ASTRONOMIE.
Recherche des élémens d’une ellipse, dont le foyer et
trois points sont connus ;
Par M. Kramp, professeur, doyen de la faculté des
sciences de l’académie de Strasbourg.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Soient
le foyer et
trois points donnés sur le périmètre d’une ellipse, et soit
une droite fixe, dirigée d’une manière quelconque, dans le plan de ces quatre points. Il s’agit de déterminer les élémens de la courbe.
Les données du problème sont au nombre de six ; savoir : les trois angles
et les trois rayons vecteurs
Soient donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}P=Ang.\mathrm {EFP} &,\qquad p=ray.\ vec.\mathrm {FP} ,\\Q=Ang.\mathrm {EFQ} &,\qquad q=ray.\ vec.\mathrm {FQ} ,\\R=Ang.\mathrm {EFR} &,\qquad r=ray.\ vec.\mathrm {FR} .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa44f83db283d7a1b29640678f9b4a1573295093)
Les inconnues du problème sont au nombre de trois ; savoir ; l’angle
que fait la direction
du grand axe de l’ellipse avec la droite fixe
le demi-grand axe de l’orbite et son excentricité. Soient donc
![{\displaystyle \phi =Ang.EFA,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/097d2cfb7099c9c692d85fcd53a7f2ecff2ecbf3)
![{\displaystyle a=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8471c90b288179a1f6eb4fc06d65bad0b1f43f8d)
le demi-grand axe,
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\lambda =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fc31580c036e7406917215f4f144eca7eb501a0)
l’excentricité, divisée par le demi-grand axe.
En supposant que le point
est l’aphélie, on aura
![{\displaystyle \mathrm {AF} =a(1+\operatorname {Sin} .\lambda )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/907ab202191cf9b4adfec343fcd7740ba3580129)
![{\displaystyle {\begin{aligned}Ang.\mathrm {AFP} &=P-\phi ,\\Ang.\mathrm {AFP} &=Q-\phi ,\\Ang.\mathrm {AFR} &=R-\phi .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/630e1476c2cbc92e82b1385bba183b5f6077937a)
Et, par les propriétés connues de l’ellipse, on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {a\operatorname {Cos} .^{2}\lambda }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(P-\phi )}},\\q&={\frac {a\operatorname {Cos} .^{2}\lambda }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(Q-\phi )}},\\r&={\frac {a\operatorname {Cos} .^{2}\lambda }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(R-\phi )}}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17452222c1e1383836b29626045c477e7e0dbcff)
Divisant successivement la première de ces deux équations par les deux autres, il vient
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {p}{q}}&={\frac {1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(Q-\phi )}{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(P-\phi )}},\\{\frac {p}{r}}&={\frac {1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(R-\phi )}{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(P-\phi )}}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec026b14845c6d3436b4c0f96a5752beccc2a623)
Il en résulte les deux équations qui suivent
![{\displaystyle {\begin{aligned}p-q&=\left\{p\operatorname {Cos} .(P-\phi )-q\operatorname {Cos} .(Q-\phi )\right\}\operatorname {Sin} .\lambda ,\\p-r&=\left\{p\operatorname {Cos} .(P-\phi )-r\operatorname {Cos} .(R-\phi )\right\}\operatorname {Sin} .\lambda .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/978025a7fa1ddb970ee679a6b0c76c90f9f3aa3b)
En égalant entre elles les valeurs de
tirées de ces deux équations, il vient
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\lambda ={\frac {p-q}{p\operatorname {Cos} .(P-\phi )-q\operatorname {Cos} .(Q-\phi )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5518e1f294fdaa97c4bed8f5d39e14326ec3dc04)
![{\displaystyle ={\frac {p-r}{p\operatorname {Cos} .(P-\phi )-r\operatorname {Cos} .(R-\phi )}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48871a0a135e2ffcb59b32c75dd59b54c1439f9b)
et par conséquent
![{\displaystyle (p-q)\left\{p\operatorname {Cos} .(P-\phi )-r\operatorname {Cos} .(R-\phi )\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31683f7e4aa807f28e22ff8c7f5a2a8314c881c7)
![{\displaystyle =(p-r)\left\{p\operatorname {Cos} .(P-\phi )-q\operatorname {Cos} .(Q-\phi )\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/199f02af946583b2bac8e59894a22f4cbd3779ea)
en développant
et divisant ensuite par
on tire de cette équation
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\phi =-{\frac {p(r-q)\operatorname {Cos} .P+q(p-r)\operatorname {Cos} .Q+r(q-p)\operatorname {Cos} .R}{p(r-q)\operatorname {Sin} .P+q(p-r)\operatorname {Sin} .Q+r(q-p)\operatorname {Sin} .R}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de5a13c4ce6259b82a0f268446653fbfa8a2f4a9)
On déduit de là, après les réductions
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tang} .(P-\phi )&={\tfrac {p(r-q)+q(p-r)\operatorname {Cos} .(Q-P)+r(q-p).\operatorname {Cos} .(R-P)}{q(p-r)\operatorname {Sin} .(Q-P)+r(q-p)\operatorname {Sin} .(R-P)}},\\\operatorname {Tang} .(Q-\phi )&={\tfrac {p(r-q)\operatorname {Cos} .(P-Q)+q(p-r)+r(q-p)\operatorname {Cos} .(R-Q)}{p(r-q)\operatorname {Sin} .(P-Q)+r(q-p)\operatorname {Sin} .(R-Q)}},\\\operatorname {Tang} .(R-\phi )&={\tfrac {p(r-q)\operatorname {Cos} .(P-R)+q(p-r)\operatorname {Cos} .(Q-R)+r(q-p)}{p(r-q)\operatorname {Sin} .(P-R)+q(p-r)\operatorname {Sin} .(Q-R)}}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ea7c6bed3914cbab5862935056e74694f2ac0fc)
La nature du problème exige que des tangentes on passe aux cosinus. On y parvient moyennant une certaine fonction, qu’en attendant nous représenterons par
et dont la valeur, que nous nous réservons de simplifier plus loin, peut être exprimée ainsi qu’il suit :
![{\displaystyle F^{2}=\left\{{\begin{aligned}(r-q)^{2}p^{2}&+2rq(p-r)(q-p)\operatorname {Cos} .(R-Q)\\+(p-q)^{2}r^{2}&+2pr(q-p)(r-q)\operatorname {Cos} .(P-R)\\+(q-p)^{2}r^{2}&+2qp(r-q)(p-r)\operatorname {Cos} .(Q-P).\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e189f10d50a15e93916bd579362ccdf5e0014fd)
On trouve alors
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\lambda ={\frac {F}{pq\operatorname {Sin} .(Q-P)+qr\operatorname {Sin} .(R-Q)+rp\operatorname {Sin} .(P-R)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55ad31c465f5883db935fce0feff006d15a4a8c4)
et ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}F\operatorname {Cos} .(P-\phi )&=q(p-r)\operatorname {Sin} .(Q-P)+r(q-p)\operatorname {Sin} .(R-P),\\F\operatorname {Cos} .(Q-\phi )&=r(q-p)\operatorname {Sin} .(R-Q)+p(r-q)\operatorname {Sin} .(P-Q),\\F\operatorname {Cos} .(R-\phi )&=p(r-q)\operatorname {Sin} .(P-R)+q(p-r)\operatorname {Sin} .(Q-R)\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d9f18c6e4be3826b89c034dac287c18b55a6fd8)
d’où encore
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(P-\phi )&={\tfrac {q(p-r)\operatorname {Sin} .(Q-P)+r(q-p)\operatorname {Sin} .(R-P)}{pq\operatorname {Sin} .(Q-P)+qr\operatorname {Sin} .(R-Q)+rp\operatorname {Sin} .(P-R)}},\\\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(Q-\phi )&={\tfrac {r(q-p)\operatorname {Sin} .(R-Q)+p(r-q)\operatorname {Sin} .(P-Q)}{pq\operatorname {Sin} .(Q-P)+qr\operatorname {Sin} .(R-Q)+rp\operatorname {Sin} .(P-R)}},\\\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(R-\phi )&={\tfrac {p(r-q)\operatorname {Sin} .(P-R)+q(p-r)\operatorname {Sin} .(Q-R)}{pq\operatorname {Sin} .(Q-P)+qr\operatorname {Sin} .(R-Q)+rp\operatorname {Sin} .(P-R)}}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e9b2579aac40594f7e96f1201c5db83e66aa70a)
De là résulte l’égalité suivante
![{\displaystyle {\tfrac {1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(P-\phi )}{qr}}={\tfrac {1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(Q-\phi )}{rp}}={\tfrac {1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(R-\phi )}{pq}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30dae6b624d437c5cf7879f3e263a2ed0d3a5d06)
attendu que ces trois expressions se réduisent également à
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Sin} .(Q-P)+\operatorname {Sin} .(R-Q)+\operatorname {Sin} .(P-R)}{pq\operatorname {Sin} .(Q-P)+qr\operatorname {Sin} .(R-Q)+rp\operatorname {Sin} .(P-R)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70ddb1bf16b2cd8412238f61486c3cde60e8b951)
Il ne reste plus à déterminer que le demi-grand axe de l’orbite. On a
[1]
En remarquant que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cos} .(R-Q)&=1-2\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}(R-Q),\\\operatorname {Cos} .(P-R)&=1-2\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}(P-R),\\\operatorname {Cos} .(Q-P)&=1-2\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}(Q-P)\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be690dab2908ee0b42be92dc09e94dafe2b45a2c)
l’expression de
donnée ci-dessus peut être réduite à cette forme plus simple
![{\displaystyle {\begin{aligned}F^{2}&=4qr(p-q)(p-r)\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}(R-Q)\\&+4rp(q-r)(q-p)\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}(P-R)\\&+4pq(r-p)(r-q)\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}(Q-P)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa1c75a9961ccadc76167dc7b207f8e0f0a37d8)
on pourra aussi écrire
[2]