement qu’une série composée de termes de la forme ou peut devenir infinie, si elle doit exprimer
une quantité de l’ordre
Quant aux démonstrations qui emploient les logarithmes, elles
laissent aussi, ce nous semble, quelques nuages dans l’esprit, en
ce qu’on n’a pas encore des notions bien précises sur les logarithmes
imaginaires. Il faudrait d’ailleurs s’assurer si un même logarithme
ne pourrait pas appartenir à la fois à plusieurs quantités d’ordres
différents En outre, la multiplicité des valeurs dues aux
radicaux de l’expression proposée, est une autre source d’incertitude ;
de telle sorte qu’on pourrait parvenir, de la manière la plus rigoureuse, à réduire à la forme sans
qu’il s’ensuivit nécessairement que cette fonction n’a pas encore
d’autres valeurs de l’ordre non réductibles à cette forme[2].