§. II
Recherche des principales formules de la théorie des nombres
figurés.
Parce que
est une fonction symétrique des nombres
et
nous emploirons, à l’avenir, pour représenter cette fonction, la notation plus simple
![{\displaystyle A_{m,n}=(m,n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1778ab3ee4451cc893a34724426ae63143e3a767)
En conséquence, nous aurons
![{\displaystyle (m,n)=(n,m),\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f71c9d2f1dd1c3671e3c27c79ff4baa46ff971b8)
(6)
et, quels que soient
et ![{\displaystyle q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d)
![{\displaystyle (0,p)=(0,q)=(p,0)=(q,0)=1.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb20c4bc9e16c1360f61a59e0719aeb3be46bbb9)
(7)
Cette notation admise, l’équation (3), dans laquelle on peut
permuter entre eux les nombres
et
donnera
![{\displaystyle {\begin{aligned}m(m,n)&=(m+n)(m-1,n),\\n(m,n)&=(m+n,n)(m,n-1)\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6440c2e3d679ad75ece7c762aed87bd8fdc9150f)
la somme de ces deux équations, divisée par
sera
![{\displaystyle (m,n)=(m-1,n)+(m,n-1)\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/206d649afdeb458ff4915ee3351eca139957fccc)
(8)
or, en se rappelant les équations (7), on voit que cette dernière
exprime la construction du triangle arithmétique ; et qu’ainsi
est la formule générale des nombres figurés.
L’équation (6) exprime donc que le
nombre figuré du
ordre est égal au
nombre figuré du
ordre ; et l’équation (8) exprime que le
nombre figuré du
ordre, ou le
nombre figuré du
ordre, est la somme du
nombre figuré du
ordre et du
nombre figuré du
ordre.
De cette dernière on tire
![{\displaystyle (m,n)-(m-1,n)=(m,n-1)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30066522a53f76cadfa78f661971b462e1f77446)
substituant successivement pour
dans celle-ci, les nombres
il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}(1,n)-1&=(1,n-1),\\(2,n)-(1,n)&=(2,n-1),\\(3,n)-(2,n)&=(3,n-1),\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\(m,n)-(m-1,n)&=(m,n-1),\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f5090d8abab932a7ef6de0cc2a2bb4bfedf4b92)
ajoutant ces dernières et réduisant, on aura
(9)
et l’on aurait pareillement
![{\displaystyle (m,n)=(n,m)=(0,m-1)+(1,m-1)+(2,m-1)+\ldots +(n,m-1)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b8bd0288566616aa6cd694f0dcc453618664fe8)
c’est-à-dire, que le
nombre figuré du
ordre, ou le
nombre figuré du
ordre, est égal à la somme des
nombres figurés de tous les ordres jusqu’au
ordre inclusivement ; ou encore à la somme des
premiers nombres figurés du
ordre.
Je terminerai par donner, d’après M. Lhuilier[1], la sommation des inverses des nombres figurés. Il est aisé de se convaincre, par le développement et les réductions, que l’équation suivante est identique
![{\displaystyle {\frac {1}{(m,n-1)}}={\frac {(n-1)!}{n-2}}\left\{{\frac {m!}{(m+n-2)!}}-{\frac {(m+1)!}{(m+n-1)!}}\right\}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d4225388786746d86961cd52ea05f66d1f4a704)
(10)
Si l’on y substitue successivement pour
les nombres
il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{(0,n-1)}}&={\frac {(n-1)!}{n-2}}\left\{{\frac {1}{(n-2)!}}-{\frac {1!}{(n-1)!}}\right\},\\{\frac {1}{(1,n-1)}}&={\frac {(n-1)!}{n-2}}\left\{{\frac {1!}{(n-1)!}}-{\frac {2!}{n!}}\right\},\\{\frac {1}{(2,n-1)}}&={\frac {(n-1)!}{n-2}}\left\{{\frac {2!}{n!}}-{\frac {3!}{(n+1)!}}\right\},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/238832726eb6742ef9d61e548f76e8f28e9a27ff)
![{\displaystyle {\frac {1}{(m,n-1)}}={\frac {(n-1)!}{n-2}}\left\{{\frac {m!}{(m+n-2)!}}-{\frac {(m+1)!}{(m+n-1)!}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37fe369b151bf209644b86fbf809cb668fb1a973)
d’où, en ajoutant et réduisant,
![{\displaystyle {\frac {1}{(0,n-1)}}+{\frac {1}{(1,n-1)}}+{\frac {1}{(2,n-1)}}+\ldots +{\frac {1}{(m,n-1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e911f263160bc01035202e0d7bd721223f2ca1c1)
![{\displaystyle ={\frac {(n-1)!}{n-2}}\left\{{\frac {1}{(n-2)!}}-{\frac {(m+1)!}{(m+n-1)!}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/383f185d0e4a8a22838d711e17e5a8460ab51c6d)
ou encore
![{\displaystyle {\frac {1}{(0,n-1)}}+{\frac {1}{(1,n-1)}}+{\frac {1}{(2,n-1)}}+\ldots +{\frac {1}{(m,n-1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e911f263160bc01035202e0d7bd721223f2ca1c1)
![{\displaystyle ={\frac {(n-1)}{n-2}}\left\{1-{\frac {1}{(m+1,n-2)}}\right\}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70e89f04629778687f184bc25d9ae98b45b703d8)
(11)
Si, dans cette dernière formule, ou suppose
elle deviendra
simplement,
![{\displaystyle {\frac {1}{(0,n-1)}}+{\frac {1}{(1,n-1)}}+{\tfrac {1}{(2,n-1)}}+{\tfrac {1}{(3,n-1)}}+\ldots ={\frac {(n-1)}{n-2}}\,;\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caa55058e362bc52ff436a2d30667424e4364bb1)
(12)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle 1+{\tfrac {1}{n}}+{\tfrac {1}{n}}.{\tfrac {2}{n+1}}+{\tfrac {1}{n}}.{\tfrac {2}{n+1}}.{\tfrac {3}{n+2}}+{\tfrac {1}{n}}.{\tfrac {2}{n+1}}.{\tfrac {3}{n+2}}.{\tfrac {4}{n+3}}+\ldots ={\frac {(n-1)}{n-2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463c887acf0a3530dcab948a70ce9c8c31968034)