CHAPITRE VIII.
DU MOUVEMENT DE LA CHALEUR DANS UN CUBE
SOLIDE.
333.
Il nous reste encore à faire usage de l’équation
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(a)
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qui représente le mouvement de la chaleur dans un solide
de forme cubique exposé à l’action de l’air, (section IV du
chapitre II, page 119) On choisira en premier lieu pour
la valeur très-simple et en
substituant dans la proposée, on aura l’équation de condition
la lettre désignant le coëfficient
Il suit de là que si l’on met au lieu de
des
quantités quelconques, et si l’on prend pour la quantité
la valeur précédente de satisfera toujours
à l’équation aux différences partielles. On aura donc l’équation
L’état
de la question exige aussi que si change de signe, et si
et demeurent les mêmes, la fonction ne change point ; et
que cela ait aussi lieu par rapport à et par rapport à :
or la valeur de satisfait évidemment à ces conditions.
334.
Pour exprimer l’état de la surface, on emploiera les
équations suivantes :
Elles doivent être satisfaites lorsque l’on a ou
ou On prend le centre du cube pour
l’origine des coordonnées ; et le côté est désigné par .
La première des équations (b) donne
équation qui doit avoir lieu lorsque .
Il en résulte que l’on ne peut pas prendre pour une
valeur quelconque, mais que cette quantité doit satisfaire à
la condition Il faut donc résoudre l’équation
déterminée ce qui donnera la valeur
de , et l’on prendra . Or l’équation en a une
infinité de racines réelles ; donc on pourra trouver pour
une infinité de valeurs différentes. On connaîtra de la même
manière les valeurs que l’on peut donner à et à ; elles
sont toutes représentées par la construction que l’on a employée dans la question précédente, art. (321). Nous désignerons
ces racines par etc. Ainsi l’on pourra
donner à la valeur particulière exprimée par l’équation
pourvu que l’on mette au lieu de une des racines
etc., et qu’il en soit de même de et de .
335.
On peut former ainsi une infinité de valeurs particulières
de , et il est visible que la somme de plusieurs de ces valeurs
satisfera aussi à l’équation différentielle () et aux
équations déterminées (). Pour donner à la forme générale
que la question exige, on réunira un nombre indéfini
de termes semblables à celui-ci :
Nous exprimerons cette valeur de v par l’équation suivante :
Le second membre doit se former du produit des trois
facteurs écrits dans les trois lignes horizontales, et les quantités
etc. sont des coëfficients inconnus. Or, selon
l’hypothèse, si l’on fait , la température doit être la même pour tous les points du cube. Il faut donc déterminer
etc., en sorte que la valeur de soit constante,
quelles que soient celles de de et de pourvu
que chacune de ces valeurs soit comprise entre et .
Désignant par 1 la température initiale commune à tous les
points du solide, on posera l’équation
dans laquelle il s’agit de déterminer etc. Après avoir
multiplié chaque membre par , on intégrera depuis
jusqu’à : or, il résulte de l’analyse employée
précédemment art. (325), que l’on a l’équation
désignant par la quantité , on aura
cette équation aura toujours lieu lorsque l’on donnera à
une valeur comprise entre et .
On peut en conclure l’expression générale de , elle est
donnée par l’équation suivante :
336.
L’expression de est donc formée du produit de trois
fonctions semblables, l’une de l’autre de et la troisième
de , ce qu’il est facile de vérifier immédiatement.
En effet, si dans l’équation
l’on suppose ; en dénotant par une fonction de
et , par une fonction de et , et par une fonction
de et , on aura
on prendra les trois équations séparées
On doit avoir aussi pour la condition relative à la surface
d’où l’on déduit
Il suit de là que pour résoudre complètement la question
il suffit de prendre l’équation et d’y ajouter l’équation
de condition qui doit avoir lieu, lorsque
. On mettra ensuite à la place de ou ou et
l’on aura les trois fonctions dont le produit est la
valeur générale de .
Ainsi la question proposée est résolue comme il suit :
etc. sont donnés par l’équation suivante :
dans laquelle représente ; la valeur de est
On trouve de la même manière les fonctions , .
337.
On peut se convaincre que cette valeur de résoud la
question dans toute son étendue, et que l’intégrale complète
de l’équation aux différences partielles doit nécessairement
prendre cette forme pour exprimer les températures
variables du solide.
En effet, l’expression de satisfait à l’équation et aux
conditions relatives à la surface. Donc les variations des
températures qui résultent dans un instant de l’action des
molécules et de l’action de l’air sur la surface, sont celles que
l’on trouverait en différentiant la valeur de par rapport à
. Il s’ensuit que si, au commencement d’un instant, la fonction
représente le système des températures, elle représentera
encore celles qui ont lieu au commencement de l’instant
suivant, et l’on prouve de même que l’état variable du
solide sera toujours exprimé par la fonction , dans laquelle
on augmentera continuellement la valeur de . Or cette
même fonction convient à l’état initial : donc elle représentera
tous les états ultérieurs du solide. Ainsi on est assuré
que toute solution qui donnerait pour une fonction différente
de la précédente, serait erronée.
338.
Si l’on suppose que le temps écoulé est devenu très-grand,
on n’aura plus à considérer que le premier terme de
l’expression de ; car les valeurs etc. sont rangées par
ordre en commençant par la plus petite. Ce terme est donné
par l’équation
voilà donc l’état principal vers lequel le système des températures tend continuellement, et avec lequel il coïncide sans
erreur sensible après une certaine valeur de . Dans cet état
la température de chacun des points décroît proportionnellement
aux puissances de la fraction ; alors les états
successifs sont tous semblables, ou plutôt ils ne différent
que par la quantité des températures qui diminuent toutes
comme les termes d’une progression géométrique, en conservant
leurs rapports. On trouvera facilement, au moyen de l’équation
précédente, la loi suivant laquelle les températures décroissent
d’un point à l’autre dans le sens des diagonales ou des
arêtes du cube, ou enfin d’une ligne donnée de position.
On reconnaîtra aussi quelle est la nature des surfaces qui
déterminent les couches de même température. On voit que
dans l’état extrême et régulier que nous considérons ici, les
points d’une même couche conservent toujours la même température,
ce qui n’avait point lieu dans l’état initial et dans
ceux qui lui succèdent immédiatement. Pendant la durée
infinie de ce dernier état la masse se divise en une infinité
de couches dont tous les points ont une température commune.
339.
Il est facile de déterminer pour un instant donné la température
moyenne de la masse, c’est-à-dire, de celle que l’on
obtiendrait en prenant la somme des produits du volume de
chaque molécule par sa température, et en divisant cette
somme par le volume entier. On formera ainsi l’expression
, qui est celle de la température moyenne
L’intégrale doit être prise successivement par rapport à
, à et à , entre les limites et ; étant égal au
produit , on aura
ainsi la température moyenne est , car les trois
intégrales totales ont une valeur commune, donc
La quantité équivaut à qui est une racine de l’équation
et est égale à
On a donc,
en désignant les différentes racines de cette équation par
etc.,
est entre 0 et , est entre
et , entre et ,
les moindres limites , , etc., approchent de plus en
plus des racines , , etc., et finissent par se confondre
avec elles lorsque l’indice est très-grand. Les arcs doubles
, , etc. sont compris entre 0 et , entre et ,
entre et ; c’est pourquoi les sinus de ces arcs sont
tous positifs : les quantités , , etc.,
sont positives et comprises entre 1 et 2. Il suit de là que tous les termes qui entrent dans la valeur de
sont positifs.
340.
Proposons nous maintenant de comparer la vitesse du
refroidissement dans le cube, à celle que l’on a trouvée pour
une masse sphérique. On a vu que pour l’un et l’autre de
ces corps, le système des températures converge vers un
état durable qu’il atteint sensiblement après un certain temps ;
alors les températures des différents points du cube diminuent
toutes ensemble en conservant les mêmes rapports,
et celles d’un seul de ces points décroissent comme les termes
d’une progression géométrique dont la raison n’est pas la
même dans les deux corps. Il résulte des deux solutions que
pour la sphère la raison est et pour le cube
La quantité est donnée par l’équation
étant le demi-diamètre de la sphère, et la quantité est
donnée par l’équation
étant le demi-côté du cube.
Cela posé, on considérera deux cas différents ; celui où le
rayon de la sphère et le demi-côté du cube, sont l’un et l’autre
égaux à , quantité très-petite ; et celui où la valeur de est
très-grande. Supposons d’abord que les deux corps ont une
petite dimension ; ayant une très-petite valeur, il en sera
de même de , on aura donc donc la fraction
est égale à
;
ainsi les dernières températures que l’on observe, ont une
expression de cette forme Si maintenant dans
l’équation on suppose que le second
membre diffère très-peu de l’unité, on trouve donc
la fraction est
Ou conclut de là que si le rayon de la sphère est très-petit,
les vitesses finales du refroidissement dans ce solide et
dans le cube circonscrit sont égales, et qu’elles sont l’une et
l’autre en raison inverse du rayon ; c’est-à-dire que si la température
d’un cube dont le demi-côté est , passe de la valeur
A à la valeur B dans le temps , une sphère dont le
demi-diamètre est , passera aussi dans le même temps de
la température A à la température B. Si la quantité a venait
à changer pour l’un et l’autre corps, et devenait le temps
nécessaire pour passer de A à B aurait une autre valeur ,
et le rapport des temps et serait celui des demi-côtés
et . Il n’en est pas de même lorsque le rayon est extrêmement
grand : car équivaut alors à , et les valeurs de
sont les quantités , , , , etc.
On trouvera donc facilement dans ce cas les valeurs des
fractions
ces valeurs sont
et
.
On tire de là ces deux conséquences remarquables : 1o si les
deux cubes ont de grandes dimensions, et que et soient
leurs demi-côtés ; si le premier emploie le temps pour
passer de la température à la température et le second
le temps pour ce même intervalle ; les temps et seront
proportionnels aux quarrés et des demi-côtés. On a
trouvé un résultat semblable pour les sphères de grande
dimension. 2o si un cube a pour demi-côté une longueur
considérable , et qu’une sphère ait la même quantité pour
rayon, et que pendant le temps la température du cube
s’abaisse de à il s’écoulera un temps différent pendant
que la température de la sphère s’abaissera de à et
les temps et seront dans le rapport de à
Ainsi le cube et la sphère inscrite se refroidissent également
vite lorsqu’ils ont une petite dimension ; et dans ce cas
la durée du refroidissement est pour l’un et l’autre corps
proportionnelle à l’épaisseur. Si le cube et la sphère inscrite
ont une grande dimension, la durée du refroidissement final
n’est pas la même pour les deux solides. Cette durée est plus
grande pour le cube que pour la sphère, dans la raison de à et pour chacun des deux corps en particulier la durée
du refroidissement augmente comme le carré du diamètre.
341.
On a supposé que le corps se refroidit librement dans l’air
atmosphérique dont la chaleur est constante. On pourrait
assujétir la surface à une autre condition, et concevoir, par
exemple, que tous ses points conservent, en vertu d’une cause
extérieure, la température fixe Les quantités
qui entrent dans la valeur de sous le signe cosinus, doivent être telles dans ce cas, que devienne nulle, lorsque reçoit sa valeur
complète , et qu’il en soit de même de et de
Si le côté du cube est représente par , étant la longueur
de la circonférence dont le rayon est 1 ; … on pourra
exprimer une valeur particulière de par l’équation suivante,
qui satisfait en même temps à l’équation générale du
mouvement de la chaleur et à l’état de la surface,
Cette fonction est nulle, quel que soit le temps , lorsque
ou ou reçoivent leurs valeurs extrêmes ou :
mais l’expression de la température ne peut avoir cette forme
simple qu’après qu’il s’est écoulé un temps considérable, à
moins que l’état initial donné ne soit lui-même représenté
par la fonction . C’est ce que l’on a supposé
dans la sect. VIII du chap. I, art. 100, p. 95. L’analyse
précédente démontre la vérité de l’équation employée dans
l’article que l’on vient de citer. Il faut remarquer que le nombre
désigné par dans cet article, est le même que : il équivaut
à la circonférence entière, et non à la demi-circonférence.
On a traité jusqu’ici les questions fondamentales de la
théorie de la chaleur, et considéré l’action de cet élément
dans les corps principaux. L’ordre et l’espèce des questions
ont été tellement choisis, que chacune d’elles présentât une
difficulté nouvelle et d’un degré plus élevé. On a omis à dessein
les questions intermédiaires qui sont en trop grand nombre telles que la question du mouvement linéaire de la
chaleur dans un prisme dont les extrémités seraient retenues
à des températures fixes, ou exposées à l’air atmosphérique.
On pourrait généraliser l’expression du mouvement varié de
la chaleur dans le cube ou le prisme rectangulaire qui se
refroidit dans un milieu aériforme, et supposer un état initial
quelconque ; ces recherches n’exigent point d’autres
principes que ceux qui sont expliqués dans cet ouvrage.