Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Analise, article 3

Lettre aux rédacteurs des Annales sur la même formule ; par M. du Bourguet.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 2, 1812 (p. 286-287).

◄ Remarques sur cette formule ; par M. Servois.

Démonstration d’un théorème d’analise ; par MM. Tédenat et Lhuilier. ►

Lettre aux rédacteurs des Annales sur la même formule ; par M. du Bourguet.

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LETTRE

De M. du Bourguet, professeur de mathématiques
spéciales au lycée impérial, aux rédacteurs des
Annales.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Messieurs,

L’erreur qui s’est glissée, en écrivant la formule logarithmique qui se trouve à la page 70 du 2.^e volume des Annales, et dont M. Servois fait mention à la page 178 du même volume, étant corrigée, ma formule en acquiert un plus grand degré de simplicité ; et, avec la même forme qu’elle avait d’abord, la série conserve toute sa convergence. On a, en effet, toutes réductions faites,

\operatorname {Log} .x={\tfrac {x^{2}-1}{x}}\left\{{\tfrac {1}{2}}-\left[{\tfrac {1}{1.3}}\left({\tfrac {x-1}{x+1}}\right)^{2}+{\tfrac {1}{3.5}}\left({\tfrac {x-1}{x+1}}\right)^{4}+{\tfrac {1}{5.7}}\left({\tfrac {x-1}{x+1}}\right)^{6}+\ldots \right]\right\}.

J’ai l’honneur, etc.^[1]

Paris, le 6 décembre 1811.

↑ Il est bien vrai qu’au moyen de cette petite transformation, la série, en se simplifiant, reprend sa forme primitive et, avec elle, toute sa convergence, si du moins, comme on le fait assez souvent, on veut juger de la convergence d’une série par le rapport de deux termes consécutifs quelconques. Mais si, au contraire, et cela paraît tout aussi naturel, on veut estimer le degré de convergence des séries par le nombre de leurs termes qu’il faut employer pour parvenir à une approximation donnée, l’assertion de M. Servois est exacte. Les termes de la première série n’étaient, en effet, multipliés que par ${\frac {x-1}{x}},$ tandis que ceux de la nouvelle le sont par ${\frac {x^{2}-1}{x}},$ quantité nécessairement plus grande que la première, si, comme l’exigent les usages de la formule, $x$ est plus grand que l’unité.
Il est donc vrai que la formule, en se modifiant, a un peu perdu, sinon de sa convergence, du moins de sa faculté approximative, et c’est là sans doute ce qu’a voulu dire M. Servois.

Mais la formule de M. Dubourguet, ainsi modifiée n’en est pas moins très-précieuse, parce qu’elle conserve toujours les avantages indiqués dans la note de la page 70 de ce volume.

(Note des éditeurs.)

[p299-1] Il est bien vrai qu’au moyen de cette petite transformation, la série, en se simplifiant, reprend sa forme primitive et, avec elle, toute sa convergence, si du moins, comme on le fait assez souvent, on veut juger de la convergence d’une série par le rapport de deux termes consécutifs quelconques. Mais si, au contraire, et cela paraît tout aussi naturel, on veut estimer le degré de convergence des séries par le nombre de leurs termes qu’il faut employer pour parvenir à une approximation donnée, l’assertion de M. Servois est exacte. Les termes de la première série n’étaient, en effet, multipliés que par ${\frac {x-1}{x}},$ tandis que ceux de la nouvelle le sont par ${\frac {x^{2}-1}{x}},$ quantité nécessairement plus grande que la première, si, comme l’exigent les usages de la formule, $x$ est plus grand que l’unité.
Il est donc vrai que la formule, en se modifiant, a un peu perdu, sinon de sa convergence, du moins de sa faculté approximative, et c’est là sans doute ce qu’a voulu dire M. Servois.

Mais la formule de M. Dubourguet, ainsi modifiée n’en est pas moins très-précieuse, parce qu’elle conserve toujours les avantages indiqués dans la note de la page 70 de ce volume.

(Note des éditeurs.)

[1]