Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Analise transcendante, article 2

Annales de mathématiques pures et appliquées

Texte établi par Joseph Diez Gergonne, 1814 (4, p. 72-78).

ANALISE TRANSCENDANTE.

Intégration, sous forme finie, de quelques fonctions
différentielles circulaires ;

Par M. du Bourguet, professeur de mathématiques
spéciales au lycée impérial.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

On rencontre souvent, en mécanique, des fonctions différentielles de la forme

$z^{n}\mathrm {d} z\operatorname {Cos} .^{m}z,\qquad z^{n}\mathrm {d} z\operatorname {Sin} .^{m}z.$

Aucun auteur, du moins que je sache, n’ayant donné les intégrales, sous forme finie, de ces deux formules, j’ai pensé que l’on ne serait pas fâché de les rencontrer ici.

L’intégration de ces deux formules pouvant toujours, comme nous le verrons tout à l’heure, être ramenée à celle des formules

$(az)^{n}\mathrm {d} .\operatorname {Sin} .(az),\qquad (az)^{n}\mathrm {d} .\operatorname {Cos} .(az),$

lesquelles reviennent à

$x^{n}\mathrm {d} .\operatorname {Sin} .x,\qquad x^{n}\mathrm {d} .\operatorname {Cos} .x,$

c’est par celles-ci que nous commencerons. À la vérité, nous pourrions en déduire les intégrales de notre équation générale (432) [Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, tome II, page 236, art. 425], en y faisant $X=x^{n},a=0$ et $b=1$ ; mais nous croyons devoir, dans ce mémoire, les intégrer immédiatement.

Intégration de $x^{n}\mathrm {d} .\operatorname {Sin} .x.$

On a

$\mathrm {d} \left(x^{n}\operatorname {Sin} .x\right)=x^{n}\mathrm {d} .\operatorname {Sin} .x-nx^{n-1}\mathrm {d} .\operatorname {Cos} .x,$

donc

$\int x^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .x=x^{n}\operatorname {Sin} .x+n\int x^{n-1}\operatorname {d} .\operatorname {Cos} .x\,;\qquad$(a)

or,

$\operatorname {d} \left(x^{n-1}\operatorname {Cos} .x\right)=x^{n-1}\operatorname {d} .\operatorname {Cos} .x+(n-1)x^{n-2}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .x\,;$

donc

$\int x^{n-1}\operatorname {d} \operatorname {Cos} .x=x^{n-1}\operatorname {Cos} .x-(n-1)\int x^{n-2}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .x.\qquad$(b)

De ces équations (a) et (b), on conclura aisément les valeurs de $\int x^{n-2}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .x,\ \int x^{n-3}\operatorname {d} .\operatorname {Cos} .x,\ \int x^{n-4}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .x,\ldots$ et, par des substitutions successives, à partir de l’équation (a), on parviendra au résultat que voici :

(1)$\ \int x^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .x=\left\{x^{n}-n(n-1)x^{n-2}+n(n-1)(n-2)(n-3)x^{n-4}-\ldots \right\}\operatorname {Sin} .x+$

$\left\{nx^{n-1}-n(n-1)(n-2)x^{n-3}+n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)x^{n-5}-\ldots \right\}\operatorname {Cos} .x\,;$

dont les séries, régies par une loi très-simple à apercevoir, sont finies, lorsque $n$ est un nombre positif et entier. Il est d’ailleurs aisé de voir que le coefficient de $\operatorname {Cos} .x$ est égal à la différentielle de celui de $\operatorname {Sin} .x,$ divisée par $\operatorname {d} x.$

Intégration de $x^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Cos} .x.$

Suivant la méthode des intégrations réciproques (Art. 217 de l’ouv. cité), on a

$\int x^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Cos} .x=x^{n}\operatorname {Cos} .x-n\int x^{n-1}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .x,\qquad$(c)

$\int x^{n-1}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .x=x^{n-1}\operatorname {Sin} .x+(n-1)\int x^{n-2}\operatorname {d} .\operatorname {Cos} .x.\qquad$(d)

Mettant successivement $n-2,n-4,\ldots$ dans les équations (c) et (d), on forme une suite d’équations qui ont chacune leur dernier terme affecté d’un facteur intégral qui est le premier membre de l’équation qui suit immédiatement ; donc, par une suite de substitutions successives, à partir de l’équation (c), on parvient aisément à celle

(2)$\ \int x^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Cos} .x=\left\{x^{n}-n(n-1)x^{n-2}+n(n-1)(n-2)(n-3)x^{n-4}-\ldots \right\}\operatorname {Cos} .x-$

$\left\{nx^{n-1}-n(n-1)(n-2)x^{n-3}+n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)x^{n-5}-\ldots \right\}\operatorname {Sin} .x\,;$

dont les séries sont les mêmes que dans l’équation (1).

Intégration de $z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Cos} .^{m}z.$

Des équations, connues en trigonométrie, qui donnent respectivement les valeurs des puissances paires et impaires du cosinus d’un arc, en fonction des premières puissances des cosinus de ces arcs, et que j’ai rappelées, sous les lettres (a) et (b), à la page 411 du premier volume de mon Traité de calculs différentiel et intégral, on tire pour le cas de $m$ nombre positif et pair,

$\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Cos} .^{m}z={\tfrac {1}{2^{m-1}}}\left\{\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Cos} .mz+{\tfrac {m}{1}}\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Cos} .(m-2)z+\right.$

$\left.{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Cos} .(m-4)z+\ldots +{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}\ldots {\tfrac {{\tfrac {1}{2}}m+2}{{\tfrac {1}{2}}m-1}}\int z^{n}\operatorname {d} 2.\operatorname {Cos} .2z\right\}+$

${\frac {1.3.5\ldots (m-1)}{2.4.6\ldots m(n+1)}}z^{n+1}\,;$

et, pour le cas de $m$ nombre positif et impair,

$\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Cos} .^{m}z={\tfrac {1}{2^{m-1}}}\left\{\int z^{n}\operatorname {d} .z.\operatorname {Cos} .mz+{\tfrac {m}{1}}\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Cos} .(m-2)z+\right.$

${\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Cos} .(m-4)z+\ldots +{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}\ldots {\tfrac {{\tfrac {1}{2}}(m+5)}{{\tfrac {1}{2}}(m+3}}\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Cos} .3z+$

$\left.{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\ldots {\frac {{\tfrac {1}{2}}(m+3)}{{\tfrac {1}{2}}(m-1)}}\int z^{n}\operatorname {d} z\operatorname {Cos} .z\right\}.$

Multipliant et divisant, dans ces deux équations, chaque terme du second membre par la $(n+1)^{me}$ puissance du coefficient de $z$ sous le cosinus, en observant qu’en général

$k\operatorname {d} z\operatorname {Cos} .kz=\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .kz,$

il viendra, pour le cas de $m$ nombre positif et pair,

(3)$\quad \int z^{n}\operatorname {d} z\operatorname {Cos} .^{m}z={\tfrac {1}{2^{m-1}}}\left\{{\tfrac {1}{m^{n+1}}}\int (mz)^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .(mz)\right.$

$+{\tfrac {m}{(m-2)^{n+1}}}\int \left[(m-2)z\right]^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .\left[(m-2)z\right]$

$\left.+\ldots +{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}\ldots {\tfrac {{\tfrac {1}{2}}m+2}{{\tfrac {1}{2}}m-1}}{\tfrac {1}{2^{n+1}}}\int (2z)^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .(2z)\right\}$

$+{\tfrac {1}{2}}.{\tfrac {3}{4}}\ldots {\tfrac {m-1}{m}}.{\tfrac {1}{n+1}}z^{n+1}.$

et pour le cas de $m$ nombre positif et impair,

(4)$\quad \int z^{n}\operatorname {d} z\operatorname {Cos} .^{m}z={\tfrac {1}{2^{m-1}}}\left\{{\tfrac {1}{m^{n+1}}}\int (mz)^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .(mz)\right.$

$+{\tfrac {m}{(m-2)^{n+1}}}\int \left[(m-2)z\right]^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .\left[(m-2)z\right]$

$+\ldots +{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}\ldots {\tfrac {{\tfrac {1}{2}}m+5}{{\tfrac {1}{2}}m+3}}{\tfrac {1}{3^{n+1}}}\int (3z)^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .(3z)$

$\left.+{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}\ldots {\tfrac {{\tfrac {1}{2}}m+3}{{\tfrac {1}{2}}m-2}}\int z^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .z\right\}.$

Or, les valeurs de tous les termes intégraux des seconds membres de ces équations (3) et (4) sont données, sous forme finie, par l’équation (1), en y faisant successivement $x=mz,(m-2)z,\ldots \,;$ donc on aura aussi, sous forme finie, les intégrales demandées.

Intégration de $z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Sin} .^{m}z.$

Des équations, connues en trigonométrie, qui donnent respectivement les valeurs des puissances paires et impaires du sinus d’un arc simple, en fonction des premières puissances des lignes trigonométriques, soit sinus soit cosinus, des multiples de l’arc simple, et que j’ai rappelées sous les lettres (a) et (b), à la page 407 du premier volume de mon Traité de calculs différentiel et intégral, on tire, pour le cas de $m$ nombre positif et pair,

(e)$\ \int z^{n}\operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{m}z=\pm {\tfrac {1}{2^{m-1}}}\left\{\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Cos} .mz-{\tfrac {m}{1}}\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Cos} .(m-2)z+\right.$

${\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Cos} .(m-4)z$

$\left.-\ldots \mp {\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}\ldots {\tfrac {{\tfrac {1}{2}}m+2}{{\tfrac {1}{2}}m-1}}\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Cos} .2z\right\}+$

${\tfrac {1}{2}}.{\tfrac {3}{4}}\ldots {\tfrac {m-1}{m}}.{\tfrac {1}{n+1}}z^{n+1}\,;$

et, pour le cas de $m$ nombre positif et impair,

(f)$\int z^{n}\operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{m}z={\tfrac {1}{2^{m-1}}}\left\{\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Sin} .mz-{\tfrac {m}{1}}\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Sin} .(m-2)z+\right.$

${\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Sin} .(m-4)z-\ldots \mp {\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}\ldots {\tfrac {{\tfrac {1}{2}}m+5}{{\tfrac {1}{2}}m-3}}\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Sin} .3z\pm$

$\left.{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}\ldots {\tfrac {{\tfrac {1}{2}}m+3}{{\tfrac {1}{2}}m-1}}\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Sin} .z\right\}.$

Multipliant et divisant chacun des termes des seconds membres de ces deux équations affectés du signe d’intégration, par la $(n+1)^{me}$ puissance du coefficient de $z$ sous le signe de cosinus, équation (e), et sous celui de sinus, équation (f), en remarquant qu’en général $k\operatorname {d} z\operatorname {Cos} .kz=\operatorname {d} \operatorname {Sin} .kz,$$k\operatorname {d} z\operatorname {Sin} .kz=-\operatorname {d} \operatorname {Cos} .kz,$ on trouvera, pour le cas de $m$ nombre positif et pair,

(5)$\quad \int z^{n}\operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{m}z=\pm {\tfrac {1}{2^{m-1}}}\left\{{\tfrac {1}{m^{n+1}}}\int (mz)^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .(mz)\right.$

$-{\tfrac {m}{(m-2)^{n+1}}}\int \left[(m-2)z\right]^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .\left[(m-2)z\right]$

$+{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}.{\tfrac {1}{(m-4)^{n+1}}}\int \left[(m-4)z\right]^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .\left[(m-4)z\right]\ldots$

$\left.\mp {\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}\ldots {\tfrac {{\tfrac {1}{2}}m+2}{{\tfrac {1}{2}}m-1}}.{\tfrac {1}{2^{n+1}}}\int (2z)^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .(2z)\right\}$

$+{\tfrac {1}{2}}.{\tfrac {3}{4}}\ldots {\tfrac {m}{m-1}}.{\tfrac {n+1}{1}}z^{n+1}\,;$

les signes supérieurs devant être pris lorsque $m$ est un nombre doublement pair et les inférieurs dans le cas contraire.

Et, pour le cas de $m$ nombre positif et impair,

(6)$\quad \int z^{n}\operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{m}z=\mp {\tfrac {1}{2^{m-1}}}\left\{{\tfrac {1}{m^{n+1}}}\int (mz)^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Cos} .(mz)\right.$

$-{\tfrac {m}{(m-2)^{n+1}}}\int \left[(m-2)z\right]^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Cos} .\left[(m-2)z\right]+$

${\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}.{\tfrac {1}{(m-4)^{n+1}}}\int \left[(m-4)z\right]^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Cos} .\left[(m-4)z\right]-\ldots$

$\mp {\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}\ldots {\tfrac {{\tfrac {1}{2}}m+5}{{\tfrac {1}{2}}m-3}}.{\tfrac {1}{3^{n+1}}}\int (3z)^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Cos} .(3z)$

$\left.\pm {\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}\ldots {\tfrac {{\tfrac {1}{2}}m+3}{{\tfrac {1}{2}}m-1}}\int z^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Cos} .z\right\}\,;$

les signes supérieurs devant être pris lorsque $-1$ est un nombre doublement pair, et les signes inférieurs dans le cas contraire.

Or, les valeurs des termes du second membre de l’équation (5) affectés du signe d’intégration, sont données, sous forme finie, par l’équation (1) ; et celles des termes du second membre de l’équation (6) sont également données, sous forme finie, par l’équation (2) ; donc, quelles que soient les valeurs entières et positives de $m$ et $n,$ on a exactement, et sous forme finie, l’intégrale demandée de $z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Sin} .^{m}z.$