Le Principe de relativité et la théorie de la gravitation/chap. 17

Jean Becquerel

Le Principe de relativité et la théorie de la gravitation

Gauthier-Villars, 1922 (p. 269-308).

CHAPITRE XVII.

LA COURBURE DE L’ESPACE ET DU TEMPS.

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I. — L’ESPACE FINI.

105. Le scalaire $\mathrm {R} .$ Action gravitationnelle et courbure totale.

Nous avons vu, au Chapitre précédent, que ${\mathfrak {R}}=\mathrm {R} {\sqrt {-g}}$ est la densité d’action gravitationnelle. Nous allons maintenant envisager le scalaire $\mathrm {R}$ sous un autre aspect, en montrant qu’il a encore une autre signification ; c’est la courbure totale d’Univers en chaque point-événement.

Imaginons un hyperespace à quatre dimensions limitant un hypervolume dans un hyperespace euclidien à cinq dimensions^[1], comme une surface courbe à deux dimensions limite un volume à trois dimensions.

Par extension d’une formule connue pour les surfaces, l’équation de l’hyperespace quadridimensionnel, rapportée aux lignes de courbure passant par un de ses points et à la normale $(z)$ en ce point peut s’écrire

(1-17)

$2z={\frac {x_{1}^{2}}{\mathrm {R} _{1}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{\mathrm {R} _{2}}}+{\frac {x_{3}^{2}}{\mathrm {R} _{3}}}+{\frac {x_{4}^{2}}{\mathrm {R} _{4}}}+$ termes de puissances supérieures.

$\mathrm {R} _{1},$ $\mathrm {R} _{2},$ $\mathrm {R} _{3},$ $\mathrm {R} _{4}$ sont les rayons de courbure principaux.

D’autre part, l’hyperespace à cinq dimensions étant supposé euclidien, on peut poser

(2-17)

$ds^{2}=-dz^{2}-dx_{1}^{2}-dx_{2}^{2}-dx_{3}^{2}-dx_{4}^{2}.$

Éliminant $z$ entre (1-17) et (2-17), nous obtenons l’expression de $ds^{2}$ pour l’hyperespace quadridimensionnel

(3-17)

$ds^{2}=-\left(1+{\frac {x_{1}^{2}}{\mathrm {R} _{1}^{2}}}\right)dx_{1}^{2}-\ldots -{\frac {2x_{1}x_{2}}{\mathrm {R} _{1}\mathrm {R} _{2}}}\,dx_{1}\,dx_{2}-\ldots$

Dans le cas de l’Espace-Temps, $ds$ est un intervalle d’Univers si nous regardons les $x_{\mu }$ comme des variables d’espace ; il y a alors une coordonnée temps imaginaire (le temps peut être considéré comme une longueur imaginaire).

À l’origine, on a

$g_{\mu \mu }=-1\,;\qquad g_{\mu \nu }=0\;(\mu \neq \nu )\,;\qquad {\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}=0\,;$

les seuls termes qui subsistent à l’origine dans l’expression de l’invariant contracté $\mathrm {R} =g^{\mu \nu }\mathrm {R} _{\mu \nu }$ sont

$-g^{\mu \mu }{\frac {\partial }{\partial x_{\rho }}}{\begin{Bmatrix}\mu \mu \\\rho \\\end{Bmatrix}}+g^{\mu \mu }{\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}{\begin{Bmatrix}\mu \rho \\\rho \\\end{Bmatrix}}.$

Calculant les symboles de Christoffel, on trouve

(4-17)

$\;\mathrm {R} =2\!\left({\frac {1}{\mathrm {R} _{1}\mathrm {R} _{2}}}\!+\!{\frac {1}{\mathrm {R} _{1}\mathrm {R} _{3}}}\!+\!{\frac {1}{\mathrm {R} _{1}\mathrm {R} _{4}}}\!+\!{\frac {1}{\mathrm {R} _{2}\mathrm {R} _{3}}}\!+\!{\frac {1}{\mathrm {R} _{2}\mathrm {R} _{4}}}\!+\!{\frac {1}{\mathrm {R} _{3}\mathrm {R} _{4}}}\right)\!\cdot$

$\mathrm {R}$ est donc une généralisation de la courbure de Gauss $\left({\frac {1}{\mathrm {R} _{1}\mathrm {R} _{2}}}\right)$ considérée dans la théorie des surfaces, comme nous l’avions annoncé (n^o 75) ; c’est la courbure totale.

Voici deux cas particuliers qui se présenteront dans la suite :

1^o Si nous avons un espace sphérique de rayon $\mathrm {U}$ et un temps rectiligne (à courbure nulle),

$\mathrm {U} =\mathrm {R} _{1}=\mathrm {R} _{2}=\mathrm {R} _{3},\qquad \mathrm {R} _{4}=0,$

(5-17)

$\mathrm {R} ={\frac {6}{\mathrm {U} ^{2}}}\,;$

2^o Si nous avons un Univers sphérique de rayon $\mathrm {U} ,$

$\mathrm {U} =\mathrm {R} _{1}=\mathrm {R} _{2}=\mathrm {R} _{3}=\mathrm {R} _{4},$

(6-17)

$\mathrm {R} ={\frac {12}{\mathrm {U} ^{2}}}\cdot$

106. La substance présente dans l’Univers doit être limitée et l’espace ne doit pas être infini.

Il est un fait démontré : l’Univers n’est pas euclidien dans son ensemble. Il possède en chaque point-événement des lignes de courbures connexes du champ de gravitation, courbures auxquelles contribue toute substance^[2] existante. Ce n’est plus seulement, comme en relativité restreinte, l’union de l’espace et du temps, c’est l’union de l’espace, du temps et de la substance.

Il est donc impossible de conserver l’ancienne conception de l’Univers, qui comportait d’ailleurs des difficultés connues depuis longtemps et que nous allons brièvement résumer^[3]. L’espace de Newton est infini : prenant comme unité de volume un volume suffisamment grand, une première hypothèse est que la matière est répandue partout avec une même densité moyenne $\rho \,;$ la quantité de matière est alors infinie comme l’espace. D’après la théorie de Newton, il aboutit à une masse $m$ des lignes de force, venant de l’infini, dont le nombre est proportionnel à $m\,;$ une sphère de volume $\mathrm {V}$ contient, en moyenne, une masse $\rho \mathrm {V} \,;$ par conséquent, le nombre des lignes de force qui entrent dans la sphère est proportionnel à $\rho \mathrm {V} ,$ et, par unité de surface, il pénètre un nombre de lignes de force proportionnel à ${\frac {\rho \mathrm {V} }{\mathrm {S} }},$ c’est-à-dire proportionnel au rayon de la sphère considérée. L’intensité du champ à la surface de la sphère augmenterait donc indéfiniment avec un rayon croissant, résultat qui n’a aucun sens, puisqu’un point quelconque peut être considéré comme étant sur la surface d’une sphère de rayon arbitraire.

La loi de Newton n’est pas la loi exacte, mais si l’on admet que l’espace est infini et que la densité moyenne de la matière est partout la même, la loi d’Einstein conduit à la même contradiction.

Doit-on alors supposer que l’Univers a une sorte de centre près duquel la densité de la matière est maximum et autour duquel la matière se raréfie jusqu’au vide complet ? La matière formerait une île dans l’espace infini. Mais s’il en était ainsi, toute énergie rayonnante sortie de cette île se propagerait à l’infini, sans retour, et se dissiperait ; la matière elle-même se disperserait, comme l’atmosphère d’un astre qui s’évapore peu à peu dans l’espace. Il faudrait alors admettre que, puisque l’Univers n’est pas mort, la matière n’existe que depuis un temps limité, ce qui recule toutes les difficultés et n’en résout aucune.

Pour un homme intelligent qu’on aurait laissé dans l’ignorance de la forme de la Terre, la disparition progressive d’un navire sous l’horizon serait une révélation ; ayant compris que la surface est courbe, cet homme envisagerait la possibilité d’une surface finie, d’un monde fermé. Pareille révélation nous est donnée par la théorie d’Einstein, par le simple fait qu’un rayon lumineux peut ne pas se propager en ligne droite dans le vide. Nous sommes donc amenés à penser que l’Univers pourrait ne pas être infini dans toutes ses dimensions ; il est même possible — ce sont les hypothèses d’Einstein et de de Sitter — que l’espace soit fini, bien qu’illimité comme la surface d’une sphère qui ne comporte pas de bornes, puisqu’on peut en faire le tour indéfiniment. Le temps seul resterait infini.

Nous allons maintenant exposer des raisons profondes qui conduisent à attribuer à l’Univers une courbure non nulle, même dans le vide, et à considérer l’espace comme fini.

107. La théorie électronique de la matière conduit à attribuer à l’Univers une courbure totale constante et différente de zéro dans le vide.

Jusqu’à présent, nous avons adopté comme loi de gravitation dans le vide les équations

(7-17)

$\mathrm {R} _{\mu \nu }=0,$

loi nécessaire si l’Univers est infini et euclidien à l’infini puisque alors la loi doit comporter comme solution particulière $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }=0.$

Partant de cette loi, nous avons été conduits à prendre comme loi de gravitation en tout point où se trouvent de la matière et de l’énergie électromagnétique

(8-17)

$\mathrm {R} _{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\mathrm {R} =-\varkappa (\mathrm {T} _{\mu \nu }+\mathrm {E} _{\mu \nu }),$

$\mathrm {T} _{\mu \nu }$ et $\mathrm {E} _{\mu \nu }$ étant les tenseurs matériel et électromagnétique.

Les lois précédentes entraînent les conséquences suivantes :

1^o Dans le vide, $\mathrm {R} _{\mu \nu }=0$ et a fortiori la courbure totale $g^{\mu \nu }\mathrm {R} _{\mu \nu }=\mathrm {R}$ est nulle^[4] ;

2^o En toute région où se trouve de l’énergie électromagnétique, sans matière, $\mathrm {R} _{\mu \nu }\neq 0,$ mais la courbure totale $\mathrm {R}$ est encore nulle, parce que l’invariant contracté $g^{\mu \nu }\mathrm {E} _{\mu \nu }$ du tenseur d’énergie électromagnétique est nul (30-15) ; en faisant $\mathrm {T} _{\mu \nu }=0$ dans l’équation (8) et prenant les scalaires des deux membres, on a bien, en effet, $\mathrm {R} =0\,;$

3^o S’il y a de la matière seule, en prenant les scalaires on obtient, comme nous l’avons montré précédemment (50-14),

(9-17)

$\mathrm {R} =\varkappa \rho _{0}\qquad$ ($\rho _{0},$ densité propre).

Pour le moment, aucune contradiction ne se présente. Mais il importe d’insister sur le fait que les équations « matérielles », où figure le tenseur $\mathrm {T} _{\mu \nu }$ défini au n^o 81, représentent l’aspect macroscopique des phénomènes : l’introduction de la densité de la matière implique que celle-ci est considérée comme continue.

Cherchons à pénétrer plus loin en envisageant l’aspect microscopique et remontant à la structure électronique de la matière.

Nous avons montré, en relativité restreinte (n^o 42), que la masse au repos de l’électron n’est égale à son énergie potentielle totale divisée par $c^{2}$ que si l’on admet, avec Henri Poincaré, une pression exercée par le milieu extérieur ; cette pression est nécessaire pour équilibrer la tension électrostatique qui produirait la dissipation de la charge ; tout électron est donc dans un champ de force, dans un champ de gravitation, et nous avons vu que le quart de l’énergie constituant la masse au repos est dû à ce champ, les trois autres quarts étant dus au champ électrostatique^[5].

Ces forces de cohésion doivent apporter ce qu’il faut pour construire l’électron (et par suite la matière) que les forces maxwelliennes seules ne suffisent pas à expliquer (fin du n^o 101).

Comment pouvons-nous écrire la loi microscopique de la gravitation ? nous ne pouvons plus conserver la densité $\rho$ qui est une conception macroscopique ; il ne doit plus intervenir autre chose que l’énergie du champ électromagnétique des électrons et l’énergie du champ de force formé par les pressions de Poincaré. Ainsi, le tenseur matériel $\mathrm {T} _{\mu }^{\nu }$ doit disparaître, mais nous devons conserver le tenseur $\mathrm {E} _{\mu }^{\nu }$ qui n’est plus maintenant le tenseur d’énergie électromagnétique pour les phénomènes envisagés à notre échelle, et qui devient l’expression la plus générale de l’énergie du champ des électrons. La formule microscopique, si l’on applique la loi admise jusqu’à présent, devrait être

(10-17)

$\mathrm {R} _{\mu }^{\nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\nu }\mathrm {R} =-\varkappa \mathrm {E} _{\mu }^{\nu }.$

Il n’y a pas à ajouter au second membre l’énergie due aux pressions de Poincaré ; cette énergie doit être contenue implicitement dans le tenseur de courbure qui figure au premier membre.

On rencontre ici une difficulté insurmontable si l’on veut conserver la loi précédente. L’invariant contracté de $\mathrm {E} _{\mu }^{\nu }$ étant nul, celui du premier membre doit être nul ; on aurait donc, en tout point d’Univers, $\mathrm {R} =0\,;$ la courbure totale $\mathrm {R}$ étant nulle partout, sa valeur moyenne dans la matière serait nulle et comme, remontant maintenant à l’aspect macroscopique, on a $\mathrm {R} =\varkappa \rho _{0},$ on obtiendrait toujours $\rho _{0}=0,$ résultat absurde : il n’y aurait pas de matière. C’est d’ailleurs ce que nous avons déjà dit : le tenseur d’énergie électromagnétique ne peut pas contribuer à former une densité de matière.

On peut encore montrer cette contradiction de la façon suivante : la divergence du premier membre de (10-17) étant identiquement nulle, la divergence de $\mathrm {E} _{\mu }^{\nu }$ devrait être nulle. Or, d’après les équations de l’électromagnétique, $\mathrm {E} _{\mu \nu }^{\nu }=0$ entraîne $\mathrm {F} _{\mu \alpha }\mathrm {J} ^{\alpha }=0.$ La densité de courant serait nulle en tout point ; il n’y aurait nulle part ni courant de convection, ni densité de charge : il n’y aurait pas d’électrons.

Il est donc nécessaire de corriger la loi de la gravitation. Puisque l’invariant contracté de $\mathrm {E} _{\mu \nu }$ est nul, nous devons identifier $\mathrm {E} _{\mu \nu }$ avec un tenseur de courbure dont l’invariant contracté soit nul.

Le tenseur du second ordre le plus général contenant les $g_{\mu \nu },$ leurs dérivées premières et secondes et linéaire par rapport à ces dernières est de la forme

(11-17)

$c_{1}\mathrm {R} _{\mu \nu }+c_{2}\mathrm {R} g_{\mu \nu }+c_{3}g_{\mu \nu },$

$c_{1},$ $c_{2},$ $c_{3}$ étant des constantes.

Nous avions donc fait une restriction en posant $c_{3}=0\,;$ il est temps de la supprimer et de déterminer $c_{3}$ par la condition que l’invariant contracté du tenseur général soit nul ; nous obtenons le tenseur

$c_{1}\left(\mathrm {R} _{\mu \nu }-{\frac {1}{4}}g_{\mu \nu }\mathrm {R} \right).$

Nous devons donc écrire

(12-17)

$\mathrm {R} _{\mu \nu }-{\frac {1}{4}}g_{\mu \nu }\mathrm {R} =-\varkappa \mathrm {E} _{\mu \nu },$

équations qui expriment la loi de la gravitation, si $\mathrm {E} _{\mu \nu }$ désigne le tenseur d’énergie du champ électromagnétique des électrons.

Formons la divergence des deux membres de

$\mathrm {R} _{\mu }^{\nu }-{\frac {1}{4}}g_{\mu }^{\nu }\mathrm {R} =-\varkappa \mathrm {E} _{\mu }^{\nu },$

nous obtenons immédiatement, par application des équations de l’électromagnétisme et en remarquant que la divergence de $\mathrm {R} _{\mu }^{\nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\nu }\mathrm {R}$ est identiquement nulle,

(13-17)

${\frac {1}{4}}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x_{\mu }}}=-{\frac {\varkappa }{c^{2}}}\mathrm {F} _{\mu \alpha }\mathrm {J} ^{\alpha }.$

Partout où $\mathrm {J} ^{\alpha }=0,$ c’est-à-dire en dehors des lignes d’Univers des électrons, la courbure totale $\mathrm {R}$ est constante ; cette courbure est donc la même dans le vide et aux points où se trouve de l’énergie libre^[6] (énergie rayonnante) ; de plus la courbure dans le vide n’est pas nulle, car une courbure nulle dans le vide (où $\mathrm {E} _{\mu \nu }=0$) entraînerait d’après (12-17) $\mathrm {R} _{\mu \nu }=0\,;$ on retomberait sur la loi que nous devons abandonner.

D’après (12) la loi dans le vide s’écrit

$\mathrm {R} _{\mu \nu }-{\frac {1}{4}}g_{\mu \nu }\mathrm {R} =0,$

ou, en appelant $\mathrm {R} _{0}$ la courbure dans le vide et posant

(14-17)

$\mathrm {R} _{0}=4\lambda ,$

(15-17)

$\mathrm {R} _{\mu \nu }-\lambda g_{\mu \nu }=0.$

Dès le début (n^o 75), nous avions indiqué cette loi comme une loi possible et nous avions fait pressentir qu’on serait conduit à l’adopter.

S’il y a de la matière présente, l’équation macroscopique s’obtient en écrivant (n^o 83) la proportionnalité entre le tenseur de courbure conservatif

$\mathrm {R} _{\mu }^{\prime \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\nu }\mathrm {R} '\qquad \left(\mathrm {R} _{\mu }^{\prime \nu }=\mathrm {R} _{\mu }^{\nu }-\lambda g_{\mu }^{\nu },\;\mathrm {R} '=\mathrm {R} -4\lambda \right)$

et le tenseur matériel $\mathrm {T} _{\nu }^{\mu }$ dont la divergence est nulle,

(16-17)

$\mathrm {R} _{\mu }^{'\nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\nu }\mathrm {R} '=-\varkappa \mathrm {T} _{\mu }^{\nu },$

ou

(17-17)

$\mathrm {R} '_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\mathrm {R} '=-\varkappa \mathrm {T} _{\mu \nu },$

et

$\mathrm {R} '_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\mathrm {R} '=-\varkappa (\mathrm {T} _{\mu \nu }+\mathrm {E} _{\mu \nu }),$

si la matière contient des charges et des courants, ou enfin

(18-17)

$\mathrm {R} '_{\mu \nu }=\mathrm {R} _{\mu \nu }=-\varkappa \left(\mathrm {T} _{\mu \nu }+\mathrm {E} _{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\mathrm {T} \right).$

La pression de Poincaré. — Aux points d’Univers où sont présentes des charges électriques, écrivons, d’après (14-15),

(19-17)

$\mathrm {J} ^{\mu }=\mathrm {P} _{0}{\frac {dx_{\mu }}{ds}},$

$\mathrm {P} _{0}$ étant la charge totale (invariante) par unité de volume propre. Multipliant les deux membres de (13-17) par $\mathrm {J} ^{\mu }$ (multiplication intérieure) et remarquant que $\mathrm {J} ^{\alpha }\mathrm {J} ^{\mu }\mathrm {F} _{\mu \alpha }=0$ parce que $\mathrm {F} _{\mu \alpha }$ est symétrique gauche, nous obtenons

(20-17)

${\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x_{\mu }}}{\frac {dx_{\mu }}{ds}}=0.$

La courbure totale $\mathrm {R}$ est donc constante sur chaque ligne d’Univers d’une charge ; elle a d’ailleurs une valeur différente de la courbure $\mathrm {R} _{0}$ dans le vide, car la loi macroscopique (17-17) donne dans la matière une courbure moyenne telle que

(21-17)

$\mathrm {R} -\mathrm {R} _{0}=\varkappa \rho _{0}\neq 0.$

Ainsi, les lignes d’Univers des électrons constituent des sortes de rides sur lesquelles la courbure est modifiée. Einstein a suggéré l’idée que la courbure totale $\mathrm {R}$ joue le rôle d’une pression négative : en dehors du corpuscule, la pression n’a pas la même valeur qu’à l’intérieur ; c’est la variation de courbure $(\mathrm {R} -\mathrm {R} _{0})$ ou plus exactement le champ de force déterminé par cette variation qui empêche la dissipation de la charge de l’électron. La courbure (moyenne) à l’intérieur de l’électron est constante dans le temps.

On voit que, dans l’aspect microscopique, $(\mathrm {R} -\mathrm {R} _{0})$ détermine la pression de Poincaré ; dans l’aspect macroscopique, $(\mathrm {R} -\mathrm {R} _{0})$ représente la densité de la matière, $\mathrm {R}$ étant alors une courbure moyenne.

Il convient de bien remarquer que la modification apportée à la loi de la gravitation n’entraîne aucun changement dans les principes généraux de la mécanique. Il suffit de remplacer partout le tenseur $\mathrm {R} _{\mu \nu }$ par le tenseur $\mathrm {R} '_{\mu \nu }=\mathrm {R} _{\mu \nu }-\lambda g_{\mu \nu }$ et le scalaire $\mathrm {R}$ par le scalaire $\mathrm {R} '=\mathrm {R} -4\lambda =\mathrm {R} -\mathrm {R} _{0}.$ Puisque la divergence de $\mathrm {R} _{\mu }^{\prime \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\nu }\mathrm {R} '$ est identiquement nulle, la loi corrigée (16-17) est en plein accord avec le principe de conservation de l’impulsion-énergie : elle a d’ailleurs été écrite de manière qu’il en soit ainsi. Enfin, la densité d’action de gravitation^[7] sera prise égale à ${\sqrt {-g}}(\mathrm {R} -4\lambda )$ au lieu de ${\sqrt {-g}}\,\mathrm {R} .$

Dans les applications astronomiques le terme très petit $\lambda g_{\mu }^{\nu }$ peut être négligé, et la courbure dans le vide peut être pratiquement considérée comme nulle.

108. L’espace fermé.

Les vitesses relatives des astres sont toujours très petites par rapport à la vitesse de la lumière. Cette remarque nous permet d’envisager un système de référence relativement auquel la matière est, en moyenne, au repos et dans lequel les vitesses individuelles sont faibles. Dans ce système, la matière est quasi stationnaire.

Considérant l’Univers, non plus seulement sous l’aspect macroscopique de la matière, mais sous l’aspect ultra-macroscopique ou « cosmique » de l’ensemble des mondes, nous pouvons imaginer un très grand volume d’espace [par exemple 1 000 parsecs-cubes^[8]] dans lequel nous envisageons une densité moyenne $\rho$ de la matière. Supposons que cette densité (au repos) moyenne soit constante dans l’Univers, ce qui est la seule hypothèse logique. Nous pouvons, dans cet aspect ultra-macroscopique, ne tenir compte que de la distribution générale de la matière, faire abstraction des irrégularités locales peu importantes dans l’ensemble et des champs de gravitation locaux^[9], négliger les pressions et autres forces internes dans la matière.

Dans cet aspect cosmique, le tenseur $\mathrm {T} _{\mu \nu }$ se réduit sensiblement à la composante

$\mathrm {T} _{44}=g_{44}\rho$

et les équations de la gravitation s’écrivent

(22-17)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$\mathrm {R} _{\mu \nu }-\left(\lambda +{\frac {1}{2}}\varkappa \rho \right)g_{\mu \nu }=0$

si $\mu$ et $\nu$ ne sont pas tous deux égaux à 4,

$\mathrm {R} _{44}-\left(\lambda +{\frac {1}{2}}\varkappa \rho \right)g_{44}=-\varkappa g_{44}\rho .$

Prenant la position de l’observateur comme origine des coordonnées et adoptant des coordonnées sphériques, une première solution de ces équations donne les $g_{\mu \nu }$ de l’expression suivante pour $ds^{2}\;:$

$ds^{2}=-dr^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2})+c^{2}dt^{2}$

avec

$\rho =0,\qquad \lambda =0.$

C’est la solution de la théorie primitive, l’Espace-Temps infini et euclidien, c’est-à-dire euclidien s’il n’y avait pas des condensations locales que précisément nous négligeons. Cette solution $(\lambda =0)$ est justement celle que nous rejetons pour les raisons précédemment exposées.

Mais il y a deux autres solutions :

Solution d’Einstein :

(23-17)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$ds^{2}=-dr^{2}-\mathrm {U} ^{2}\sin ^{2}\!{\frac {r}{\mathrm {U} }}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2})+c^{2}dt^{2}$

avec

$\varkappa \rho =2\lambda ,\qquad \lambda ={\frac {1}{\mathrm {U} ^{2}}}\cdot$

Solution de de Sitter :

(24-17)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$ds^{2}=-dr^{2}-\mathrm {U} ^{2}\sin ^{2}\!{\frac {r}{\mathrm {U} }}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2})+\cos ^{2}\!{\frac {r}{\mathrm {U} }}c^{2}dt^{2}$

avec

$\rho =0,\qquad \lambda ={\frac {3}{\mathrm {U} ^{2}}}\cdot$

Posons $r=\mathrm {U} \chi$ (coordonnée curviligne).

L’élément de ligne d’Univers s’écrit :

Solution d’Einstein :

(25-17)

$ds^{2}=-\mathrm {U} ^{2}\left[d\chi ^{2}+\sin ^{2}\!\chi (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2})\right]+c^{2}dt^{2}.$

Solution de de Sitter :

(26-17)

$ds^{2}=-\mathrm {U} ^{2}\left[d\chi ^{2}+\sin ^{2}\!\chi (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2})\right]+\cos ^{2}\!\chi \,c^{2}dt^{2}.$

Dans les deux solutions, la « coupe à temps constant » $(dt=0)$ est un espace à courbure constante positive, de rayon $\mathrm {U} .$

L’espace est fermé.

II. — HYPOTHÈSES SUR LA FORME DE L’UNIVERS.

109. Hypothèse d’Einstein. L’espace sphérique ou elliptique.
Le temps d’Univers rectiligne. L’Espace-Temps cylindrique.

Pour mieux concevoir la solution d’Einstein [(23-17), (25-17)], supprimons une des dimensions de l’espace. Imaginons des êtres infiniment plats, entourés d’objets à deux dimensions, assujettis à vivre sur une surface sphérique sans avoir la perception d’une troisième dimension d’espace. Confondant la surface de leur monde sphérique avec le plan tangent, ils imagineront la géométrie plane (euclidienne) et penseront d’abord que leur univers s’étend à l’infini. Ils appelleront ligne droite le plus court chemin d’un point à un autre. S’ils portent autour d’un même point, dans toutes les directions, des longueurs égales, ils construiront un cercle, et tant que le rayon sera petit, ils trouveront que le rapport de la circonférence au diamètre est un nombre indépendant du rayon $\pi =3,1415\dots .$ Cependant, s’ils tracent des cercles de « rayons » de plus en plus grands — ce qu’ils appellent rayon étant un arc de grand cercle puisqu’ils restent sur la surface — ils constateront que le rapport de la circonférence à ce qu’ils appellent le diamètre devient inférieur à $\pi$ et diminue à mesure que le rayon augmente, enfin que la circonférence elle-même décroît et finit par se réduire à un point : le point antipode.

Les mathématiciens de ce monde comprendront que leur univers est courbe ; ils déduiront de leurs mesures d’arpentage que c’est une surface à courbure constante positive, finie bien qu’illimitée, limitant un « hypercercle » à trois dimensions dont ils pourront calculer le rayon.

Soient $\mathrm {O}$ l’origine des coordonnées, prise en un point de la Fig. 18.
surface sphérique, $\mathrm {A}$ le centre, $\chi$ l’angle $\mathrm {OAC} ,$ $\theta$ l’angle azimutal du plan $\mathrm {OAC} .$ L’élément de longueur en un point $\mathrm {C}$ est

$dl^{2}=\mathrm {U} ^{2}d\chi ^{2}+\mathrm {U} ^{2}\sin ^{2}\!\chi \,d\theta ^{2},$

$\mathrm {U}$ étant le rayon de la sphère. L’élément de ligne d’Univers a pour expression

(27-17)

$ds^{2}=-dl^{2}\!+c^{2}dt^{2}=-\mathrm {U} ^{2}(\,d\chi ^{2}\!+\sin ^{2}\!\chi \,d\theta ^{2})+c^{2}dt^{2}.$

Ajoutant une dimension d’espace, nous avons l’Univers à courbure constante d’Einstein, la formule (25-17) étant l’extension de (27-17) avec une dimension supplémentaire mesurée par $\varphi .$

Faisant $dt=0$ dans la formule (25-17), nous obtenons l’expression de l’élément de longueur dans l’espace

(28-17)

$dl^{2}=\mathrm {U} ^{2}\left[d\chi ^{2}+\sin ^{2}\!\chi (\,d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2})\right].$

L’espace à courbure constante positive a deux formes possibles : l’espace sphérique de Riemann et l’espace elliptique de Newcomb, tous deux représentés par l’équation (28). Nous nous bornerons à étudier l’espace sphérique.

Cet espace est difficile à se représenter : il n’a absolument rien de commun avec l’intérieur d’une sphère ordinaire dans un espace à trois dimensions : il limite une hypersphère dans un espace à quatre dimensions comme une surface sphérique limite une sphère.

Si nous portons sur la surface d’une sphère ordinaire, à partir du point $\mathrm {O}$ et dans toutes les directions, des longueurs égales $\mathrm {OC} =\mathrm {U} \chi ,$ nous obtenons le cercle $\mathrm {CC'}$ dont la circonférence a pour longueur $2\pi \mathrm {U} \sin \chi$ et dont le rayon curviligne (mesuré sur la surface) est $\mathrm {OC} =r=\mathrm {U} \chi .$ De même dans l’espace courbe qui limite une hypersphère quadridimensionnelle, si nous portons à partir d’un point des longueurs $r$ égales (mesurées sur des fils tendus), nous obtenons une sphère dont le rayon (mesuré dans l’espace sphérique tridimensionnel) est $r=\mathrm {U} \chi$ et dont la surface est $4\pi \mathrm {U} ^{2}\sin ^{2}\chi .$ Portons des longueurs de plus en plus grandes, nous obtenons des sphères de surfaces croissantes jusqu’au rayon ${\frac {1}{2}}\pi \mathrm {U} ,$ ensuite les sphères décroissent jusqu’à se réduire à un point, le point antipode à la distance $\pi \mathrm {U} .$

Le volume total de l’espace sphérique est $2\pi ^{2}\mathrm {U} ^{3}$ (l’espace elliptique de Newcomb a un volume $\pi ^{2}\mathrm {U} ^{3}$).

La masse totale de la matière, de densité moyenne $\rho ,$ est

(29-17)

$\mathrm {M} =2\pi ^{2}\mathrm {U} ^{3}\rho$

et comme l’on a, d’après (23-17),

$\rho ={\frac {2\lambda }{\varkappa }}\,;\qquad \lambda ={\frac {1}{\mathrm {U} ^{2}}},$

nous obtenons les relations suivantes :

(30-17)

$\mathrm {U} ={\sqrt {\frac {2}{\varkappa \rho }}}\,;\qquad \mathrm {U} ={\frac {\varkappa }{4\pi ^{2}}}\mathrm {M} \,;\qquad \mathrm {M} ={\sqrt {\frac {32\pi ^{4}}{\varkappa ^{2}\rho }}}\cdot$

On voit que, dans l’hypothèse d’Einstein, la courbure d’ensemble de l’espace est déterminée par la matière mondiale.

Il est difficile de vérifier si cette conception est exacte. On a cherché à estimer la masse de la matière connue : on pense que la masse du système stellaire est de l’ordre de 10⁹ fois celle du Soleil ; admettons que les nébuleuses spirales représentent 1 000 000 de fois cette masse^[10] ; on obtiendrait ainsi, d’après la seconde formule (30), un rayon de l’ordre de 10¹⁵ kilomètres, et le tour de l’Univers $2\pi \mathrm {U}$ serait de l’ordre de 10¹⁵ à 10¹⁶ kilomètres, ce qui représente 100 à 1000 années de lumière ; ce résultat est absurde, car la distance moyenne des étoiles visibles à l’œil nu dépasse 100 années de lumière. On serait donc conduit à admettre l’existence d’énormes quantités de matière non découvertes : ceci est d’ailleurs possible, car seule la matière lumineuse se révèle à nous ; nous ne connaissons pas les mondes obscurs^[11], c’est-à-dire d’une part les amas très peu condensés, d’autre part les étoiles éteintes qui peuvent être très nombreuses ; de plus, la lumière émanée des astres très lointains peut être trop absorbée par la matière disséminée dans l’espace pour parvenir jusqu’à nous en quantité appréciable.

On peut aborder autrement la question en cherchant à évaluer la densité moyenne. Si l’on admet, avec Kapteyn, que la masse contenue dans 1 000 parsecs-cubes est, en moyenne, 80 fois la masse du Soleil, on trouve un rayon $\mathrm {U} ={\sqrt {\frac {2}{\varkappa \rho }}}$ de l’ordre de 10²⁰ kilomètres ; mais ce chiffre est bien incertain, d’autant plus que, s’il y a de la matière obscure, la densité moyenne est plus forte et le rayon moins grand.

Le temps d’Univers. — Ce qu’il y a de plus remarquable dans l’hypothèse d’Einstein, c’est qu’elle constitue un retour à l’espace absolu et au temps absolu. Einstein a rétabli la séparation entre l’espace et le temps, en admettant un Univers cylindrique, la direction des génératrices donnant un temps d’Univers absolu. Mais c’est un absolu dont nous n’avons pas connaissance en toute rigueur car, pour nous, l’espace et le temps restent unis suivant la conception de Minkowski ; le temps que nous mesurons, variable d’un système à l’autre, variable d’un point à un autre dans un champ de gravitation, n’est pas ce temps d’Univers absolu.

Toutefois, puisque les vitesses relatives des mobiles naturels sont toujours très petites par rapport à la vitesse de la lumière, que les champs de gravitation ne déforment que bien peu l’espace et le temps, s’il existe un système de référence où le temps est absolu et où la matière est quasi stationnaire, les temps mesurés dans les différents systèmes naturels sont bien voisins du temps d’Univers ; l’écart ne serait notable que si l’on parvenait à réaliser des vitesses considérables par rapport à l’ensemble de la matière mondiale.

Les géodésiques de l’hypersphère émanées d’un même point coupent au point antipode et reviennent au point de départ (comme les grands cercles d’une sphère). Les rayons lumineux pourraient donc revenir après avoir fait le tour de l’Univers (trajet $2\pi \mathrm {U}$).

On a alors fait l’objection suivante : on devrait voir un anti-soleil au point du ciel opposé au Soleil. Cet anti-soleil aurait même diamètre apparent que le Soleil ; la face qu’on verrait ainsi serait la face opposée à la Terre et, s’il n’y avait pas d’absorption, l’anti-soleil serait aussi brillant que le Soleil lui-même. Ce n’est pas une objection sérieuse, car ce raisonnement suppose un retour rapide des ondes lumineuses, c’est-à-dire admet un rayon d’Univers relativement petit, ce qui est certainement faux. Si l’anti-soleil pouvait être visible, ce serait l’astre tel qu’il était au moment du départ des ondes lumineuses, à une époque où il se trouvait fort loin de sa position actuelle ; il aurait seulement l’aspect d’une étoile.

Quant aux étoiles, elles pourraient être vues en double, ou même en triple après deux tours d’Univers des rayons lumineux ; beaucoup d’étoiles ne seraient que des fantômes d’un passé très reculé.

Cette conception des anti-étoiles n’est pas vraisemblable ; elle admet que la lumière pourrait faire le tour de l’Univers sans être trop absorbée, ce qui est peu probable. D’autre part, elle suppose que les géodésiques se ferment exactement ; or il ne faut pas oublier que l’équation (25-17) suppose la matière uniformément répandue, et que, par conséquent, cette équation ne peut donner qu’un aspect d’ensemble ; dans la réalité des choses, si l’hypothèse d’Einstein est exacte, l’espace n’est que quasi sphérique : il a une courbure moyenne constante $\mathrm {R={\frac {6}{U^{2}}}}$ (d’après 5-17) ou $\mathrm {R=6\lambda } ,$ Fig. 19.
puisque $\lambda =\mathrm {\frac {1}{U^{2}}}$ (23-17), mais sa courbure est plus grande aux points où la densité dépasse la moyenne $\rho ,$ et diminue jusqu’à $4\lambda$ s’il n’y a aucune matière (14-17).

Figurons une sphère ordinaire et soit $\mathrm {O}$ un point de la surface. Du centre $\mathrm {A} ,$ on peut faire la projection conique de la surface sur le plan tangent en $\mathrm {O} .$ De même, projetons l’espace sphérique sur l’espace euclidien tangent au point $\mathrm {O} ,$ où se trouve l’observateur. Soit $\mathbf {r}$ la distance $\mathrm {OP}$ de ce point origine à la projection $\mathrm {P}$ d’un point de l’espace sphérique ; nous allons remplacer la coordonnée $\chi$ (ou $r$) par la coordonnée $\mathbf {r} :$

(31-17)

$\mathbf {r} =\mathrm {U\operatorname {tang} {\chi }} .$

L’expression de l’élément de ligne d’Univers devient

(32-17)

$ds^{2}=-{\frac {d\mathbf {r} ^{2}}{(1+\mathbf {\varepsilon } \mathbf {r} ^{2})^{2}}}-{\frac {\mathbf {r} ^{2}(d\theta ^{2}+{\sin }^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2})}{1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}}}+c^{2}dt^{2}$

en posant $\mathrm {\varepsilon ={\frac {1}{U^{2}}}} \cdot$

Pour un observateur qui posséderait quatre dimensions d’espace, l’Univers d’Einstein apparaîtrait comme sphérique dans un hyperespace quadridimensionnel euclidien^[12] [l’expression (28-17) de $dl^{2}$ est euclidienne dans un hyperespace Fig. 20.
quadridimensionnel]. Mais l’homme, qui ne possède que trois dimensions, n’a pas la perception directe de la courbure suivant une quatrième dimension d’espace ; tout rayon lumineux lui arrivant dans l’espace tangent, c’est dans cet espace que toutes choses lui apparaissent : mieux encore, il fait réellement la projection conique qui vient d’être indiquée^[13].

En effet, l’observateur en $\mathrm {O}$ déterminera la distance du point $\mathrm {C}$ par une mesure de parallaxe, en s’imaginant que l’espace est euclidien. Il se déplacera de $\mathrm {O}$ en un point $\mathrm {O} ',$ perpendiculairement à $\mathrm {OC} ,,$ d’une longueur extrêmement petite $\mathrm {OO'} =a=\mathrm {U} \alpha ,$ $\alpha$ étant l’angle ${\widehat {\mathrm {OAO'} }}\,;$ il mesurera l’angle $\beta ={\widehat {\mathrm {OO'C} }}$ et croira que le parallaxe $\varpi$ de $\mathrm {C}$ est $\varpi ={\frac {\pi }{2}}-\beta ,$ c’est-à-dire $\cos \beta ,$ puisque $\beta$ est extrêmement petit. Or, dans le triangle sphérique $\mathrm {OO'C} ,$ on a $\cos \beta =\operatorname {tang} \alpha \cot \chi ,$ ou $\varpi ={\frac {\alpha }{\operatorname {tang} \chi }}\,;$ la distance $\mathbf {r}$ que l’observateur déduira de $\varpi$ est donc

$\mathbf {r} ={\frac {a}{\varpi }}={\frac {\mathrm {U} \operatorname {tang} \alpha }{\alpha }}\operatorname {tang} \chi =\mathrm {U} \operatorname {tang} \chi .$

Ainsi, la projection sur l’espace euclidien tangent représente l’aspect de l’Univers pour l’observateur ; celui-ci a l’illusion d’un espace euclidien infini.

Cherchons les équations du mouvement d’un point matériel dans l’Univers d’Einstein^[14] : les équations différentielles d’une géodésique (n^o 78) sont les suivantes :

${\frac {d^{2}x_{\sigma }}{ds^{2}}}=-{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\sigma \\\end{Bmatrix}}{\frac {dx_{\alpha }}{ds}}{\frac {dx_{\beta }}{ds}}$

ou

${\frac {d^{2}x_{\sigma }}{c^{2}dt^{2}}}=-\left[{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\sigma \\\end{Bmatrix}}-{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\4\\\end{Bmatrix}}{\frac {dx_{\sigma }}{c\,dt}}\right]{\frac {dx_{\alpha }}{c\,dt}}{\frac {dx_{\beta }}{c\,dt}},$

et, en nous restreignant aux systèmes de référence dans lesquels les $g_{\mu \nu }$ ne dépendent pas de $x_{4}=ct,$

(33-17)

${\frac {d^{2}x_{\sigma }}{c^{2}dt^{2}}}=-{\begin{Bmatrix}44\\\sigma \\\end{Bmatrix}}-{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\sigma \\\end{Bmatrix}}{\frac {dx_{\alpha }}{c\,dt}}{\frac {dx_{\beta }}{c\,dt}},+2{\begin{Bmatrix}\alpha 4\\4\\\end{Bmatrix}}{\frac {dx_{\alpha }}{c\,dt}}{\frac {dx_{\beta }}{c\,dt}}\cdot$

Avec les coordonnées employées dans les équations (23-17) et (25-17), $r$ ou $\chi \left(={\frac {r}{\mathrm {U} }}\right),$ $\theta ,$ $\varphi ,$ $ct,$ les symboles de Christoffel non nuls sont les suivants :

${\begin{Bmatrix}22\\1\end{Bmatrix}}=-\mathrm {U} \sin \chi \cos \chi ,\qquad {\begin{Bmatrix}33\\1\end{Bmatrix}}=-\mathrm {U} \sin \chi \cos \chi \sin ^{2}\!\theta ,$ ${\begin{Bmatrix}12\\2\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}21\\2\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}13\\3\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}31\\3\end{Bmatrix}}={\frac {1}{\mathrm {U} }}\cot \chi ,$ ${\begin{Bmatrix}33\\2\end{Bmatrix}}=-\sin \theta \cos \theta ,\qquad {\begin{Bmatrix}23\\3\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}32\\3\end{Bmatrix}}=\cot \theta .$

Nous obtenons

(34-17)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}r}{c^{2}dt^{2}}}&=\mathrm {U} \sin \chi \cos \chi \left[\left({\frac {d\theta }{c\,dt}}\right)^{2}+\sin ^{2}\!\theta \left({\frac {d\varphi }{c\,dt}}\right)^{2}\right],\\{\frac {d^{2}\theta }{c^{2}dt^{2}}}&=-{\frac {2}{\mathrm {U} }}\cot \chi {\frac {dr}{c\,dt}}{\frac {d\theta }{c\,dt}}+\sin \theta \cos \theta \left({\frac {d\varphi }{c\,dt}}\right)^{2},\\{\frac {d^{2}\varphi }{c^{2}dt^{2}}}&=-{\frac {2}{\mathrm {U} }}\cot \chi {\frac {dr}{c\,dt}}{\frac {d\varphi }{c\,dt}}-2\cot \theta {\frac {d\theta }{c\,dt}}{\frac {d\varphi }{c\,dt}}.\end{aligned}}\right.$

Nous pouvons prendre $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ et ${\frac {d\theta }{dt}}=0\,;$ les intégrales des aires et de l’énergie sont alors

(35-17)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {U} ^{2}\sin ^{2}\!\chi \left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)&=h,\\\mathrm {U} ^{2}\sin ^{2}\!\chi \left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}\!&+\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}=k,\end{aligned}}\right.$

$h$ et $k$ étant deux constantes d’intégration.

Éliminant $dt,$ nous avons l’équation différentielle de l’orbite

(36-17)

$\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}\!+\mathrm {U} ^{2}\sin ^{2}\!\chi ={\frac {k}{h^{2}}}\mathrm {U} ^{4}\sin ^{4}\!\chi$

dont l’intégrale est

(37-17)

$\operatorname {tang} \chi \cos(\varphi -\varphi _{0})={\frac {h}{k\mathrm {U} ^{2}-h}}\cdot$

C’est l’équation de la géodésique dans l’espace sphérique (ou elliptique). La seconde des formules (35-17) montre que le mobile suit cette géodésique avec la vitesse constante ${\sqrt {k}}.$

La vitesse de la lumière est $c,$ ainsi qu’on le voit immédiatement en faisant $ds=0$ dans l’équation (23-17).

Ces résultats correspondent au point de vue du surobservateur quadridimensionnel.

Mais tout autre est le point de vue de l’observateur tridimensionnel, qui projette le mobile sur l’espace euclidien tangent. Pour lui, la coordonnée distance est, non plus la coordonnée curviligne $r=\mathrm {U} \chi ,$ mais la coordonnée rectiligne $\mathbf {r} =\operatorname {tang} \chi .$ Adoptant maintenant la coordonnée $\mathbf {r} ,$ nous obtenons, en écrivant, comme plus haut, $\varepsilon ={\frac {1}{\mathrm {U} ^{2}}},$

${\frac {dr}{dt}}=\cos ^{2}\chi {\frac {d\mathbf {r} }{dt}},\qquad \cos ^{2}\!\chi ={\frac {1}{1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}}},\qquad \sin ^{2}\!\chi ={\frac {\varepsilon \mathbf {r} ^{2}}{1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}}}$

et les formules (35-17) deviennent

(38-17)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {\mathbf {r} ^{2}}{1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}}}\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)&=h,\\{\frac {1}{(1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2})^{2}}}\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)^{2}\!&+{\frac {\mathbf {r} ^{2}}{1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}}}\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}\!=k,\end{aligned}}\right.$

d’où l’on tire facilement l’expression du carré de la vitesse apparente

(39-17)

$v_{1}^{2}=\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)^{2}\!+\mathbf {r} ^{2}\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}\!=\left(1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}\right)^{2}\left(k-\varepsilon h^{2}\right).$

Tant que $\mathbf {r}$ est très petit, la vitesse observée est encore sensiblement ${\sqrt {k}}$ ($\varepsilon h^{2}$ étant très petit), mais à mesure que $\chi$ approche de $\pm {\frac {\pi }{2}},$ c’est-à-dire à mesure que le mobile paraît à l’observateur s’éloigner à l’infini, toutes les vitesses apparentes croissent indéfiniment, quelque petites que soient les vitesses réelles $v={\sqrt {k}}$ dans l’espace sphérique.

Dans la seconde des équations (38-17), remplaçons ${\frac {d\varphi }{dt}}$ par sa valeur ${\frac {h(1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2})}{\mathbf {r} ^{2}}}$ tirée de la première équation ; nous obtenons l’expression du carré de la vitesse radiale

(40-17)

$\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)^{2}=\left(1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}\right)^{2}\left(\mathrm {K} -{\frac {1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}}{\mathbf {r} ^{2}}}h^{2}\right).$

Enfin l’équation (37-17) de la géodésique prend la forme

$\mathbf {r} \cos(\varphi -\varphi _{0})=$ const.

ce qui montre que, pour l’observateur, la trajectoire du mobile libre est une ligne droite.

Étudions particulièrement le cas de la lumière. Faisant $ds=0$ dans l’expression (32-17), nous obtenons

(41-17)

${\frac {1}{\left(1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}\right)^{2}}}\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)^{2}+{\frac {1}{1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}}}\mathbf {r} ^{2}\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}=c^{2}.$

Soient $c_{1}$ la vitesse de la lumière, $\alpha$ l’angle de la tangente au rayon lumineux et du rayon vecteur, on a, pour les composantes radiale et transversale de la vitesse,

${\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=c_{1}\cos \alpha ,\qquad \mathbf {r} {\frac {d\varphi }{dt}}=c_{1}\sin \alpha .$

L’expression (41-17) s’écrit donc

${\frac {\cos ^{2}\alpha }{\left(1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}\right)^{2}}}c_{1}^{2}+{\frac {\sin ^{2}\alpha }{1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}}}c_{1}^{2}=c^{2}.$

D’où l’on tire

(42-17)

$c_{1}=c{\frac {1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}}{\sqrt {1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}\sin ^{2}\!\alpha }}}\cdot$

On pourrait aussi démontrer que l’équation du rayon lumineux est

$\sin \alpha ={\frac {\mathrm {A} }{\mathbf {r} }}\quad$ ($\mathrm {A}$ étant une constante),

c’est-à-dire que, pour l’observateur, la lumière se propage en ligne droite^[15], mais avec une vitesse apparente $c_{1}$ d’autant plus grande que l’onde lumineuse est plus éloignée.

Les points de la région $\chi ={\frac {\pi }{2}}$ se projettent à l’infini ; par contre, les points tels que $\mathrm {P} '$ situés près du point antipode $\mathrm {O} '\,(\chi =\pi )$ se projettent en $\mathrm {P}$ près de l’observateur^[16]. Les astres en réalité les plus éloignés $(r=\pi \mathrm {U} )$ pourraient donner l’illusion d’astres rapprochés ; ils nous apparaîtraient à l’antipode de la position qu’ils occupaient, il y a des billions ou des trillions d’années peut-être,

Fig. 21.

lorsque la lumière en est partie. Mais nous avons dit que la lumière est probablement absorbée dans un si long parcours, et nous pouvons répéter ici les objections faites à l’hypothèse des anti-étoiles.

110. Hypothèse de de Sitter^[17]. La courbure du temps.
L’Espace-Temps hyperbolique.

Étudions maintenant la solution de de Sitter (24-17, 26-17).

(43-17)

$ds^{2}=-\mathrm {U} ^{2}\left[d\chi ^{2}\!+\sin ^{2}\!\chi \left(d\theta ^{2}\!+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2}\right)\right]+\cos ^{2}\!\chi c^{2}dt^{2},$

$\chi ={\frac {r}{\mathrm {U} }}\cdot$

La différence avec la solution d’Einstein porte uniquement sur le dernier terme, $g_{44}$ étant égal à $\cos ^{2}\!\chi$ au lieu de $1\,:$ il en résulte une profonde modification dans la conception de l’Univers.

La « coupe à temps constant » $dt=0$ est, comme dans l’hypothèse d’Einstein, un espace sphérique (ou elliptique)

(44-17)

$dl^{2}=\mathrm {U} ^{2}\left[d\chi ^{2}\!+\sin ^{2}\!\chi \left(d\theta ^{2}\!+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2}\right)\right],$

mais il y a aussi une courbure du temps.

Une autre interprétation de l’équation (43-17) s’obtient en faisant le changement de coordonnées suivant :

(45-17)

$\left\{{\begin{aligned}\sin \chi &=\sin \zeta \sin \omega ,\\\operatorname {tang} {\frac {{\sqrt {-1}}\,ct}{\mathrm {U} }}&=\cos \zeta \operatorname {tang} \omega .\end{aligned}}\right.$

On obtient ainsi

(46-17)

$ds^{2}=-\mathrm {U} ^{2}\left\{d\omega ^{2}\!+\sin ^{2}\!\omega \left[d\zeta ^{2}\!+\sin ^{2}\!\zeta \left(d\theta ^{2}\!+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2}\right)\right]\right\}.$

ce qui peut être interprété comme étant l’équation, en coordonnées sphériques $(\omega ,$ $\zeta ,$ $\theta ,$ $\varphi )$ d’une hypersphère de rayon $\mathrm {U}$ dans une multiplicité pseudo euclidienne à cinq dimensions. L’Espace-Temps quadridimensionnel qui limite l’hypersphère à cinq dimensions est l’analogue de l’espace tridimensionnel dans l’hypothèse d’Einstein, avec cette différence qu’une des coordonnées est imaginaire et qu’il ne faut chercher dans la formule (46-17) aucune représentation réelle.

En changeant l’azimut de $\zeta ,$ on fait une opération correspondante à la rotation de l’axe du temps dans la théorie de Minkowski (n^o 28). Il n’y a plus de temps d’Univers absolu : l’espace et le temps restent unis ; à ce point de vue, le principe de relativité est mieux satisfait que dans l’hypothèse d’Einstein.

Si l’on veut garder des coordonnées réelles, la forme de l’Univers est celle d’un hyperboloïde dans une multiplicité à cinq dimensions.

Écrivons, en effet, $\omega =\,{\sqrt {-1}}\,\omega ',$ $\zeta ={\sqrt {-1}}\,\zeta ',$ nous obtenons

$ds^{2}=\mathrm {U} ^{2}\left\{d\omega '^{2}-\operatorname {sh} ^{2}\!\omega '\left[d\zeta '^{2}+\operatorname {sh} ^{2}\!\zeta '\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2}\right)\right]\right\}.$

Posons

${\begin{aligned}\mathbf {r} &=\mathrm {U} \operatorname {sh} \omega '\operatorname {sh} \zeta ',&z&=\mathbf {r} \cos \psi ,\\x&=\mathbf {r} \sin \psi \sin \varphi ,&\mathbf {t} &=\mathrm {U} \operatorname {sh} \omega '\operatorname {ch} \zeta ',\\y&=\mathbf {r} \sin \psi \cos \varphi ,&u&=\mathrm {U} \operatorname {ch} \omega '.\end{aligned}}$

L’expression de $ds^{2}$ devient

$ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}-du^{2}+d\mathbf {t} ^{2},$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}-\mathbf {t} ^{2}=\mathrm {U} ^{2},$

ce qui est l’équation d’un hyperboloïde à une nappe dans la multiplicité à cinq dimensions $x,\,y,\,z,\,u,\,\mathbf {t} .$

Les $g_{\mu \nu }$ de l’équation (46-17) vérifient les équations de la loi de la gravitation (22-17) sous les conditions

(47-17)

$\rho =0,\qquad \lambda ={\frac {3}{\mathrm {U} ^{2}}},$

$\rho$ étant la densité moyenne de la matière.

À première vue, la condition $\rho =0$ peut paraître inadmissible, puisqu’il y a de la matière dans l’espace, et que l’espace (44-17) est fini. Voici l’interprétation : nous avons, en écrivant les équations (22-17), considéré l’aspect ultra-macroscopique, la forme d’ensemble de l’Univers, abstraction faite des condensations et irrégularités locales. Les conditions précédentes signifient que l’Univers a une courbure naturelle qui n’est pas conditionnée par la matière mondiale. La matière intervient seulement pour modifier localement la courbure, sans changer la courbure d’ensemble et sans modifier le rayon $\mathrm {U} .$ En d’autres termes l’Espace-Temps a une existence et une forme d’ensemble indépendantes de la matière qu’il contient ; cette matière viendrait à être détruite, l’Espace-Temps subsisterait avec le même rayon ; seules, les rides dues aux condensations locales disparaîtraient.

La différence avec la conception d’Einstein est radicale : dans l’hypothèse d’Einstein ${\bigg (}\varkappa \rho =2\lambda ,$ $\lambda ={\frac {1}{\mathrm {U} ^{2}}}{\bigg )},$ c’est la matière mondiale qui détermine la courbure moyenne de l’espace (de l’espace seul, puisque le temps est rectiligne). L’hypothèse d’Einstein nécessite l’existence de quantités de matière de beaucoup supérieures à celles que nous connaissons (ce qui n’a, d’ailleurs, rien d’invraisemblable) ; l’hypothèse de de Sitter ne conduit plus du tout à cette nécessité.

Il convient d’insister sur la différence entre l’espace d’Einstein et celui de de Sitter, tous deux représentés par la même équation

$dl^{2}=\mathrm {U} ^{2}\left[d\chi ^{2}+\sin ^{2}\!\chi (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2})\right]\,;$

l’espace d’Einstein a une courbure moyenne $\mathrm {R} ={\frac {6}{\mathrm {U} ^{2}}}=6\lambda ,$ mais cette courbure n’est pas la courbure $4\lambda$ dans le vide ; la courbure moyenne n’est donc pas égale à la courbure de la majeure partie des régions de l’espace ; presque partout, la courbure est seulement $4\lambda .$ Nous voyons ainsi que la matière, qui détermine la courbure de l’espace, intervient en produisant des sortes de plissements par lesquels la forme de l’espace est brusquement changée de distance en distance, de manière que l’espace se ferme en prenant une forme quasi-sphérique de courbure moyenne $6\lambda .$ Au contraire, dans l’hypothèse de de Sitter, nous avons une courbure moyenne $\mathrm {R} ={\frac {12}{\mathrm {U} ^{2}}}=4\lambda ,$ précisément égale à la courbure constante dans les régions vides de matière. L’espace n’est pas quasi-sphérique, il est bien sphérique (ou elliptique) avec seulement des rides locales, très disséminées, dues à la présence de matière, rides qu’on peut, si l’on cherche une image, comparer au relief du sol.

Conséquences de la courbure du temps. — Revenons à l’équation (43-17), la position de l’observateur étant prise pour origine des $r=\mathrm {U} \chi .$ Pour un point fixe dans l’espace, on a $d\chi =0,$ $d\theta =0,$ $d\varphi =0\,;$ la formule se réduit à

$ds=\cos \chi \,c\,dt$

ou

(48-17)

$d\tau =\cos \chi \,dt\,;$

$dt$ est l’intervalle de temps mesuré par l’observateur. Cet intervalle mesuré est d’autant plus grand par rapport à l’intervalle de temps propre $d\tau$ que $\cos \chi$ est plus petit : le temps qui s’écoule en un même point d’espace, entre deux événements, paraît donc à l’observateur d’autant plus long que la région qu’il observe est plus voisine de la zone $\chi ={\frac {\pi }{2}}$ à la distance $r={\frac {1}{2}}\pi \mathrm {U} .$ Dans la zone $r={\frac {1}{2}}\pi \mathrm {U} ,$ le temps est stationnaire pour l’observateur, car $dt$ est infiniment grand par rapport à $ds.$

Mais ceci n’est qu’un point de vue relatif à l’observateur et ne signifie pas que le cours du temps soit arrêté dans la zone $\chi ={\frac {\pi }{2}}\,;$ si l’observateur se transportait dans ces régions, il trouverait, suivant l’expression d’Eddington, que la Nature y est aussi active que partout ailleurs, et c’est son ancienne demeure qui lui paraîtrait immobilisée dans un repos éternel.

Cette apparence est due à l’orthogonalité des temps propres aux deux endroits distants de ${\frac {1}{2}}\pi \mathrm {U} .$ Nous allons préciser l’influence de la courbure du temps en étudiant le mouvement d’un point matériel libre.

Comme précédemment, nous considérerons successivement les deux systèmes de coordonnées

$\quad r=\mathrm {U} \chi ,\quad \theta ,\quad \varphi ,\quad ct$ ($r,$ coordonnées curvilignes)

et

$\mathbf {r} =\mathrm {U} \operatorname {tang} \chi ,\quad \theta ,\quad \varphi ,\quad ct$ (projection sur l’Univers tangent)

Si nous adoptons le premier système, l’expression de $ds^{2}$ s’écrit, d’après (24-17) ou (43-17),

(49-17)

$ds^{2}=-dr^{2}-\mathrm {U} ^{2}\sin ^{2}\!\chi (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2})+\cos ^{2}\!\chi \,c^{2}dt^{2}.$

Appliquant les équations du mouvement (33-17), calculant les symboles de Christoffel d’après les valeurs des $g_{\mu \nu }$ de (49-17), on trouve, pour les intégrales des aires et de l’énergie,

(50-17)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {U} ^{2}\operatorname {tang} ^{2}\!\chi \left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)&=h.\\\!\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{\!2}\!\!+\mathrm {U} ^{2}\sin ^{2}\!\chi \left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{\!2}\!\!&=c^{2}\sin ^{2}\!\chi \cos ^{2}\!\chi +(k\!+\!\varepsilon h^{2})\cos ^{4}\!\chi ,\end{aligned}}\right.$

en posant, comme précédemment, $\varepsilon ={\frac {1}{\mathrm {U} ^{2}}},$ et en choisissant les

coordonnées de manière que $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ et que ${\frac {d\theta }{dt}}=0.$ $h$ et $k$ sont

des constantes d’intégration.

Le premier membre de la seconde équation est le carré de la vitesse. Nous trouvons un résultat très curieux pour le surobservateur qui adopterait la coordonnée distance $r,$ la vitesse d’un mobile libre ne reste pas constante. Près de l’observateur $(\chi =0),$ la vitesse est sensiblement $v={\sqrt {k}},$ puis, à mesure que le mobile s’éloigne, $\chi$ augmente, et si la vitesse $v={\sqrt {k}}$ est très petite par rapport à $c$ (ce qui est toujours le cas pour les masses matérielles), le premier terme du second membre devient prépondérant ; la vitesse croît jusque dans la région $\chi ={\frac {\pi }{4}},$ où elle devient, à peu de chose près, ${\frac {c}{2}}\cdot$ Ensuite, le mobile continuant à s’éloigner, sa vitesse décroît et tend vers zéro à mesure qu’il s’approche de la zone $\chi ={\frac {\pi }{2}}$ $\left(r={\frac {1}{2}}\pi \mathrm {U} \right):$ dans cette zone, tout est immobile.

La lumière elle-même est arrêtée dans la zone du temps stationnaire : reportons-nous, en effet, à l’expression (49-17) et faisons $ds=0$ ${\bigg (}$avec $\theta ={\frac {\pi }{2}},$ $d\theta =0{\bigg )},$ nous obtenons

(51-17)

$\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}\!+\mathrm {U} ^{2}\sin ^{2}\!\chi \left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}\!=\cos ^{2}\!\chi \,c^{2}.$

la vitesse de la lumière $c\cos \chi ,$ décroît progressivement de $c$ à $0,$ lorsque $\chi$ augmente de $0$ à ${\frac {\pi }{2}}\cdot$

Nous pouvons imaginer qu’un surobservateur à quatre dimensions d’espace, ayant la perception directe de la courbure de l’espace, utiliserait la coordonnée curviligne $r\,;$ pour lui, la distance serait $r$ et il mesurerait les vitesses que nous venons de calculer ; il envisagerait l’Univers sous l’aspect fantastique que voici : la Nature lui paraîtrait avoir une activité de plus en plus grande à mesure que les régions observées seraient plus lointaines, jusqu’à la zone distante de ${\frac {1}{4}}\pi \mathrm {U} \,;$ dans cette zone, tous les mobiles (quelque petites que fussent leurs vitesses locales) auraient une vitesse colossale, au moins égale à ${\frac {c}{2}},$ mais ne pouvant en tous cas jamais dépasser la vitesse apparente ${\frac {c}{\sqrt {2}}}$ de la lumière ; puis, au delà, l’activité semblerait diminuer et tout mouvement s’éteindrait dans la zone $r={\frac {1}{2}}\pi \mathrm {U} .$

Pour l’homme tridimensionnel, qui ne connaît que la projection de l’Univers réel sur l’Univers tangent au point où il se trouve, l’aspect des choses est bien différent. Pour cet observateur, la distance d’un objet est $\mathbf {r} =\mathrm {U} \operatorname {tang} \chi \,;$ adoptons maintenant cette coordonnée, l’expression de $ds^{2}$ devient

(52-17)

$ds^{2}=-{\frac {d\mathbf {r} ^{2}}{(1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2})^{2}}}-{\frac {\mathbf {r} ^{2}(d\theta ^{2}\!+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2})}{(1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2})}}+{\frac {c^{2}dt^{2}}{1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}}}\cdot$

On a

$r=\mathrm {U} \chi ,\qquad \mathbf {r} =\mathrm {U} \operatorname {tang} \chi ,\qquad {\frac {dr}{dt}}=\cos ^{2}\!\chi {\frac {d\mathbf {r} }{dt}},$

de sorte que les équations (50-17) sont remplacées par les suivantes :

(53-17)

$\left\{{\begin{aligned}\mathbf {r} ^{2}{\frac {d\varphi }{dt}}&=h,\\\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)^{2}\!&+\mathbf {r} ^{2}\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}\!=c^{2}\varepsilon \mathbf {r} ^{2}+k.\end{aligned}}\right.$

Si un mobile, dont la vitesse est voisine de ${\sqrt {k}}$ près de l’origine, s’éloigne à l’infini, c’est-à-dire si $\chi$ tend vers ${\frac {\pi }{2}},$ sa vitesse mesurée croît indéfiniment.

Dans le cas de la lumière, $ds=0,$ on a donc^[18]

$\left({\text{pour}}\;\theta ={\frac {\pi }{2}},\;{\frac {d\theta }{dt}}=0\right),\qquad$ [d’après (52-17)],

${\frac {1}{1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}}}\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)^{2}\!+\mathbf {r} ^{2}\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}\!=c^{2}.$

Soit $\alpha$ l’angle du rayon vecteur et de la tangente au rayon lumineux ; on a

${\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=c_{1}\cos \alpha ,\qquad \mathbf {r} {\frac {d\varphi }{dt}}=c_{1}\sin \alpha ,$

et l’expression précédente donne pour la vitesse mesurée $c_{1}$ de la lumière

(55-17)

$c_{1}=c{\sqrt {\frac {1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}}{1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}\sin ^{2}\!\alpha }}}\cdot$

Or

$\sin \alpha$	$={\frac {\mathbf {r} }{c_{1}}}{\frac {d\varphi }{dt}}\quad$
	$={\frac {h}{c_{1}\mathbf {r} }}$	[d’après la première des équations (53-17)],

remplaçant $c_{1}$ par sa valeur (55-17), on obtient la trajectoire du rayon lumineux (trajectoire repérée par l’observateur, qui s’imagine que le rayon est dans l’Univers tangent)

(56-17)

$\sin \alpha ={\frac {h}{\mathbf {r} {\sqrt {c^{2}(1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2})-\varepsilon h^{2}}}}}\cdot$

À mesure que $\mathbf {r}$ augmente ${\Big (}\!$c’est-à-dire que $\chi$ tend vers ${\frac {\pi }{2}}{\Big )},$ $\alpha$ tend vers zéro, et la vitesse de la lumière devient infinie pour $\mathbf {r}$ infini.

La trajectoire du rayon lumineux n’est une ligne droite que dans le cas d’une propagation radiale, et pour une propagation radiale $(\alpha =0)$ la vitesse mesurée de la lumière est $c{\sqrt {1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}}}.$

Imaginons maintenant qu’une onde lumineuse parte du lieu où se trouve l’observateur ; sa vitesse (vitesse radiale) croît indéfiniment suivant la loi précédente ; cependant, pour que la lumière parvienne à l’infini ${\Big (}\!$zone $\chi ={\frac {\pi }{2}}{\Big )},$ il faut un temps infini

(57-17)

$\mathrm {T} ={\frac {\mathrm {U} }{c}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sec \chi \,d\chi =\infty \,;$

a fortiori, un mobile matériel demandera un temps infini pour atteindre la zone $\chi ={\frac {\pi }{2}}\cdot$

Alors, plus d’anti-soleil, plus d’anti-étoiles, car dans la zone $\chi ={\frac {\pi }{2}}$ il y a la barrière du temps : pour l’observateur, jamais un mobile, jamais un rayon de lumière ne franchiront cette barrière, jamais ils ne reviendront. Et pourtant, si l’on pouvait mesurer la vitesse d’un mobile à mesure qu’il s’éloigne, on trouverait que cette vitesse croît indéfiniment. C’est bien, pour l’homme, l’illusion complète d’un Univers infini dans l’espace comme il est infini dans le temps.

111. L’effet Doppler.

L’hypothèse d’Einstein et celle de de Sitter conduisent à des résultats profondément différents pour l’effet Doppler.

Effet Doppler dans l’Univers d’Einstein. — Soit une source lumineuse possédant un mouvement dirigé radialement par rapport à l’observateur. La vitesse $v={\frac {dr}{dt}}$ étant constante, ainsi que la vitesse $c$ de la lumière, il n’y a aucune raison de trouver (en moyenne) pour les astres très lointains un effet Doppler d’un autre ordre de grandeur que pour les étoiles les plus voisines de notre système.

En raisonnant avec la coordonnée $\mathbf {r}$ (espace tangent) on arrive, bien entendu, à la même conclusion. Soient $\tau$ la période propre de la source, $\mathrm {T}$ la période apparente, $v$ la vitesse ${\frac {dr}{dt}},$ $v_{1}$ sa vitesse apparente ${\frac {d\mathbf {r} }{dt}},$ $c_{1}$ la vitesse apparente de la lumière pour l’observateur. On a, comme dans la théorie donnée au n^o 29,

(58-17)

$\mathrm {T} ={\frac {\tau }{\sqrt {1-{\dfrac {v_{1}^{2}}{c_{1}^{2}}}}}}\left(1\pm {\frac {v_{1}}{c_{1}}}\right)\,;$

or l’on a

$v_{1}=(1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2})v\qquad$	[d’après (40-17) (où $h=0$)],
$c_{1}=(1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2})c$	[d’après (42-17)],

${\frac {v_{1}}{c_{1}}}={\frac {v}{c}}\cdot$ L’effet Doppler est le même quelle que soit la distance.

Effet Doppler dans l’Univers de de Sitter. — 1^o Si la source était immobile par rapport à l’observateur, sa période apparente serait ${\frac {\tau }{\cos \chi }}\cdot$

Le ralentissement apparent du temps à la distance $\mathbf {r} =\mathrm {U} \operatorname {tang} \chi$ (ou $r=\mathrm {U} \chi$) doit donc avoir pour effet un déplacement systématique des raies spectrales vers le rouge, d’autant plus grand que la source est plus éloignée.

2^o Si la source est en mouvement, un effet Doppler proprement dit doit se manifester à partir de la position de la raie déjà modifiée par la cause précédente.

Supposons un déplacement radial $(h=0)$ et adoptons la coordonnée $\mathbf {r}$ (la coordonnée $r$ conduirait d’ailleurs au même résultat).

La formule de l’effet Doppler est

$\mathrm {T} ={\frac {\tau }{\sqrt {1-{\dfrac {v_{1}^{2}}{c_{1}^{2}}}}}}\left(1\pm {\frac {v_{1}}{c_{1}}}\right)$

et l’on a

$v_{1}^{2}=c^{2}\varepsilon \mathbf {r} ^{2}+k=c^{2}\operatorname {tang} ^{2}\!\chi +k\qquad$	[d’après (53-17)],
$c_{1}=c{\sqrt {1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}}}=c{\sqrt {1+\operatorname {tang} ^{2}\!\chi }}\qquad$	[d’après (55-17) où $\alpha =0$].

D’où l’on déduit facilement

(59-17)

$\;\mathrm {T} =\tau {\frac {1}{\cos \chi }}{\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {k}{c^{2}}}}}}\left(1\pm {\sqrt {\sin ^{2}\!\chi +{\frac {k}{c^{2}}}\cos ^{2}\!\chi }}\right).$

Pour la zone $\chi ={\frac {\pi }{4}},$ ${\frac {k}{c^{2}}}$ étant négligeable vis-à-vis de 1 et de $\sin ^{2}\!\chi ,$ on aurait

$\mathrm {T} =\tau \left({\sqrt {2}}\pm 1\right)=$

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}\right.$

$2,414\tau \;$

pour une source qui s’éloignerait,

$0,414\tau \;$

pour une source qui se rapprocherait

et pour la zone $\chi ={\frac {\pi }{2}}$ toutes les périodes apparentes deviendraient infinies.

Si l’hypothèse de de Sitter est conforme à la réalité, pour les astres les plus lointains que nous connaissions ${\Big (}$qui n’ont certainement pas atteint la région $\chi ={\frac {\pi }{4}}{\Big )},$ on doit s’attendre à trouver, en moyenne, un effet Doppler plus grand que pour les étoiles voisines de notre système, et si l’on admet que les vitesses radiales n’ont pas de préférence de sens, le ralentissement apparent du temps doit donner, en moyenne, un déplacement des raies vers le rouge.

Précisément, celles des nébuleuses spirales que les astronomes considèrent comme situées à des distances énormes présentent, en général, un effet Doppler considérable. Voici trois exemples :

Nébuleuse d’Andromède

−1311

km : sec

(rapprochement)

N. G. C. 1068

+1925

km : sec

$\left.{\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}\right\}$

(éloignement)

N. G. C. 4594

+1185

km : sec

Ces chiffres sont les vitesses radiales calculées d’après la formule habituelle $\mathrm {T} =\tau \left(1\pm {\frac {v_{\mathrm {R} }}{c}}\right)\,;$ elles sont beaucoup plus grandes que les vitesses observées pour les étoiles rapprochées. Il est bien possible que ces grandes valeurs de l’effet Doppler soient la manifestation de la courbure du temps, déjà sensible sur de si grandes distances.

Il semble bien aussi qu’il y ait, dans l’ensemble des observations, une prédominance des déplacements des raies vers le rouge. Si un tel déplacement systématique était établi avec certitude, par la moyenne d’un grand nombre d’observations, l’hypothèse de de Sitter devrait être préférée à celle d’Einstein. Pour le moment, il convient de rester dans l’expectative.

112. Les conditions à l’infini.

Dans l’Univers tangent, prenons des coordonnées cartésiennes rectangulaires

${\begin{aligned}\mathrm {X} _{1}&=r\sin \theta \sin \varphi ,\\\mathrm {X} _{2}&=r\sin \theta \cos \varphi ,\\\mathrm {X} _{3}&=r\cos \theta ,\\\mathrm {X} _{4}&=ct.\end{aligned}}$

Si l’on effectue cette transformation dans les formules

$ds^{2}=$	$-{\frac {d\mathbf {r} ^{2}}{(1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2})^{2}}}-{\frac {\mathbf {r} ^{2}(d\theta ^{2}\!+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2})}{(1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2})}}+c^{2}dt^{2}$
(Univers d’Einstein),
$ds^{2}=$	$-{\frac {d\mathbf {r} ^{2}}{(1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2})^{2}}}-{\frac {\mathbf {r} ^{2}(d\theta ^{2}\!+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2})}{(1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2})}}+{\frac {c^{2}dt^{2}}{(1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2})}}$
(Univers de Sitter),

on trouve que pour $\mathbf {r} =0,$ c’est-à-dire dans le voisinage immédiat de l’observateur, les $g_{\mu \nu }$ ont les valeurs galiléennes

	Galilée.
(60-17)	$\left\{{\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&+1\\\end{matrix}}\right.$

mais qu’à l’infini $(r=\infty ),$ les $g_{\mu \nu }$ dégénèrent et prennent les valeurs suivantes :

	Einstein.		De Sitter.
(61-17)	$\left\{{\begin{matrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&+1\\\end{matrix}}\right.$	(62-17)	$\left\{{\begin{matrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{matrix}}\right.$

Est-ce là une objection à ces théories ? Non, bien au contraire, le résultat est très satisfaisant, comme nous allons le montrer.

Les équations qui expriment la loi de la gravitation sont des équations aux dérivées partielles qui ne déterminent les $g_{\mu \nu }$ qu’à des fonctions près, et ces fonctions sont elles-mêmes déterminées par les conditions aux limites, c’est-à-dire par les conditions à l’infini $($à l’infini pour l’observateur, $\mathbf {r} =\infty ).$

Revenons, pour un instant, à la loi primitive d’Einstein $(\lambda =0)\,;$ l’Espace-Temps est supposé euclidien à distance infinie de toute matière. Admettons que l’observateur puisse choisir un système de référence dans lequel, en coordonnées rectangulaires, les $g_{\mu \nu }$ aient, à l’infini, les valeurs galiléennes. Si maintenant l’observateur change de système de référence, en rapportant les événements à un système accéléré par rapport au premier, les valeurs limites des $g_{\mu \nu }$ ne restent pas invariantes. L’observateur peut donc distinguer les divers systèmes par les valeurs limites des $g_{\mu \nu },$ et les systèmes pour lesquels les $g_{\mu \nu }$ ont des valeurs galiléennes apparaissent comme plus remarquables que les autres, parce que les valeurs aux limites sont les plus simples.

Mais cette variabilité des conditions aux limites à distance infinie de toute matière est inadmissible, car dans l’espace vide et géométriquement homogène (euclidien), rien ne peut distinguer un système d’un autre. Il est nécessaire que les valeurs limites des $g_{\mu \nu }$ soient indépendantes du système de référence.

Cette condition d’invariance aux limites est la raison profonde pour laquelle Einstein a modifié la loi qu’il avait d’abord donnée : elle l’a conduit à introduire le terme $\lambda g_{\mu \nu },$ et à émettre l’hypothèse de l’espace fermé. Les considérations basées sur les propriétés du tenseur d’énergie électromagnétique n’ont été données que plus tard par Einstein.

On peut envisager la question sous un autre aspect. Il n’y a pas de différence essentielle entre la gravitation et l’inertie : leurs effets combinés se traduisent par l’existence du tenseur fondamental $g_{\mu \nu }.$ Nous savons qu’au voisinage d’une masse matérielle, les $g_{\mu \nu }$ sont légèrement modifiés, mais dans les valeurs totales des $g_{\mu \nu },$ doit-on faire la part de l’effet de la matière mondiale et de quelque chose qu’on pourrait appeler de l’inertie pure ? cette dernière part serait donnée par les valeurs des $g_{\mu \nu }$ à l’infini.

Comme dit Einstein^[19] : « Dans une théorie logique de la relativité, il ne peut y avoir une inertie relativement à l’« espace » ; il n’y a qu’une inertie des masses par rapport aux autres masses. Si l’on éloignait une masse à distance infinie des autres masses, son inertie devrait s’annuler. »

D’après ce postulat de la relativité de l’inertie, les $g_{\mu \nu }$ doivent s’annuler à l’infini.

La solution de de Sitter (62-17) répond seule à cette condition, du moins d’une façon complète. C’est la relativité dans toute sa plénitude. Les valeurs limites des $g_{\mu \nu }$ sont nulles pour toutes les transformations.

Dans la solution d’Einstein (61-17) les valeurs limites des $g_{\mu \nu }$ sont invariantes pour toutes les transformations pour lesquelles (à l’infini) $t'=t.$ Le système d’Einstein ne satisfait au postulat de la relativité que si ce postulat est appliqué à l’espace tridimensionnel ; en d’autres termes : si nous concevons qu’un espace $(x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3})$ avec de la matière mondiale soit en mouvement dans un espace absolu, ce mouvement ne peut pas être décelé ; tous les mouvements observables sont relatifs à l’espace $(x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3})$ avec sa matière mondiale, et non relatifs à l’espace absolu. La matière mondiale vient ainsi remplacer l’espace absolu de la théorie de Newton et constitue un « système d’inertie ». La relativité de l’inertie n’est obtenue qu’en envisageant un « temps d’Univers absolu ». Quant au temps mesuré, il diffère plus ou moins de ce temps absolu, selon l’état de mouvement de l’observateur par rapport au système d’inertie.

113. L’accélération et la rotation.

Dès le début de la théorie de la relativité, nous avons insisté sur le fait que toute accélération semble posséder un caractère absolu. Alors qu’on ne peut pas mettre en évidence un mouvement de translation uniforme de la Terre dans l’espace, le compas gyroscopique permet de déterminer les pôles de la Terre, l’expérience de Foucault permet de mesurer sa rotation, et cette rotation est la même que celle qu’on observe d’après le mouvement apparent des étoiles.

L’explication est la suivante : les lignes d’Univers naturelles ou géodésiques ont une signification absolue dans l’Espace-Temps : elles sont déterminées par la structure géométrique de l’Univers. En tout point-événement d’Univers, il existe un Univers tangent, l’Univers euclidien de l’observateur en chute libre ; dans un système de référence lié à cet observateur, ou dans un système en translation uniforme par rapport à lui, les géodésiques peuvent être à très peu près confondues avec des droites d’Univers dans une grande étendue. Le mouvement de translation uniforme n’a aucun caractère absolu parce qu’il conserve aux géodésiques leur forme rectiligne : il ne peut pas être déterminé par rapport aux géodésiques. Au contraire, toute accélération et en particulier toute rotation par rapport à ces lignes d’Univers a une réalité objective : c’est cette réalité qui est observée avec le pendule de Foucault dans le cas de la Terre.

« La vitesse, dit Eddington^[20], c’est le rapport de certaines composantes de $\mathrm {T} _{\mu \nu }$ deux à deux ; elle n’existe que si $\mathrm {T} _{44}$ n’est pas nul. La matière (ou l’énergie électromagnétique) est donc la seule chose qui puisse avoir une vitesse par rapport au système de référence. La vitesse de la structure d’Univers c’est-à-dire des régions où $\mathrm {T} _{\mu \nu }$ s’annule, est de la forme indéterminée ${\tfrac {0}{0}}\cdot$ Au contraire, l’accélération et la rotation sont définies au moyen des $g_{\mu \nu },$ elles existent partout où ceux-ci existent ; la structure d’Univers a par suite une accélération et une rotation bien déterminées par rapport au système de référence. »

La structure d’Univers étant entièrement fixée par la matière mondiale, on peut dire encore que l’accélération et la rotation sont relatives à l’ensemble de cette matière, relatives au système que nous avons appelé plus haut système d’inertie.

On voit que l’accélération est une entité plus simple et d’un caractère bien plus universel que la vitesse ; l’accélération peut être définie partout ; la vitesse ne se rencontre que dans les régions où la présence de matière vient compliquer la structure.

114. La structure d’Univers et l’éther.

L’Univers possède une structure géométrique connexe de la présence de matière, puisque le champ de gravitation qui règne au voisinage de la matière n’est autre chose qu’une déformation de l’espace et du temps. Dans la matière (envisagée sous l’aspect macroscopique), la variation de courbure est proportionnelle à la densité $\left(\mathrm {R} -\mathrm {R} _{0}=\varkappa \rho _{0}\right)\,;$ dans le vide, l’espace et le temps sont modifiés par le voisinage de la matière, bien que la courbure totale soit partout la même $\left(\mathrm {R} =\mathrm {R} _{0}\right).$

Si l’on cherche à préciser la relation qui doit exister entre la structure de l’Espace-Temps et la matière, deux points de vue opposés peuvent être envisagés.

1^o On peut attribuer à la matière, ou plus exactement aux électrons qui la composent, un rôle primordial. Ce point de vue paraît conforme à la conception de l’Univers cylindrique d’Einstein. En effet, dans l’hypothèse d’Einstein, la courbure d’ensemble de l’Univers est déterminée par la quantité totale de matière existante [(30-17), n^o 109]

$\mathrm {U} ={\frac {\varkappa }{4\pi ^{2}}}\mathrm {M} ,$

de sorte que, si par un miracle de la matière venait à être créée dans l’espace existant, le volume de l’espace augmenterait ; la matière crée, en quelque sorte, l’espace qui la contient, et s’il n’y avait pas de matière, il n’y aurait pas d’Univers. L’influence de la matière est probablement plus compliquée qu’il ne semble à première vue d’après la formule précédente, car $\varkappa$ dépend sans doute de $\mathrm {M}$.

2^o Une autre théorie, soutenue par Eddington, est la suivante : « Je préfère, dit Eddington, regarder la matière et l’énergie, non pas comme des facteurs produisant les différents degrés de courbure de l’espace, mais comme des éléments de perception de cette courbure. »

Cette manière de voir est en accord avec la solution de de Sitter, puisque $\rho =0$ signifie que la matière existante n’intervient en rien pour déterminer la courbure totale dans toute région vide, et n’influe pas sur la force d’ensemble, ni sur les dimensions de l’Univers. L’Univers a une courbure naturelle ; la matière correspond, localement, à des sortes de montagnes ou de rides, mais dans son ensemble l’Univers est bien moins altéré par les irrégularités locales que ne l’est la Terre par le relief du sol. D’après cette théorie, on pourrait concevoir un Univers vide de matière.

Dans cette hypothèse de la courbure naturelle, les lois deviennent, conformément à la conception déjà indiquée (n^os 83 et 103), des identifications de grandeurs physiques avec des grandeurs géométriques et l’on peut les considérer comme des définitions des grandeurs physiques (Eddington).

Si la courbure totale est $\mathrm {R} _{0}$ $\left(\mathrm {R} _{0}={\frac {12}{\mathrm {U} ^{2}}}\right)$ et si, de plus, le tenseur $\mathrm {R} _{\mu \nu }-{\frac {1}{4}}\mathrm {R} _{0}g_{\mu \nu }$ est nul, nous disons qu’il y a le vide ; cette structure se manifeste à nous sous un aspect particulier que nous appelons le vide : c’est une définition du vide. Si maintenant la courbure totale est $\mathrm {R} _{0},$ mais si $\mathrm {R} _{\mu \nu }$ n’est plus égal à ${\frac {1}{4}}\mathrm {R} _{0}g_{\mu \nu },$ nous disons qu’il y a de l’énergie libre (énergie électromagnétique) ; enfin, si dans une région la courbure totale $\mathrm {R}$ est différente de la courbure $\mathrm {R} _{0}$ du vide, nous sommes en présence d’une structure géométrique que nos sens distinguent des autres structures et nous exprimons nos sensations en disant que la région considérée est remplie de matière ; le scalaire géométrique ${\frac {1}{\varkappa }}\left(\mathrm {R} -\mathrm {R} _{0}\right)$ est une grandeur qui s’identifie avec la grandeur physique que nous appelons la densité propre $\rho _{0}.$

« La matière est un indice, dit Eddington, et non une cause… La matière et le mouvement sont des aspects de la courbure d’Univers… La loi de gravitation (la loi dans le vide) n’est pas une loi, si l’on entend par ce mot une limitation de la manière dont peut se comporter le substratum universel ; ce n’est simplement qu’une définition du vide. Nous n’avons pas besoin de considérer la matière comme une entité étrangère, cause de perturbations dans le champ de gravitation ; la perturbation, c’est la matière elle-même. »

Le rôle primordial est donc attribué à l’Espace-Temps, dont les divers états de structure nous apparaissent sous des aspects que nos sens distinguent les uns des autres, et auxquels nous avons donné les noms de vide, rayonnement, matière.

Cette manière de voir est très séduisante par sa logique et sa simplicité.

C’est un retour à l’hypothèse d’un « substratum universel », de l’éther par conséquent, mais combien cet éther est différent de celui des anciennes théories !

On avait admis autrefois que l’espace était rempli d’un milieu qui propageait la lumière par déformations élastiques, comme la matière propage le son. On avait été conduit à attribuer à l’éther des propriétés quasi matérielles. Cependant personne ne réussit à imaginer, avec un tel éther, un modèle mécanique capable de fournir une interprétation satisfaisante des lois du champ électromagnétique. Comme dit Einstein^[21], « les lois étaient claires et simples, les interprétations mécaniques lourdes et contradictoires ».

Avec Hertz, la matière apparaît non seulement comme substratum des propriétés mécaniques, mais comme substratum de champs électromagnétiques. Mais les champs électromagnétiques se manifestant aussi dans le vide, l’éther lui aussi apparaît comme substratum de champs électromagnétiques. Il n’y a plus guère de distinction entre la matière et l’éther, doués tous deux à la fois de propriétés mécaniques et de propriétés électromagnétiques.

Lorentz réalisa un progrès considérable en « dépouillant l’éther de ses propriétés mécaniques et la matière de ses propriétés électromagnétiques. Non seulement dans l’espace vide, mais aussi à l’intérieur de la matière, l’éther seul est le siège des champs électromagnétiques » (Einstein). Les particules élémentaires qui composent la matière sont seules capables de se mouvoir ; leurs mouvements constituent les courants de convection. Lorentz réussit à représenter toute action électromagnétique par les équations des champs dans le vide, établies par Maxwell, en ajoutant simplement le courant de convection au courant de déplacement (n^o 38, éq. 21-8).

On peut dire, avec Einstein, que l’immobilité est la seule propriété mécanique que Lorentz ait laissée à l’éther.

La théorie de la relativité restreinte a enlevé à l’éther cette dernière propriété. Si l’éther immobile existe, un système de référence qui lui est lié n’a aucune propriété particulière, ne se distingue en rien d’un autre système en mouvement non accéléré. L’éther n’a donc plus aucune propriété mécanique. L’hypothèse de son existence n’est pas nécessaire, car on peut admettre que les champs électromagnétiques ne représentent pas l’état d’un milieu substantiel, qu’ils sont des réalités irréductibles à quelque chose de plus simple, réalités qui ne sont liées à aucun substratum, de même que les électrons. Comme la matière, en effet, le rayonnement est doué de quantité de mouvement et transporte de l’énergie.

Mais ceci est le point de vue de la relativité restreinte : la relativité généralisée nous montre que, dans la négation absolue de l’existence de l’éther, il y a un danger : celui de faire croire que l’espace vide est dénué de toute propriété physique. Tant que le principe de relativité avait été restreint au mouvement de translation uniforme, on pouvait le penser ; cependant la réalité de l’accélération et de la rotation n’est pas d’accord avec cette conception, et la relativité généralisée établit nettement que l’espace vide de matière n’est pas amorphe. La théorie de la relativité ramène la mécanique et la physique à la géométrie riemannienne, et prouve que l’Univers possède des propriétés métriques en relation avec la matière présente ou la matière avoisinante. Ces propriétés sont précisées, dans chaque système de référence, par les valeurs des dix potentiels $g_{\mu \nu }$ de gravitation et aussi, comme nous le verrons bientôt, par les valeurs des quatre potentiels $\varphi _{\mu }$ du champ électromagnétique.

On doit donc, aussi bien dans l’hypothèse cosmologique d’Einstein que dans celle de de Sitter, écarter la conception que l’espace serait physiquement vide, au sens du néant absolu ; il faut, non pas supprimer l’éther, mais donner une forme nouvelle à la notion du substratum universel : l’éther de la relativité n’a rien de commun avec l’éther de la théorie de Fresnel^[22] : c’est « un milieu privé de toutes les propriétés mécaniques et cinématiques, mais qui détermine les phénomènes mécaniques et électromagnétiques » (Einstein).

D’après les idées actuelles d’Einstein, l’éther « détermine les relations métriques dans le continuum spatio-temporel, par exemple les possibilités de configuration des corps solides aussi bien que les champs de gravitation ; mais nous ne savons pas s’il joue un rôle essentiel dans la formation des particules élémentaires de l’électricité qui constituent la matière ».

Cependant, les deux extensions successives de la théorie d’Einstein, dues à Weyl et à Eddington (dont nous parlerons au Chapitre suivant), paraissent apporter une réponse à cette dernière question, celle de la formation des électrons. Grâce à l’union, en une géométrie unique, du champ de gravitation et du champ électromagnétique, on conçoit que l’électron puisse être un état particulier de la structure d’Univers, de l’éther au sens qu’on doit attribuer aujourd’hui à ce mot.

En résumé, l’espace possède des propriétés physiques, et l’on peut exprimer ce fait en disant qu’un « éther » existe. Mais « cet éther ne doit pas être conçu comme étant doué de la propriété qui caractérise les milieux pondérables, c’est-à-dire comme constitué de parties pouvant être suivies dans le temps : la notion de mouvement ne doit pas lui être appliquée » (Einstein).

On peut dire encore que l’éther est incapable de créer une division de l’Univers en espace et en temps (Eddington).

1. Nous envisageons seulement un cas particulier, car un hyperespace à quatre dimensions du type le plus général ne serait euclidien que dans un continuum euclidien à dix dimensions.
2. Le mot substance désignant toute portion d’Univers où l’un au moins des tenseurs $\mathrm {T} _{\mu }^{\nu }$ et $\mathrm {E} _{\mu }^{\nu }$ n’est pas identiquement nul. Il ne faut d’ailleurs pas oublier que $\mathrm {E} _{\mu }^{\nu }$ ne contribue en rien à une variation de la courbure totale $\mathrm {R} ,$ puisque $\mathrm {E} =0.$
3. Einstein, La théorie de la relativité restreinte et généralisée mise à la portée de tout le monde.
4. Comme nous l’avions déjà dit au n^o 75, $\mathrm {R} =0$ ne signifie pas que l’Espace-Temps est euclidien. La courbure totale peut être nulle sans que toutes les courbures principales soient nulles.
5. Le raisonnement du n^o 42 suppose que l’électron est assimilable à une sphère chargée superficiellement ; or l’expérience ne nous apprend rien de la structure intime de l’électron, et nous verrons au Chapitre XVIII qu’on est conduit à une conception de l’électron différente de la précédente. Cependant, quelle que soit la structure réelle, la conclusion que l’électron doit subir l’action d’un champ de force pour conserver sa charge reste nécessairement exacte.
6. Ne pas oublier que $\mathrm {J} ^{\alpha }$ représente le courant de convection et la densité de charge, mais non le courant de déplacement de Maxwell. $\mathrm {J} ^{\alpha }=0,$ comme dans le vide, aux points où il y a de l’énergie rayonnante.
7. Il est à remarquer que dans la théorie exposée au n^o 103, nous devons poser ${\frac {\mathfrak {R}}{\sqrt {-g}}}=g^{\mu \nu }\mathrm {R} _{\mu \nu }+{\text{const.}}\,;$ c’est arbitrairement que nous avions annulé la constante. En la désignant par $-4\lambda ,$ on trouve la loi corrigée.
8. Le parsec est la distance à laquelle la parallaxe est 1″. 1 parsec = 3.10¹³ km ou 3,2 années de lumière.
9. Bien faibles, en somme, si l’on remarque qu’un rayon lumineux passant tangentiellement au bord du Soleil est dévié seulement de 1″,74.
10. Eddington, Report on the relativity theory of gravitation, 1920, p. 86.
11. Cependant dans la nébuleuse d’Orion (photographie prise à l’observatoire Lick) on a constaté des régions sombres qui paraissent dues à de la matière obscure.
12. Nous continuons à négliger les perturbations locales dues aux champs de gravitation et à n’envisager que l’aspect d’ensemble.
13. Démonstration due à M. Mineur.
14. D’après de Sitter, Monthly Notices, novembre 1917.
15. Rappelons encore que nous supposons la matière uniformément répartie et que nous n’envisageons que l’aspect d’ensemble de l’Univers, en négligeant les perturbations locales.
16. Ceci n’est exact que pour l’espace sphérique dont la projection couvre deux fois l’espace euclidien. La projection de l’espace elliptique ne couvre qu’une fois l’espace tangent.
17. De Sitter, Monthly Notices, novembre 1917.
18. Note de Wikisource : Il n’y a aucune équation (54-17) entre les équations (53-17) et (55-17). Toutefois, nous ignorons si elle est absente ou n’a pas été identifiée.
19. A. Einstein, Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie (Sitzungsberichte der Preusz. Akad. d. Wissenschaften, 1917).
20. Espace, Temps, Gravitation, p. 238.
21. A. Einstein, L’éther et la théorie de la relativité. Traduction française par Solovine (1921).
22. Il serait préférable, pour éviter toute confusion, de le désigner par un autre nom. Le mot éther évoque trop l’idée des anciennes théories.