Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Arithmétique, article 1

Annales de mathématiques pures et appliquées

Texte établi par Joseph Diez Gergonne, 1814 (4, p. 118-120).

§. II

Recherche des principales formules de la théorie des nombres
figurés.

Parce que $A_{m,n}$ est une fonction symétrique des nombres $m$ et $n,$ nous emploirons, à l’avenir, pour représenter cette fonction, la notation plus simple

$A_{m,n}=(m,n).$

En conséquence, nous aurons

$(m,n)=(n,m),\qquad$(6)

et, quels que soient $p$ et $q$

$(0,p)=(0,q)=(p,0)=(q,0)=1.\qquad$(7)

Cette notation admise, l’équation (3), dans laquelle on peut permuter entre eux les nombres $m$ et $n,$ donnera

${\begin{aligned}m(m,n)&=(m+n)(m-1,n),\\n(m,n)&=(m+n,n)(m,n-1)\,;\\\end{aligned}}$

la somme de ces deux équations, divisée par $m+n,$ sera

$(m,n)=(m-1,n)+(m,n-1)\,;\qquad$(8)

or, en se rappelant les équations (7), on voit que cette dernière exprime la construction du triangle arithmétique ; et qu’ainsi $(m,n)$ est la formule générale des nombres figurés.

L’équation (6) exprime donc que le $(n+1)^{me}$ nombre figuré du $m.^{me}$ ordre est égal au $(m+1)^{me}$ nombre figuré du $n.^{me}$ ordre ; et l’équation (8) exprime que le $(m+1)^{me}$ nombre figuré du $n.^{me}$ ordre, ou le $(n+1)^{me}$ nombre figuré du $m.^{me}$ ordre, est la somme du $m.^{me}$ nombre figuré du $n.^{me}$ ordre et du $n.^{me}$ nombre figuré du $m.^{me}$ ordre.

De cette dernière on tire

$(m,n)-(m-1,n)=(m,n-1)\,;$

substituant successivement pour $m,$ dans celle-ci, les nombres $1,2,3\ldots m,$ il viendra

${\begin{aligned}(1,n)-1&=(1,n-1),\\(2,n)-(1,n)&=(2,n-1),\\(3,n)-(2,n)&=(3,n-1),\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\(m,n)-(m-1,n)&=(m,n-1),\\\end{aligned}}$

ajoutant ces dernières et réduisant, on aura

$(m,n)=(n,m)=(0,n-1)+(1,n-1)+(2,n-1)+\ldots +(m,n-1)\,;\quad$(9)

et l’on aurait pareillement

$(m,n)=(n,m)=(0,m-1)+(1,m-1)+(2,m-1)+\ldots +(n,m-1)\,;$

c’est-à-dire, que le $(n+1)^{me}$ nombre figuré du $m^{me}$ ordre, ou le $(m+1)^{me}$ nombre figuré du $n^{me}$ ordre, est égal à la somme des $n^{me}$ nombres figurés de tous les ordres jusqu’au $m^{me}$ ordre inclusivement ; ou encore à la somme des $m+1$ premiers nombres figurés du $(n-1)^{me}$ ordre.

Je terminerai par donner, d’après M. Lhuilier^[1], la sommation des inverses des nombres figurés. Il est aisé de se convaincre, par le développement et les réductions, que l’équation suivante est identique

${\frac {1}{(m,n-1)}}={\frac {(n-1)!}{n-2}}\left\{{\frac {m!}{(m+n-2)!}}-{\frac {(m+1)!}{(m+n-1)!}}\right\}.\qquad$(10)

Si l’on y substitue successivement pour $m$ les nombres $0,1,2,\ldots m,$ il viendra

${\begin{aligned}{\frac {1}{(0,n-1)}}&={\frac {(n-1)!}{n-2}}\left\{{\frac {1}{(n-2)!}}-{\frac {1!}{(n-1)!}}\right\},\\{\frac {1}{(1,n-1)}}&={\frac {(n-1)!}{n-2}}\left\{{\frac {1!}{(n-1)!}}-{\frac {2!}{n!}}\right\},\\{\frac {1}{(2,n-1)}}&={\frac {(n-1)!}{n-2}}\left\{{\frac {2!}{n!}}-{\frac {3!}{(n+1)!}}\right\},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}$

${\frac {1}{(m,n-1)}}={\frac {(n-1)!}{n-2}}\left\{{\frac {m!}{(m+n-2)!}}-{\frac {(m+1)!}{(m+n-1)!}}\right\}\,;$

d’où, en ajoutant et réduisant,

${\frac {1}{(0,n-1)}}+{\frac {1}{(1,n-1)}}+{\frac {1}{(2,n-1)}}+\ldots +{\frac {1}{(m,n-1)}}$

$={\frac {(n-1)!}{n-2}}\left\{{\frac {1}{(n-2)!}}-{\frac {(m+1)!}{(m+n-1)!}}\right\}\,;$

ou encore

${\frac {1}{(0,n-1)}}+{\frac {1}{(1,n-1)}}+{\frac {1}{(2,n-1)}}+\ldots +{\frac {1}{(m,n-1)}}$

$={\frac {(n-1)}{n-2}}\left\{1-{\frac {1}{(m+1,n-2)}}\right\}\,;\qquad$(11)

Si, dans cette dernière formule, ou suppose $m=\infty ,$ elle deviendra simplement,

${\frac {1}{(0,n-1)}}+{\frac {1}{(1,n-1)}}+{\tfrac {1}{(2,n-1)}}+{\tfrac {1}{(3,n-1)}}+\ldots ={\frac {(n-1)}{n-2}}\,;\quad$(12)

c’est-à-dire,

$1+{\tfrac {1}{n}}+{\tfrac {1}{n}}.{\tfrac {2}{n+1}}+{\tfrac {1}{n}}.{\tfrac {2}{n+1}}.{\tfrac {3}{n+2}}+{\tfrac {1}{n}}.{\tfrac {2}{n+1}}.{\tfrac {3}{n+2}}.{\tfrac {4}{n+3}}+\ldots ={\frac {(n-1)}{n-2}}.$

1. Voyez ses Élémens raisonnés d’algèbre.