ASTRONOMIE.
Essai d’une nouvelle solution des principaux problèmes
d’astronomie ;
Par M. Kramp, professeur, doyen de la faculté des
sciences de l’académie de Strasbourg.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
38. Les élémens de l’orbite d’un corps céleste, assujetti aux lois
de la gravitation, sont au nombre de six ; savoir : la longitude
du nœud, l’inclinaison de l’orbite, la position de la ligne des apsides,
le grand axe, l’excentricité, et l’instant du passage par l’une des deux
apsides. Trois observations complètes, en nous faisant connaître les longitudes et les latitudes géocentriques de ce corps dans trois instans donnés, nous fournissent six équations lesquelles suffisent pour déterminer
un nombre pareil d’inconnues. En continuant de désigner par
l’excentricité connue de l’orbe terrestre, nous tâcherons de représenter chacune de ces six inconnues par une série ordonnée selon
les puissances ascendantes de
telle que
![{\displaystyle A+B\lambda +C\lambda ^{2}+D\lambda ^{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c620a9bb1a89abd5d761889a5e39433565c60ddd)
Le premier terme
est ce que devient cette série, dans le cas
de
qui est celui d’un mouvement de la terre supposé uniforme et circulaire ; et on voit que ce premier terme suffira, dans le cas où l’observateur se trouverait près de l’une des deux apsides de l’orbite terrestre. Comme cette excentricité est une fraction assez petite, égale à un soixantième, à peu près ; la série sera très-convergente, même dans les cas les moins favorables. En réservant, pour le mémoire qui suivra celui-ci, la recherche du second et du troisième termes de la série, nous nous bornerons, dans le mémoire actuel, à la recherche du seul premier terme que nous avons désigné par la lettre ![{\displaystyle A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a71bf21ad35b8fe05555041d54d1e17eeb0f490)
39. PROBLÈME V. Les élémens de l’orbite étant supposés connus, on demande, pour un instant quelconque, l’expression littérale de la longitude et de la latitude géocentrique de l’astre ?
Solution. Soient (fig. 1)
, le centre du soleil ;
![{\displaystyle \mathrm {EZAT} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15fb30721ac009a2411ac3924b9dd3f9f5254f1b)
, l’orbite de la terre ;
![{\displaystyle \mathrm {MBN'} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eb8f3e68df741e35ba4bd6795ad5df7f799caa9)
, l’orbite de l’astre ;
![{\displaystyle \mathrm {SN'} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/993844da24b815760b7f260715a799e84b35ca5f)
, la ligne des nœuds ;
![{\displaystyle \mathrm {SE} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13d400c00f39d41ec5e929d9eb2a2fd66bdb9cdf)
, la ligne des équinoxe ;
![{\displaystyle \mathrm {T} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06cc73e47284b51d2ab60d333176c2366a333e7d)
, un lieu de la terre ;
![{\displaystyle \mathrm {M} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ec92b986053ec4967f418634cf062b9d980f9a)
, le lieu correspondant de l’astre ;
![{\displaystyle \mathrm {MN} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f0aacfed61805b48836b8ff45745f35c123a509)
une perpendiculaire sur la ligne des nœuds ;
![{\displaystyle \mathrm {ML} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c08dc7ae88f1c611b3196e15bc54a0dceef1d0)
, une perpendiculaire sur le plan de l’écliptique ; et soient menées
![{\displaystyle \mathrm {ST,SLSM,LN} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c639315bb9f4099bf631ebe2189958ffd59a35a)
et
![{\displaystyle \mathrm {TL} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34ba550700daf7925d631d04624446ac7d54dbf8)
prolongée jusqu’à la rencontre de
![{\displaystyle \mathrm {SN'} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/993844da24b815760b7f260715a799e84b35ca5f)
en
![{\displaystyle \mathrm {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31ea6b6e5d15ac13060c9724fdbf3aa79b353f10)
, et enfin
![{\displaystyle \mathrm {SZ} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea8609adf0f04bb46c83f777972b771c437b632)
parallèle à
![{\displaystyle \mathrm {TQ} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5ed46e90bb1371f8b3177bf82b0ed686fcb5075)
, projection sur l’écliptique du rayon visuel
![{\displaystyle \mathrm {TM} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cb22bcfe15266a98ab449b2de267b0aa55fea66)
. Alors,
Les triangles
seront tous trois rectangles en
;
et
seront respectivement les rayons vecteurs de la terre et de l’astre ;
L’angle
mesurera l’inclinaison de l’orbite ;
Et les angles
et
seront respectivement les longitude et latitude géocentriques de la planète ou de la comète.
40. Faisant
le triangle
rectangle en
donnera
![{\displaystyle \mathrm {MN} =r.\operatorname {Sin} .\mathrm {MSN} ,\qquad \mathrm {SN} =r.\operatorname {Cos} .\mathrm {MSN} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff8ab8178e41adabebd1b44a47182f86f4d1c252)
Le triangle
, rectangle en
, donnera ensuite
![{\displaystyle \mathrm {ML} =\mathrm {MN} .\operatorname {Sin} .\mathrm {MNL} =r.\operatorname {Sin} .\mathrm {MSN} .\operatorname {Sin} .\mathrm {MNL} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7699c823e87d53f9422f7ad10ea6fe28af0c7a85)
![{\displaystyle \mathrm {NL} =\mathrm {MN} .\operatorname {Cos} .\mathrm {MNL} =r.\operatorname {Sin} .\mathrm {MSN} .\operatorname {Cos} .\mathrm {MNL} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecd71657d43b30e4066adf46b8506091f204b996)
et si, du point
, on abaisse sur la ligne des nœuds
la perpendiculaire
, et qu’on mène la parallèle
à cette même ligne
, on aura
![{\displaystyle \mathrm {SO} =a.\operatorname {Cos} .\mathrm {NST} ,\qquad \mathrm {TO} =a.\operatorname {Sin} .\mathrm {NST} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/111f0016fea40f94548879c0e1cd16dfa7a8aa64)
d’où on conclura
![{\displaystyle \mathrm {NO=LP} =\mathrm {SN-SO} =r.\operatorname {Cos} .\mathrm {MSN} -a.\operatorname {Cos} .\mathrm {NST} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e44c3e6e432969dffb08211d0a14366aeb39e9)
![{\displaystyle \mathrm {PT} =\mathrm {TO} -\mathrm {LN} =a.\operatorname {Sin} .\mathrm {NST} -r.\operatorname {Sin} .\mathrm {MSN} .\operatorname {Cos} .\mathrm {MNL} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eac21c93a196f3ff4f5209819314c3daa880fca)
on aura donc
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\mathrm {TLP} =\operatorname {Tang} .\mathrm {TQS} =\operatorname {Tang} .\mathrm {NSZ} ={\tfrac {a.\operatorname {Sin} .\mathrm {NST} -r.\operatorname {Sin} .\mathrm {MSN} .\operatorname {Cos} .\mathrm {MNL} }{r.\operatorname {Cos} .\mathrm {MSN} -a.\mathrm {NST} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2151895f44b78bb7008c867a2d37ce76d045092f)
cet angle pourra donc être regardé comme donné, dès que l’on connaitra l’inclinaison
de l’orbite, les deux rayons vecteurs
et
, et les angles
qu’ils font avec la ligne des nœuds. On n’aura qu’à retrancher ensuite cet angle
de la longitude
du nœud, pour avoir la longitude géocentrique
.
41. Après la recherche de la longitude, celle de la latitude est très-facile. Des deux triangles
, rectangle en
, et
, rectangle en
, on tire les deux égalités qui suivent
![{\displaystyle \mathrm {NO=LP=LT} \operatorname {Cos} .\mathrm {TLP=LT} .\operatorname {Cos} .\mathrm {NSZ} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17e4439bd87be47d8085b85b4bb8ea59ca594ef7)
![{\displaystyle \mathrm {LM=LT} .\operatorname {Tang} .\mathrm {MTL} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b96cbe3c5abb1922d0854ca35afc54f317254f79)
d’où
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\mathrm {MTL} ={\frac {\mathrm {LM} }{\mathrm {NO} }}\operatorname {Cos} .\mathrm {NSZ} ={\frac {r.\operatorname {Sin} .\mathrm {MSN} .\operatorname {Sin} .\mathrm {MNL} .\operatorname {Cos} .\mathrm {TLP} }{r.\operatorname {Cos} .\mathrm {MSN} -a.\operatorname {Cos} .\mathrm {NST} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/164963803fbad299ff051c0722b9582be6a5eb71)
Et telle est la tangente de la latitude géocentrique.
42. Il reste donc à exprimer les angles
ainsi que les rayons vecteurs
et
en d’autres quantités qui, d’après l’énoncé de notre problème, doivent être regardées comme données : et ce sont les élémens de l’orbite de l’astre. Soient donc
l’angle
longitude du nœud ;
l’angle
inclinaison de l’orbite ;
l’angle
que fait la ligne des nœuds avec celle des apsides ;
le demi-grand axe de la planète ou comète ;
le rapport de l’excentricité au demi-grand axe ; ce qui donne
pour le demi-petit axe ;
pour la distance du foyer au centre ;
le demi-grand axe de la terre ;
le temps périodique de la terre ;
le temps périodique de l’astre ;
est connu et, quant à
nous savons qu’on a
![{\displaystyle {\frac {p^{2}}{q^{2}}}={\frac {a^{3}}{b^{3}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87103dc3b715528531c55499f7e2582bdf0d567a)
ainsi, les deux quantités désignées par
et
pourront toujours être remplacées l’une par l’autre.
43. À ces cinq élémens, savoir
il faut en ajouter un sixième : c’est celui qui doit fixer le moment du passage de l’astre par son aphélie. Nous supposerons donc qu’à cet instant la terre était au point
de son orbite. Notre sixième élément sera donc l’angle
que faisait alors la ligne des nœuds
avec le rayon vecteur
de la terre.
44. En continuant de désigner par
l’anomalie vraie de l’astre, nous emploirons la lettre
pour exprimer l’anomalie excentrique qui lui appartient. La longitude de la terre, supposée au point
de son orbite, ou l’angle
sera désignée par
ce qui rend l’angle
et l’angle
Le temps employé par la terre à parcourir l’arc
sera donc
et, comme l’astre emploîra le même temps pour parcourir l’arc
de la sienne
(
étant le lieu de son aphélie), et pour décrire ainsi l’anomalie vraie
à laquelle répond l’anomalie excentrique
et le rayon vecteur
on aura les équations qui suivent :
![{\displaystyle r={\tfrac {b\operatorname {Cos} .^{2}\mu }{1-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\phi }},\quad \operatorname {Sin} .\varkappa ={\tfrac {\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\phi }{1-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\phi }},\quad \operatorname {Cos} .\varkappa ={\tfrac {\operatorname {Cos} .\phi -\operatorname {Sin} .\mu }{1-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\phi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f08e4ba9e1c660847b106faa2ab86d9d024d3a3)
![{\displaystyle p(\theta -\delta -\eta )=q(\varkappa +\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .\varkappa ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e820e8abb1fa4c1ec34a28a2de07e1678cd78912)
45. Il paraît convenable de réduire toutes les formules aux anomalies excentriques et d’éliminer entièrement les anomalies vraies.
Cette réduction est facile ; nous aurons
![{\displaystyle r=b(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30c87c1d25149c6f05c94a413a62bf24f12c2ea9)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\phi ={\frac {\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\varkappa }{1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa }},\quad \operatorname {Cos} .\varkappa ={\frac {\operatorname {Cos} .\varkappa +\operatorname {Sin} .\mu }{1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30de3e27f9e990fd6e77f4cf3f2e6c4a695c1eb9)
![{\displaystyle r\operatorname {Sin} .\phi =b\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\varkappa ,\qquad r\operatorname {Cos} .\phi =b(\operatorname {Cos} .\varkappa +\operatorname {Sin} .\mu ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dc5fe56a84e6b6841e8ef11760a9cb84243ed31)
46. En conséquence, si l’on désigne finalement
par
la longitude géocentrique,
par
la latitude géocentrique de l’astre au moment où la terre est parvenue au point
de son orbite ; l’angle
sera
l’angle
que fait le rayon vecteur
avec la ligne des nœuds
sera
l’angle
que fait avec cette même ligne
le rayon vecteur
de l’astre sera
l’angle
sera
et l’angle
qui exprimera l’inclinaison de l’orbite sera
Les formules des n.os 40 et 41, qui nous faisaient connaître les tangentes des deux angles
et
deviendront ainsi
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .(\delta -A)={\frac {a\operatorname {Sin} .(\theta -\delta )-r\operatorname {Sin} .(\epsilon +\phi )\operatorname {Cos} .\beta }{r\operatorname {Cos} .(\epsilon +\phi )-a\operatorname {Cos} .(\theta -\delta )}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b94dcf8ee5fefa88cafaa5af8134f80ed625a87)
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .B={\frac {r\operatorname {Sin} .(\epsilon +\phi )\operatorname {Cos} .(\delta -A)\operatorname {Sin} .\beta }{r\operatorname {Cos} .(\epsilon +\phi )-a\operatorname {Cos} .(\theta -\delta )}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fefc7b32f7f997063a785878b299e1e8fb244273)
46. Multipliant ces deux équations par le dénominateur commun des fractions qui forment leurs seconds membres, elles deviendront en réduisant
![{\displaystyle a\operatorname {Sin} .(\theta -A)=r\operatorname {Cos} .(\epsilon +\phi )\operatorname {Sin} .(\delta -A)+r\operatorname {Sin} .(\epsilon +\phi )\operatorname {Cos} .(\delta -A)\operatorname {Cos} .\beta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cf4140877fd1787af624be79f5c6e1fad1bc14)
![{\displaystyle a\operatorname {Tang} .B\operatorname {Cos} .(\theta -\delta )=r\operatorname {Cos} .(\epsilon +\phi )\operatorname {Tang} .B-r\operatorname {Sin} .(\epsilon +\phi )\operatorname {Cos} .(\delta -A)\operatorname {Sin} .\beta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dc4750e62906addace9721a59afa47f3246096b)
47. Arrêtons-nous à ces deux produits
et
qui font fonction de facteurs dans ces deux formules, et qui ne sont autre chose que les deux coordonnées rectangulaires
du point
de l’ellipse rapportées au foyer
comme origine, et à la ligne des nœuds
comme axe. En les désignant respectivement par
et
et en employant les développemens donnés au n.o 45, nous aurons
![{\displaystyle P=(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa )\operatorname {Cos} .(\epsilon +\phi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/092b92690ca9497f3a29c88389a94145725da50e)
![{\displaystyle Q=(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa )\operatorname {Sin} .(\epsilon +\phi )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79512a27bc2ea54093520f30f2340fb7cdbea0ab)
ou bien
![{\displaystyle P=\operatorname {Cos} .\epsilon \operatorname {Sin} .\mu +\operatorname {Cos} .\epsilon \operatorname {Cos} .\varkappa -\operatorname {Sin} .\epsilon \operatorname {Sin} .\varkappa \operatorname {Cos} .\mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b894209d45132ee595ec6cb5b8758a5e2388731)
![{\displaystyle Q=\operatorname {Sin} .\epsilon \operatorname {Sin} .\mu +\operatorname {Sin} .\epsilon \operatorname {Cos} .\varkappa +\operatorname {Cos} .\epsilon \operatorname {Sin} .\varkappa \operatorname {Cos} .\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/319e9260497463b39d85cc8d9476b82784aff0e2)
En employant cette notation, on aura
![{\displaystyle a\operatorname {Sin} .(\theta -A)=bP\operatorname {Sin} .(\delta -A)+bQ\operatorname {Cos} .(\delta -A)\operatorname {Cos} .\beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bfdf701f6a9a7a4f670ec8b440c23b40c9ec6e9)
![{\displaystyle a\operatorname {Cos} .(\theta -\delta )\operatorname {Tang} .B=bP\operatorname {Tang} .B-bQ\operatorname {Cos} .(\delta -A)\operatorname {Sin} .\beta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94e561216b0b9fc7c5a4a00a8811ba74c05dddfc)
La ligne
distance de l’astre à la terre, égale à
deviendra, par cette même notation, ![{\displaystyle {\tfrac {bQ\operatorname {Sin} .\beta }{\operatorname {Sin} .B}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/848d34ff105aaa22bae9144ed6803ea7711f50ea)
48. Si on multiplie la première de ces équations par
l’autre par
et qu’on les ajoute ensemble, on aura une nouvelle équation débarrassée de
et ne renfermant que
seul. Multipliant de même la première par
la seconde par
et
les ôtant l’une de l’autre, en remarquant que
ce qui rend
on aura une nouvelle équation débarrassée de
et ne renfermant plus que
Ces deux équations seront
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {bP}{a}}&={\frac {\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .(\theta -\delta )+\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\theta -A)\operatorname {Cot} .B}{\operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\delta -A)\operatorname {Cot} .B}},\\{\frac {bQ}{a}}&={\frac {\operatorname {Sin} .(\theta -\delta )}{\operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\delta -A)\operatorname {Cot} .B}}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f22e6cbe923f8a15825603860369934c5c4826f4)
Leur forme nous met dans le cas de procéder par degrés à la solution du problème, en le partageant dans les trois qui suivent :
49. PROBLÈME VI. La position du plan de l’orbite étant supposée connue, et connaissant de plus le grand axe de l’ellipse, et l’instant du passage par l’une des deux apsides ; on demande de déterminer, moyennant une seule observation, l’excentricité et la position de l’axe ?
50. Solution. Les quantités connues du problème seront ainsi : l’angle
longitude du nœud ; l’angle
inclinaison de l’orbite ; les angles
et
ou la longitude et la latitude géocentriques, données par l’observation ; l’angle
longitude de la terre dans ce même instant ; l’angle
que faisait la ligne des nœuds avec le rayon vecteur de la terre, au moment du passage de l’astre par son aphélie ; enfin le demi-grand axe
de l’orbite, et par conséquent la fraction
Les deux inconnues sont l’excentricité
et l’angle
que fait la ligne des nœuds avec celle des apsides.
51. Les deux équations données (48) nous mettent dans le cas de déterminer immédiatement les deux facteurs
et
De plus, l’angle
étant supposé connu, on aurait, pour déterminer l’anomalie excentrique
l’équation (44)
![{\displaystyle p(\theta -\delta -\eta )=q(\varkappa +\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .\varkappa )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b45ff12d04b71af66f569d94c234268fbf02fa1d)
qui, outre cette anomalie, renferme encore l’excentricité, connue comme elle. Heureusement elle y est réductible ; car ayant (47)
![{\displaystyle P=(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa )\operatorname {Cos} .(\epsilon +\phi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/092b92690ca9497f3a29c88389a94145725da50e)
![{\displaystyle Q=(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa )\operatorname {Sin} .(\epsilon +\phi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6838bf888288b856c0299f00a65a65d478095e95)
on en tire
![{\displaystyle 1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa ={\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c1c4b3d44b63614997a5d34bb2fbf779a9ffc8)
quantité entièrement connue. En la désignant donc par
on obtient,
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\mu ={\frac {R-1}{\operatorname {Cos} .\varkappa }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5890d5b526701deacc8476bf4e0c096a17f6ad1e)
ce qui change notre dernière équation en
![{\displaystyle p(\theta -\delta -\eta )=q\left[\varkappa +(R-1)\operatorname {Tang} .\varkappa \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0226ba3ed9fa9e12d45b0eb3cbde0824aafa4402)
On en tirera l’anomalie
par une simple application de la règle de fausse position ; et, après l’avoir trouvée, il ne restera plus que le seul angle
à déterminer. Or, des deux équations (47)
![{\displaystyle P=\operatorname {Cos} .\epsilon \operatorname {Sin} .\mu +\operatorname {Cos} .\epsilon \operatorname {Cos} .\varkappa -\operatorname {Sin} .\epsilon \operatorname {Sin} .\varkappa \operatorname {Cos} .\mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b894209d45132ee595ec6cb5b8758a5e2388731)
![{\displaystyle Q=\operatorname {Sin} .\epsilon \operatorname {Sin} .\mu +\operatorname {Sin} .\epsilon \operatorname {Cos} .\varkappa +\operatorname {Cos} .\epsilon \operatorname {Sin} .\varkappa \operatorname {Cos} .\mu \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b7b3ad89313d8b14758c19462e292c8a68c1687)
on tire
![{\displaystyle P\operatorname {Cos} .\epsilon +Q\operatorname {Sin} .\epsilon =\operatorname {Sin} .\mu +\operatorname {Cos} .\varkappa ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/396d5ee947f3d2731872fe8f0a769c95017fd475)
![{\displaystyle Q\operatorname {Cos} .\epsilon -P\operatorname {Sin} .\epsilon =\operatorname {Sin} .\varkappa +\operatorname {Cos} .\mu \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f06e225eebf3d61ae0ee65a5c06fffaf657f37de)
ce qui donne
![{\displaystyle R\operatorname {Cos} .\epsilon =P(\operatorname {Sin} .\mu +\operatorname {Cos} .\varkappa )+Q\operatorname {Sin} .\varkappa \operatorname {Cos} .\mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd12e60962ca73eaa39ffc60185c03917ec389c7)
![{\displaystyle R\operatorname {Sin} .\epsilon =Q(\operatorname {Sin} .\mu +\operatorname {Cos} .\varkappa )-P\operatorname {Sin} .\varkappa \operatorname {Cos} .\mu \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8661e07819d41cdf888e8119472e9a6b867b9735)
Le problème sera ainsi résolu. Il pourra servir à déterminer, dans les orbes planétaires, le lieu de l’aphélie et l’excentricité, les autres élémens étant supposés connus.
52. PROBLÈME VII. Connaissant la position du plan de l’orbite, on demande de déterminer, moyennant deux observations, les quatre élémens qui restent ; savoir : l’instant du passage par l’aphélie, ou l’angle
; la position de la ligne des apsides, ou l’angle
; l’excentricité de l’orbite, ou l’angle
; enfin le
demi-grand axe
duquel dépend le rapport des deux temps périodiques
et
au moyen de l’équation
?
53. Solution. En conservant, pour la première observation, les notations du problème précèdent, on marquera par un accent celles qui se rapportent à la seconde. On désignera donc
par
les deux longitudes géocentriques
par
les deux latitudes géocentriques ;
par
les deux anomalies excentriques
par
les deux rayons vecteurs.
On aura ainsi
![{\displaystyle r=b(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa ),\qquad r'=b(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa ').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f4139f1a9ac9db924a9bd8e676e5902a795a28)
54. Les lettres
désigneront encore les fonctions trigonométriques qui suivent
![{\displaystyle {\begin{aligned}P&=\operatorname {Cos} .\epsilon \operatorname {Sin} .\mu +\operatorname {Cos} .\epsilon \operatorname {Cos} .\varkappa -\operatorname {Sin} .\epsilon \operatorname {Sin} .\varkappa \operatorname {Cos} .\mu ,\\P'&=\operatorname {Cos} .\epsilon \operatorname {Sin} .\mu +\operatorname {Cos} .\epsilon \operatorname {Cos} .\varkappa '-\operatorname {Sin} .\epsilon \operatorname {Sin} .\varkappa '\operatorname {Cos} .\mu ,\\Q&=\operatorname {Sin} .\epsilon \operatorname {Sin} .\mu +\operatorname {Sin} .\epsilon \operatorname {Cos} .\varkappa +\operatorname {Cos} .\epsilon \operatorname {Sin} .\varkappa \operatorname {Cos} .\mu ,\\Q'&=\operatorname {Sin} .\epsilon \operatorname {Sin} .\mu +\operatorname {Sin} .\epsilon \operatorname {Cos} .\varkappa '+\operatorname {Cos} .\epsilon \operatorname {Sin} .\varkappa '\operatorname {Cos} .\mu ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0802b6589f1da8c6f561a69b9f921dde773279c7)
55. On aura donc, en vertu de (48),
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {bP}{a}}&={\frac {\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .(\theta -\delta )+\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\theta -A)\operatorname {Cot} .B}{\operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\delta -A)\operatorname {Cot} .B}},\\{\frac {bP'}{a}}&={\frac {\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .(\theta '-\delta )+\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\theta '-A')\operatorname {Cot} .B'}{\operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\delta -A')\operatorname {Cot} .B'}},\\{\frac {bQ}{a}}&={\frac {\operatorname {Sin} .(\theta -\delta )}{\operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\delta -A)\operatorname {Cot} .B}},\\{\frac {bQ'}{a}}&={\frac {\operatorname {Sin} .(\theta '-\delta )}{\operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\delta -A')\operatorname {Cot} .B'}},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac5be561a698554e066e9b39117c0dea90bc3672)
56. Ainsi, la position du plan de l’orbite étant supposée connue, on pourra regarder comme connues les quatre fractions
mais le rapport
est une des inconnues
du problème ; ce qui porte à cinq le nombre de celles que renferment les quatre équations précédentes.
57. La sixième inconnue, c’est l’angle
qui fixe l’instant du passage par l’aphélie. La théorie de l’ellipse fournit les deux équations (44)
![{\displaystyle p(\theta -\delta -\eta )=q(\varkappa +\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .\varkappa ),\qquad p(\theta '-\delta -\eta )=q(\varkappa '+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .\varkappa ')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df38897c890ff786a07679352816fa511cbdb520)
desquelles on tire, par une simple soustraction,
![{\displaystyle p(\theta '-\theta )=q\left[(\varkappa '-\varkappa )+\operatorname {Sin} .\mu (\operatorname {Sin} .\varkappa '-\operatorname {Sin} .\varkappa )\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91effff941dbba042afad2ed6efbc112c97fcc58)
L’angle
étant ainsi déterminé, le nombre des équations, de même que celui des inconnues, se trouvera de nouveau réduit à cinq.
58. Les quatre équations de (54) pourront être réduites à trois, par l’élimination de l’angle
On a d’abord (51)
![{\displaystyle R=1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa ,\qquad R'=1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39e3f6b7d019d2c825538db8697d8f1913e5e514)
d’où l’on tire
![{\displaystyle R-R'=\operatorname {Sin} .\mu (\operatorname {Cos} .\varkappa -\operatorname {Cos} .\varkappa '),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff9d1a4cdd4090786768754c4941f55aa89b916b)
![{\displaystyle R+R'=2+\operatorname {Sin} .\mu (\operatorname {Cos} .\varkappa +\operatorname {Cos} .\varkappa '),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e8f9e088b37bd61bc38ac9cf40597996bfbf79b)
![{\displaystyle RR'=1+\operatorname {Sin} .\mu (\operatorname {Cos} .\varkappa +\operatorname {Cos} .\varkappa ')+\operatorname {Sin} .^{2}\mu \operatorname {Cos} .\varkappa \operatorname {Cos} .\varkappa '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8877d4a21a67c8262fae6db931d5fd45d9d7bc1a)
59. Il conviendra de remarquer les deux expressions littérales de
et de
que l’on obtiendra encore, entièrement débarrassées de l’angle
à l’aide des formules données (47) ; savoir
![{\displaystyle {\begin{aligned}P=(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa )\operatorname {Cos} .(\epsilon +\phi )&,\qquad Q=(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa )\operatorname {Sin} .(\epsilon +\phi ),\\P'=(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa ')\operatorname {Cos} .(\epsilon +\phi ')&,\qquad Q'=(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa ')\operatorname {Sin} .(\epsilon +\phi ')\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79afc95db72214b853e12f1e56412005f651751)
il en résulte
![{\displaystyle {\begin{aligned}PQ'-P'Q&=RR'\operatorname {Sin} .(\phi '-\phi ),\\PP'+QQ'&=RR'\operatorname {Cos} .(\phi '-\phi )\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bf31a3845620d550471b36e895f922d635da091)
d’où l’on obtient la formule simple et remarquable
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .(\phi '-\phi )={\frac {PQ'-P'Q}{PP'+QQ'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e88203d98ae2594f32b0d8d39a1b6108e4961075)
Ainsi donc, ayant trouvé, à l’aide des formules (55), les quantités
multipliées par le facteur
qui, quoiqu’inconnu, est commun à toutes, et disparait dans la division, on en tirera immédiatement l’angle
; c’est l’angle décrit par le rayon vecteur de la comète, dans l’intervalle de temps qui sépare les deux observations.
60. Si l’on développe les sinus et cosinus de
en réduisant tout aux anomalies excentriques, moyennant les formules (45), on en déduira les deux qui suivent :
![{\displaystyle PQ'-P'Q=\left[\operatorname {Sin} .(\varkappa '-\varkappa )+(\operatorname {Sin} .\varkappa '-\operatorname {Sin} .\varkappa )\operatorname {Sin} .\mu \right]\operatorname {Cos} .\mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9f27c56706efdc7329f16f4ffed27946da8df1b)
![{\displaystyle RR'-PP'-QQ'=\left[1-\operatorname {Cos} .(\varkappa '-\varkappa )\right]\operatorname {Cos} .^{2}\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/555b4bbabfa3f64dc86453c4d69e209e0620a866)
61. Pour donner à nos formules encore plus de simplicité, faisons
![{\displaystyle \varkappa '+\varkappa =2\chi ,\qquad \varkappa '-\varkappa =2\psi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a35b092fa6f16a0f86d474a6b8af0bcfda83a502)
d’où
![{\displaystyle \varkappa '=\chi +\psi ,\qquad \varkappa =\chi -\psi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/184bda2dc5be53d1aa7d0a7f7692d5935efa49b4)
il en résultera
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\varkappa '+\operatorname {Sin} .\varkappa =2\operatorname {Sin} .\chi \operatorname {Cos} .\psi ,\quad \operatorname {Sin} .\varkappa '-\operatorname {Sin} .\varkappa =2\operatorname {Cos} .\chi \operatorname {Sin} .\psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c10f37b5bfd6e47c3cfe4ef92ebaf0cf8c1ce0)
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\varkappa -\operatorname {Cos} .\varkappa '=2\operatorname {Sin} .\chi \operatorname {Sin} .\psi ,\quad \operatorname {Cos} .\varkappa +\operatorname {Cos} .\varkappa '=2\operatorname {Cos} .\chi \operatorname {Cos} .\psi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf43d137511af71498ff7abb2c2225d4a6f0620)
et par conséquent
![{\displaystyle R-R'=2\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .\chi .\operatorname {Sin} .\psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3238ec3e9ed241d01c0c061206e72fb6290bf050)
![{\displaystyle R+R'-2=2\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\chi \operatorname {Cos} .\psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9375b54083fe6e38434921d950b6ede6451217b7)
![{\displaystyle PQ'-P'Q=2\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\psi (\operatorname {Cos} .\psi +\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\chi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08d565f619d4ffd78c55bada819dc744a3ae2b56)
![{\displaystyle RR'-PP'-QQ'=2\operatorname {Cos} .^{2}\mu \operatorname {Sin} .^{2}\psi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a53322bf658aa41bd30b785429c966332522be3f)
la dernière des équations (57) prendra alors la forme
![{\displaystyle p(\theta '-\theta )=q(2\psi +2\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\chi \operatorname {Sin} .\psi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1f1836e0d205147f47923e9340873d5f6fdc473)
et comme
![{\displaystyle R+R'-2=2\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\chi \operatorname {Cos} .\psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9375b54083fe6e38434921d950b6ede6451217b7)
elle deviendra finalement
![{\displaystyle p(\theta '-\theta )=q\left[2\psi +(R+R'-2)\operatorname {Tang} .\psi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22c87a8b5140ca8d6e08e86d3d6d947fc6c6f6cf)
62. Mais n’oublions pas que la fraction
qui multiplie
dans les formules (55), est elle-même une de nos inconnues.
Faisons, pour abréger,
; faisons de plus
![{\displaystyle P=nM,\qquad Q=nN,\qquad R=nO,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dcbe0c42be14e23b7092e71888c7e1f30be816f)
![{\displaystyle P'=nM',\qquad Q'=nN',\qquad R'=nO',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b61e115664ac96ca509ae57d9d1aea17b1898bcb)
Les quantités
seront alors celles qu’on aura pu immédiatement déduire des formules (55), et que, par conséquent, on pourra regarder commt connues, tandis qu’il faudra considérer comme inconnue la fraction
, de même que ![{\displaystyle {\frac {p}{q}}={\sqrt {n^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e29382e6c742badc6cc425827e17e63d222dc9d7)
Les équations du numéro précédent deviendront donc
![{\displaystyle n(O-O')=2\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .\chi \operatorname {Sin} .\psi ,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ec4cdf8979eb5132286c63ec9b32d01a0e1cc80)
(1)
![{\displaystyle n(O+O')-2=2\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\chi \operatorname {Cos} .\psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa7038d29b4c4ff69e3b988fcfbb48c498397194)
![{\displaystyle n^{2}(MN'-M'N)=2\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\psi (\operatorname {Cos} .\psi +\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\chi ),\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e75db365afac4c39d957df41aa0e128849c4b26d)
(2)
![{\displaystyle n^{2}(O'O-MM'-NN')=2\operatorname {Cos} .^{2}\mu \operatorname {Sin} .^{2}\psi ,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02244bf3d1ab097bab0e56608ceb30b1afdd7178)
(3)
![{\displaystyle (\theta '-\theta ){\sqrt {n^{3}}}=2\psi +\left[n(O+O')-2\right]\operatorname {Tang} .\psi .\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0760bf76fe69321490454f4566a3bef61fc9242)
(4)
63. Ce sont là les équations desquelles dépend la solution du problème. Il faut employer la règle de fausse position ; et, pour éviter les équations au-dessus du second degré, il faut commencer par supposer une valeur numérique à l’angle
À l’aide de cet angle, on déterminera l’excentricité
Pour cela, on divisera le quarré de l’équation (1) par l’équation (3), ce qui donnera
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .^{2}\mu ={\frac {(O-O')^{2}}{2(OO'-MM'-NN')\operatorname {Sin} .^{2}\chi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eed1fe4e58d7b94e7fb29e0725d076cb3b418dc4)
64. De là, on passera à l’angle
. Posant, pour abréger.
![{\displaystyle {\frac {OO'-MM'-NN'}{MN'-M'N}}=h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4365dae33217674fac36e05c4ac076ab01faed)
et divisant la troisième équation par la seconde, il viendra
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\psi -h\operatorname {Cos} .\psi =h\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\chi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e1bfbed6ee3f10fa32d2e4959eaa7025673a1e)
équation où l’on traitera l’angle
comme l’inconnue, et que l’on résoudra par les méthodes connues[2]. De plus, cet angle
étant la demi-différence des deux anomalies excentriques, pour peu que ces deux anomalies ne soient pas très-éloignées l’une de l’autre, il sera assez petit pour que son cosinus puisse être confondu avec l’unité, sans erreur sensible, sur-tout s’il faut vérifier le premier essai d’une règle de fausse position. On aura ainsi
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\psi ={\frac {h(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\chi }{\operatorname {Cos} .\mu }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/349b2be7ff3a8ecbc9b476c75418cb55c0c8150b)
65. À l’aide des trois angles
on aura, par l’équation (1)
![{\displaystyle n={\frac {2\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .\chi \operatorname {Sin} .\psi }{O-O'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c2bc7214795dd107e7a1fee95d8a3adc66cb44f)
Substituant ensuite les valeurs numériques des quatre quantités dans l’équation (4), on s’assurera de la différence entre deux quantités qui, dans le cas d’une supposition exacte pour
devraient être rigoureusement égales. Une seconde supposition donnera un nouveau résultat qui, comparé au premier, servira à diriger les suppositions ultérieures, et à conduire, par quelques essais, et par l’application des méthodes usitées en pareille rencontre, à une valeur suffisamment approchée de
; et, par suite, à celles de
et
66. Les deux anomalies excentriques
se trouveront ensuite par les formules (60) ; savoir :
![{\displaystyle \varkappa =\chi -\psi ,\qquad \varkappa '=\chi +\psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e69c9d59705a6a3a3ba2820a9d07323cfdadafc5)
L’angle
se déduira de l’une des deux équations (57)
![{\displaystyle (\theta -\delta -\eta ){\sqrt {n^{3}}}=\varkappa +\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .\varkappa ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0733c228c27ea63daeadb8e591a55c7c167494f)
![{\displaystyle (\theta '-\delta -\eta ){\sqrt {n^{3}}}=\varkappa '+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .\varkappa '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a85b73b72576c9756a6decdfc64e4b6c53820313)
Il restera donc à connaître le seul angle
; et on aura pour le déterminer, l’une des quatre équations (54).
67. Telle est donc la solution du problème, dans le cas où la position du plan de l’orbite peut être supposée connue. Il est très-possible de déterminer cette position à part, indépendamment des autres élémens de cette orbite ; les méthodes qui y conduisent sont assez connues ; et elles sont encore susceptibles d’être perfectionnées.
Toutefois nous donnerons, dans un prochain mémoire, la solution générale et complète du problème.