Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Géométrie, article 19

Solutions de ce problème : À un polygone donné inscrire un polygone de même nom, dont les côtés soient respectivement parallèles à des droites données de position ? par MM. Lhuilier, Rochat, Penjon, Pilatte et Gergonne.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 2, 1812 (p. 270-286).

Solutions du premier des deux problèmes proposés à
la page 196 de ce volume.

Première solution ;

Par M. Lhuilier, professeur de mathématiques à l’académie
impériale de Genève.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Le cas dans lequel le polygone proposé est un triangle, est de première facilité ; en particulier il se construit par fausse position de la manière la plus simple. Il n’en est plus de même lorsque le nombre des côtés du polygone proposé est plus grand que trois.

LEMME. Soient des droites données de grandeur. On demande de couper chacune d’elles en deux parties, de manière que les rapports de ces parties, deux, à deux, soient donnés, sous les conditions suivantes : on connaît le rapport d’une partie de la première à une partie de la seconde ; celui de l’autre partie de la seconde à une partie de la troisième ; celui de l’autre partie de la troisième a une partie de la quatrième, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on parvienne au rapport de la seconde partie de la dernière à la seconde partie de la première.

Premier exemple. Que les droites données soient au nombre de deux seulement. Soient $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {A'B'}$ deux droites données de grandeur (fig. 6), à couper en $\mathrm {X}$ et $\mathrm {X'}$, de manière que les rapports de $\mathrm {AX}$ à $\mathrm {B'X'}$ et de $\mathrm {A'X'}$ à $\mathrm {BX}$ soient, l’un et l’autre, égaux à des rapports donnés.

Que le rapport donné de $\mathrm {AX}$ à $\mathrm {B'X'}$ soit égal au rapport de $\mathrm {AB}$ à $\mathrm {B} 'b'$ ; et soit porté $\mathrm {B} 'b'$ sur $\mathrm {B'A'}$ de $\mathrm {B'}$ vers $\mathrm {A'}$.

${\begin{array}{lrl}\quad \mathrm {On\ a\ } &\mathrm {A\ X\ :B'X'} =&\mathrm {AB:B'} b'\ ,\\\mathrm {d'o{\grave {u}}} &\mathrm {B\ X\ } :b'\ \mathrm {X'} =&\mathrm {AB:B'} b'\,;\\\mathrm {si\ donc\ on\ pose} \qquad &\mathrm {A'X':B\ X\ } =&\ \ L\ :\mathrm {AB} \ \ ,\\\mathrm {il\ viendra\ } &\mathrm {A'X'} :b'\,\mathrm {X'} =&\ \ L\ :\mathrm {B'} b'\ ;\end{array}}$

on connaît donc la différence $\mathrm {A} 'b'$ (s’il y a lieu) et le rapport des droites $\mathrm {A'X'}$ et $b'\mathrm {X} '$, et conséquemment ces droites sont l’une et l’autre déterminées.

Construction. Que le rapport donné de $\mathrm {AX}$ à $\mathrm {B'X'}$ soit présenté sous la forme du rapport de $\mathrm {AB}$ à $\mathrm {B} 'b',$ et soit portée $\mathrm {B} 'b'$ sur $\mathrm {B'A'}$. Que le rapport de $\mathrm {A'X'}$ à $\mathrm {BX}$ soit aussi présenté sous la forme du rapport d’une droite $\mathrm {L}$ à $\mathrm {AB}$. Enfin soient déterminées les droites $\mathrm {A'X'}$ et $b'\mathrm {X} '$ dont la différence $\mathrm {A} 'b'$ est donnée, et dont le rapport est celui de $\mathrm {L}$ à $\mathrm {AB}$.

Remarque. Pour que le problème soit déterminé, les points $b'$ et $\mathrm {A'}$, ne doivent pas coïncider. En effet, si le rapport de $\mathrm {AX}$ à $\mathrm {B'X'}$ est donné égal au rapport de $\mathrm {AB}$ à $\mathrm {A'B'}$, le rapport de $\mathrm {BX}$ à $\mathrm {A'C'}$ se trouve déterminé à être égal au même rapport, et la question proposée demeure indéterminée. Cette question est impossible, si le rapport de $\mathrm {AX}$ à $\mathrm {B'X'}$ étant donné égal au rapport de $\mathrm {AB}$ à $\mathrm {A'B'}$, le rapport de $\mathrm {BX}$ à $\mathrm {A'X'}$ n’est pas donné égal au même rapport.

Second exemple. Que les droites données soient au nombre de trois. Soient $\mathrm {AB,A'B',A''B''}$, (fig. 7) trois droites, données de grandeur, à couper en $\mathrm {X,X',X''}$, respectivement, de manière que chacun des trois rapports $\mathrm {AX:B'X',\ A'X':B''X'',\ A''X'':BX}$ soient égaux à des rapport donnés.

Que le rapport de $\mathrm {AX}$ à $\mathrm {B'X'}$ soit égal au rapport de $\mathrm {AB}$ à $\mathrm {B} 'a'$ ; et soit porté $\mathrm {B} 'a'$ sur $\mathrm {B'A'}$ de $\mathrm {B'}$ vers $\mathrm {A'}$.

On a$\qquad \qquad \mathrm {AX:B'X'=AB:B'} a'$,

${\begin{array}{lcrl}\mathrm {d'o{\grave {u}}} &&\mathrm {B\ \ X\ \ } :a'\mathrm {X} '=&\mathrm {AB:B'} a'\,;\\\mathrm {posant\ donc} &&\mathrm {A''X'':B\,X\ } =&\ \ L\ \,:\mathrm {A\,B\,} ,\\\mathrm {il\ viendra} &&\mathrm {A''X''} :a'\mathrm {X'} =&\ \ L\ \,:\mathrm {B'} a'.\\\end{array}}$

Soit en outre

${\begin{array}{lrl}&\ \ L\ \ :\mathrm {B'\ } a'\ \ =&\mathrm {A''B''} :b'a'\,;\\\mathrm {donc} &\mathrm {A''X''} :a'\ \,\mathrm {X'\ } =&\mathrm {A''B''} :b'a'\,;\\\mathrm {et} &\mathrm {B''X''} :b'\ \,\mathrm {X'\ } =&\mathrm {A''B''} :b'a',\\\mathrm {posant\ donc} &\mathrm {A'X':B''X''} =&\ \ M\ \ :\mathrm {A''B''} ,\\\mathrm {il\ viendra\ enfin} &\mathrm {A'X'} :b'\ \,\mathrm {X'\ } =&\ \ M\ \ :b'a'.\\\end{array}}$

On connaît donc la somme $\mathrm {A'} b'$ et le rapport des droites $\mathrm {A'X'}$ et $b'\mathrm {X'}$ ; donc ces droites sont l’une et l’autre connues.

Troisième exemple. Que les droites données soient au nombre de quatre. Soient $\mathrm {AB,A'B',A''B'',A'''B'''}$ (fig. 8), quatre droites données de grandeur, à couper en $\mathrm {X,X',X'',X''',}$ de manière que chacun des quatre rapports $\mathrm {AX:B'X',\ A'X':B''X'',\ A''X'':B'''X''',\ A'''X'':BX,}$ soient égaux à des rapports donnés.

${\begin{array}{lrl}\quad \mathrm {Soit\ fait\ } &\mathrm {AX:B'X'} =&\mathrm {AB:B\ } a',\\\mathrm {d'o{\grave {u}}} &\mathrm {BX} :\,a'\mathrm {X'} =&\mathrm {AB:B'} a'\,;\\\mathrm {posant\ donc} &\mathrm {A'''X''':B\ X\ } =&\ \ L\,\ :\mathrm {A\ B\ } ,\\\mathrm {il\ viendra} &\mathrm {A'''X'''} :a'\mathrm {X'} =&\ \ L\,\ :\mathrm {B'} a'.\\\quad \mathrm {Soit\ encore} &\ \ L\ \ :\mathrm {B'} a'=&\mathrm {A'''B'''} :a'b',\\\mathrm {d'o{\grave {u}}} &\mathrm {A'''X'''} :a'\mathrm {X'} =&\mathrm {A'''B'''} :a'b'\,;\\\mathrm {et\ cons{\acute {e}}quemment} &\mathrm {B'''X'''} :b'\mathrm {X'} =&\mathrm {A'''B'''} :a'b'\,;\\\mathrm {posant\ donc} &\mathrm {A''X'':B'''X'''} =&\ \ M\ \,:\mathrm {A'''B'''} ,\\\mathrm {il\ viendra} &\mathrm {A''X''} :b'\mathrm {X'} =&\ \ M\ \,:a'b'.\\\end{array}}$

Partant, on connaît, de grandeur, les droites $\mathrm {A} 'b'$ et $\mathrm {A''B'',}$ et les rapports $\mathrm {A'X':B''X'',\ A''X''} :b'\mathrm {X'} \,;$ donc la question proposée sur quatre droites est ramenée à la question correspondante sur deux droites. Et, comme cette dernière est susceptible d’indétermination et d’impossibilité, aussi la question proposée sur quatre droites est susceptible d’indétermination et d’impossibilité.

On montrera précisément, de la même manière, que la question proposée sur cinq droites est ramenée à la question correspondante sur trois droites ; et partant la question est toujours possible, déterminée et susceptible d’une seule solution. On montrera aussi que la question proposée sur six droites est ramenée à la question correspondante sur quatre droites, et partant qu’elle est susceptible d’impossibilité et d’indétermination.

En général, la question étant proposée sur un nombre quelconque de droites (plus grand que deux), elle est toujours ramenée à la question correspondante sur des droites dont le nombre est inférieur de deux unités. Si donc le nombre des droites données est impair, le problème est finalement ramené à trouver deux droites dont on connaît la différence et le rapport. Afin donc que, dans ce cas, le problème soit possible et déterminé, la différence ne doit pas évanouir, et le rapport donné ne doit pas être un rapport d’égalité. Si la différence évanouit, le rapport est déterminé à être celui d’égalité, et alors la question est indéterminée.

Remarque. On résout sensiblement de la même manière les cas dans lesquels les droites données sont, en tout ou en partie, des différences des droites cherchées. Le nombre des droites données étant quelconque, pair ou impair, si le nombre de celles auxquelles répond une somme est pair, la question est susceptible d’indétermination ou d’impossibilité.

PROBLÈME. À un polygone donné, inscrire un polygone de même nom, dont les côtés soient respectivement parallèles à des droites données de position ?

Solution. Dans chacun des triangles retranchés par les côtés du polygone inscrit, lesquels ont pour bases les côtés de ce polygone et pour sommets les sommets correspondans du polygone donné ; dans ces triangles, dis-je, les angles sont donnés ; parlant, ces triangles sont donnés d’espèce, et en particulier les rapports de ceux de leurs côtés qui font partie des côtés du polygone proposé, sont donnés. De là la question est immédiatement ramenée au lemme qui vient de nous occuper.

Savoir : désignons par $\mathrm {A,A',A'',\ldots A^{\aleph -1},A^{\aleph },}$ les sommets du polygone donné, et par $\mathrm {X,X',X'',\ldots X^{\aleph -1},X{\aleph },}$ les sommets du polygone cherché, de manière que le sommet $\mathrm {X}$ soit sur $\mathrm {A^{\aleph }A,}$ le sommet $\mathrm {X'}$ sur $\mathrm {AA',}$ et ainsi de suite. On connaît les droites $\mathrm {A^{\aleph }A,AA',A'A'',\ldots A^{\aleph -1},A^{\aleph },}$ et les rapports $\mathrm {AX:XA',\ A'X':X'A'',\ A''X'':X''A''',\ldots \ A^{\aleph }X^{\aleph }:X^{\aleph }A}$ de leurs parties.

Puisque cette inscription est ramenée à notre lemme, elle est possible et unique, lorsque le nombre des côtés du polygone proposé est impair ; elle est susceptible d’impossibilité ou d’indétermination, lorsque le nombre des côtés de ce polygone est pair.

Je crois devoir éclaircir l’indétermination, si elle a lieu, par quelques exemples.

Premier exemple. Soit un quadrilatère $\mathrm {AA'A''A''',}$ (fig.9) dont $\mathrm {AA''}$ et $\mathrm {A'A''}$ soient les diagonales. À la diagonale $\mathrm {A'A'''}$ soit menée arbitrairement une parallèle, se terminant en $\mathrm {X}$ et $\mathrm {X'''}$ aux côtés $\mathrm {AA'}$ et $\mathrm {AA'''}$ de ce quadrilatère. Par les points $\mathrm {X}$ et $\mathrm {X'''}$ soient menées à l’autre diagonale $\mathrm {AA''}$ des parallèles, se terminant en $\mathrm {X'}$ et $\mathrm {X''}$ aux côtés $\mathrm {A''A'}$ et $\mathrm {A''A'''}$ et soit enfin menée $\mathrm {X'X''}$. J’affirme que cette droite sera, comme $\mathrm {XX'''}$ parallèle à la diagonale $\mathrm {A'A'''}$ ; et partant que le quadrilatère $\mathrm {XX'X''X'''}$ est un parallélogramme.

On a, en effet, par construction,

${\begin{aligned}\mathrm {A''X':A\ X} \ \ \,=&\mathrm {A''A':A'A} ,\\\mathrm {A\,X\ \ \ :A\ X'''} =&\mathrm {A'A\ \ :AA'''} ,\\\mathrm {AX''':A''X''} =&\mathrm {AA''':A''A'''} \,;\\{\text{donc}}\qquad \qquad \mathrm {A''X':A''X''} =&\mathrm {A''A':A''A'''} \,;\\\end{aligned}}$

donc $\mathrm {X'X''}$ est parallèle à $\mathrm {A'A'''.}$

Ou bien, les rapports $\mathrm {X'A':A'X,\ XA:AX''',\ X'''A''':A'''X''}$ étant respectivement égaux aux rapports $\mathrm {A''A':A'A,\ A'A:AA'''} ,$$\mathrm {AA''':A''A''',}$ le rapport $\mathrm {A''X':A''X''}$ est déterminé à être égal au rapport $\mathrm {A''A':A''A'''}$ ; et le nombre des polygones équiangles inscriptibles au quadrilatère proposéest illimité.

Second exemple. Soit $\mathrm {AA'A''A'''A''''A^{v}}$ un hexagone. (fig. 10) Soient menées les diagonales $\mathrm {AA'',A'A''',A''A'''',A'''A^{v},A''''A,}$ qui retranchent deux côtés. Par un point $\mathrm {X}$, pris arbitrairement sur l’un $\mathrm {AA'}$ des côtés, soit menée à la diagonale $\mathrm {AA''}$ une parallèle terminée en $\mathrm {X'}$ au côté $\mathrm {A'A''}$ ; par $\mathrm {X'}$ soit menée à la diagonale $\mathrm {A'A'''}$ une parallèle terminée en $\mathrm {X''}$ au côté $\mathrm {A''A'''}$ ; soient de même menées $\mathrm {X''X'''}$ parallèle à $\mathrm {A''A'''',}$ $\mathrm {X'''X''''}$ parallèle à $\mathrm {A'''A^{v}} ,$ $\mathrm {X''''X^{v}}$ parallèle à $\mathrm {A''''A,}$ et soit enfin menée $\mathrm {X^{v}X}$ ; j’affirme que cette dernière droite est parallèle à la diagonale $\mathrm {A'A^{v}.}$

On a, en effet, par construction

${\begin{array}{lllll}&\mathrm {X\ \ \,A'\ \,} :\mathrm {A'\ X'} &=\mathrm {A\ \ \,A'\,\ \,} :\mathrm {A'\ \ A''} ,\\&\mathrm {A'\ \,X'\ \,} :\mathrm {X''\,A'''} &=\mathrm {A'\ \,A''\,} :\mathrm {A''\ \,A'''} ,\\&\mathrm {X''\,A'''} :\mathrm {A'''X'''} &=\mathrm {A''\ A'''} :\mathrm {A'''\ A''''} ,\\&\mathrm {A'''X'''} :\mathrm {X'''A^{v}} &=\mathrm {A'''A''''} :\mathrm {A''''A^{v}} ,\\&\mathrm {X''''A^{v}} :\mathrm {X^{v}\,A^{v}} &=\mathrm {A''''A^{v}\ } :\mathrm {A\ \ \ A^{v}} ,\\{\text{donc}}\qquad \qquad &\mathrm {X\ \ \,A'\ \,:X^{v}\ A^{v}\ } &=\mathrm {A\ \ \ \,A'\ \,:A\ \ \ A^{v}} \,;\\\end{array}}$

donc la droite $\mathrm {XX^{v}}$ est parallèle à la diagonale $\mathrm {A'A^{v}.}$

Partant, les rapports $\mathrm {XA':A'X',\ A'X':X''A''',\ X''A''':A'''X'''} ,$ $\mathrm {A'''X''':X''''A^{v},\ X''''A^{v}:X^{v}A^{v}}$ étant respectivement égaux aux rapports $\mathrm {AA':A'A'',}$ $\mathrm {A'A'':A''A''',}$ $\mathrm {A''A''':A'''A^{v},}$ $\mathrm {A''A'''':A''''A^{v},}$ $\mathrm {A''''A^{v}:AA^{v},}$ le rapport $\mathrm {XA':X^{v}A^{v}}$ se trouve déterminé à être égal au rapport $\mathrm {AA':AA^{v}}$ ou encore, dans le polygone $\mathrm {XX'X''X'''X''''X^{v},}$ les côtés $\mathrm {XX',X'X'',\ X''X''',\ X'''X'''',\ X'''X^{v}}$ étant respectivement parallèles aux diagonales $\mathrm {AA'',\ A'A''',\ A''A'''',\ A'''A^{v},\ A''''A,}$, le côté restant $\mathrm {X^{v}X}$ se trouve déterminé à être parallèle à la diagonale $\mathrm {A^{v}A'} \;;$ et le nombre des hexagones, équiangles entre eux, inscriptibles à l’hexagone proposé, sous les conditions données, demeure illimité.

Cette propriété s’étend à tous les polygones d’un nombre de côtés pair, en menant des parallèles aux diagonales qui joignent les extrémités des côtés des angles du polygone donné.

Scholie. Le problème proposé trouve une application qui mérite d’être mentionnée. Qu’on demande d’inscrire à un polygone donné un polygone de même nom dont le contour soit le plus petit ? il est aisé de démontrer que les deux côtés de chacun des angles du polygone cherché doivent faire des angles égaux avec le côté du polygone donné sur lequel est situé le sommet de cet angle^[1]. Si le polygone proposé a un nombre impair de côtés, ces angles sont déterminés par les angles du polygone proposé, et l’inscription demandée est unique et déterminée. Mais, si le polygone proposé a un nombre pair de côtés, pour que le problème soit possible, la somme des angles de rang pair du polygone proposé, à partir de l’un quelconque, doit être égale à la somme de ses angles de rang impair^[2].

Cette égalité étant supposée, le nombre des polygones à inscrire est illimité ; et ils ont tous le même plus petit contour. Cette application remarquable fait l’objet d’une dissertation qui est à la suite de mon ouvrage intitulé : De relatione mutua capacitatis et terminorum figurarum.

La différence que présentent, à l’égard du sujet de ce mémoire, les polygones rectilignes, suivant que le nombre de leurs côtés est pair ou impair, n’est pas la seule qui distingue ces deux classes de polygones. Je vais encore en donner deux exemples.

Qu’on demande d’inscrire à un cercle donné un polygone dont les angles soient donnés. Cette condition suffit pour déterminer le polygone cherché, lorsque le nombre de ses côtés est impair, de manière que l’inscription est toujours possible. Au contraire, le nombre des côtés étant pair, l’inscription est possible seulement, lorsque la somme des angles donnés de rang pair est égale à celle des angles donnés de rang impair. L’égalité entre ces deux sommes ayant lieu en effet, le nombre des polygones inscriptibles, sous les conditions données, demeure illimité ; et, pour que le problème soit déterminé, on doit ajouter quelque condition indépendante de la connaissance des angles, et qui soit, par exemple, relative au contour ou à la surface.

De même, qu’on demande de circonscrire à un cercle donné un polygone (dont le nombre des côtés est plus grand que trois) ayant des côtés donnés ; ce problème est susceptible d’une seule solution, si le nombre des côtés du polygone à construire est impair. Mais, que le nombre des côtés de ce polygone soit pair, une condition essentielle, pour que le problème soit possible, est que la somme des côtés de rang pair soit égale à la somme des côtés de rang impair. Cette égalité étant supposée, le problème est susceptible d’un nombre illimité de solutions.

Le procédé que j’ai suivi pour résoudre le problème proposé, consiste à diminuer successivement de deux unités le nombre des côtés du polygone à construire, et partant a réduire finalement la question proposée à l’inscription d’un triangle, d’une part, pour les polygones impairs, et à celle du quadrilatère, pour las polygones pairs, On peut aussi traiter chaque polygone immédiatement, sans ramener la question à un polygone d’un moindre nombre de côtés. Il me suffira d’exposer ce procédé sur un quadrilatère.

Soit $\mathrm {AA'A''A'''}$ un quadrilatère auquel on doit inscrire un autre quadrilatère $\mathrm {XX'X''X''',}$ dont les côtés soient respectivement parallèles à des droites données.

Que les angles du premier quadrilatère soient désignés par $\mathrm {A,A',A'',A'''}$ et soient faits

${\begin{array}{llll}\operatorname {Ang} .\mathrm {AXX'''} &=\alpha ,&\operatorname {Ang} .\mathrm {A'XX'} &=\beta ,\\\operatorname {Ang} .\mathrm {A'X'X} &=\alpha ',&\operatorname {Ang} .\mathrm {A''X'X''} &=\beta ',\\\operatorname {Ang} .\mathrm {A''X''X'} &=\alpha '',&\operatorname {Ang} .\mathrm {A'''X''X'''} &=\beta '',\\\operatorname {Ang} .\mathrm {A'''X'''X''} &=\alpha ''',&\operatorname {Ang} .\mathrm {AX'''X} &=\beta '''\,;\\\end{array}}$

soit enfin $\mathrm {XA'} =x,$ on aura

$\mathrm {A'X'} =x\cdot {\tfrac {\operatorname {Sin} .\beta }{\operatorname {Sin} .\alpha '}},\quad \mathrm {A''X'} =\mathrm {A'A''} -x.{\tfrac {\operatorname {Sin} .\beta }{\operatorname {Sin} .\alpha '}},$

$\mathrm {A''X''} =\mathrm {A'A''} .{\tfrac {\operatorname {Sin} .\beta '}{\operatorname {Sin} .\alpha ''}}-x.{\tfrac {\operatorname {Sin} .\beta .\operatorname {Sin} .\beta '}{\operatorname {Sin} .\alpha '.\operatorname {Sin} .\alpha ''}},\ \mathrm {A'''X''=A''A'''-A'A''} .{\tfrac {\operatorname {Sin} .\beta '}{\operatorname {Sin} .\alpha ''}}+x.{\tfrac {\operatorname {Sin} .\beta .\operatorname {Sin} .\beta '}{\operatorname {Sin} .\alpha '.\operatorname {Sin} .\alpha ''}},$

${\begin{array}{ll}\mathrm {A'''X'''} &=\mathrm {A''A'''} .{\tfrac {\operatorname {Sin} .\beta ''}{\operatorname {Sin} .\alpha '''}}-\mathrm {A'A''} .{\tfrac {\operatorname {Sin} .\beta '.\operatorname {Sin} .\beta ''}{\operatorname {Sin} .\alpha ''.\operatorname {Sin} .\alpha '''}}+x.{\tfrac {\operatorname {Sin} .\beta .\operatorname {Sin} .\beta '.\operatorname {Sin} .\beta ''}{\operatorname {Sin} .\alpha '.\operatorname {Sin} .\alpha ''.\operatorname {Sin} .\alpha '''}},\\\\\mathrm {AX'''} &=\mathrm {A'''A-A''A'''} .{\tfrac {\operatorname {Sin} .\beta ''}{\operatorname {Sin} .\alpha '''}}+\mathrm {A'A''} .{\tfrac {\operatorname {Sin} .\beta '.\operatorname {Sin} .\beta ''}{\operatorname {Sin} .\alpha ''.\operatorname {Sin} .\alpha '''}}-x\cdot {\tfrac {\operatorname {Sin} .\beta .\operatorname {Sin} .\beta '.\operatorname {Sin} .\beta ''}{\operatorname {Sin} .\alpha '.\operatorname {Sin} .\alpha ''.\operatorname {Sin} .\alpha '''}},\\\\\mathrm {AX} &=\mathrm {A'''A} .{\tfrac {\operatorname {Sin} .\beta '''}{\operatorname {Sin} .\alpha }}-\mathrm {A''A'''} .{\tfrac {\operatorname {Sin} .\beta ''.\operatorname {Sin} .\beta '''}{\operatorname {Sin} .\alpha .\operatorname {Sin} .\alpha ''}}+\mathrm {A'A''} \cdot {\tfrac {\operatorname {Sin} .\beta '.\operatorname {Sin} .\beta ''.\operatorname {Sin} .\beta '''}{\operatorname {Sin} .\alpha .\operatorname {Sin} .\alpha '''.\operatorname {Sin} .\alpha ''}},\\\end{array}}$

$-x\cdot {\tfrac {\operatorname {Sin} .\beta .\operatorname {Sin} .\beta '.\operatorname {Sin} .\beta ''.\operatorname {Sin} .\beta '''}{\operatorname {Sin} .\alpha .\operatorname {Sin} .\alpha '''.\operatorname {Sin} .\alpha ''\operatorname {Sin} .\alpha '}}=\mathrm {AA'} -x.$

Cette dernière équation donne

$\left\{1-{\tfrac {\operatorname {Sin} .\beta .\operatorname {Sin} .\beta '.\operatorname {Sin} .\beta ''.\operatorname {Sin} .\beta '''}{\operatorname {Sin} .\alpha .\operatorname {Sin} .\alpha '.\operatorname {Sin} .\alpha ''\operatorname {Sin} .\alpha '''}}\right\}x=$

$\mathrm {AA'-A'A''} .{\tfrac {\operatorname {Sin} .\beta '.\operatorname {Sin} .\beta ''.\operatorname {Sin} .\beta '''}{\operatorname {Sin} .\alpha .\operatorname {Sin} .\alpha '''.\operatorname {Sin} .\alpha ''}}+\mathrm {A''A'''} .{\tfrac {\operatorname {Sin} .\beta ''.\operatorname {Sin} .\beta '''}{\operatorname {Sin} .\alpha .\operatorname {Sin} .\alpha ''}}-\mathrm {A'''A} .{\tfrac {\operatorname {Sin} .\beta '''}{\operatorname {Sin} .\alpha }}\,;$

d’où on tire

$x={\tfrac {\begin{aligned}&\,\mathrm {A\ A'\ } .\operatorname {Sin} .\alpha \,.\operatorname {Sin} .\alpha '\ .\operatorname {Sin} .\alpha ''.\operatorname {Sin} .\alpha '''-\mathrm {A'A''} .\operatorname {Sin} .\alpha '.\operatorname {Sin} .\beta '.\operatorname {Sin} .\beta ''.\operatorname {Sin} .\beta '''\\+&\mathrm {A''A'''} .\operatorname {Sin} .\alpha '.\operatorname {Sin} .\alpha '''.\operatorname {Sin} .\beta ''.\operatorname {Sin} .\beta '''-\mathrm {A'''A} .\operatorname {Sin} .\alpha '.\operatorname {Sin} .\alpha ''.\operatorname {Sin} .\alpha '''.\operatorname {Sin} .\beta '''\end{aligned}}{\operatorname {Sin} .\alpha .\operatorname {Sin} .\alpha '.\operatorname {Sin} .\alpha ''.\operatorname {Sin} .\alpha '''-\operatorname {Sin} .\beta .\operatorname {Sin} .\beta '.\operatorname {Sin} .\beta ''.\operatorname {Sin} .\beta '''}}.$

Le problème est impossible si, entre les données, on a la seule équation

$\operatorname {Sin} .\alpha .\operatorname {Sin} .\alpha '.\operatorname {Sin} .\alpha ''.\operatorname {Sin} .\alpha '''=\operatorname {Sin} .\beta .\operatorname {Sin} .\beta '.\operatorname {Sin} .\beta ''.\operatorname {Sin} .\beta '''.$

Mais si l’on a, en outre,

$\left.{\begin{aligned}&\mathrm {AA'} .\operatorname {Sin} .\alpha .\operatorname {Sin} .\alpha '.\operatorname {Sin} .\alpha ''.\operatorname {Sin} .\alpha '''\\+&\mathrm {A''A'''} .\operatorname {Sin} .\alpha '.\operatorname {Sin} .\alpha '''.\operatorname {Sin} .\beta ''.\operatorname {Sin} .\beta '''\\\end{aligned}}\right\}=\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {A'A''} .\operatorname {Sin} .\alpha '.\operatorname {Sin} .\beta '.\operatorname {Sin} .\beta ''.\operatorname {Sin} .\beta '''\\+&\mathrm {A'''A} .\operatorname {Sin} .\alpha '.\operatorname {Sin} .\alpha ''.\operatorname {Sin} .\alpha '''.\operatorname {Sin} .\beta '''\\\end{aligned}}\right.$

le problème est indéterminé.

Si, en particulier, on a

$\alpha =\beta ,\quad \alpha '=\beta ',\quad \alpha ''=\beta '',\quad \alpha '''=\beta ''',$

la première condition est d’elle-même satisfaite, et la seconde devient

$\mathrm {AA'} .\operatorname {Sin} .\alpha +\mathrm {A''A'''} .\operatorname {Sin} .\alpha ''=\mathrm {A'A''} .\operatorname {Sin} .\alpha '+\mathrm {A'''A} .\operatorname {Sin} .\alpha '''.$

Il faut donc alors que cette condition soit remplie pour que le problème soil possible ; et, si elle l’est en effet, ce problème demeure indéterminé.

Le procédé est exactement le même pour les polygones d’un plus grand nombre de côtés, et ne diffère de celui-ci que pour la longueur.

Lorsque le nombre des côtés du polygone proposé est impair, le dénominateur de la fraction qui exprime la valeur de $x$, au lieu d’être la différence de deux produits, en est la somme ; et conséquemment il n’y a lieu alors ni à impossibilité ni à indétermination.

Scholie. On peut réunir, sous un même énoncé, le problème qui fait l’objet de ce mémoire, et celui qui est résolu à la page 115 de ce volume, comme il suit : À un polygone donné, inscrire un polygone de même nom dont quelques-uns des côtés passent par des points donnés de position, et dont les autres soient parallèles à des droites données de position ?

Deuxième solution ;

Par M. Penjon, professeur de mathématiques au lycée
d’Angers.

J’observerai d’abord que, pour que le problème proposé n’ait qu’une solution unique, il est nécessaire d’indiquer à laquelle des droites données de position chaque côté du polygone cherché doit être parallèle ; car autrement, $m$ désignant le nombre des côtés du polygone donné, et conséquemment aussi le nombre des droites données de position, le nombre des solutions du problème serait $1.2.3\ldots m.$

Soient $\mathrm {S_{1}S_{2}}$ et $\mathrm {S_{2}S_{3}}$ deux côtés consécutifs du polygone donné (fig. 11), et soit $\mathrm {X_{1}X_{2}}$ le côté du polygone cherché qui répond à l’angle $\mathrm {S_{2}}$. Par $\mathrm {S_{1}}$ soit menée $\mathrm {S_{1}K_{2}}$ parallèle à celle des droites données de position à laquelle $\mathrm {X_{1}X_{2}}$ doit être lui-même parallèle.

Soient $\mathrm {S_{2}S_{1}} =a_{1},\mathrm {S_{2}K_{2}} =b_{2}\mathrm {S_{2}X_{1}} =x_{1},\mathrm {S_{2}X_{2}} =y_{2}$ ; nous aurons

${\frac {a_{1}}{x_{1}}}={\frac {b_{2}}{y_{2}}}{\text{ ou }}a_{1}y_{2}=b_{2}x_{1},$

et il est clair que, si $m$ est le nombre des côtés du polygone proposé, nous aurons $m$ équations semblables entre les $2m$ inconnues

$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots x_{m}\,;$

$y_{1},y_{2},y_{3},\ldots y_{m}.$

Nous aurons de plus, entre les mêmes inconnues, $m$ autres équations de la forme $x_{1}+y_{1}=a_{1},\quad x_{2}+y_{2}=a_{2},\ldots$ ce qui sera suffisant pour les déterminer ; et, comme ces équations sont toutes du premier degré, le problème, lorsqu’il sera possible et déterminé, n’admettra jamais plus d’une solution.

Premier exemple. Pour le triangle, les équations seront

$a_{1}y_{2}=b_{2}x_{1},\quad x_{1}+y_{1}=a_{1},$

$a_{2}y_{3}=b_{3}x_{2},\quad x_{2}+y_{2}=a_{2},$

$a_{3}y_{4}=b_{4}x_{3},\quad x_{3}+y_{3}=a_{3},$

d’où on tirera

$x_{1}=a_{1}{\frac {a_{1}a_{2}a_{3}-b_{1}a_{2}a_{3}+b_{1}a_{2}b_{3}}{a_{1}a_{2}a_{3}+b_{1}b_{2}b_{3}}}.$

Deuxième exemple. Pour le quadrilatère, les équations seront

$a_{1}y_{2}=b_{2}x_{1},\quad x_{1}+y_{1}=a_{1},$

$a_{2}y_{3}=b_{3}x_{2},\quad x_{2}+y_{2}=a_{2},$

$a_{3}y_{4}=b_{4}x_{3},\quad x_{3}+y_{3}=a_{3},$

$a_{4}y_{1}=b_{1}x_{4},\quad x_{4}+y_{4}=a_{4},$

d’où on tirera

$x_{1}=a_{1}\cdot {\frac {a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}-b_{1}a_{2}a_{3}a_{4}+b_{1}a_{2}a_{3}b_{4}-b_{1}a_{2}b_{3}b_{4}}{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}+b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}}}.$

Ces résultats, dont la loi est manifeste y se construiront par des quatrièmes proportionnelles.

Troisième solution ;

Par M. Rochat, professeur de navigation à St-Brieux.

J’appliquerai seulement le procédé au quadrilatère ; son uniformité laissant assez apercevoir de quelle manière il peut être étendu à tout autre polygone.

Soit $\mathrm {SS'S''S'''}$ le polygone donné (fig. 12) et soit $\mathrm {XX'X''X'''}$ le polygone cherché. Soit construit arbitrairement un polygone $\mathrm {AA'A''A'''}$, dont les côtés soient respectivement parallèles aux droites données de position, et conséquemment aux côtés du polygone cherché, et dont tous les sommets $\mathrm {A,A',A'',}$ excepté le dernier $\mathrm {A''',}$ soient respectivement sur les côtés $\mathrm {SS',S'S'',S''S'''}$ du polygone donné. Soient enfin $\mathrm {M,N}$ les points où le dernier côté $\mathrm {S'''S}$ de ce polygone est coupé par les directions $\mathrm {A''A'''}$ et $\mathrm {AA'''}$ des côtés de l’angle $\mathrm {A'''}$.

À cause des parallèles, on aura les proportions

${\begin{array}{ll}\mathrm {N\ \,X'''} :\mathrm {AX} &::\mathrm {S\ \,N\ \,} :\mathrm {SA} ,\\\mathrm {A\ \ X\ \ } :\mathrm {A'X'} &::\mathrm {S'\ A\ \,} :\mathrm {S'A'} ,\\\mathrm {A'\ X'\ } :\mathrm {A''X''} &::\mathrm {S''\,A'\,} :\mathrm {S''A''} ,\\\mathrm {A''X''} :\mathrm {MX'''} &::\mathrm {S'''A''} :\mathrm {S'''M} \,;\\\end{array}}$

lesquelles, étant multipliées par ordre, donneront, en réduisant,

$\mathrm {NX''':MX'''::SN\times S'A\times S''A'\times S'''A'':SA\times S'A'\times S''A''\times S'''M}$

donc

$\mathrm {NX'''-MX'''{\text{ ou }}MN:MX'''::}$

$\mathrm {SN\times S'A\times S''A'\times S'''A''-SA\times S'A'\times S''A''\times S'''M:SA\times S'A'\times S''A''\times S'''M\,;}$

donc

$\mathrm {MX=MN\times {\tfrac {SA\times S'A'\times S''A''\times S'''M}{SN\times S'A\times S''A'\times S'''A''-SA\times S'A'\times S''A''\times S'''M}}.}$

cette valeur de $\mathrm {MX'''}$ étant construite, par des quatrièmes proportionnelles, on connaîtra la position du sommet $\mathrm {X'''}$, et alors il sera facile d’achever le polygone.

Quatrième solution ;

Par M. Pilatte, professeur de mathématiques spéciales
au lycée d’Angers.

Soit $\mathrm {SS'}$ (fig. 13) l’un des côtés du polygone donné ; soit $\mathrm {X}$ celui des sommets du polygone cherché qui doit se trouver sur la direction de ce côté, et soit fait $\mathrm {SX} =x.$

Soit pris arbitrairement un point $\mathrm {A}$ sur la direction $\mathrm {SS'}$ et soit opéré avec ce point $\mathrm {A}$, comme on le ferait avec le point $\mathrm {X}$, si, ce dernier étant connu, on voulait construire le polygone demandé. Si le dernier côté du polygone construit, à partir de $\mathrm {A}$, venait se terminer à ce même point, le point $\mathrm {A}$ serait, en effet, le point cherché ; mais en général ce dernier côté viendra se terminer en un autre point $\mathrm {B}$ de $\mathrm {SS'}$.

Si l’on opère ensuite par rapport au point $\mathrm {B}$ comme par rapport au point $\mathrm {A}$, on déterminera un troisième point $\mathrm {C}$, dépendant du point $\mathrm {B}$ de la même manière que celui-ci dépend du point $\mathrm {A}$.

Soient faits $\mathrm {SA} =a,\quad \mathrm {SB} =b,\quad \mathrm {SC} =c.$

Si l’on prend le point $\mathrm {S}$ pour origine, et le côté $\mathrm {SS'}$ pour axe des $x$, on se convaincra facilement que la relation entre les deux variables $a$ et $b$ doit être du premier degré seulement, et peut conséquemment être représentée par l’équation

$pa+qb=r\,;\qquad \mathrm {(I)}$

dans laquelle $p,q,r$ sont des constantes dépendant de la nature du polygone donné, et de la direction connue des côtés du polygone cherché.

Mais, puisque $c$ dépend de $b$ de la même manière que cette dernière quantité dépend de $a$, on doit avoir pareillement

$pb+qc=r\,;\qquad \mathrm {(II)}$

or, si $a$ eût été pris égal à $x$, $b$ eût aussi été égal à $x$ ; on doit donc avoir encore

$px+qx=r\,;\qquad \mathrm {(III)}$

Retranchant successivement de l’équation $\mathrm {(III)}$ les équations $\mathrm {(I)}$ et $\mathrm {(II)}$, il viendra, en transposant,

$p(x-a)=-q(x-b),$

$p(x-b)=-q(x-c)\,;$

équations qui, étant divisées membre à membre, donneront

${\frac {x-a}{x-b}}={\frac {x-b}{x-c}}{\text{ d’où }}x={\frac {b^{2}-ac}{2b-(a+c)}}$

expression facile a construire.

Pour plus de simplicité, on peut prendre pour le point arbitraire $A$ le point $S$ lui-même ; on a alors $a=0,$ et par conséquent

$x={\frac {b^{2}}{2b-c}},$

ce qui réduit la solution du problème à la recherche d’une troisième proportionnelle à deux lignes données.

Supposons qu’on ait pris $a<x,$ il est facile de se convaincre que le nombre des côtés du polygone étant impair, on aura $b>x$ et $c<x$ ; on aura donc aussi $a<b,\ c<b$ d’où $a+c<2b$ ; ainsi, dans ce cas, le dénominateur de la valeur de $x$ ne pouvant devenir nul, le problème sera toujours possible.

Mais, $a$ étant toujours pris $<x,$ si le nombre des côtés du polygone est pair, on aura $a<x,\ b<x,\ c<x,$ et il pourra fort bien arriver qu’on ait $a+c=2b,$ alors le problème sera impossible, à moins cependant qu’on ait, en outre, $ac=b^{2},$ auquel cas le problème serait indéterminé ; or, des équations

$a+c=2b{\text{ et }}ac=b^{2},$

il est facile de conclure

$a=b=c\,;$

ainsi, dans le cas d’un nombre de côtés pair, on reconnaîtra que le problème est impossible, si le point $\mathrm {B}$ se trouve au milieu de l’intervalle qui sépare les points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {C}$ ; et on reconnaîtra qu’il est indéterminé, si, le point $\mathrm {A}$ étant pris quelconque, le point $\mathrm {B}$ coïncide avec lui^[3].

Cinquième solution ;

Par M. Gergonne.

1.^o Soit $m$ le nombre des côtés tant du polygone donné que du polygone à construire ; concevons une suite de polygones $\mathrm {P,P',P'',\ldots }$ dont les côtés soient respectivement parallèles aux droites données de position, et dont les $m-1$ premiers sommets soient sur les $m-1$ premiers côtés du polygone donné, et soient $\mathrm {S,S',S'',\ldots }$ les $m.^{mes}$ sommets de ces polygones.

2.^o Le lieu des points $\mathrm {S,S',S'',\ldots }$ est une certaine ligne dont les intersections avec le $m.^{me}$ côté du polygone donné peuvent évidemment être prises pour le $m.^{me}$ sommet du polygone cherché.

3.^o Or, il résulte des considérations développées dans les solutions précédentes, et il serait d’ailleurs très-facile de prouver a priori, par une simple ébauche de calcul, que le problème proposé n’est que du premier degré ; donc le lieu des points $\mathrm {S,S',S'',\ldots }$ ne peut jamais couper le $m.^{me}$ côté du polygone donné en plus d’un point ; donc ce lieu est une ligne droite.

4.^o La construction du problème proposé se réduit donc à ce qui suit : construisez arbitrairement les deux polygones $\mathrm {P}$ et $\mathrm {P'}$ qui vous détermineront les deux points $\mathrm {S}$ et $\mathrm {S'}$ ; en joignant ces deux points par une droite, l’intersection de cette droite avec le $m.^{me}$ côté du polygone donné sera le $m.^{me}$ sommet du polygone cherché.

5.^o Si la droite $\mathrm {SS'}$ est parallèle au $m.^{me}$ côté du polygone donné, le problème sera impossible ; si, au contraire, elle se confond avec lui ou, ce qui revient au même, si les sommets $\mathrm {S}$ et $\mathrm {S'}$ sont sur ce $m.^{me}$ côté, le problème sera indéterminé.

6.^o Si $m$ est un nombre impair, il est facile de voir que les angles $\mathrm {S}$ et $\mathrm {S'}$ seront l’un dans l’autre, qu’ainsi leurs sommets ne pourront se trouver tous deux ni sur le $m.^{me}$ côté du polygone donné, ni sur une droite qui lui soit parallèle ; et que conséquemment, dans ce cas, le problème sera toujours possible et déterminé.

7.^o Mais il n’en sera plus de même si $m$ est un nombre pair, parce qu’alors les angles $\mathrm {S}$ et $\mathrm {S'}$ ; ne seront plus l’un dans l’autre.

8.^o Cette construction, qui diffère peu de celle de M. Pilatte, rentre dans ce que les arithméticiens appellent Règle de deux fausses positions. Elle est parfaitement analogue à celle que M. Servois a donnée d’un autre problème à la page 115 de ce volume.

1. Voyez le tome 1 des Annales, page 375, lemme I.
2. Cette proposition revient à la suivante : si entre $n$ inconnues $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots x_{n-1},x_{n}$, on a $n$ équations de la forme
   ${\begin{aligned}x_{1}+x_{2}&=\mathrm {A_{1}} \\x_{2}+x_{3}&=\mathrm {A_{2}} \\\ldots \ldots &\ldots \\x_{n-1}+x_{n}&=\mathrm {A_{n-1}} \\x_{n}+x_{1}&=\mathrm {A_{n}} \\\end{aligned}}$

   et que $n$ soit un nombre impair, ces inconnues seront déterminées. Si, au contraire, $n$ est pair, le problème ne sera possible que sous certaine relation entre les données ; relation qui, si elle a lieu, rendra ce problème indéterminé.

   On a, en effet, 1.^o dans le cas de $n$ impair

   $\mathrm {(A_{1}+A_{3}+\ldots +A_{n})-(A_{2}+A_{4}+\ldots +A_{n-1})=2x_{1}\,;}$

   2.^o Dans le cas de $n$ pair.

   $\mathrm {(A_{1}+A_{3}+\ldots +A_{n-1})-(A_{2}+A_{4}+\ldots +A_{n})=0}$

   équation de condition qui, suivant quelle aura ou n’aura pas lieu, rendra le problème indéterminé ou impossible.

   (Note des éditeurs.)
3. Cette méthode peut, avec quelques modifications être appliquée à la solution du problème traité à la page 116 de ce volume. Il faut seulement alors déterminer un quatrième point $\mathrm {D}$, faire $\mathrm {SD} =d$ ; posant alors
   $pab+qa+rb=s,$
   $pbc+qb+rc=s,$
   $pcd+qc+rd=s,$
   $px^{2}+qx+rx=s\,;$

   l’élimination de $p,q,r$ entre ces quatre équations donnera les deux valeurs de $x$ qui résoudront le problème.