Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Algèbre élémentaire, article 1

Annales de mathématiques pures et appliquées

Texte établi par Joseph Diez Gergonne, 1814 (4, p. 20-23).

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

Démonstrations élémentaires du théorème de d’Alembert
sur la forme des imaginaires ;

Par M. Du Bourguet, professeur de mathématiques spéciales
au lycée impérial.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

D’alembert a démontré le premier, mais par Ils calculs différentiel et intégral, que toute quantité imaginaire

$\left(a\pm b{\sqrt {-1}}\right)^{m\pm n{\sqrt {-1}}},$

peut toujours être ramenée à la forme

$p\pm q{\sqrt {-1}}\,;$

(Voyez le Calcul intégral de Bougainville, page 42).^[1]

Il y a environ onze ans qu’ayant vainement cherché, dans les auteurs les plus estimés à cette époque, une démonstration élémentaire du même théorème, je m’occupai à en trouver une, soit algébrique soit géométrique ; j’en obtins, en effet, une fort simple de cette dernière sorte ; c’est celle que j’annonçai en 1802, dans un ouvrage d’algèbre que je publiai à cette époque. Mais, depuis ce temps, M. Garnier ayant donné une démonstration semblable, dans un ouvrage qu’il a publié en 1804, sous le nom d’Analise algébrique, j’ai cru devoir reprendre mes recherches pour obtenir du même théorème une démonstration purement algébrique. Voici celle que j’ai obtenue, et qui me paraît préférable à l’autre ; car, outre qu’elle est fort simple, il me paraît très-convenable de ne faire dépendre la démonstration du principe général que toute fonction de quantités imaginaires est réductible à la forme $p\pm q{\sqrt {-1}}$, de la seule branche des sciences exactes dont ce principe fait partie.

On sait que, quels que soient $a$ et $b,$ on a

$(a\pm b)^{m\pm n{\sqrt {-1}}}=$

$a^{m\pm n{\sqrt {-1}}}\left\{1\pm {\frac {m\pm n{\sqrt {-1}}}{1}}{\frac {b}{a}}+{\tfrac {m\pm n{\sqrt {-1}}}{1}}.{\tfrac {m-1\pm n{\sqrt {-1}}}{2}}\left({\tfrac {b}{a}}\right)^{2}\pm \ldots \right\}\,;$

on aura donc, en changeant $b$ en $b{\sqrt {-1}},$

$(a\pm b{\sqrt {-1}})^{m\pm n{\sqrt {-1}}}=$

$a^{m\mp n{\sqrt {-1}}}\left\{1\pm {\tfrac {m\pm n{\sqrt {-1}}}{1}}\left({\tfrac {b{\sqrt {-1}}}{a}}\right)-{\tfrac {m\pm n{\sqrt {-1}}}{1}}.{\tfrac {m-1\pm n{\sqrt {-1}}}{2}}\left({\tfrac {b}{a}}\right)^{2}\mp \ldots \right\}.$

Or, toutes les puissances paires de ${\sqrt {-1}}$ étant égales à $\mp 1$, et toutes ses puissances impaires étant égales à $\pm {\sqrt {-1}},$ il s’ensuit qu’en exécutant toutes les multiplications, entre les accolades du second membre de l’équation (1), on obtiendra une suite de termes réels, dont l’ensemble pourra être représenté par $g,$ et une suite de termes affectés de $\pm {\sqrt {-1}},$ dont l’ensemble pourra être représenté par $\pm h{\sqrt {-1}}$ ; en sorte que l’équation (1) deviendra simplement

(2)$\qquad (a\pm b{\sqrt {-1}})^{m\pm n{\sqrt {-1}}}=a^{m\pm n{\sqrt {-1}}}\left(g\pm h{\sqrt {-1}}\right).$

Mais, par la théorie des quantités exponentielles, théorie indépendante de l’exposant de la base, on a, en désignant par $\operatorname {l} a$ le logarithme naturel de $a,$

$a^{m\pm n{\sqrt {-1}}}=$

(3)$\quad 1+{\tfrac {\left(m\pm n{\sqrt {-1}}\right)}{1}}\operatorname {l} a+{\tfrac {\left(m\pm n{\sqrt {-1}}\right)^{2}}{1.2}}\left(\operatorname {l} a\right)^{2}+{\tfrac {\left(m\pm n{\sqrt {-1}}\right)^{3}}{1.2.3}}\left(\operatorname {l} a\right)^{3}+\ldots$

qui, pour les mêmes raisons que ci-dessus, pourra être réduit à la forme

$a^{m\pm n{\sqrt {-1}}}=c\pm d{\sqrt {-1}}\,;$

substituant donc cette valeur dans l’équation (2), il viendra, en développant, et posant pour abréger

$cg-dh=p,\qquad ch+dg=q,$

$(a\pm b{\sqrt {-1}})^{m\pm n{\sqrt {-1}}}=$

$\left(c\pm d{\sqrt {-1}}\right)\left(g\pm h{\sqrt {-1}}\right)=(cg-dh)\pm (ch+dg){\sqrt {-1}}=p\pm q{\sqrt {-1}}\,;$

comme nous l’avions annoncé.

Voici présentement la démonstration géométrique du même théorème, que j’avais annoncée, dans l’ouvrage d’algèbre publié en 1802,

Soit posé

${\frac {a}{b}}=\operatorname {Cot} .\omega ,$

il viendra

$a={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.\operatorname {Cos} .\omega ,\qquad b={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.\operatorname {Sin} .\omega ,$

donc

$a\pm b{\sqrt {-1}}=\left(\operatorname {Cos} .\omega \pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\omega \right){\sqrt {a^{2}+b^{2}}},$

et

$\operatorname {l} \left(a\pm b{\sqrt {-1}}\right)={\tfrac {1}{2}}\operatorname {l} \left(a^{2}+b^{2}\right)+\operatorname {l} \left(\operatorname {Cos} .\omega \pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\omega \right)$

$={\tfrac {1}{2}}\operatorname {l} \left(a^{2}+b^{2}\right)\pm \omega {\sqrt {-1}}.$

Multipliant les deux membres de cette dernière équation par $m\pm n{\sqrt {-1}},$ il viendra

$\operatorname {l} .\left(a\pm b{\sqrt {-1}}\right)^{m\pm n{\sqrt {-1}}}=\left\{{\tfrac {1}{2}}m\operatorname {l} \left(a^{2}+b^{2}\right)-n\omega \right\}\pm \left\{{\tfrac {1}{2}}n\operatorname {l} \left(a^{2}+b^{2}\right)+m\omega \right\}{\sqrt {-1}},$

posant alors, pour abréger

${\tfrac {1}{2}}m\operatorname {l} \left(a^{2}+b^{2}\right)-n\omega =g\qquad {\tfrac {1}{2}}n\operatorname {l} \left(a^{2}+b^{2}\right)+m\omega =h,$

et repassant des logarithmes aux nombres, il viendra

$\left(a\pm b{\sqrt {-1}}\right)^{m\pm n{\sqrt {-1}}}=e^{g}.e^{\pm h{\sqrt {-1}}}=e^{g}\operatorname {Cos} .h\pm {\sqrt {-1}}e^{g}\operatorname {Sin} .h\,;$

posant donc enfin

$e^{g}\operatorname {Cos} .h=p,\qquad e^{g}\operatorname {Sin} .h=q,$

on aura, de nouveau

$\left(a\pm b{\sqrt {-1}}\right)^{m\pm n{\sqrt {-1}}}=p\pm q{\sqrt {-1}}.$^[2]

1. Voyez aussi la Résolution des équations numériques de Lagrange, note ix.
   J. D. G.
2. Dans le vrai, cette dernière démonstration est tout aussi analitique que la première ; puisque les fonctions circulaires ne sont, au fond, que des transcendantes d’une espèce particulière, dont la, théorie peut être présentée d’une manière tout à fait indépendante des considérations géométriques. C’est ainsi, en particulier, qu’elles ont été envisagées par M. Suremain-de-Missery, dans sa Théorie des quantités imaginaires (Paris, F. Didot, 1801, in-8.^o ). On trouve, au surplus, dans cet ouvrage (pag. 72), une démonstration du théorème de d’Alembert qui diffère très-peu de celles de MM. Du Bourguet et Garnier.
   J. D. G.