QUESTIONS RÉSOLUES.
Démonstration du théorème énoncé à la page 164 de
ce volume ;
Par MM. Pilatte, professeur de mathématiques spéciales
au lycée d’Angers, Legrand, professeur de Mathématiques,
et Rochat, professeur de navigation à St-Brieux.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Énoncé. Si, par l’un quelconque
des points du périmètre d’une hyperbole, on mène deux droites
, respectivement parallèles à ses asymptotes, et que, par un autre point quelconque
, pris sur ce périmètre, on mène une suite de droites coupant
en
en
et la courbe en
on aura
Constante.
Démonstration. MM. Pilatte, Legrand et Rochat ont donné de ce théorème des démonstrations analitiques qui reviennent à peu près à ce qui suit.
Soient pris (fig. 5) le point
pour origine, la droite
pour axe des
, et la droite
pour axe des
; l’équation de l’hyperbole sera de la forme
![{\displaystyle xy=hx+gy,\qquad \mathrm {(I)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee993ab6972e1c1765c8ab8b14adcb0f0ddc564)
et donnera
![{\displaystyle y={\frac {hx}{g-x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae94687e158651d75e48551f3506f330462116e6)
si donc on désigne par
l’abscisse du point m
son ordonnée sera
![{\displaystyle {\frac {h\alpha }{g-\alpha }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06479e89fe71c7640a2a48b7c6418a72a6c700fc)
En conséquence l’équation de
sera de la forme
![{\displaystyle y-{\frac {h\alpha }{g-\alpha }}=k(x-\alpha )\,;\qquad \mathrm {(II)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4040acc84d0d3c677eaac3f27f41759676c40a0c)
déterminant la direction de cette droite.
Si, dans l’équation
on fait
la valeur qui en résultera pour x
celle de
; on aura donc
![{\displaystyle Pa=\alpha -{\frac {h\alpha }{k(g-\alpha )}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23705da82f29aa15403f2c7891a1480d2bab542d)
Si ensuite on élimine
entre les équations
et
, en divisant l’équation résultante par
la valeur qui en résultera pour
sera alors l’abscisse du point
, laquelle aura pour expression
![{\displaystyle g-{\frac {gh}{k(g-\alpha )}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8c5a9f54b3a342dabcda654e41637cacff36ba8)
ce sera donc là aussi la projection de
sur l’axe des
. Quant à la projection de
sur le même axe, elle est la différence des abscisses des points
et
prises avec leurs signes ; ce sera donc
![{\displaystyle \left\{\alpha -{\frac {h\alpha }{k(g-\alpha )}}\right\}-\left\{g-{\frac {gh}{k(g-\alpha )}}\right\}{\text{ ou }}{\frac {h}{k}}-(g-\alpha ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e08092cc6a7b8c64dbec17b1db72a2378277617)
Ainsi, les projections de
et
sur l’axe des
seront respectivement
![{\displaystyle {\frac {h}{k}}-(g-\alpha )={\frac {h-k(g-\alpha )}{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b6d24a1b924f9dec53b1c07af7dee998f457516)
![{\displaystyle g-{\frac {gh}{k(g-\alpha )}}=-g\cdot {\frac {h-k(g-\alpha )}{k(g-\alpha )}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29c885a580d2cb5b5f69d539286952851b9d6692)
et comme
et
sont proportionnelles à leurs projections sur une même droite, on doit avoir
![{\displaystyle {\frac {na}{nb}}=-{\frac {h-k(g-\alpha )}{k}}\cdot {\frac {k(g-\alpha )}{h-k(g-\alpha )}}\cdot {\frac {1}{g}}={\frac {\alpha -g}{g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd47d6614df2d4dcb8227f4660c6c9a8f89df599)
quantité indépendante de
, qui détermine la direction de
, et qui sera conséquemment la même lorsque cette direction changera, pourvu que le point
reste le même.
Outre cette démonstration analitique, M. Legrand a donné du théorème la démonstration purement géométrique que voici :
Soient
le centre de la courbe ;
ses asymptotes ;
les points où elles sont rencontrées par la droite
;
ceux où elles sont rencontrées par les prolongemens de
et
; et soit menée par le point
une parallèle à
, se terminant en
à
et coupant
en
.
Par la propriété fondamentale de l’hyperbole rapportée à ses asymptotes et par les parallèles, on a
![{\displaystyle dm:PG::de:Ge,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e89a02abd0ddc1131dbe3481f133a1512aebb25)
![{\displaystyle PG:Ma::Ge:mM,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac808226f0590a5447211740c1b67cd90e22000)
![{\displaystyle mN:dm::Nb:de\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2da7ee7c5627866f0014323b067caec2be68bbee)
proportions qui, étant multipliées par ordre, donneront, en réduisant,
![{\displaystyle mN:Ma::Nb:mM,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7b9e80a40b5a0a7e58afacb74fcfd80a42d32f6)
d’où
![{\displaystyle Ma\times Nb=mM\times mN.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0e6ec7998b03bec55d9bfd3daed2b87eaeec03)
On aurait semblablement
![{\displaystyle Ma\times Nb=nM\times nN\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb5b4fa9a62699d0938719ca96d7ab141852a183)
ce qui fournit déjà un théorème assez remarquable.
Maintenant la proportion
![{\displaystyle mN:Ma::Nb:mM}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/282e50d515f9c3967117cfa10e3024bc70fad69d)
donne
![{\displaystyle mN-Ma:Nb-mM::Ma:mM\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddcd99eb61eda201c42ccda6b50effb27fa4d29e)
ou, en faisant attention que ![{\displaystyle mM=nN,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71902cc72d0077ca5b4f0ce8b54465e990e465da)
![{\displaystyle mn-ma:nb::Ma:mM::PG:eG}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6cb7382b88f16f5fc7ab8a51056e799dd54a6a7)
ou
![{\displaystyle na:nbr::PG:eG,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cab74887244f923900f71af6bba025e4cdcca797)
d’où
![{\displaystyle {\frac {na}{nb}}={\frac {PG}{eG}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ba6553dae17673a739f2d56a2729784e3ed6154)
quantité constante, quelle que soit la direction de
, tant que le point
restera le même.
M. Pilatte indique, comme application de ce théorème, la résolution du problème suivant :
Décrire une hyperbole qui passe par trois points donnés, et dont les asymptotes soient parallèles à deux droites données ?
On tire, en effet, de la proportion ci-dessus
![{\displaystyle na-nb:na::PG-eG:PG,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f954ee50ec7aa75c635346b002bbc45b28a28c55)
ou
![{\displaystyle ab:na::Pe:PG\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1677c77cff224c3cdadad20af08fbc36e22df9fd)
et, si l’on mène par
une parallèle à
, coupant
en
, on aura pareillement
![{\displaystyle ab:mb::Pf:PH.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c80592dbe7e6c92e34eb1cd263dd93df1900aa29)
Cela posé, soient
les trois points donnés ; par
soient menées des parallèles aux droites données, et conséquemment aux asymptotes ; soit menée
, coupant
et
en
et
; et soient enfin menées, parallèlement aux mêmes droites, les droites
et
, rencontrant en
et
les prolongemens de
et
. Alors les trois premiers termes de chacune des deux proportions cî-dessus se
trouvant connus, on pourra déterminer
et
, et conséquemment les points
par lesquels menant des parallèles
et
aux droites données, ces parallèles seront les asymptotes de la courbe,
dont la construction, par points, ne présentera plus alors aucune
difficulté.