Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 03/Analise élémentaire, article 5

Solutions d’un problème d’alliage ; par MM. Lhuilier et Tédenat.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 3, 1813 (p. 34-40).

QUESTIONS RÉSOLUES.

Solutions du problème d’alliage proposé à la page
du deuxième volume des Annales.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Énoncé. Deux vases $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ dont les capacités sont respectivement $a$ et $b,$ sont remplis, l’un et l’autre, d’un mélange d’eau et de vin dont la proportion est connue pour chaque vase. On a deux mesures égales, dont la contenance commune est $c,$ et que l’on plonge en même temps dans les deux vases pour les remplir ; après quoi on verse dans chaque vase le liquide tiré de l’autre. On réitère la même opération $n$ fois successivement. On demande quelle sera alors la proportion de l’eau et du vin dans chaque vase ?

Première solution ;

Par M. Lhuilier, professeur de mathématiques à l’académie
impériale de Genève.

Soient $X,X',X'',$ les quantités d’eau qui se trouvent rester dans le vase $\mathrm {A,}$ après trois opérations consécutives quelconques, et $Y,Y',Y''$ les quantités d’eau correspondantes qui se trouvent dans le vase $\mathrm {B.}$

Par l’opération qui fait passer les quantités d’eau des deux vases de $X$ et $Y$ à $X'$ et $Y'$ on extrait, savoir :

de $\mathrm {A}$ une quantité d’eau exprimée par ${\frac {c}{a}}X,$

de B une quantité d’eau exprimée par ${\frac {c}{b}}Y\,;$

on aura donc

$X'=X-{\frac {c}{a}}X+{\frac {c}{b}}Y\,;$

et on aura pareillement

$X''=X'-{\frac {c}{a}}X'+{\frac {c}{b}}Y'\,;$

on a d’ailleurs

$X+Y=X'+Y'\,;$

éliminant donc $Y$ et $Y'$ entre ces trois équations, il viendra

$X''=\left(2-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)X'-\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)X\,;$

partant, les quantités d’eau successives contenues dans le premier vase forment une suite récurrente du second ordre, dont l’échelle de relation est

$+\left(2-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right),\qquad -\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)\,;$

cette suite récurrente provient donc du développement d’une fraction dont le dénominateur est

$1-\left(2-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)x+\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)x^{2}\,$

c’est-à-dire,

$(1-x)\left\{1-\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)x\right\}\,;$

ou, ce qui revient au même, du développement de la somme de deux fractions de la forme

${\frac {M}{1-x}},\qquad {\frac {N}{1-\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)x}}\,;$

or, les termes généraux correspondans de ces développemens sont

$Mx^{n}\qquad$et$\qquad N\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{n}x^{n}\,;$

partant

$X=M+N\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{n}\,;$

$\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ étant deux constantes qu’il s’agit présentement de déterminer d’après l’état initial du mélange dans les deux vases.

Soient $\alpha$ et $\beta$ les quantités d’eau qui se trouvaient respectivement dans les deux vases $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B,}$ avant la première opération ; après cette première opération il se trouvera dans le vase $\mathrm {A}$ une quantité d’eau exprimée par

$\alpha -{\frac {c}{a}}\alpha +{\frac {c}{b}}\beta \,;$

ainsi il faut qu’en faisant successivement

$\left.{\begin{aligned}n&=0,\\n&=1,\\\end{aligned}}\right\}$ on ait $\left\{{\begin{aligned}X&=\alpha ,\\X&=\alpha -{\frac {c}{a}}\alpha +{\frac {c}{b}}\beta \,;\\\end{aligned}}\right.$

ce qui donne

$\alpha =M+N,$

$\alpha -{\frac {c}{a}}\alpha +{\frac {c}{b}}\beta =M+N\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)\,;$

de là

$M=a.{\frac {\alpha +\beta }{a+b}},\qquad N={\frac {\alpha b+\beta a}{a+b}}\,;$

et partant

$X=a.{\frac {\alpha +\beta }{a+b}}+{\frac {\alpha b-\beta a}{a+b}}\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{n}$

De là on déterminera le moment (s’il est possible) ou les quantités d’eau contenues dans les deux vases seront entre elles dans un rapport donné, où celui auquel la quantité d’eau contenue dans l’un de ces vases sera égale à une quantité donnée.

Si, dans l’état initial du mélange, les quantités d’eau contenues dans les deux vases sont respectivement proportionnelles aux capacités de ces vases, on a $\quad \alpha :\beta =a:b\,;$ de là $\alpha b-\beta a=0,$ et partant

$X=a.{\frac {\alpha +\beta }{a+b}}=\alpha .$

Ainsi, dans ce cas particulier, quelque multipliées que soient les opérations, l’état des deux mélanges demeure invariable.

Deuxième solution ;

Par M. Tédenat, correspondant de la première classe de
l’Institut, recteur de l’académie de Nismes.

Soient après $z$ opérations, $X_{z}$ la quantité d’eau qui se trouve dans le vase $\mathrm {A,}$ et $Y_{z}$ la quantité d’eau qui se trouve dans le vase $\mathrm {B.}$ À la fin de l’opération suivante, ces deux quantités seront devenues respectivement $X_{z+1}$ et $Y_{z+1}$ ; or, il est clair que la quantité d’eau qui se trouvera alors dans le vase $\mathrm {A}$ sera égale à celle qui s’y trouvait après la $z^{me}$ opération, moins celle que la $(z+1)^{me}$ en a soustraite, plus celle qu’elle y a introduite ; ce qui donne sur-le-champ l’équation

$X_{z+1}=X_{z}-{\frac {c}{a}}X_{z}+{\frac {c}{b}}Y_{z}=\left(1-{\frac {c}{a}}\right)X_{z}+{\frac {c}{b}}Y_{z}.$

Mais, d’un autre côté, si l’on désigne par $\alpha$ et $\beta$ les quantités d’eau qui se trouvaient respectivement dans les deux vases $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B,}$ avant la première opération, on aura

$X_{z}+Y_{z}=\alpha +\beta ,\qquad$d’où$\qquad Y_{z}=\alpha +\beta -X_{z}\,;$

substituant donc dans l’équation ci-dessus, elle deviendra

$X_{z+1}=\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)X_{z}+{\frac {c(\alpha +\beta )}{b}}\,;$

équation du premier ordre aux différences, entre les deux variables $X$ et $z,$ dont les coefficiens sont constans, et dont l’intégrale est

$X_{z}=a{\frac {\alpha +\beta }{a+b}}+C\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{z}\,;$^[1]

$C$ étant une constante arbitraire.

Or, à $z=0$ doit répondre $X_{z}=\alpha$ ; donc

$\alpha =a{\frac {\alpha +\beta }{a+b}}+C\,\quad$d’où$\quad C={\frac {\alpha b-\beta a}{a+b}}\,$

et par conséquent

$X_{z}=a{\frac {\alpha +\beta }{a+b}}+{\frac {\alpha b-\beta a}{a+b}}\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{z}.$

D’après cela, si l’on dénote simplement par $X,Y$ les quantités d’eau, et par $X',Y'$ les quantités de vin contenues respectivement dans les deux vases $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B,}$ après la $n^{me}$ opération ; et si en outre $\alpha '$ et $\beta '$ sont les quantités de vin que renfermaient ces deux vases, avant la première opération ; en observant que

${\begin{aligned}X+X'=\alpha +\alpha '=a&,\qquad X+Y=\alpha +\beta ,\\Y+Y'=\beta +\beta '=b&,\qquad X'+Y'=\alpha '+\beta ',\\\end{aligned}}$

on trouvera

${\begin{aligned}X&=a{\frac {\alpha +\beta }{a+b}}+{\frac {\alpha b-\beta a}{a+b}}\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{n},\\X'&=a{\frac {\alpha '+\beta '}{a+b}}+{\frac {\alpha 'b-\beta 'a}{a+b}}\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{n},\\Y&=b{\frac {\alpha +\beta }{a+b}}-{\frac {\alpha b-\beta a}{a+b}}\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{n},\\Y'&=b{\frac {\alpha '+\beta '}{a+b}}-{\frac {\alpha 'b-\beta 'a}{a+b}}\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{n}.\\\end{aligned}}$

Parmi une multitude de remarques auxquelles ces formules peuvent donner lieu, nous nous arrêterons aux suivantes. ${\frac {c}{a}}$ et ${\frac {c}{b}}$ étant, dans les cas, deux fractions positives, il en résulte que ${\frac {c}{a}}+{\frac {c}{b}}$ est toujours compris entre 0 et 2, et que conséquemment $1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}$ est toujours fractionnaire et compris entre $+1$ et $-1.$

Donc 1.^o les valeurs de $X,X',Y,Y'$ tendent constamment à se réduire à leurs premiers termes, à mesure que $n$ devient plus grand et elles y tendent de manière à rester toujours au-dessus ou toujours au-dessous, si l’on a ${\frac {c}{a}}+{\frac {c}{b}}<1$ ou $c<{\frac {ab}{a+b}}\,;$ tandis qu’au contraire elles se trouvent alternativement au-dessus et au-dessous de cette limite, si l’on a $c>{\frac {ab}{a+b}}.$

2.^o Si l’on avait exactement $c={\frac {ab}{a+b}},$ d’où $1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}=0,$ les valeurs de $X,X',Y,Y'$ atteindraient leurs limites respectives dès la première opération ; de manière que les opérations subséquentes n’y changeraient rien, et qu’alors le mélange se trouverait homogène dans les deux vases. Ainsi, en prenant la mesure $c={\frac {ab}{a+b}},$ on sera assuré, sans même connaître l’état initial du mélange dans chacun des deux vases, que ce mélange est exactement le même dans l’un et dans l’autre après une seule opération. Et il est de plus aisé de voir que la chose aurait lieu également, lors même que les liquides mêlés dans chacun s’y trouveraient au nombre de plus de deux.

1. Voyez le Traité élémentaire de calcul différentiel et de calcul intégral de M. Lacroix, deuxième édition, page 573.

   De l’équation.

   $X_{z+1}=\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)X_{z}+{\frac {c(\alpha +\beta )}{b}}\,;$

   on déduit

   $X_{z+2}=\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)X_{z+1}+{\frac {c(\alpha +\beta )}{b}}\,;$

   d’où, en retranchant et transposant

   $X_{z+2}=\left(2-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)X_{z+1}-\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)X_{z}\,;$

   équation du second ordre qui rentre dans celle de M. Lhuilier.

   Pour l’intégrer, on posera $X_{z}=p^{z}$ d’où $X_{z+1}=p^{z+1},\ X_{z+2}=p^{z+2},$ ce qui donnera, en substituant et divisant par $p^{z},$

   $p^{2}-\left(2-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)p+\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)=0\,;$

   d’où

   $p=1\qquad$et$\qquad p=1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\,;$

   donc

   $X_{z}=M+N\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{z}.$

   Les constantes $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ se détermineront tant par l’équation du premier ordre que par l’état initial du mélange.

   J. D. G.