Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 03/Correspondance, lettre 12

Lettre de M. J. M. au rédacteur des Annales.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 3, 1813 (p. 375-376).

Au Rédacteur des Annales ;

Monsieur,

Le problème de gnomonique proposé à la page 40 de ce volume peut être résolu comme il suit :

1.^o Par l’analise. L’équation du cylindre oblique formé par l’ombre du chapiteau est

$\left(a^{2}+b^{2}\right)z^{2}-2(ax+by)z=r'^{2}-r^{2}.$

L’origine des coordonnées est placée au centre du chapiteau ; $r$ et $r'$ sont respectivement les rayons de la colonne et de ce chapiteau ; on a de plus $a=\operatorname {Cos} .D\operatorname {Cot} .H,\ b=\operatorname {Sin} .D\operatorname {Cot} .H\,;\ D$ et $H$ étant respectivement la déclinaison du vertical du soleil et sa hauteur dans ce vertical, et pouvant conséquemment être facilement déduits de la déclinaison du soleil et de l’heure du lieu, par la résolution d’un triangle sphérique.

Au moyen de l’équation ci-dessus, on peut avoir tous les points de l’ombre du chapiteau sur la colonne. On peut aussi se contenter d’avoir leurs protections sur le plan vertical des $xz,$ ou sur celui des $yz$ ; mais l’on n’a besoin, pour la solution du problème, que des points extrêmes de l’ombre ; car les lignes horaires sont ici les lignes qui, dans tous les temps, limitent l’ombre à une heure donnée. On se bornera donc à chercher ces points extrêmes, pour chaque heure du jour, et pour un assez grand nombre d’époques de l’année, afin de pouvoir tracer, avec quelque exactitude, les courbes que ces lignes horaires doivent affecter.

2.^o Par des procédés graphiques. Par une première construction fort simple, on trouvera la hauteur du soleil, et la position du vertical qui passe par cet astre, à une heure et à une époque données. On prendra donc ces deux choses, pour toutes les heures du jour et pour un nombre d’époques suffisant, Au moyen de cela, il sera facile d’avoir la projection de l’ombre, soit sur le plan du méridien soit sur celui du premier vertical. Mais, au lieu d’en faire la construction, on se contentera encore ici de chercher graphiquement les extrémités de l’ombre, ce qui suffira pour tracer les projections des lignes horaires, d’où il sera facile de conclure ensuite le tracé de ces mêmes lignes sur le développement du cylindre.

Je joins ici ce développement (fig. 7), pour une latitude de 45.° 45′, le rayon du cylindre étant 36 millimètres et celui du chapiteau 45 millimètres.

Agréez, etc.

Lyon, le 19 de mars 1813.