Tentatives et réflexions relatives au problème proposé
à la page 352 du troisième volume de ce recueil ;
Par M. Kramp, professeur, doyen de la faculté des
sciences de l’académie de Strasbourg.
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Le problème proposé à la page 352 du troisième volume des
Annales revient évidemment à celui où il s’agirait de déterminer
l’angle au sommet d’une pyramide ou d’un cône donne, à base
quelconque. C’est aussi sous ce point de vue que je me propose
de l’envisager, dans ce qui va suivre.
1. L’angle au sommet de tout corps pyramidal a pour mesure
naturelle de sa capacité le polygone sphérique décrit de son sommet
comme centre, avec un rayon arbitraire, dans toutes les faces qui
le comprennent ; et le rapport de la surface de ce polygone à celle
de la sphère entière, ou bien à la huitième partie de cette sphère,
connue sous le nom de triangle sphérique tri-rectangle,
et que,
dans mes Élémens de géométrie, j’ai désigné par le nom d’orthoèdre.
2. Désignant par la somme des angles externes d’un polygone
sphérique quelconque, la surface de ce polygone sera égale à
l’angle droit étant l’unité des angles linéaires, de même que l’orthoèdre est celui des angles solides. Ainsi l’angle droit sera à comme l’orthoèdre est à la surface du polygone sphérique.
3. La figure 4 désigne la surface antérieure d’une pyramide, ayant
pour base le polygone rectiligne Si du point comme
centre, et avec un rayon arbitraire, on décrit, dans les faces de
cette pyramide, le polygone sphérique la surface de ce
dernier polygone exprimera la capacité de l’angle solide pyramidal
dont le sommet est tandis que ses angles exprimeront les inclinaisons mutuelles de ses faces entre elles ; c’est ainsi que, par
exemple, l’angle sphérique exprime l’angle plan[1] compris entre
les deux faces triangulaires On le trouvera, lorsque l’on
connaîtra tous les angles linéaires aux sommets de la base ; c’est ainsi
qu’en désignant par l’angle par l’angle et par
l’angle on aura le cosinus de l’angle plan ou
4. Mais, pour appliquer ces principes généraux aux conoïdes ; ayant pour base une courbe quelconque, rentrant en elle-même, il faut nécessairement réduire à des coordonnées rectangulaires la position des sommets de cette base, considérée comme polygone rectiligne d’un nombre de côtés fini. Soient donc (fig. 5) trois sommets consécutifs de cette base, que nous rapporterons à l’axe indéfini mené dans le plan de cette même base, par le pied de la perpendiculaire Nous désignerons par cette même hauteur ; et, prenant le point pour origine des coordonnées, nous exprimerons par les coordonnées du premier sommet ; par celles du second sommet ; et par celles du troisième sommet ; de manière que
Il en résultera
d’où l’on tire
Il faudra aussi se procurer les expressions des sinus des deux premiers et de ces angles. On aura, après les réductions nécessaires,
Le produit exprime le double de la surface du triangle ; d’où il suit que cette surface aura pour expression
5. Le cosinus de l’angle plan qui exprime l’inclinaison mutuelle des deux faces triangulaires et ayant pour son sommet linéaire l’arête pyramidal est exprimé comme il suit :
Après les substitutions, et les réductions, en assez grand nombre ; qui se présentent, cette expression devient
On trouve ensuite, pour le sinus du même angle,
d’où il résulte enfin
et telle est la tangente de l’angle plan, compris entre les deux faces triangulaires contiguës
6. Pour passer du polygone rectiligne au cas d’une courbe continue, prenons sur son périmètre les trois points à des distances infiniment petites l’une de l’autre ; et, en continuant de désigner par les lettres les deux coordonnées du point intermédiaire nous aurons respectivement pour les coordonnées du point suivant ; tandis que
seront, respectivement, les expressions complètes des coordonnées du point précédent Comme, dans le problème que nous nous proposons, il suffira de nous arrêter aux secondes différentielles, nous aurons
En faisant ces substitutions, dans l’expression ci-dessus, nous aurons pour la différentielle de la somme des angles extérieurs, différentielle que nous représenterons conséquemment par et de laquelle dépend la solution de notre problème, l’expression suivante
7. Si nous désignons, en outre, par la portion de la surface convexe de ce corps conique ; comprise entre les deux arêtes nous aurons
d’où
L’expression de est donc beaucoup plus compliquée que celle de ; et, comme cette dernière n’est intégrable que dans un nombre de cas très-borné, desquels celui du cône oblique, à base circulaire, est formellement exclu ; on voit que l’on doit encore moins se flatter d’une solution complète du problème qui concerne la capacité des angles au sommet.
8. À la place des coordonnées rectangulaires et essayons de substituer le rayon vecteur et l’angle qu’il fait avec l’axe des ce qui donne . On trouvera ainsi
et si l’on fait constant, d’où on aura
9. Prenons pour premier exemple le cône droit ayant pour
centre de sa base, et pour rayon de cette base. Ici on aura ;
la différentielle de la surface conoïdique deviendra donc
ayant pour intégrale
ce qui donne, pour la surface entière du cône
. Faisant, pour abréger, le côté du cône ou
on aura
et Ainsi, la somme des angles extérieurs, pour le cône
entier, étant d’après cela la capacité de l’angle au sommet
deviendra
On aura donc la proportion : l’angle droit, ou est à comme l’orthoèdre est à la capacité de l’angle
qu’on cherche, lequel, par conséquent, sera égal à l’orthoèdre multiplié par
Effectivement, l’angle en question occupe, sur
la surface d’une sphère du rayon une calotte sphérique de la
hauteur dont la surface sera, par conséquent,
d’un autre côté, l’orthoèdre, égal au huitième de cette sphère, sera divisant donc la première expression par la seconde, on aura
la fraction que le précédent calcul nous a fait obtenir.
10. On sait que la surface du cône oblique se refuse à tous les
moyens connus d’intégration. On peut en conclure, à plus forte
raison, que la capacité de son angle au sommet se trouvera hors
du domaine de l’analise actuelle. Soit (fig. 6) la hauteur d’un
tel cône, ayant pour base le cercle décrit du centre avec le
rayon ; soient, de plus, ce qui nous fournit l’équation
On aura, d’après cela
différentielle qui n’est intégrable dans aucun cas. On trouvera ensuite
D’après l’essai que j’en ai fait, cette différentielle m’a paru aussi
peu intégrable que la précédente.
En faisant
et posant de plus, pour abréger
cette différentielle deviendra
formule qui n’est pas susceptible d’être intégrée.
11. L’une des courbes qui semblerait promettre des résultats plus favorables, c’est la développée de l’ellipse, comprise sous l’équation
[2]
il en résulte, en posant
La racine quarrée de cette formule est entièrement intégrable ; il
en résulte que l’arc de la développée elliptique, pris depuis est
ce qui donne, pour la longueur du quart de cette développée,
cette courbe est donc rectifiable comme le sont les développées
de toutes les courbes algébriques. Mais cet avantage est perdu, tant
pour la surface que pour la capacité angulaire du cône dont elle
est la base. Les différentielles dont dépendent ces deux problèmes
sont aussi peu intégrables que dans le cas du cône oblique à base
circulaire.