DYNAMIQUE.
Solution nouvelle du problème de la Tractoire plane, et
éclaircissemens sur ce problème ;
Par M. Dubuat, professeur à l’école de l’artillerie et du
génie.
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Lettre de M. Français, professeur à l’école de l’artillerie
et du génie,
Au Rédacteur des Annales ;
Monsieur,
Si j’avais prévu que vous dussiez publier aussi prochainement la solution donnée par feu mon frère du problème de la Tractoire[1], je n’aurais pas omis la phrase suivante, qui vient immédiatement après l’équation ![{\displaystyle c'\operatorname {Cos} .\alpha +c\operatorname {Sin} .\alpha =b\operatorname {Cos} .\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9940dd065b7646ac4799477e29b2110f862ec81)
« Il faut faire attention que ces vitesses initiales ne sont pas celles qu’on a pu imprimer au mobile
par quelque impulsion ; ce sont les résultats et de l’impulsion imprimée à
et de l’action de
sur
; de sorte que, s’il n’y a point d’impulsion, elles
sont dues uniquement à l’action de
La vitesse
n’est pas non plus due à la seule action de la force accélératrice
mais à cette action modifiée par l’effet de l’impulsion donnée à
»
Cette phrase aurait servi à éclaircir l’espèce de paradoxe que vous trouvez dans cette équation de condition. Mais voici une note, sur le même objet, qui m’a été remise par mon collègue M. Dubuat ; elle explique complètement la signification de cette équation, et offre un très-bel exemple de la manière de déterminer les vitesses initiales dans les problèmes de mécanique. Vous penserez sans doute comme moi, Monsieur, qu’elle ne sera pas déplacée dans les Annales.
1. L’équation
n’est autre chose que l’équation générale de condition
dans laquelle on a mis pour les variables
les valeurs
qu’elles ont à l’origine du mouvement.
2. Or, l’équation générale
signifie que les vitesses variables
du point
dans la direction des axes des coordonnées, sont telles que, si de la vitesse
suivant l’axe des
, on retranche la vitesse
du point
la vitesse restante
forme, avec la vitesse
suivant l’axe des
une résultante perpendiculaire au rayon vecteur
; d’où il suit que la vitesse du point
considérée soit au commencement soit dans la suite du mouvement, peut toujours être décomposée en deux vitesses, l’une parallèle à l’axe des
constante et égale à
l’autre perpendiculaire au rayon vecteur, et dont la valeur peut être quelconque.
3. Donc, si la vitesse imprimée au point
à l’origine du mouvement, n’est pas décomposable en deux vitesses suivant la même
loi, cette vitesse n’est pas la vitesse initiale d’après laquelle il faut déterminer les constantes d’intégration.
4. Soit, à l’origine du mouvement,
la vitesse imprimée au point
et
l’angle que fait sa direction avec l’axe des
: ses composantes sont
dans le sens des
et
dans le sens des
La première composante
est équivalente aux deux vitesses
et
dont la première
subsiste seule, en vertu de l’équation de condition ; mais la vitesse
n’est pas détruite en totalité : en la décomposant en deux vitesses, l’une suivant le rayon vecteur, et l’autre perpendiculaire à ce rayon ; celle-ci, dont l’expression est
subsiste, tandis que l’autre est détruite.
La vitesse
imprimée dans le sens des
étant aussi décomposée en deux vitesses, l’une suivant le rayon vecteur, et l’autre perpendiculaire à ce rayon ; la seconde subsiste seule, et son expression est
5. La vitesse initiale, résultant de la vitesse imprimée
, est donc composée d’une vitesse
parallèle à l’axe des
, et d’une vitesse
perpendiculaire au rayon vecteur ; ce qui donne pour la composante
de la vitesse initiale, suivant l’axe des
![{\displaystyle c'=b\pm \left\{V\operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )-b\operatorname {Sin} .\alpha \right\}\operatorname {Sin} .\alpha \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50ad425c0c5334221ffb666aba3fce1232a45ab1)
et pour la composante
de la vitesse initiale suivant l’axe des ![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
![{\displaystyle c=\pm \left\{V\operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )-b\operatorname {Sin} .\alpha \right\}\operatorname {Cos} .\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45348e5e74222f5ecbc36aa6c734c5f8f4e8a24e)
6. Mais voici une autre difficulté que présentent les équations (11) et (12).
Si l’on fait, dans la première
ou
dans la
seconde, on a
ce qui n’a pas de signification. Pour lever cette difficulté, je remarque qu’en vertu de l’équation de condition
l’hypothèse
donne
et par conséquent
ou
Soient d’abord
Ces deux équations signifient que la vitesse initiale du point
parallèle à l’axe des
est nulle, et que sa vitesse initiale parallèle à l’axe des
est
et égale par conséquent à la vitesse du point
dans le même sens ; les deux points
et
sont donc animés, à l’origine du mouvement, de vitesses égales et parallèles ; l’équation de condition laisse subsister ces deux vitesses dans le premier instant et dans toute la suite du mouvement. Le point
décrit donc une droite parallèle à l’axe des
, avec une vitesse constante et égale à
; ce qui donne
et
Soit, en second lieu,
et
Ces deux équations signifient que la vitesse initiale du point
parallèlement aux
est nulle, et que l’ordonnée du même point est aussi nulle, à l’origine du mouvement, sans rien déterminer sur la vitesse initiale parallèle aux
Les deux points
à l’origine du mouvement, sont donc sur l’axe des
, et le point
a une vitesse
qui, en vertu de l’équation de condition, ne peut ni augmenter ni diminuer.
Il est aisé de conclure de là que le système des deux points se mouvra, dans le premier instant et pendant toute la durée du mouvement, sur l’axe des
avec une vitesse commune
; c’est-à-dire, qu’on aura
Au surplus, le problème peut être résolu de la manière suivante :
7. Les équations de condition sont, en faisant le rayon vecteur =1,
![{\displaystyle (x-x')^{2}+y^{2}=1,\qquad x'=bt\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac493c455082553b13940b5bda275a519b1c172f)
celles du mouvement sont
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=\mu (x-x'),\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}=\mu y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75669b45d007e1b0d4a87398cbe00b86df94d12b)
étant une indéterminée. Soient
et
; en substituant ces valeurs dans les équations du mouvement, on trouve
![{\displaystyle -{\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} t^{2}}}\operatorname {Sin} .\phi -{\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} t^{2}}}\operatorname {Cos} .\phi =\mu \operatorname {Cos} .\phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce8ba79ec31726e331916ef20918589ffeef0fa4)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} t^{2}}}\operatorname {Cos} .\phi -{\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} t^{2}}}\operatorname {Sin} .\phi =\mu \operatorname {Sin} .\phi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2eb677b45279114db146f03b364595cb6616f8a)
et, en éliminant ![{\displaystyle \mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e7e1ef161a49a22b500d63307460ad92eeb6a16)
![{\displaystyle \operatorname {d} ^{2}\phi =0,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d216ed4cebeca9e5828981e69c20f529f315c8)
donc
![{\displaystyle \qquad \phi =At+A',\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94296c565ee9134fc6deaa60cea344f40a2bdbe3)
et
![{\displaystyle x=bt+\operatorname {Cos} .(At+A'),\qquad y=\operatorname {Sin} .(At+A').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/166284bc303f5396b3b7029b6c555c48d69b7439)
En déterminant les constantes d’après la vitesse initiale
faisant avecl’axe des
un angle
on a
![{\displaystyle x=bt+\operatorname {Cos} .\left\{\left[V\operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )-b\operatorname {Sin} .\alpha \right]t+\alpha \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fbe534194c4cb95cd4393e04c8cf87b9ae9007b)
![{\displaystyle y=\operatorname {Sin} .\left\{\left[V\operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )-b\operatorname {Sin} .\alpha \right]t+\alpha \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07541ff53a0b4bb7d56b3817148a7ee1cd1f8021)
Ces formules expriment que le point
se meut autour du point
d’un mouvement uniforme et continu, avec une vitesse ![{\displaystyle V\operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )-b\operatorname {Sin} .\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d673c1dcb15dcda8fdacdb21a1aaf5c46c04dfc)
8. Si l’on suppose, comme ci-dessus, que la vitesse initiale du point
parallèle à l’axe des
est nulle, et que celle parallèle à l’axe des
est
on trouve, en faisant
et
; résultat conforme à celui du n.o 6. Si l’on suppose encore que la vitesse initiale du point
parallèlement aux
est nulle, et que l’ordonnée du même point est aussi nulle, à l’origine du mouvement ; on trouvera, en faisant
conformément à ces hypothèses,
comme ci-dessus.
Metz, le 25 avril 1814.