ANALISE TRANSCENDANTE.
Mémoire tendant à démontrer la légitimité de la
séparation des échelles de différentiation et d’intégration
des fonctions qu’elles affectent ; avec des
applications à l’intégration d’une classe nombreuse
d’équations ;
Présenté à la 1.re classe de l’institut, le 25 d’octobre 1811 ;
Par M. J. F. Français, professeur à l’école impériale
de l’artillerie et du génie.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Depuis que M. Lagrange a réveillé l’attention des géomètres, sur l’analogie, aperçue par Leibnitz, entre les puissances et les différences, par les beaux théorèmes de son mémoire de 1772, plusieurs géomètres ont cherché à démontrer ces théorèmes, et à étendre la méthode de calcul fondée sur cette analogie ; mais Arbogast est le premier qui se soit proposé de débarrasser cette méthode des inconvéniens qu’entraîne le passage alternatif des indices aux exposans, et des exposans aux indices. L’idée heureuse qu’il a eu de détacher les caractéristiques ou échelles d’opérations des fonctions qu’elles affectent, pour les traiter comme des symboles de quantités, remplit parfaitement le but qu’il s’est proposé. Mais cette idée est en même temps si hardie et si opposée aux idées reçues, qu’on a eu jusqu’ici une sorte de répugnance à l’admettre, malgré l’exactitude des résultats qu’elle fournit ; et on a naturellement lieu de désirer une démonstration à priori de la légitimité de cette opération. Cette
démonstration est d’autant plus nécessaire ; que l’opération de détacher les échelles n’est pas applicable à tous les cas (ce qu’au surplus
elle a de commun avec la méthode fondée sur l’analogie en question) ;
il faut donc que la démonstration du principe conduise elle-même
à distinguer les cas auxquels elle est applicable, de ceux où elle
ne l’est pas. C’est cette démonstration, avec quelques applications de
la méthode de séparation des échelles, qui va faire le sujet de ce
mémoire.
§. 1.
De la séparation des échelles, dans les fonctions à une seule
variable.
1. Si, entre les deux variables
et
on a une équation exprimée par
(1)
![{\displaystyle \qquad F(x,y)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b347d6115c26f29195134331e74d61f1daa8fbe7)
et qu’on multiplie cette équation par tant de constantes et fonctions de
constantes qu’on voudra, on ne changera en rien la relation entre
et
exprimée par cette équation, et on n’y introduira aucune
relation nouvelle. Ainsi, les équations
![{\displaystyle (2)\left\{{\begin{aligned}aF(x,y)+bF(x,y)+cF(x,y)+\ldots &=0,\\f_{1}(a,b,c,\ldots )F(x,y)+f_{2}(a,b,c,\ldots )F(x,y)+\ldots &=0,\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69b527b7089b0dec4d54e848d14b3d2c9e193529)
qu’on peut aussi mettre sous cette forme
![{\displaystyle (3)\left\{{\begin{aligned}(a+b+c+\ldots )F(x,y)&=0,\\\left[f_{1}(a,b,c,\ldots )+f_{2}(a,b,c,\ldots )+\ldots \right]F(x,y)&=0,\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05a484d82d15bf079f0326a324573b267a1d22dd)
et dans lesquelles
sont des constantes quelconques, ne
disent ni plus ni moins que la proposée (1). Mais il n’en serait plus
de même, si l’on multipliait la proposée par une ou plusieurs fonctions soit de
, soit de
soit de
et
: ces nouveaux facteurs,
introduisant évidemment des relations nouvelles, changeraient
nécessairement la nature de la proposée.
2. De même, si l’on différentie, tant de fois qu’on voudra, l’équation (1), soit aux différences soit aux différentielles, et quel que soit le système de différentiation (c’est-à-dire, quelle que soit la variable ou la fonction des deux variables dont on considère la différentielle comme constante), on n’y changera en rien la relation entre
et
, et on n’y introduira aucune relation nouvelle. En effet, en différentiant une équation entre deux variables, on ne fait autre chose qu’exprimer l’indétermination complette de l’une d’elles ; car, si l’une des variables reçoit un accroissement arbitraire, l’autre en reçoit un qui est déterminé par la forme de l’équation proposée, sans qu’il y soit introduit aucune relation nouvelle. Ainsi les équations
[1]
n’exprime ni plus ni moins que la proposée (1). Il en serait de même, d’un système quelconque de ces équations, combinées entre elles et avec des constantes, telles que sont les suivantes ;
![{\displaystyle (5)\left\{{\begin{aligned}\partial ^{n}F(x,y)&+a\partial ^{n-1}F(x,y)+b\partial ^{n-2}F(x,y)+\ldots kF(x,y)=0\,;\\\partial ^{n}F(x,y)&+a\Delta \partial ^{n-1}F(x,y)+b\Delta ^{2}\partial ^{n-2}F(x,y)+\ldots k\Delta ^{n}F(x,y)=0.\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48d379cdf6a98f3cd769fe9da3ad7dbac6101d4e)
Les échelles, ou signes de différentes espèces de differentiation, se comportent donc de la même manière, à l’égard de l’équation proposée qu’elles affectent, que les constantes des équations (2). On peut donc considérer ces constantes comme des échelles ; et réciproquement, on peut traiter les échelles comme des quantités constantes ; sauf à se rappeler, dans les résultats, que ces échelles indiquent des opérations déterminées qu’il s’agira d’effectuer. Ainsi, on peut écrire les équations (5) de cette manière :
![{\displaystyle (6)\left\{{\begin{aligned}\left(\partial +a\partial ^{n-1}+b\partial ^{n-2}+\ldots +k\right)F(x,y)&=0,\\\left(\partial ^{n}+a\Delta \partial ^{n-1}+b\Delta ^{2}\partial ^{n-2}+\ldots +k\Delta ^{n}\right)F(x,y)&=0\,;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/536a8d233a1446d90e185517c79014e879e73e0e)
et c’est ce qu’on appelle détacher les échelles.
3. Il est de plus évident qu’on peut faire subir aux constantes et aux échelles détachées, (3) et (6), telles opérations qu’on veut, sans introduire aucune relation étrangère à la proposée ; ainsi, par exemple, aux équations (3) et (6) on peut substituer
![{\displaystyle (7)\left\{{\begin{aligned}\phi (a+b+c+\ldots )F(x,y)&=0,\\\phi \left\{f_{1}(a,b,c,\ldots )+f_{2}(a,b,c,\ldots )+\ldots \right\}F(x,y)&=0,\\\phi \left(\partial ^{n}+a\partial ^{n-1}+b\partial ^{n-2}+\ldots +k\right)F(x,y)&=0,\\\phi \left(\partial ^{n}+a\Delta \partial ^{n-1}+b\Delta ^{2}\partial ^{n-2}+\ldots k\Delta ^{n}\right)F(x,y)&=0\,;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb8ac2e1a3825bb8159c06079c404f36706a2632)
où
n’affecte que les constantes et les échelles, et indique une fonction quelconque. À plus forte raison peut-on les mettre sous une forme identique, telle que serait leur décomposition en facteurs, ou leur expression sous forme de fonction non développée. Ainsi, si
sont les facteurs de l’échelle
on pourra mettre les équations (6) sous la forme
![{\displaystyle (8)\left\{{\begin{aligned}\left(\partial -\alpha _{1}\right)\left(\partial -\alpha _{2}\right)\left(\partial -\alpha _{3}\right)\ldots \left(\partial -\alpha _{n}\right)F(x,y)&=0,\\\left(\partial -\alpha _{1}\Delta \right)\left(\partial -\alpha _{2}\Delta \right)\left(\partial -\alpha _{3}\Delta \right)\ldots \left(\partial -\alpha _{n}\Delta \right)F(x,y)&=0.\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a9d1ab72fec04df65d3fc717d51d94ff1abca1)
On pourra donc mettre aussi les équations
![{\displaystyle (9)\left\{{\begin{aligned}\left(\partial ^{n}+{\tfrac {n}{1}}\mathrm {E} \partial ^{n-1}+{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}\mathrm {E} ^{2}\partial ^{n-2}+{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}.{\tfrac {n-2}{3}}\mathrm {E} ^{3}\partial ^{n-3}+\ldots +\mathrm {E} ^{n}\right)F(x,y)&=0,\\\left(\partial +{\tfrac {1}{1.2}}\partial ^{2}+{\tfrac {1}{1.2.3}}.\partial ^{3}+{\tfrac {1}{1.2.3.4}}.\partial ^{4}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \right)F(x,y)&=0,\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/677b89fffdeb84a2ee27c2f192ca1722f1819048)
sous la forme
(10)
parce que le développement de ces dernières formes redonnerait les premières.
En général, si l’échelle est le développement d’une fonction de forme connue, on pourra substituer à ce développement la fonction
non développée.
4. Cette manière d’envisager les échelles d’opérations fait voir
clairement pourquoi la méthode de les détacher ne doit s’étendre
qu’aux formules ou équations dans lesquelles elles ne sont combinées qu’entre elles et avec des quantités constantes ; elle démontre
de plus, ce me semble, d’une manière bien convaincante, et déduit
des premiers principes du calcul, la légitimité de cette opération,
quand les échelles ne sont mêlées qu’entre elles, ou avec de quantités
constantes. Elle fait voir encore la nécessité d’adopter la notation
différentielle introduite par Arbogast, comme la seule susceptible
de cette opération. Cette notation s’écarte d’ailleurs le moins possible
de celle de Leibnitz, puisqu’il suffit de faire dans celle-ci
pour avoir celle d’Arbogast.
5. Si l’équation (1) devient identique, et prend la forme
(11)
![{\displaystyle \phi x-\phi x=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea738a6b84165e1826c69eae1affe83bb468d29)
l’une de ces fonctions, multipliée par l’échelle, peut être mise
dans le second membre ; alors on peut laisser l’échelle non développée
dans l’un des membres, et écrire son développement dans l’autre.
Ainsi, toute équation dont le second membre est le développement du premier, peut être considérée comme une équation à échelles,
qui, étant multipliée par une fonction quelconque de
fournira
une multitude de formules et de théorèmes que souvent on ne
pourrait obtenir, par les voies ordinaires, que d’une manière longue
et laborieuse. Mais, avant de nous livrer aux applications, nous
allons établir les relations qui existent entre les diverses échelles ou
signes de différentiation.
6. Lorsque, dans
la variable
reçoit un accroissement
cette fonction devient
et l’on a, par le Théorème de Taylor,
![{\displaystyle \phi (x+\xi )=\phi x+\xi \partial \phi x+{\tfrac {1}{2}}\xi ^{2}\partial ^{2}\phi x+{\frac {1}{2.3}}\xi ^{3}\partial ^{3}\phi x+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e5f4f56bf8ac207088a2a0f343228ac051cce3)
Quand on a
cette équation devient
![{\displaystyle \phi (x+1)=\phi x+\partial \phi x+{\tfrac {1}{2}}\partial ^{2}\phi x+{\frac {1}{2.3}}\partial ^{3}\phi x+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94d41a21aff7a09a5aab108ed728f97d52c95c62)
En détachant les échelles des seconds membres de ces équations
on peut les mettre sous la forme
(12)
![{\displaystyle \qquad \phi (x+\xi )=e^{\xi \partial }.\phi x,\qquad \phi (x+1)=e^{\partial }.\phi x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a55e5f0bed37e3c501348af7f79bfcdcfec46da)
Les expressions
et
sont ce qu’on appelle les états variés de
; la variation dépendant de l’accroissement de la variable ;
qui est
dans la première expression, et
dans la seconde.
Afin de les rendre susceptibles du calcul des échelles, nous représenterons, avec Arbogast,
par
ou simplement par
, et conséquemment
par
; les seconds membres
des équations (12) justifient complètement cette notation. Par ce
moyen, on peut mettre ces équations sous la forme
![{\displaystyle \mathrm {E} ^{\xi }.\phi x=e^{\xi \partial }.\phi x,\qquad \mathrm {E} \phi x=e^{\partial }.\phi x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c65642496f15ed181101996e4bcf53819e2521f7)
On a donc, en détachant les échelles
![{\displaystyle E=e^{\partial }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/497b1bfba37e9e53c0636e6f5d3f54d0a6c77b4a)
équation qui exprime la relation entre l’échelle de l’état varié et celle
des différentielles.
On a coutume d’exprimer aussi le premier membre de l’équation
que fournit le théorème de Taylor par
de sorte que
et que
exprime l’accroissement de
, lorsque
devient
Nous réserverons cette notation pour le cas
où l’accroissement de
est
et nous représenterons par
l’accroissement de
lorsque
devient
afin que, par notre
notation, l’échelle indique en même temps l’accroissement de la variable
Ainsi, nous aurons
![{\displaystyle (13)\qquad \left\{{\begin{aligned}\phi (x+1)&=\mathrm {E} \phi x=\phi x+\Delta \phi x=e^{\partial ^{n}}.\phi x,\\\phi (x+\xi )&=\mathrm {E} ^{\xi }\phi x=\phi x+\Delta _{\xi }\phi x=e^{\xi \partial }.\phi x.\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de3e94653994a71afd7b22de241da9fb9656f9a5)
En détachant les échelles de ces deux systèmes d’équations, on obtient les relations suivantes, entre les échelles des états variés, celles de différences et celles des différentielles
(14)
![{\displaystyle \qquad \mathrm {E} =1+\Delta =e^{\partial },\qquad \mathrm {E} ^{\xi }=1+\Delta _{\xi }=e^{\xi \partial }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9dd028f0853c208fcb1b07a30a8fd0dd595bcfb)
De celles-ci on tire ensuite celles que voici :
(15)![{\displaystyle \Delta =\mathrm {E} -1=\left(1+\Delta _{\xi }\right)^{\frac {1}{\xi }}-1=e^{\partial }-1,\ \Delta _{\xi }=\mathrm {E} ^{\xi }-1=\left(1+\Delta \right)^{\xi }-1=e^{\xi \partial }-1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ed3871b50bf2d3da589faafb9eb64931638f0fc)
(16)![{\displaystyle \partial =\operatorname {Log} .\mathrm {E} =\operatorname {Log} .(1+\Delta )={\frac {1}{\xi }}\operatorname {Log} .\left(1+\Delta _{\xi }\right)=\operatorname {Log} .\left(1+\Delta _{\xi }\right)^{\frac {1}{\xi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba02faed40f19aaea45882baac3910fb752401ca)
7. Telles sont les relations qui existent entre les différentes échelles de différentiation. On en tire immédiatement, et de la manière la plus rigoureuse, les beaux théorèmes que M. Lagrange a donnés le premier, dans son mémoire de 1772, et d’autres encore plus généraux. Car, en faisant, sur les deux membres des équations (14),
(15) et (16), les mêmes opérations (sans y introduire des variables)
et multipliant les résultats par
on aura autant de théorèmes généraux qu’on voudra. Nous nous contenterons d’en tirer la belle
théorie de l’interpolation, donnée par M. Lagrange dans un des
Mémoires de l’académie de Berlin, pour les années 1792 et 1793.
Puisqu’on a (14)
on aura aussi
mais on a
donc
et enfin
En élevant chaque membre à la puissance
on obtient
(17)
![{\displaystyle \qquad \Delta _{\theta }^{n}=\left\{\left(1+\Delta _{\xi }\right)^{\frac {\theta }{\xi }}-1\right\}^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e8b9ef68b7cb9bf2c0571462f6c6eb178a2e41)
et, en multipliant par ![{\displaystyle \phi x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0151d2e0a73daf7770c721c0b367972d4e08ab3)
(18)
![{\displaystyle \qquad \Delta _{\theta }^{n}\phi x=\left\{\left(1+\Delta _{\xi }\right)^{\frac {\theta }{\xi }}-1\right\}^{n}.\phi x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a20c0037f69ad6f4687d247b6500b8dde1c86440)
où il ne s’agit plus que de développer l’échelle du second membre, et de multiplier par
chacun des termes de son développement.
Cette formule contient la théorie la plus générale de l’interpolation ;
elle fournit, en effet, la solution du problème suivant : Connaissant les différences d’une fonction, pour un accroissement donné de la variable, déterminer sa différence d’un ordre quelconque, pour un autre accroissement de la variable ?
Si l’on voulait avoir, en différentielles, l’expression de la différence d’un ordre quelconque
pour un accroissement
de la
variable, la seconde des équations (15), élevée à la puissance
donnerait immédiatement
![{\displaystyle \Delta _{\xi }^{n}=\left(e^{\xi \partial }-1\right)^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d523cd5ecf6265b874c35feaab940479b113e749)
et, en multipliant par ![{\displaystyle \phi x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0151d2e0a73daf7770c721c0b367972d4e08ab3)
(19)
![{\displaystyle \qquad \Delta _{\xi }^{n}\phi x=\left(e^{\xi \partial }-1\right)^{n}.\phi x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27f0a315b7fbb083c699f254728aed769ef7b92f)
où il n’y a plus qu’à développer l’échelle du second membre et à
multiplier par
chaque terme du développement ; on aurait de la
même manière, en changeant le signe de ![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
(20)
![{\displaystyle \qquad \Sigma _{\xi }^{n}\phi x=\Delta _{\xi }^{-n}\phi x=\left(e^{\xi \partial }-1\right)^{-n}.\phi x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79cf901a83e833de6af6a4f5fef0fcf8da5dd299)
8. Les deux exemples que nous venons de donner ne sont que
des résultats, pour ainsi dire immédiats, des relations de définition
entre les échelles de différentiation ; et l’on en tirerait aisément
beaucoup d’autres théorèmes également remarquables. On en peut
aussi déduire un grand nombre de la remarque que nous avons faite
au n.o 5, que toute équation entre des constantes pouvait être considérée comme une équation à échelles qui, étant multipliée par
fournissait des formules et des vérités nouvelles. Je me contenterai
d’en donner deux exemples, tirés d’un ouvrage inédit de feu mon frère, qui a pour objet ce genre d’application du calcul des échelles
qu’il a très étendu, sans avoir connu la démonstration de la légitimité
de ces opérations.
9. On trouve dans les Opuscula analytica d’Euler, tome 1.er, page 173, cette formule
(21)
![{\displaystyle \quad {\frac {\varpi }{4}}\alpha =\operatorname {Sin} .\alpha -{\frac {1}{3^{2}}}\operatorname {Sin} .3\alpha +{\frac {1}{5^{2}}}\operatorname {Sin} .5\alpha -{\frac {1}{7^{2}}}\operatorname {Sin} .7\alpha +\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15b81b3cbc3eceab8be86d59baffa33486660ebb)
En la mettant sous la forme exponentielle, elle devient
![{\displaystyle {\frac {\varpi }{2}}\alpha {\sqrt {-1}}=\left(e^{\alpha {\sqrt {-1}}}-e^{-\alpha {\sqrt {-1}}}\right)-{\frac {1}{3^{2}}}\left(e^{3\alpha {\sqrt {-1}}}-e^{-3\alpha {\sqrt {-1}}}\right)+{\frac {1}{5^{2}}}\left(e^{5\alpha {\sqrt {-1}}}-e^{-5\alpha {\sqrt {-1}}}\right)-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c1c3a50d815f9d3d74df37d50e8808fae7def52)
Soit
; à cause de
on aura
![{\displaystyle {\frac {\varpi }{2}}\partial =\left(\mathrm {E} ^{1}-\mathrm {E} ^{-1}\right)-{\frac {1}{3^{2}}}\left(\mathrm {E} ^{3}-\mathrm {E} ^{-3}\right)+{\frac {1}{5^{2}}}\left(\mathrm {E} ^{5}-\mathrm {E} ^{-5}\right)-\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/873b555679b8bd86a027b61468197bccd6f3f832)
ou, en multipliant par
, et effectuant les opérations indiquées par les caractéristiques ![{\displaystyle \mathrm {E} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffe618db6c8691cdefb1422cc03f34a22be5b9c5)
![{\displaystyle (22)\ {\tfrac {\varpi }{2}}\partial \phi x=\left\{\phi (x+1)-\phi (x-1)\right\}-{\tfrac {1}{3^{2}}}\left\{\phi (x+3)-\phi (x-3)\right\}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9ab439cf9f2133ecec2d54443aa50b3917084a4)
Si, 1.o on fait
, on obtient la formule de Leibnitz,
![{\displaystyle {\frac {\varpi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dae74d2ac5f41853398e16d0d610e66ef71de60a)
Si, 2.o on fait
, on trouve, en divisant par 2,
![{\displaystyle (23)\ {\frac {\varpi }{4}}.{\frac {1}{x^{2}}}={\frac {1}{x^{2}-1}}-{\frac {1}{3}}.{\frac {1}{x^{2}-3^{2}}}+{\frac {1}{5}}.{\frac {1}{x^{2}-5^{2}}}-{\frac {1}{7}}.{\frac {1}{x^{2}-7^{2}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e34923ea5bdc56031f906214633420e21f07df8)
ou bien, en faisant
(24)
![{\displaystyle \quad {\frac {\varpi }{4}}={\frac {1}{1+a}}-{\frac {1}{3}}.{\frac {1}{1+3^{2}a}}+{\frac {1}{5}}.{\frac {1}{1+5^{2}.a}}-{\frac {1}{7}}.{\frac {1}{1+7^{2}a}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c6c92d223e994606bdb152845d9c15d719ac9be)
où la quantité
demeure absolument arbitraire. Si l’on fait
on retrouve la série de Leibnitz.
Si, 3.o on fait
, on aura
(25)
![{\displaystyle \quad {\frac {\varpi }{2}}.{\frac {1}{x}}=\operatorname {Log} .\left({\tfrac {x+1}{x-1}}\right)-{\frac {1}{3^{2}}}\operatorname {Log} .\left({\tfrac {x+3}{x-3}}\right)+{\frac {1}{5^{2}}}\operatorname {Log} .\left({\tfrac {x+5}{x-5}}\right)-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab5490daaff2c6ad4616d397f0b04c3ff3531bab)
En faisant
et divisant par 2, on obtient
![{\displaystyle (26)\quad {\tfrac {\varpi }{4}}a=\operatorname {Arc} .(\operatorname {Tang} .=a)-{\tfrac {1}{3^{2}}}\operatorname {Arc} .(\operatorname {Tang} .=3a)+{\tfrac {1}{5^{2}}}\operatorname {Arc} .(\operatorname {Tang} .=5a)-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be0bd7702f04505a8052df13a15eb0b72930d53d)
On voit, par cet exemple, avec quelle facilité on déduit les formules (23), (24), (25), (26) de l’équation (22), considérée comme une équation à échelles.
10. Nous prendrons, pour second exemple, la formule
![{\displaystyle {\tfrac {a+\operatorname {Cos} .\alpha }{1+2a\operatorname {Cos} .\alpha +a^{2}}}=\operatorname {Cos} .\alpha -a\operatorname {Cos} .2\alpha +a^{2}\operatorname {Cos} .3\alpha -a^{3}\operatorname {Cos} .4\alpha +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/490c4d01b29af3568c6d9dad519d7cfa04ce77e9)
qu’on trouve dans les Mathématical mémoirs de Landen, tome 1.er page 106. Étant débarrassée du dénominateur, elle devient
![{\displaystyle (27)\ a+\operatorname {Cos} .\alpha =\left(1+2a\operatorname {Cos} .\alpha +a^{2}\right)\left(\operatorname {Cos} .\alpha -a\operatorname {Cos} .2\alpha +a^{2}\operatorname {Cos} .3\alpha -a^{3}\operatorname {Cos} .4\alpha +\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03dfa1925fc7006336e47fbc1e91dd214f7ec66)
Faisons d’abord
: en multipliant par
nous aurons
![{\displaystyle (28)\qquad \left\{{\begin{aligned}\phi (x+\xi )+\phi x\operatorname {Cos} .\alpha &=\\\left[\phi x+2\phi (x+\xi )\operatorname {Cos} .\alpha +\phi (x+2\xi )\right]&\operatorname {Cos} .\alpha \\-\left[\phi (x+\xi )+2\phi (x+2\xi )\operatorname {Cos} .\alpha +\phi (x+3\xi )\right]&\operatorname {Cos} .2\alpha \\+\left[\phi (x+2\xi )+2\phi (x+3\xi )\operatorname {Cos} .\alpha +\phi (x+4\xi )\right]&\operatorname {Cos} .3\alpha \\-\left[\phi (x+3\xi )+2\phi (x+4\xi )\operatorname {Cos} .\alpha +\phi (x+5\xi )\right]&\operatorname {Cos} .4\alpha \\+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ceedbf0117913f84c11c5c887b2f97469fc1be)
Soient successivement
et
; l’équation précédente donnera, en observant qu’on a ![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\left[x+n\xi \right]+\operatorname {Sin} .\left[x+(n+2)\xi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c493969f2a3b73a32103b36dce554c3180bcad8b)
et ![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\left[x+n\xi \right]+\operatorname {Cos} .\left[x+(n+2)\xi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26df373b0ab7b5dddc997c085a05ab147d805acc)
![{\displaystyle (29)\ {\tfrac {1}{2}}\operatorname {Sin} .x+{\tfrac {1}{2}}.{\tfrac {\operatorname {Cos} .x\operatorname {Sin} .\xi }{\operatorname {Cos} .\alpha +\operatorname {Cos} .\xi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/659eefd48ac571a41b25a836cde226b37434b5e6)
![{\displaystyle =\operatorname {Sin} .(x+\xi )\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Sin} .(x+2\xi )\operatorname {Cos} .2\alpha +\operatorname {Sin} .(x+3\xi )\operatorname {Cos} .3\alpha -\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d52e5aaf9825667f9acc7964fc4ee5cc6d6ce1f7)
![{\displaystyle (30)\ {\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cos} .x-{\tfrac {1}{2}}.{\tfrac {\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .\xi }{\operatorname {Cos} .\alpha +\operatorname {Cos} .\xi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37962ed0d02a0efc837ccb17099f05a0ca60d6bb)
![{\displaystyle =\operatorname {Cos} .(x+\xi )\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Cos} .(x+2\xi )\operatorname {Cos} .2\alpha +\operatorname {Cos} .(x+3\xi )\operatorname {Cos} .3\alpha -\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41bbb17f950abae9d909f1bf8a75528e15f9bb6b)
Si, dans ces deux équations, on fait
et
elles deviendront
![{\displaystyle (31)\ {\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tang} .\alpha =\operatorname {Sin} .2\alpha -\operatorname {Sin} .4\alpha +\operatorname {Sin} .6\alpha -\operatorname {Sin} .8\alpha +\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/349688cdf1decb5655597fe88db10d9891049948)
![{\displaystyle (32)\ {\tfrac {1}{2}}=\operatorname {Cos} ^{2}.\alpha -\operatorname {Cos} ^{2}.2\alpha +\operatorname {Cos} ^{2}.3\alpha -\operatorname {Cos} ^{2}.4\alpha +\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b796260b309d493ee05c458b3c726d44a9ec1219)
Soit, en second lieu,
dans l’équation (27) ; en la multipliant par
on obtient
![{\displaystyle (33)\qquad \left\{{\begin{aligned}\xi \partial \phi x+\phi x\operatorname {Cos} .\alpha &=\\\left(\phi x+2\xi \partial \phi x\operatorname {Cos} .\alpha +\xi ^{2}\partial ^{2}\phi x\right)&\operatorname {Cos} .\alpha \\-\left(\xi \partial \phi x+2\xi ^{2}\partial ^{2}\phi x\operatorname {Cos} .\alpha +\xi ^{3}\partial ^{3}\phi x\right)&\operatorname {Cos} .2\alpha \\+\left(\xi ^{2}\partial ^{2}\phi x+2\xi ^{3}\partial ^{3}\phi x\operatorname {Cos} .\alpha +\xi ^{4}\partial ^{4}\phi x\right)&\operatorname {Cos} .3\alpha \\-\left(\xi ^{3}\partial ^{3}\phi x+2\xi ^{4}\partial ^{4}\phi x\operatorname {Cos} .\alpha +\xi ^{5}\partial ^{5}\phi x\right)&\operatorname {Cos} .4\alpha \\+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e61c615ad602fcd631d5a6016e2fb0553413fe90)
Soit
et qu’on égale séparément à zéro ce qui est affecté de
et de
on aura les deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}(34)\ \operatorname {Cos} .\alpha &=\left(1-\xi ^{2}\right)\left(\operatorname {Cos} .\alpha -\xi ^{2}\operatorname {Cos} .3\alpha +\xi ^{4}\operatorname {Cos} .5\alpha -\xi ^{6}\operatorname {Cos} .7\alpha +\ldots \right)\\+&2\xi ^{2}\operatorname {Cos} .\alpha \left(\operatorname {Cos} .2\alpha -\xi ^{2}\operatorname {Cos} .4\alpha +\xi ^{4}\operatorname {Cos} .6\alpha -\xi ^{6}\operatorname {Cos} .8\alpha +\ldots \right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cba5f4511be112878f44e2e78fbb2b7964bab8af)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(35)\ 1&=2\operatorname {Cos} .\alpha \left(\operatorname {Cos} .\alpha -\xi ^{2}\operatorname {Cos} .3\alpha +\xi ^{4}\operatorname {Cos} .5\alpha -\xi ^{6}\operatorname {Cos} .7\alpha +\ldots \right)\\-&\left(1-\xi ^{2}\right)\left(\operatorname {Cos} .2\alpha -\xi ^{2}\operatorname {Cos} .4\alpha +\xi ^{4}\operatorname {Cos} .6\alpha -\xi ^{6}\operatorname {Cos} .8\alpha +\ldots \right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c2efa66f80bd6ed5b448ffadc00015799bc2eba)
Si, dans ces équations, on fait
elles donnent
![{\displaystyle (36)\qquad {\tfrac {1}{2}}=\operatorname {Cos} .2\alpha -\operatorname {Cos} .4\alpha +\operatorname {Cos} .6\alpha -\operatorname {Cos} .8\alpha +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a8a88ce22de9ed420bf691b2bfd2fba540bb834)
![{\displaystyle (37)\qquad {\tfrac {1}{2}}Sec.\alpha =\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Cos} .3\alpha +\operatorname {Cos} .5\alpha -\operatorname {Cos} .7\alpha +\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d14fd40cbabe22883ee465ae10bea1d4da920349)
En mettant, dans l’équation (36),
à la place de
elle devient
![{\displaystyle (38)\qquad {\tfrac {1}{2}}=\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Cos} .2\alpha +\operatorname {Cos} .3\alpha -\operatorname {Cos} .4\alpha +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b81493778a0e098a565c0ed5881e8b522f9b8ec6)
Ces deux dernières équations, comparées aux équations (31) et (32), donnent lieu à des rapprochemens remarquables.
11. Les deux exemples que je viens de donner suffisent pour faire connaître l’esprit de la méthode, et les avantages qu’elle présente, pour parvenir, avec une singulière facilité, à des résultats qu’on n’obtiendrait souvent que d’une manière pénible par les voies ordinaires. Je vais indiquer maintenant une application d’une autre nature de la méthode de détacher les échelles. Elle faisait le sujet d’un mémoire sur l’Intégration des équations linéaires à coefficiens constans, que j’avais présenté à l’institut en l’an XI, mais, que j’ai fait retirer, parce qu’alors je n’étais pas encore en état de justifier la légitimité de la méthode, autrement que par l’exactitude de ses résultats.
12. Si l’on suppose que l’équation (1) soit résolue et mise sous
la forme
, il est evident qu’on pourra lui appliquer les mêmes
raisonnemens que nous avons faits sur l’équation (1), pourvu que
l’échelle qui affecte l’un des membres soit équivalente à celle qui
affecte l’autre. Il est encore évident qu’on ne changera pas la relation entre
et
en faisant, sur chacune de ces deux échelles identiques, des opérations équivalentes (sans cependant introduire de
variables) et que ces échelles, en elles-mêmes, sont entièrement
arbitraires. Mais, s’il arrive que, par suite des opérations indiquées
par l’échelle, le second membre, qui est une fonction explicite
de
, disparaisse ; alors l’échelle du premier membre cesse d’être
arbitraire, et elle détermine la forme de la fonction
ou
Il
est évident que, dans ce cas, on ne peut plus faire, sur l’échelle
qui affecte
ou le premier membre, des opérations quelconques,
mais seulement des transformations qui ne changent pas les relations
entre les différentes parties de l’échelle, et qui n’y en introduisent
point de nouvelles. Ainsi, si l’on a
, on peut faire
, tant que le second membre subsiste ; mais, si
, il n’est plus permis de faire
;
on a alors nécessairement
;
et cette équation n’exprime
plus, à proprement parler, qu’une relation entre les échelles ; de
sorte qu’on a
et non
; et cette relation
détermine la forme de
ou
, ainsi que nous allons le voir.
L’équation
![{\displaystyle (39)\qquad \partial \phi x-a\phi x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dc9bc736513249c5544ac316d657c4aeb702211)
donne, en détachant les échelles,
et par conséquent
ou, d’après l’équation (14),
![{\displaystyle (40)\qquad \mathrm {E} =e^{a}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f766c145a6fa4ab390e67a2fb3b758cf6146638a)
d’où l’on tire
![{\displaystyle (41)\qquad \mathrm {E} ^{k}=e^{a}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a40beb5cede8ad0c4c25b065cf95ae711fbcd86)
ou
![{\displaystyle \qquad 1=e^{ak}.\mathrm {E} ^{-k}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ada5b2d45dae4642350f632b07c62fce7024261d)
multipliant cette dernière par
, on a
![{\displaystyle (42)\qquad \phi a=e^{ak}.\mathrm {E} ^{-k}\phi x=e^{ak}.\phi (x-k)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41e0f8f3cc1b1db9e33bf8c33d8d8482eb721429)
si donc
; on aura
![{\displaystyle \phi k=e^{ak}.\phi (k-k)=e^{ak}.\phi (0)=C.e^{ak}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be511562bff189473aeb0749a639a77a165e09ce)
donc enfin
![{\displaystyle (43)\qquad \phi x=C.e^{ak}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/139d9db422a19e92bb6cd2de010226d264b8cf2d)
étant une constante arbitraire qui, d’après notre méthode, est la
valeur initiale de ![{\displaystyle \phi x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f61d58ced8dd2ae3620baa47931e3b7f26fe44d0)
On voit, d’après cela, comment la forme de la fonction dépend
de celle de l’échelle, et comment celle-ci sert à déterminer l’autre.
13. Cette méthode d’intégration est générale pour toutes les équations linéaires aux différentielles ou aux différences du premier ordre,
à coefficiens constans. Elle consiste, comme l’on voit, 1.o à détacher
l’échelle de l’équation proposée ; 2.o à ramener cette échelle à celle
de l’état varié, au moyen des équations de définition (14), (15) et (16) ; 3.o à dégager
et à élever les deux membres à une même
puissance arbitraire
; 4.o à diviser les deux membres par
pour
avoir l’unité dans le premier membre ; 5.o à multiplier les deux
membres par la fonction détachée
, et à effectuer les opérations
indiquées par l’échelle ; 6.o enfin à faire
Quelques exemples
vont éclaircir cette marche.
14. Soit à intégrer l’équation aux différences
![{\displaystyle (44)\qquad \Delta _{\xi }\phi x-a\phi x=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c71956f79f9275237877b2b516b2cfa773331373)
en détachant les échelles, on a
![{\displaystyle (45)\qquad \Delta _{\xi }-a=0\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db47dcfeb0c7109e563adef552642fe1d74af26d)
ou
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {E} =(1+a)^{\frac {1}{\xi }}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ee1879419112df9c18af3b77643fde340dd5d70)
et
![{\displaystyle \qquad \mathrm {E} ^{k}=(1+a)^{\frac {k}{\xi }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10525cb2aaa4ae41d0d6b45e2305fc60d23f36bc)
donc
![{\displaystyle 1=(1+a)^{\frac {k}{\xi }}.\mathrm {E} ^{-k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baa75d967808ed7735a6a3812bfa6f632418f58b)
et, en multipliant par la fonction détachée ![{\displaystyle \phi x\;;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26ab331fd4e027a56ac5fc4c9aecb5ec5b179de1)
![{\displaystyle \phi x=(1+a)^{\frac {k}{\xi }}.\mathrm {E} ^{-k}\phi x=(1+a)^{\frac {k}{\xi }}\phi (x-k)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/981dd4ee0ffee7a198e590b01f33015da48f5395)
si donc
on a
![{\displaystyle \phi k=(1+a)^{\frac {k}{\xi }}\phi (k-k)=C.(1+a)^{\frac {k}{\xi }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26b39f14cae54d2fd534f55100fc515a99deca5)
donc enfin
![{\displaystyle (46)\qquad \phi x=C(1+a)^{\frac {x}{\xi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a474caf0067b5a765b043fdc27fd5dc276e93a3)
15. Soit encore à intégrer l’équation aux différences mêlées
![{\displaystyle (47)\qquad \mathrm {E} \phi x-a\partial \phi x-b\phi x=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de098be6a733ded5bc579a29b5087c725634954e)
Son équation à échelles est
![{\displaystyle (48)\qquad \mathrm {E} -a\partial -b=0\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9103053edf285241882ffaad088ef294b87e2791)
ou
![{\displaystyle \qquad \mathrm {E} -aLog.\mathrm {E} -b=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/352a51aa0724949f5e032021d755638d9a59c370)
Il s’agirait de tirer de cette équation la valeur de
ce qui ne
peut s’exécuter que par les séries. Soit
cette valeur, on aura
![{\displaystyle \mathrm {E} =\alpha \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8a4513f37799bec6aae5d123903cbf2b8a2b6ab)
et
![{\displaystyle \qquad \mathrm {E} ^{k}=\alpha ^{k}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a3c2c766ae0703802fed45e3d9a76ec72fb6b0d)
et par conséquent
![{\displaystyle 1=\alpha ^{k}\mathrm {E} ^{-k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82b1a62fe5ea4ff534752ca36d0441e854e1ca86)
et, en multipliant par la fonction détachée,
![{\displaystyle \phi x=\alpha ^{k}\mathrm {E} ^{-k}.\phi x=\alpha ^{k}\phi (x-k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d3902f5827d1b29b3a47f8a8290a7891c857eff)
d’où, en supposant ![{\displaystyle x=k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23bbbb75a4679a69205c315bd85a9e6482aa6c84)
![{\displaystyle \phi x=\alpha ^{k}\phi (k-k)=C.\alpha ^{k}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4292e77074f85f919d0b96fd347827755a6c9345)
donc enfin
![{\displaystyle (49)\qquad \phi x=C\alpha ^{x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbd2fb6fcb3cf569d2bed7d40006b16f42c404c1)
étant déterminé par l’équation
![{\displaystyle (50)\qquad \alpha -aLog.\alpha -b=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5498a8e9aea4013f1eceea87ec62299247e107d)
Le système des équations (49) et (50) est donc l’intégrale de la
proposée.
Ces deux exemples font assez connaître la marche et l’uniformité
de cette méthode d’intégration, pour les équations linéaire du premier
ordre. Passons actuellement à l’intégration de celles des ordres supérieurs.
16. Si l’on a une équation linéaire, à coefficiens constans, telle
que les suivantes :
![{\displaystyle {\begin{array}{rrl}(51)&\partial ^{n}\phi x+a_{1}\partial ^{n-1}\phi x+a_{2}\partial ^{n-2}\phi x+\ldots +a_{k}\phi x&=0,\\(52)&\Delta _{\xi }^{n}\phi x+a_{1}\Delta _{\xi }^{n-1}\phi x+a_{2}\Delta _{\xi }^{n-2}\phi x+\ldots +a_{n}\phi x&=0\,;\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddb950ca960604f89005a8e8a4c16954368c828c)
les échelles détachées donnent
(53)
|
|
|
(54)
|
|
|
En supposant que les racines de ces deux équations, résolues par rapport à
et à
soient
on pourra les mettre sous la forme
![{\displaystyle (\partial -\alpha _{1})(\partial -\alpha _{2})(\partial -\alpha _{3})\ldots (\partial -\alpha _{n})=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62ebd3fefdd877e0a35d81113a4733db39b70cf6)
![{\displaystyle (\Delta _{\xi }-\alpha _{1})(\Delta _{\xi }-\alpha _{2})(\Delta _{\xi }-\alpha _{3})\ldots (\Delta _{\xi }-\alpha _{n})=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8cb217e117e31cadfdeede337c6f8e9647c3171)
Ces deux équations sont satisfaites par les deux systèmes suivans
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\partial -\alpha _{1}&=0,&\partial -\alpha _{2}&=0,&\partial -\alpha _{3}&=0,\ldots &\partial -\alpha _{n}&=0\,;\\\Delta _{\xi }-\alpha _{1}&=0,\quad &\Delta _{\xi }-\alpha _{2}&=0,\quad &\Delta _{\xi }-\alpha _{3}&=0,\ldots \quad &\Delta _{\xi }-\alpha _{n}&=0\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4877d149bc54ad9b2af34f1a18b77bd60f5c460)
En multipliant ces équations par la fonction détachée, elles deviennent
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\partial \phi x-\alpha _{1}\phi x=&0,&\partial \phi x-\alpha _{2}\phi x=&0,&\partial \phi x-\alpha _{3}\phi x=&0,\ldots \\\Delta _{\xi }\phi x-\alpha _{1}\phi x=&0,\ &\Delta _{\xi }\phi x-\alpha _{2}\phi x=&0,\ &\Delta _{\xi }\phi x-\alpha _{3}\phi x=&0,\ldots \\&&&&\partial \phi x-\alpha _{n}\phi x=&0\,;\\&&&&\Delta _{\xi }\phi x-\alpha _{n}\phi x=&0\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e473b33e7f9f742a364f38fd8691f5e55e571498)
dont les intégrales sont, d’après, les n.os 12 et 14,
![{\displaystyle \phi x=c_{1}e^{\alpha _{1}x},\qquad \phi x=c_{2}e^{\alpha _{2}x},\ldots \phi x=c_{n}e^{\alpha _{n}x}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bd0bcdce85a1b255133690d54c55c76e92d9cf2)
![{\displaystyle \phi x=c_{1}\left(1+\alpha _{1}\right)^{\frac {x}{\xi }},\qquad \phi x=c_{2}\left(1+\alpha _{2}\right)^{\frac {x}{\xi }},\ldots \phi x=c_{n}\left(1+\alpha _{n}\right)^{\frac {x}{\xi }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/143383425d181293695218be983f81eefd14000a)
et, puisque les deux équations proposées sont linéaires, leurs intégrales complettes seront les sommes de ces deux systèmes d’intégrales particulières ; elles seront, par conséquent,
(55)
|
|
|
(56)
|
|
|
Notre méthode d’intégration, pour les équations linéaires des ordres supérieurs, consiste donc à décomposer l’échelle en ses facteurs du premier degré, et à multiplier chacun de ces facteurs par la fonction détachée ; ce qui réduit l’intégration de ces équations à celle d’autant d’équations linéaires du premier ordre qu’il y a de facteurs.
17. Pour completter cette théorie, il nous faut examiner en
particulier le cas où l’équation aux échelles a des racines égales. Dans
ce cas, qui a toujours plus ou moins embarrassé les géomètres[2], les intégrales cessent d’être complettes ; et il faut, pour les rendre
telles, recourir à une nouvelle considération. Jusqu’à présent, on a
généralement employé celle de l’infini, qui est peu satisfaisante. Nous
allons la remplacer par une autre plus simple et plus rigoureuse, et que, pour plus de clarté et de brièveté, nous appliquerons à un exemple.
18. Supposons que l’équation (53) ait trois racines égales
on aura
On ne satisferait qu’imparfaitement à cette équation, en supposant
; car il faut exprimer que c’est
qui est zéro, et non pas seulement
ni
Pour exprimer cette circonstance, j’observe qu’on a
![{\displaystyle e^{\partial -\alpha _{1}}=1+\left(\partial -\alpha _{1}\right)+{\frac {1}{1.2}}\left(\partial -\alpha _{1}\right)^{2}+{\frac {1}{1.2.3}}\left(\partial -\alpha _{1}\right)^{3}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4006ee6a51143730bca4c2c4264c60839c09f2de)
dire donc que
est la même chose que de supposer l’équation suivante :
![{\displaystyle e^{\partial -\alpha _{1}}=1+\left(\partial -\alpha _{1}\right)+{\tfrac {1}{2}}\left(\partial -\alpha _{1}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f0e36191925c6bb24b72cf4a48e748b3687ec40)
Soit actuellement
tel qu’on ait
ce qui suppose aussi ;
;
on aura évidemment
donc
d’où on tire, par notre marche ordinaire,
![{\displaystyle (58)\qquad \phi x=c\left(1+\mu +{\tfrac {1}{2}}\mu ^{2}\right)^{x}.e^{\alpha _{1}x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f916af3b75bc33efeb99e9199210fb12192e5e)
Or, à cause de
on a
valeur qu’on peut mettre sous la forme
l’équation (58) devient alors
![{\displaystyle (59)\qquad \phi x=c\left(1+\mu _{1}x+\mu _{2}x^{2}\right)e^{\alpha _{1}x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/355823c9748b8fd3ec0341fbb5c0b254292c07e0)
Cette intégrale satisfait à
![{\displaystyle (60)\qquad \left(\partial -\alpha _{1}\right)^{3}\phi x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6da43a960bd15292cbbd3a13839f2bac52352ec)
indépendamment des relations qui existent entre
et
En effet, bien que les intégrales qu’on déduirait des équations
et
ne soient pas les intégrales complettes de l’équation (60),
elles doivent néanmoins y satisfaire, et en être des intégrales particulières. Or, l’intégrale particulière tirée de
est
et celle tirée de
est, par le procédé même dont il est
question,
étant tel que
donc, puisque la proposée est satisfaite, à la fois, par les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\phi x&=ce^{\alpha _{1}x},\\\phi x&=ce^{\alpha _{1}x}+c\mu 'xe^{\alpha _{1}x},\\\phi x&=ce^{\alpha _{1}x}+c\mu _{1}xe^{\alpha _{1}x}+c\mu _{2}x^{2}e^{\alpha _{1}x},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51d52d2b7947a9cb39f948b2bebeaf3892a07db3)
il s’ensuit, en combinant les deux premières valeurs de
, qu’elle
est aussi satisfaite par
quelle que soit la nature de
la constante
qui sort du calcul, comme facteur commun à tous
les termes ; donc aussi
satisfait encore à la proposée,
indépendamment de la valeur de la constante
; donc enfin
satisfera aussi la proposée, puisqu’elle est linéaire, indépendamment de la valeur de la constante
On peut donc remplacer
les deux constantes
et
par deux constantes arbitraires quelconques
et
, et donner ainsi à l’intégrale de l’équation (60) la forme connue
![{\displaystyle (61)\qquad \phi x=\left(c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}\right)e^{\alpha _{1}x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d78da0affeee1476f56d8f06ee98434055cf366)
On trouverait de même, pour un nombre
de racines égales,
![{\displaystyle (62)\qquad \phi x=\left(c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}+\ldots +c_{i}x^{i-1}\right)e^{\alpha _{1}x}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d09b205ef0170bcbddbaaec2588811a10cc7eba5)
et l’intégrale complette de l’équation (51) deviendrait alors
![{\displaystyle (63)\ \phi x=\left(c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}+\ldots +c_{i}x^{i-1}\right)e^{\alpha _{1}x}+c_{i+1}e^{\alpha _{i+1}x}+c_{n}e^{\alpha _{n}x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea7dd7fffdf3b3fad79ee61f70edf7051968779)
Le principe, ainsi que le procédé de cette méthode, sont entièrement
les mêmes, quelle que soit la nature des échelles qui ont des facteurs
égaux ; ils ont, comme tout le reste de la méthode, le mérite de
l’uniformité.
§. II.
De la séparation des échelles, dans les fonctions à plusieurs variables.
19. Jusqu’à présent, nous n’avons appliqué la méthode de séparation des échelles qu’à des fonctions d’une seule variable ; mais il est
évident qu’en faisant sur
les mêmes raisonnemens que
nous avons faits sur
on arriverait aux mêmes conclusions, et qu’ainsi la légitimité de cette méthode, pour les fonctions
à plusieurs variables, se trouve aussi bien démontrée que pour les fonctions d’une seule variable. Nous nous contenterons donc d’établir
les notations et les principales relations de définition entre les échelles
ou signes de diverses espèces de différentiations des fonctions à plusieurs
variables, et nous donnerons quelques exemples d’application de la
méthode. Pour plus de simplicité, nous ne considérerons que des fonctions de deux variables indépendantes ; il sera aisé ensuite d’étendre
la méthode à des fonctions d’un plus grand nombre de variables.
20. Soit une fonction de deux variables
; nous indiquerons sa différentielle totale par
; sa différentielle partielle, en ne faisant varier que
, par
; sa différentielle, relative à la variabilité de
par
de sorte qu’on aura
![{\displaystyle (64)\qquad \partial \phi (x,y)=\partial ^{1,}\phi (x,y)+\partial ^{,1}\phi (x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae0cd1e832f51d2e568a96474890a6685ed88cc3)
et, en détachant les échelles,
![{\displaystyle (65)\qquad \partial =\partial ^{1,}+\partial ^{,1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd77e31fbfeffa743ed34df8654f8853d6153d15)
Nous représenterons de même par
et par
l’état varié et la
différence totale, lorsque les accroissemens de
et de
seront chacun
égal à 1 ; ainsi nous aurons
![{\displaystyle (66)\quad \phi (x+1,y+1)=\mathrm {E} \phi (x,y)=\phi (x,y)+\Delta \phi (x,y)=e^{\partial }.\phi (x,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/749485d2800ef88bd590ade880e024c2eb67ee57)
et par conséquent, en détachant les échelles,
![{\displaystyle (67)\qquad \mathrm {E} =1+\Delta =e^{\partial }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87283d65c320e04b4118a2ac996e724be5531ce5)
Nous indiquerons par
et par
l’état varié partiel et la différence partielle, par rapport à
, lorsque cette variable devient
; et de même par
et par
l’état varié partiel et la différence
partielle, par rapport à
lorsque
devient
Ainsi nous aurons
![{\displaystyle (68)\qquad \mathrm {E} ^{1,}=1+\Delta ^{1,}=e^{\partial ^{1,}},\qquad \mathrm {E} ^{,1}=1+\Delta ^{,1}=e^{\partial ^{,1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efb8d36ab8e7f012c659e8a0de554fda274c3b72)
Ces équations, combinées avec celles (65) et (67), donnent
![{\displaystyle (69)\qquad \mathrm {E} =e^{\partial ^{1,}+\partial ^{,1}}=e^{\partial ^{1,}}.e^{\partial ^{,1}}=\mathrm {E} ^{1,}.\mathrm {E} ^{,1}=\left(1+\Delta ^{1,}\right)\left(1+\Delta ^{,1}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdc8f113eefec8fcb885840a5739f5c87b73d1d6)
![{\displaystyle (70)\ \Delta =\mathrm {E} -1=e^{\partial ^{1,}+\partial ^{,1}}-1=\mathrm {E} ^{1,}.\mathrm {E} ^{,1}-1=\left(1+\Delta ^{1,}\right)\left(1+\Delta ^{,1}\right)-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e1bb01bd684aab54eba8c32798e93ac144291b)
![{\displaystyle =\Delta ^{1,}+\Delta ^{,1}+\Delta ^{1,}.\Delta ^{,1}=\Delta ^{1,}+\Delta ^{,1}.\mathrm {E} ^{1,}=\Delta ^{,1}+\Delta ^{1,}.\mathrm {E} ^{,1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05766334652d4a277c6130308db2c8c8c82f1a2a)
d’où l’on tire
![{\displaystyle (71)\ \Delta ^{m}=\left(e^{\partial ^{1,}+\partial ^{,1}}-1\right)^{m}=\left(\Delta ^{1,}+\Delta ^{,1}.\mathrm {E} ^{1,}\right)^{m}=\left(\Delta ^{,1}+\Delta ^{1,}.\mathrm {E} ^{,1}\right)^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d982ebb319a484bc30ef14c57c8447f73c9ac942)
21. Lorsque les accroîssemens des variables ne sont plus égaux à l’unité, et représentés par
pour celui de
et par
pour celui de
nous indiquerons les états variés partiels par
et
les différences partielles par
et
l’état varié total par
et la différence totale par
De cette manière, la notation indique, en même temps, la valeur des accroîssemens des variables ; ce qui est nécessaire, comme on va le voir par les relations suivantes :
![{\displaystyle (72)\ \mathrm {E} ^{\xi ,}=1+\Delta _{\xi ,}^{1,}=\left(1+\Delta ^{1,}\right)^{\xi }=e^{\xi \partial ^{1,}},\quad \mathrm {E} ^{,\nu }=1+\Delta _{,\nu }^{,1}=\left(1+\Delta ^{,1}\right)^{\nu }=e^{\nu \partial ^{,1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbe75a958345bcab625f43bb151b5aaeec5f0938)
![{\displaystyle (73)\ \mathrm {E} ^{\xi ,\nu }=1+\Delta _{\xi ,\nu }=\mathrm {E} ^{\xi ,}.\mathrm {E} ^{,\nu }=\left(1+\Delta _{\xi ,}^{1,}\right)\left(1+\Delta _{,\nu }^{,1}\right)=\left(1+\Delta ^{1,}\right)^{\xi }\left(1+\Delta ^{,1}\right)^{\nu }=e^{\xi \partial ^{1,}+\nu \partial ^{,1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8830a7d4be77d4ff88121e9c92b9b61d5b092886)
De là on déduit
![{\displaystyle (74)\ \Delta _{\xi ,}^{1,}=\mathrm {E} ^{\xi ,}-1=\left(1+\Delta ^{1,}\right)^{\xi }-1=e^{\xi \partial ^{1,}}-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b88152a419570338e1691ea2bc622c7d5b62b96)
![{\displaystyle \Delta _{,\nu }^{,1}=\mathrm {E} ^{,\nu }-1=\left(1+\Delta ^{,1}\right)^{\nu }-1=e^{\nu \partial ^{,1}}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eb9ce92292b18774ac5b962ebc4bb84906169e9)
![{\displaystyle (75)\ \Delta _{\xi ,\nu }=\mathrm {E} ^{\xi ,\nu }-1=\mathrm {E} ^{\xi ,}.\mathrm {E} ^{,\nu }-1=\left(1+\Delta _{\xi ,}^{1,}\right)\left(1+\Delta _{,\nu }^{,1}\right)-1=\left(1+\Delta ^{1,}\right)^{\xi }\left(1+\Delta ^{,1}\right)^{\nu }-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9dbc41795ff079f151b290c63b40c0877603faf)
![{\displaystyle =\Delta _{\xi ,}^{1,}+\Delta _{,\nu }^{,1}\mathrm {E} ^{\xi ,}=\Delta _{,\nu }^{,1}+\Delta _{\xi ,}^{1,}\mathrm {E} ^{,\nu }=e^{\xi \partial ^{1,}+\nu \partial ^{,1}}-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16377c47752bd6349f86c52cb036a5aca4dcf6c0)
![{\displaystyle (76)\ \Delta ^{1,}=\mathrm {E} ^{1,}-1=\left(1+\Delta _{\xi ,}^{1,}\right)^{\frac {1}{\xi }}-1=e^{\partial ^{1,}}-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aa077294130c18a651b87927a62c4c91cdbf0da)
![{\displaystyle \Delta _{,1}^{,1}=\mathrm {E} ^{,1}-1=\left(1+\Delta _{,\nu }^{,1}\right)^{\frac {1}{\nu }}-1=e^{\partial ^{1,}}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a54908bb76784b018357053a5378b5d77e734f1)
![{\displaystyle (77)\ \Delta =\mathrm {E} -1=\mathrm {E} ^{1,}.\mathrm {E} ^{,1}-1=\left(1+\Delta _{\xi ,}^{1,}\right)^{\frac {1}{\xi }}\left(1+\Delta _{,\nu }^{,1}\right)^{\frac {1}{\nu }}-1=e^{\partial ^{1,}+\partial ^{,1}}-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64b335a19c438a4268850f23f09358f26dda3cb4)
Et de là on tire
![{\displaystyle (78)\qquad \Delta _{\xi ,\nu }^{m,n}=\Delta _{\xi ,}^{m,}\Delta _{,\nu }^{,n}=\left(\mathrm {E} ^{\xi ,}-1\right)^{m}\left(\mathrm {E} ^{,\nu }-1\right)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcad7b3cd6b658315b7ea347ee2ff6bd85a41554)
![{\displaystyle =\left\{\left(1+\Delta ^{1,}\right)^{\xi }-1\right\}^{m}\left\{\left(1+\Delta ^{,1}\right)^{\nu }-1\right\}^{n}=\left(e^{\xi \partial ^{1,}}-1\right)^{m}\left(e^{\nu \partial ^{,1}}-1\right)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb35ac5063f7d122037f5abf8556825100cb8f7)
![{\displaystyle (79)\qquad \Delta ^{m,n}=\Delta ^{m,}\Delta ^{,n}=\left(\mathrm {E} ^{1,}-1\right)^{m}\left(\mathrm {E} ^{,1}-1\right)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad8a075ab924f88fedd6c086b702d23377db41bc)
![{\displaystyle =\left\{\left(1+\Delta _{\xi ,}^{1,}\right)^{\frac {1}{\xi }}-1\right\}^{m}\left\{\left(1+\Delta _{,\nu }^{,1}\right)^{\frac {1}{\nu }}-1\right\}^{n}=\left(e^{\partial ^{1,}}-1\right)^{m}\left(e^{\partial ^{,1}}-1\right)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3d9f6db012ed43ac56fd05e94b3b0137217e908)
![{\displaystyle (80)\quad \Delta _{\xi ,\nu }^{m}=\left(\mathrm {E} ^{\xi ,\nu }-1\right)^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b929b7288dfa8a3115170e2da90c8925aca1dd5)
![{\displaystyle =\left\{\left(1+\Delta _{\xi ,}^{1,}\right)\left(1+\Delta _{,\nu }^{,1}\right)-1\right\}^{m}\left\{\left(1+\Delta ^{,1}\right)^{\xi }\left(1+\Delta ^{,1}\right)^{\nu }-1\right\}^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ccfad24063daba11c30237eb84d060ae8d7004e)
![{\displaystyle =\left(\Delta _{\xi ,}^{1,}+\Delta _{,\nu }^{,1}.\mathrm {E} ^{\xi ,}\right)^{m}=\left(\Delta _{,\nu }^{,1}+\Delta _{\xi ,}^{1,}.\mathrm {E} ^{,\nu }\right)^{m}=\left(e^{\xi \partial ^{1,}+\nu \partial ^{,1}}-1\right)^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81472099282a1649726ee27d4855155ef13df1cf)
![{\displaystyle (81)\qquad \Delta _{\xi ,\nu }^{-m}=\Sigma _{\xi ,\nu }^{m}=\left(\mathrm {E} ^{\xi ,\nu }-1\right)^{-m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c58a0883e11371ff4d7986c39f50cf9588cfa5f3)
![{\displaystyle =\left(\Delta _{\xi ,}^{1,}+\Delta _{,\nu }^{,1}.\mathrm {E} ^{\xi ,}\right)^{-m}=\left(\Delta _{,\nu }^{,1}+\Delta _{\xi ,}^{1,}.\mathrm {E} ^{,\nu }\right)^{-m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5203e566b9d9878638ecd09b1b73a813159edcd5)
![{\displaystyle =\Sigma _{\xi ,}^{m,}\left(1+\Delta _{,\nu }^{,1}.\Sigma _{\xi ,}^{1,}.\mathrm {E} ^{\xi ,}\right)^{-m}=\Sigma _{,\nu }^{,m}\left(1+\Delta _{\xi ,}^{1,}.\Sigma _{,\nu }^{,1}.\mathrm {E} ^{,\nu }\right)^{-m}=\left(e^{\xi \partial ^{1,}+\nu \partial ^{,1}}-1\right)^{-m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b6d4a6cd35a81567c662ab049928be85b882127)
On déduit aussi des équations (72) et (73)
![{\displaystyle (82)\left\{{\begin{aligned}\partial ^{1,}&=\operatorname {Log} .\mathrm {E} ^{1,}=\operatorname {Log} .\left(1+\Delta ^{1,}\right)\\&={\frac {1}{\xi }}\operatorname {Log} .\left(1+\Delta _{\xi ,}^{1,}\right)=\operatorname {Log} .\left(1+\Delta _{\xi ,}^{1,}\right)^{\frac {1}{\xi }},\\\partial ^{,1}&=\operatorname {Log} .\mathrm {E} ^{,1}=\operatorname {Log} .\left(1+\Delta ^{,1}\right)\\&={\frac {1}{\nu }}\operatorname {Log} .\left(1+\Delta _{,\nu }^{,1}\right)=\operatorname {Log} .\left(1+\Delta _{,\nu }^{,1}\right)^{\frac {1}{\nu }},\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70b274ea208b394e6b1ed6db1fd1c8c064b690b3)
![{\displaystyle (83)\quad \partial =\partial ^{1,}+\partial ^{,1}=\operatorname {Log} .\mathrm {E} ^{1,}+\operatorname {Log} .\mathrm {E} ^{,1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c0017de4d0df5463e62e1654fd119b8987995d6)
![{\displaystyle =\operatorname {Log} .\left(\mathrm {E} ^{1,}.\mathrm {E} ^{,1}\right)=\operatorname {Log} .\mathrm {E} =\operatorname {Log} .\left(1+\Delta ^{1,}\right)+\operatorname {Log} .\left(1+\Delta ^{,1}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c22b997cd43c8ca6a92a4e526f325ba5595d9a7)
![{\displaystyle =\operatorname {Log} .\left\{\left(1+\Delta ^{1,}\right)\left(1+\Delta ^{,1}\right)\right\}={\frac {1}{\xi }}\operatorname {Log} .\left(1+\Delta _{\xi ,}^{1,}\right)+{\frac {1}{\nu }}\operatorname {Log} .\left(1+\Delta _{,\nu }^{,1}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bde9f5ef28bd9660ec82968bb4b9b2df674fe75)
![{\displaystyle =\left\{\operatorname {Log} .\left(1+\Delta _{\xi ,}^{1,}\right)^{\frac {1}{\xi }}\left(1+\Delta _{,\nu }^{,1}\right)^{\frac {1}{\nu }}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef117e0f37681de444ea6d5b17122cbaa5d36887)
![{\displaystyle (84)\quad \partial ^{m}=\left(\partial ^{1,}+\partial ^{,1}\right)^{m}=\partial ^{m,}\left(1+{\mathcal {f}}^{1,}.\partial ^{,1}\right)^{m}=\partial ^{,m}\left(1+{\mathcal {f}}^{,1}.\partial ^{1,}\right)^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe6f5434af74ebb11a2ad2908a729a3dcf62550)
![{\displaystyle (85)\quad \partial ^{-m}{\mathcal {f}}^{m}=\left(\partial ^{1,}+\partial ^{,1}\right)^{-m}={\mathcal {f}}^{m,}\left(1+{\mathcal {f}}^{1,}.\partial ^{,1}\right)^{-m}={\mathcal {f}}^{,m}\left(1+{\mathcal {f}}^{,1}.\partial ^{1,}\right)^{-m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd37b3f8aa85a5233d693114aa0303c9789f861)
où
indique l’opération inverse de
; de sorte que
Il a, avec le signe d’intégration ordinaire, le rapport suivant :
22. Toutes ces équations ne sont que des relations de définition, entre
les différentes échelles de différenciation, ou des résultats qui en dérivent
immédiatement. En les multipliant par
elles offrent autant de
théorèmes généraux, plus ou moins remarquables. Les équations (85) donnent deux expressions en séries de l’intégrale d’un ordre quelconque d’une fonction à deux variables. En y faisant
on a les deux séries
de Jean Bernouilli. Les équations (81) donnent des séries analogues,
pour les différences finies. On pourrait tirer de toutes ces équations
une foule d’autres conséquences, en faisant sur chaque membre des
opérations équivalentes (sans y introduire des variables), et multipliant les résultats par
; on obtiendrait ainsi autant de
théorèmes généraux qu’on voudrait. Nous nous contenterons, comme
pour les fonctions d’une seule variable, d’en tirer une formule générale
d’interpolation, pour les séries doubles.
Par le même procédé qui nous a donné l’équation (18), on
obtient
![{\displaystyle (86)\ \Delta _{\theta ,\omega }^{m,n}=\Delta _{\theta ,}^{m,}.\Delta _{,\omega }^{,n}=\left\{\left(1+\Delta _{\xi ,}^{1,}\right)^{\frac {\theta }{\xi }}-1\right\}^{m}.\left\{\left(1+\Delta _{,\nu }^{,1}\right)^{\frac {\omega }{\nu }}-1\right\}^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fea0be67f40450c390f033dff8604b3eba41c51)
et, en multipliant par ![{\displaystyle \phi (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bc20218c54116f082504055b08e4810bedbc963)
![{\displaystyle (87)\ \Delta _{\theta ,\omega }^{m,n}\phi (x,y)=\left\{\left(1+\Delta _{\xi ,}^{1,}\right)^{\frac {\theta }{\xi }}-1\right\}^{m}.\left\{\left(1+\Delta _{,\nu }^{,1}\right)^{\frac {\omega }{\nu }}\phi -1\right\}^{n}.(x,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/051222d8358b27449316775479d62faf3eec052c)
Au moyen de cette formule, on passe d’un système de différences,
relatives à des accroissemens
et
à un autre système de différences, relatives à des accroissemens
et
; ce qui donne la solution
la plus générale de l’interpolation des séries doubles.
23. Nous avons vu, au n.o 5, qu’une formule quelconque, entre
des quantités arbitraires, pouvait être considérée comme une équation à échelles, et nous avons fait voir, par deux exemples, qu’en
multipliant ses deux membres par une fonction de
, on obtenait,
avec beaucoup de facilité, des théorèmes, soit connus soit nouveaux.
Nous pourrions faire des applications semblables, pour les fonctions
à plusieurs variables ; mais, pour ne pas trop grossir ce mémoire,
nous laisserons cet exercice au lecteur, et nous passerons de suite à
l’intégration des équations linéaires à plusieurs variables.
Les principes et la marche de la méthode étant les mêmes
dans ce cas que dans celui des équations linéaires à une seule
variable, nous ne répéterons pas ce que nous avons dit plus haut sur ce sujet, et nous passerons de suite aux applications.
24. Soit à intégrer l’équation aux différentielles partielles
![{\displaystyle (88)\qquad \partial ^{1,}\phi (x,y)=a\partial ^{1,}\phi (x,y)+b\phi (x,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c09b44ed153bdac648caa0de0b2c4ec9954eff4f)
En détachant les échelles, on a
![{\displaystyle (89)\qquad \partial ^{1,}=a\partial ^{1,}+b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbc106d6c2d309b9080906c38440147910597395)
ou bien
donc
et par conséquent
et ensuite ![{\displaystyle 1=e^{bk}.\mathrm {E} ^{-k,}.\mathrm {E} ^{,ak}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/041e929715c9b79062f2df8e710bd845a21e6b7a)
En multipliant par la fonction détachée
, on trouve
![{\displaystyle \phi (x,y)=e^{bk}.\mathrm {E} ^{-k,ak}.\phi (x,y)=e^{bk}.\phi (x-k,y+ak).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b600c65cbc23a2483b152b8785c6b7d7faeec4a6)
Si l’on a
cette expression devient
![{\displaystyle \phi (k,y)=e^{bk}.\phi (0,y+ak)=e^{bk}.{\mathcal {f}}(y+ak)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc503187efb8c4d2e2a12303516bb3ad884722c)
où
désigne une fonction arbitraire ; on a donc, en général
![{\displaystyle (90)\qquad \phi (x,y)=e^{bk}.{\mathcal {f}}(y+ak).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcc157cf7481d83076a2b7d32c6300badcefe1b8)
Si l’on avait résolu l’équation aux échelles, par rapport à
au lieu de la résoudre par rapport à
on aurait trouvé pour intégrale
![{\displaystyle \phi (x,y)=e^{-{\frac {by}{a}}}.{\mathcal {f}}(x+{\frac {y}{a}})\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/540203e96018318613f456a98c14a6b20bedc1fd)
mais il est évident que cette intégrale ne diffère qu’en apparence de (90).
25. Soit à intégrer, en second lieu, l’équation aux différences, partielles
![{\displaystyle (91)\qquad \phi (x,y)=a\phi (x,y+\nu )+b\phi (x,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b7b41f7ca943929ca60de0503fd16624fec87d0)
ou
![{\displaystyle \mathrm {E} ^{\xi ,}.\phi (x,y)=a\mathrm {E} ^{,\nu }.\phi (x,y)+b\phi (x,y)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1981e8d2924caf18eb7fc415a028162727c075ef)
l’équation aux échelles sera
![{\displaystyle (92)\qquad \mathrm {E} ^{\xi ,}=a\mathrm {E} ^{,\nu }+b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47ec49ffc832713b13eddf5c7713c9cb0b70edbf)
d’où on tire
et par conséquent
donc en multipliant par la fonction,
![{\displaystyle \phi (x,y)=\left(a\mathrm {E} ^{,\nu }+b\right)^{\frac {k}{\xi }}.\mathrm {E} ^{-k}\phi (x,y)=\left(a\mathrm {E} ^{,\nu }+b\right)^{\frac {k}{\xi }}.\phi (x-k,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91686d3b84c0a77e7855f12fafcfcd40bc25b9cf)
![{\displaystyle =\left\{a^{\frac {k}{\xi }}.\mathrm {E} ^{,\nu {\frac {k}{\xi }}}+{\frac {b}{\xi }}ka^{{\frac {k}{\xi }}-1}.\mathrm {E} ^{,\nu \left({\frac {k}{\xi }}-1\right)}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {b}{\xi }}\right)^{2}k(k-\xi )a^{{\frac {k}{\xi }}-2}.\mathrm {E} ^{,\nu \left({\frac {k}{\xi }}-2\right)}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f20c1be83e1204609fb3f36d8606d543cfda52)
![{\displaystyle +\left.{\frac {1}{6}}\left({\frac {b}{\xi }}\right)^{3}k(k-\xi )(k-2\xi )a^{{\frac {k}{\xi }}-3}.\mathrm {E} ^{,\nu \left({\frac {k}{\xi }}-3\right)}+<\ldots \right\}\phi (x-k,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0b2fd1b07f38795e0b33b3da8255c1300d300fd)
![{\displaystyle =a^{\frac {k}{\xi }}\phi \left\{x-k,y+\nu .{\frac {k}{\xi }}\right\}+{\frac {b}{\xi }}ka^{{\frac {k}{\xi }}-1}\phi \left\{x-k,y+\nu \left({\frac {k}{\xi }}-1\right)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c48d1d15e010a5312702a9aa5b7f734c344c911)
![{\displaystyle +{\frac {1}{2}}\left({\frac {b}{\xi }}\right)^{2}k(k-\xi )a^{{\frac {k}{\xi }}-2}.\phi \left\{x-k,y+\nu \left({\frac {k}{\xi }}-2\right)\right\}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61185262d65e648d31c6a3750a496c027043e0b2)
Si
cette expression devient
![{\displaystyle \phi (k,y)=a^{\frac {k}{\xi }}{\mathcal {f}}\left(y+\nu {\frac {k}{\xi }}\right)+{\frac {b}{\xi }}ka^{{\frac {k}{\xi }}-1}.{\mathcal {f}}\left\{y+\nu \left({\frac {k}{\xi }}-1\right)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ab3588410a3ab2f39a2ef7080ec01b8abf00141)
![{\displaystyle +{\frac {1}{2}}\left({\frac {b}{\xi }}\right)^{2}k(b-\xi )a^{{\frac {k}{\xi }}-2}.{\mathcal {f}}\left\{y+\nu \left({\frac {k}{\xi }}-2\right)\right\}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc400fc2252446682a3a6503f83fecafa644df65)
donc enfin
![{\displaystyle (93)\quad \phi (x,y)=a^{\frac {x}{\xi }}{\mathcal {f}}\left(y+\nu {\frac {x}{\xi }}\right)+{\frac {b}{\xi }}xa^{{\frac {x}{\xi }}-1}.{\mathcal {f}}\left\{y+\nu \left({\frac {x}{\xi }}-1\right)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e2472485a25578a2c41ae7acf198c9f12dbfa5b)
![{\displaystyle +{\frac {1}{2}}\left({\frac {b}{\xi }}\right)^{2}x(x-\xi )a^{{\frac {x}{\xi }}-2}.{\mathcal {f}}\left\{y+\nu \left({\frac {x}{\xi }}-2\right)\right\}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55b247cb62166e42278a73db522f05b1062cbbdd)
Si l’on avait commencé le développement de
par le terme
; on aurait obtenu
![{\displaystyle (94)\quad \phi (x,y)=b^{\frac {x}{\xi }}{\mathcal {f}}y+{\frac {a}{\xi }}xb^{{\frac {x}{\xi }}-1}.{\mathcal {f}}\left(y+\nu \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfb2621ed604274253c7dd8ea2203d06f07163c5)
![{\displaystyle +{\frac {1}{2}}\left({\frac {a}{\xi }}\right)^{2}x(x-\xi )b^{{\frac {x}{\xi }}-2}.{\mathcal {f}}\left(y+2\nu \right)+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8dc845fadecdeffe3197f10015c013ba620e633)
Ces deux intégrales ne coïncident qu’autant qu’elles se terminent ;
ce qui n’arrive que dans deux cas : savoir, 1.o quand
; 2.o quand
est un nombre entier positif. Hors ces deux cas, les deux intégrales vont à l’infini, et diffèrent entre elles comme deux développemens de la même fonction commencés par les deux extrémités.
26. Soit enfin l’équation aux différences mêlées partielles
![{\displaystyle (95)\qquad \phi (x+\xi ,y)=a\partial ^{,1}\phi (x,y),\quad {\text{ou}}\quad \mathrm {E} ^{\xi ,}\phi (x,y)=a\partial ^{,1}\phi (x,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8b712d630bb1f7a254968519df0ac46456ab31c)
On aura, en détachant les échelles,
![{\displaystyle (96)\qquad \mathrm {E} ^{\xi ,}=a\partial ^{,1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed68540f6817992dd679b23e579a87a0b9988f3e)
ce qui donne
et
d’où on tire, par notre procédé ordinaire
![{\displaystyle (97)\qquad \phi (x,y)=a^{\frac {x}{\xi }}\partial ^{,{\frac {x}{\xi }}}{\mathcal {f}}y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad0c5b1e2130419a3fe5d3e8d2737187462998f0)
Si de l’échelle (96) on avait tiré la valeur de
, on aurait trouvé
et par suite
ce qui donne, en multipliant par la fonction détachée
![{\displaystyle \phi (x,y)=e^{\frac {k\mathrm {E} ^{\xi }}{a}}.\mathrm {E} ^{,-k}\phi (x,y)=e^{\frac {k\mathrm {E} ^{\xi }}{a}}\phi (x,y-k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7a519067654a8f3bcf6c11282ea8dee99769a9f)
![{\displaystyle =\left\{1+{\frac {k}{a}}\mathrm {E} ^{\xi ,}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {k}{a}}\right)^{2}\mathrm {E} ^{2\xi ,}+{\frac {1}{6}}\left({\frac {k}{a}}\right)^{3}\mathrm {E} ^{3\xi ,}+\ldots \right\}\phi (x,y-k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28ed828815aaa24d6eecfea3c379c68acfc8d4b6)
![{\displaystyle =\phi (x,y-k)+{\frac {k}{a}}\phi (x+\xi ,y-k)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {k}{a}}\right)^{2}\phi (x+2\xi ,y-k)+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f20e7b9d2f1088364db8c169c66daab84f02c8c)
donc, si ![{\displaystyle y=k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/724459ad8c8f6908b575c4392af6f8b6cbc669e5)
![{\displaystyle \phi (x,k)={\mathcal {f}}x+{\frac {k}{a}}{\mathcal {f}}(x+\xi )+{\frac {1}{2}}\left({\frac {k}{a}}\right)^{2}{\mathcal {f}}(x+2\xi )+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f1ba13e6c6e77716aa842cba347d6b271430aa2)
et enfin
![{\displaystyle (98)\qquad \phi (x,y)={\mathcal {f}}x+{\frac {y}{a}}{\mathcal {f}}(x+\xi )+{\frac {1}{2}}\left({\frac {y}{a}}\right)^{2}{\mathcal {f}}(x+2\xi )+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6527a045d8cde41e4a1f8331c88717b5bd5ae4c1)
Ces exemples suffisent pour indiquer l’esprit de la méthode, dans
l’intégration des équations linéaires du premier ordre à plusieurs variables. Passons à celle des équations linéaires à plusieurs variables dont
l’ordre est plus élevé.
27. Lorsque l’équation aux échelles d’une équation linéaire d’un
ordre supérieur est décomposable en facteurs du premier degré,
chacun de ces facteurs, multiplié par la fonction détachée et égalé
à zéro, fournit une équation linéaire du premier ordre, qu’on intègre
par le procédé que nous venons d’exposer ; et la somme de ces
intégrales particulières est l’intégrale complette de la proposée. Mais,
lorsque l’échelle n’est pas décomposable en facteurs du premier degré,
il faut avoir recours à la méthode d’approximation que nous allons
exposer par un exemple.
28. Soit l’équation aux différences partielles
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}(99)\ A\phi (x,y)+B\partial ^{1,}\phi (x,y)+C\partial ^{2,}\phi (x,y)+\ldots +N\partial ^{n,}.&\phi (x,y)\\+B_{1}\partial ^{,1}\phi (x,y)+C_{1}\partial ^{1,}\partial ^{,1}.\phi (x,y)+\ldots +N_{1}\partial ^{n-1,}\partial ^{,1}.&\phi (x,y)\\+C_{2}\partial ^{,2}.\phi (x,y)+\ldots +N_{2}\partial ^{n-2,}\partial ^{,2}.&\phi (x,y)\\+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \\+N_{n}\partial ^{,n}.&\phi (x,y)\\\end{aligned}}\right\}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69845075ea6fa856657eb6395211b41b796df1f2)
et supposons que son équation aux échelles
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}(100)\qquad A+B\partial ^{1,}+C\partial ^{2,}+\ldots &+N\partial ^{n,}\\+B_{1}\partial ^{,1}+C_{1}\partial ^{1,}\partial ^{,1}+\ldots &+N_{1}\partial ^{n-1,}\partial ^{,1}\\+C_{2}\partial ^{,2}+\ldots &+N_{2}\partial ^{n-2,}\partial ^{,2}\\+\ldots \ldots &\ldots \ldots \\&+N_{n}\partial ^{,n}\\\end{aligned}}\right\}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2dc596d788e425b2e9d634660e8371a5a8c0a0c)
ne soit pas susceptible d’être décomposée en facteurs du premier
degré ; on pourra du moins en tirer, par la méthode du retour
des suites, une valeur de
de cette forme
![{\displaystyle (101)\qquad \partial ^{1,}=\alpha _{1}+\beta _{1}\partial ^{,1}+\gamma _{1}\partial ^{,2}+\delta _{1}\partial ^{,3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a9f22e6205c3135f3c08c95b4fc685e5aa1448)
d’où l’on tirera
![{\displaystyle \mathrm {E} ^{1,}=e^{\alpha _{1}+\beta _{1}\partial ^{,1}+\gamma _{1}\partial ^{,2}+\delta _{1}\partial ^{,3}+\ldots }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/294b7e234444d78018c95f381d7e0b96b37cdcce)
et
![{\displaystyle \mathrm {E} ^{k,}=e^{\left(\alpha _{1}+\beta _{1}\partial ^{,1}+\gamma _{1}\partial ^{,2}+\delta _{1}\partial ^{,3}+\ldots \right)k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b633551fc1f4a660d61998ecbfbd94243e0a85e)
![{\displaystyle =e^{\alpha _{1}k}+\mathrm {D} .e^{\alpha _{1}k}.\partial ^{,1}+{\tfrac {1}{2}}\mathrm {D} ^{2}.e^{\alpha _{1}k}.\partial ^{,2}+{\tfrac {1}{6}}\mathrm {D} ^{3}.e^{\alpha _{1}k}.\partial ^{,3}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e1275fc2c0182a62679e2d77689bba6f18a1c95)
étant le signe de dérivation, et ne se rapportant qu’à ![{\displaystyle \alpha _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c070a9483001b49a22f95b117c8ae45ddf1c95)
On tire de là, par notre procédé ordinaire,
![{\displaystyle (102)\qquad \phi (x,y)=e^{\alpha _{1}x}{\mathcal {f}}_{1}y+\mathrm {D} .e^{\alpha _{1}x}.\partial ^{,1}{\mathcal {f}}_{1}y+{\tfrac {1}{2}}\mathrm {D} ^{2}.e^{\alpha _{1}x}.\partial ^{,2}{\mathcal {f}}_{1}y+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7f9429fe72856664824965eb4aa28eaca16faa0)
cette expression peut se mettre sous la forme suivante, au moyen
des échelles détachées
![{\displaystyle (103)\qquad \phi (x,y)=e^{\mathrm {D} .\partial ^{,1}}.e^{\alpha _{1}x}.{\mathcal {f}}_{1}y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d065d8387126e92f8f04071454d4d902c51e8bc)
où
ne se rapporte qu’à
et
à ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Cette intégrale n’est que particulière, mais on la complétera aisément, en considérant que
est une des racines de l’équation
![{\displaystyle (104)\qquad A+B\alpha +C\alpha ^{2}+\ldots N\alpha ^{n}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d5e8c73d11c61d6a9ba150be3dda7280ba516be)
et que
se déduisent de
d’une manière simple et uniforme, par le calcul des dérivations ; d’où il est facile de conclure que, si
sont les autres racines de l’équation (104), on aura, pour chacune d’elles, une autre valeur de
et une intégrale particulière correspondante. La somme de toutes ces intégrales particulières sera l’intégrale complète de la proposée, qu’au moyen des échelles détachées, on peut mettre sous la forme suivante :
![{\displaystyle (105)\ \phi (x,y)=e^{\mathrm {D} .\partial ^{,1}}.\left\{e^{\alpha _{1}x}.{\mathcal {f}}_{1}y+e^{\alpha _{2}x}.{\mathcal {f}}_{2}y+e^{\alpha _{3}x}.{\mathcal {f}}_{3}y+\ldots +e^{\alpha _{n}x}.{\mathcal {f}}_{n}y\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd75e3aa00c47470257a5bb24263f26f0ccdbd43)
Remarquons qu’il n’est pas nécessaire de supposer, pour ce qui précède, la résolution générale des équations. Comme il ne s’agit ici que d’approximation, il suffit que les valeurs de
soient exprimées en séries ; ce qui est toujours possible, soit par la méthode de M. Lagrange (Mémoires de Berlin, 1768), soit par le n.o 285
du Calcul des dérivations.
Dans tous les cas semblables, quelle que soit la nature des échelles, la marche de la méthode est exactement la même, et n’a pas besoin de nouvelle explication.
29. Notre méthode d’intégration est donc générale, et applicable à tous les cas des équations linéaires, à coefficiens constans ; qu’elles soient aux différences ou aux différentielles, les unes et les autres totales ou partielles, séparées ou mêlées ; mais ce qu’elle a de particulier, c’est son uniformité constante, pour toutes ces espèces différentes d’équation ; uniformité qu’elle ne doit qu’à la séparation des échelles, dont elle est une des applications les plus intéressantes.
30. Les deux genres d’applications que je viens de présenter de la méthode de séparation des échelles, suffisent pour donner une idée de son importance, et de son utilité dans diverses branches de l’analise. Nous avons lieu d’espérer, d’après cela, qu’on nous
saura quelque gré d’avoir démontré la légitimité de cette méthode,
en la déduisant des premiers principes du calcul. Ainsi, cette fameuse
analogie entre les puissances et les différences, aperçue par Leibnitz,
et devenue si féconde, entre les mains des premiers géomètres de
nos jours, se trouve enfin, non seulement démontrée, mais prodigieusement étendue, et ramenée à une méthode de calcul rigoureuse, débarrassée des entraves qu’y mettait le passage alternatif des
indices aux exposans, et des exposans aux indices.
31. Non seulement ces entraves gênent le calculateur, en
l’obligeant de considérer les mêmes nombres, tantôt comme
des exposans et tantôt comme des indices, mais elles ont
encore retardé les progrès de la méthode et, qui plus est, elles
ont induit en erreur des géomètres distingués, parce qu’ils n’ont pas
saisi le vrai moment auquel il fallait repasser des exposans aux indices. Nous citerons, pour preuve de cette assertion, le développement fautif de
, donné par MM. de Lorgna et Prony, dans le 3.me
volume des Mémoires de l’académie de Turin, page 432, et dans
le 4.me cahier du Journal de l’école polytechnique, page 539. Ces
auteurs donnent, pour le développement de cette intégrale aux
différences finies
![{\displaystyle (106)\qquad \Sigma \phi x={\frac {1}{\phi (x+1)}}+{\frac {1}{\phi (x+2)}}+{\frac {1}{\phi (x+3)}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f5052dcf8d8fd4e714245fbada63622609c3ed3)
![{\displaystyle ={\frac {1}{\phi x+\Delta \phi x}}+{\frac {1}{\phi x+2\Delta \phi x+\Delta ^{2}\phi x}}+{\tfrac {1}{\phi x+3\Delta \phi x+3\Delta ^{2}\phi x+\Delta ^{3}\phi x}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f81f97d9facade7060474040e55c0fcc8fdd976)
tandis que la véritable expression, déduite de l’équation aux échelles
![{\displaystyle (107)\qquad \Sigma =\Delta ^{-1}=(\mathrm {E} -1)^{-1}=\mathrm {E} ^{-1}+\mathrm {E} ^{-2}+\mathrm {E} ^{-3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95dd4c297035923db6ec9945c88c9d57023d8c31)
est
![{\displaystyle (108)\qquad \Sigma \phi x=\phi (x-1)+\phi (x-2)+\phi (x-3)+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bce1bc89c6bd942f10d3dcc991026abc92a785fe)
32. Cet exemple n’est pas le seul qu’on puisse citer. M. Brisson,
dans son mémoire sur l’intégration des équations différentielles partielles, inséré dans le 14.me cahier du Journal de l’école polytechnique,
se propose, pages 199 et 200, de donner le développement de
suivant les puissances de
À cet effet, il fait
et il obtient
![{\displaystyle (109)\ \partial ^{n}u=\partial ^{n}\left(e^{x}\nu \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ae622a27bcbf25367c4a468778ec068074c9133)
![{\displaystyle =e^{x}\left\{\nu +n\partial \nu +{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}\partial ^{2}\nu +{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}.{\tfrac {n-2}{3}}\partial ^{3}\nu +\ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7606188134554340aff223d5434a8d32939c2519)
il ordonne cette série suivant les puissances de
en lui donnant la forme
![{\displaystyle (110)\qquad \partial ^{n}u=e^{x}\left(\nu +{\frac {n}{1}}A+{\frac {n^{2}}{1.2}}B+{\frac {n^{3}}{1.2.3}}C+{\frac {n^{4}}{1.2.3.4}}D+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba1db9703a9e2d53e11e78c845b65a923c74fcd)
et il observe l’analogie qui existe entre les termes
et
D’après cette analogie, il introduit la caractéristique
et représente
par
d’où il déduit
![{\displaystyle (111)\qquad \partial ^{n}u=u+{\frac {n}{1}}\lambda (u)+{\frac {n^{2}}{1.2}}\lambda ^{2}(u)+{\frac {n^{3}}{1.2.3}}\lambda ^{3}(u)+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9972f1dc951b76268e9cbd49a4366bc5e59afdab)
Voyons, d’après la théorie des échelles détachées, ce que signifie cette caractéristique
et si l’expression (111) est exacte.
L’équation (109) peut être mise sous la forme
![{\displaystyle (112)\qquad \partial ^{n}u=\partial ^{n}\left(e^{x}\nu \right)=e^{x}\left(1+\partial \right)^{n}.\nu =e^{x}.e^{n\operatorname {Log} .(1+\partial )}.\nu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbe4077b9c4c710cbf9d89f3d733ea5e4022646f)
En représentant
par
, et développant cette dernière expression, on obtient
![{\displaystyle (113)\ \partial ^{n}u=e^{x}.e^{n\partial _{1}}.\nu =e^{x}\left(\nu +{\frac {n}{1}}\partial _{1}\nu +{\frac {n^{2}}{1.2}}\partial _{1}^{2}\nu +{\tfrac {n^{3}}{1.2.3}}\partial _{1}^{3}\nu +\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8de20173649b4b46c4d7fe15ec0db69c9b4bdd2)
Notre
est donc ce que M. Brisson a voulu représenter par
; mais il se trompe certainement, en enveloppant
sous le signe
Pour avoir le développement de
suivant les puissances de la caractéristique
ou
il faut partir de son équation de définition
d’où l’on tire
et par conséquent
ce qui est bien différent de l’expression (111), qui se réduit à
La valeur de
que nous venons de trouver, ne donne plus le développement de cette quantité suivant les puissances de
; pour l’obtenir, il faut la mettre sous la forme
ce qui donne
![{\displaystyle (114)\ \partial ^{n}u=u+{\tfrac {n}{1}}\left(\operatorname {Log} .\partial \right).u+{\tfrac {n^{2}}{1.2}}\left(\operatorname {Log} .\partial \right)^{2}.u+{\tfrac {n^{3}}{1.2.3}}\left(\operatorname {Log} .\partial \right)^{3}.u+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505241de7744c10a92e81e7c598dce5655af6c59)
et fait voir que l’analogie que M. Brisson a cru entrevoir entre on
et
est complète ; puisque le développement de ces deux expressions est le même, et ne diffère qu’en ce que
est un symbole de quantité et
une caractéristique d’opération. Mais il y a cette différence, entre le développement (114) et celui de M. Brisson, que le premier procède suivant les puissances de
, et le sien suivant elles de
Cet exemple fournit une nouvelle preuve des erreurs que peut faire commettre l’analogie entre les puissances et les différences, lorsqu’on ne détache pas les échelles.
33. M. Brisson a cru entrevoir aussi le germe d’un nouveau calcul, dans sa caractéristique
, qui est notre
Feu mon frère était depuis long-temps en possession de la théorie de ce calcul, qu’il a étendue à des calculs de la même espèce, d’ordres supérieurs. Toute cette théorie repose sur l’équation aux échelles
La caractéristique
est à la caractéristique
ce que celle-ci est à
des différences finies ; car, de même qu’on a
on a aussi
Ce nouveau calcul pourrait donc être appelé
Calcul différentiel du second ordre ; il a évidemment son inverse, dont la caractéristique est
de sorte qu’on a
Si l’on fait de même
on aura les bases d’autant de nouveaux calculs différentiels, des
3me, 4me,… ordres. Voici les relations de définition qui lient ces différens calculs entre eux.
![{\displaystyle {\begin{array}{lllll}\mathrm {E} =1+\Delta ,&\mathrm {E} _{1}=1+\partial ,&\mathrm {E} _{2}=1+\partial _{1},&\mathrm {E} _{3}=1+\partial _{2},&\ldots ,\\\mathrm {E} =e^{\partial },&\mathrm {E} _{1}=e^{\partial _{1}},&\mathrm {E} _{2}=e^{\partial _{2}},&\mathrm {E} _{3}=e^{\partial _{3}},&\ldots ,\\\Delta =e^{\partial }-1,&\mathrm {E} _{1}=e^{\partial _{1}}-1,&\mathrm {E} _{2}=e^{\partial _{2}}-1,&\mathrm {E} _{3}=e^{\partial _{3}}-1,&\ldots .\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cec1b04136f7a6993f732045b27e3486cbd0ec0)
Metz, le 7 de septembre 1811.