Une nouvelle figure du monde. Les Théories d’Einstein/Appendice 1

Lucien Fabre

Une nouvelle figure du monde. Les Théories d’Einstein

Payot, 1921 (p. 242-244).

APPENDICE I

EXPOSÉ SUCCINCT DES THÉORIES DE WEYL

M. Weyl, disciple d’Einstein, tenant les théories de ce dernier pour certaines les prend comme point de départ assuré. Ses théories propres ne sont qu’une généralisation d’autant plus admirable et inattendue qu’il ne semblait pas possible d’aboutir à un résultat plus cohérent, plus homogène et, en dernière analyse, réellement plus simple que celui qu’avait obtenu Einstein.

Nous avons vu au chapitre III que les théories d’Einstein sont fondées sur le principe d’indépendance réciproque du réel et des axes auxquels on le rapporte. Weyl s’est borné à faire remarquer que le réel doit en outre être parfaitement indépendant des unités de longueur et de temps ; la forme des lois ne doit donc pas varier davantage dans un changement de système de mesures que dans un changement de système de coordonnées.

Dans ces conditions, la forme de Riemann (cf. page 134) ne définit plus exactement un espace complet car elle n’indique pas le mode d’influence de la fonction d’étalonnage sur les mesures physiques effectuées dans un tel espace. Weyl appelle espace tensoriel tout espace entièrement défini par la forme de Riemann.

Une longueur $l$ pourra, si l’on veut faire intervenir son étalonnage, s’écrire par exemple $-\varphi l$. La différentielle s’écrira, avec ces notations :

$\delta l=-l\delta \varphi .$

Weyl appelle $\delta \varphi$ le coefficient de dilatation. Il montre que ce coefficient est une forme linéaire des accroissements $\delta x_{i}$

$\delta \varphi =\varphi _{i}\delta x_{i}.$

Seul l’espace possédant en chacun de ses points un vecteur $\varphi _{i}$, déterminé peut servir rationnellement à des mesures de phénomènes ; seul il a, d’après Weyl, le droit d’être appelé espace métrique complet.

Dans le cas particulier où la différentielle précédente est une différentielle exacte, la dilatation est nulle ; l’espace considéré est riemannien ; une ligne quelconque peut, sans changement de longueur, être transportée dans l’espace.

De même l’espace riemannien pouvait devenir euclidien dans le cas où sa courbure vectorielle s’annulait.

Par analogie, nous définirons courbure métrique la fonction qui s’annule quand l’espace métrique généralisé de Weyl devient riemannien. Weyl montre que cette condition s’écrit :

$F_{ik}\equiv {\frac {\delta \varphi _{i}}{\delta x_{k}}}-{\frac {\delta x_{k}}{\delta x_{i}}}=0.$

Or l’identité précédente est exactement celle qui lie en géométrie vectorielle le champ électromagnétique à la courbure métrique sous ce même symbole $F$.

⁂

On voit tout de suite les conséquences de cette théorie. L’univers est un espace métrique généralisé. Il possède une courbure métrique et une courbure tensorielle ; les composantes de la première sont celles mêmes du champ électromagnétique ; celles de la seconde sont celles mêmes du champ de gravitation.

Weyl conclut à l’homogénéité de l’univers et des représentations que nous nous en faisons ; il n’y a pas de dualité géométrique et physique ; les deux champs que nous faisons intervenir par nos calculs sont l’un et l’autre de nature physique et accessibles à notre expérience ; les calculs de l’un et de l’autre sont réductibles aux mêmes méthodes géométriques.

L. F.

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