Théorie analytique de la chaleur/Chapitre 9

Joseph Fourier

Théorie analytique de la chaleur

Firmin Didot, 1822 (p. Ch. IX.-601).

CHAPITRE IX.

DE LA DIFFUSION DE LA CHALEUR.

SECTION PREMIÈRE.

Du mouvement libre de la chaleur dans une ligne infinie.

342.

On considère ici le mouvement de la chaleur dans une masse solide homogène, dont toutes les dimensions sont infinies. On divise ce solide par des plans infiniment voisins et perpendiculaires à un axe commun, et l’on suppose d’abord qu’on a échauffé une seule partie de la masse, savoir, celle qui est comprise entre deux plans A et B parallèles, dont la distance est $g$ ; toutes les autres parties ont la température initiale 0 : mais chacun des plans compris entre A et B a une température initiale donnée, que l’on regarde comme arbitraire, et qui est commune à tous ses points : cette température est différente pour les différents plans. L’état initial de la masse étant ainsi défini, il s’agit de déterminer par le calcul tous les états successifs. Le mouvement dont il s’agit, est seulement linéaire, et dans le sens de l’axe des plans ; car il est évident qu’il ne peut y avoir aucun transport de chaleur dans un plan quelconque perpendiculaire à cet axe, puisque la chaleur initiale de tous ses points est la même.

On peut supposer, au lieu du solide infini, un prisme d’une très-petite épaisseur, et dont la surface convexe est totalement impénétrable à la chaleur. On ne considère donc le mouvement que dans une ligne infinie, qui est l’axe commun de tous les plans.

La question est plus générale, lorsqu’on attribue des températures entièrement arbitraires à tous les points de la partie de la masse qui a été échauffée, tous les autres points du solide ayant la température initiale $0.$ Les lois de la distribution de la chaleur dans une masse solide infinie, doivent avoir un caractère simple et remarquable ; parce que le mouvement n’est point troublé par l’obstacle des surfaces et par l’action du milieu.

343.

La position de chaque point étant rapportée à trois axes rectangulaires, sur lesquels on mesure les coordonnées $x,y,z,$ la température cherchée est une fonction des variables $x,y,z,$ et du temps $t.$ Cette fonction $v$ ou $\varphi (x,y,z,t)$ satisfait à l'équation générale ${\frac {dv}{dt}}=\mathrm {\frac {K}{C.D.}} \left({\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}\right)\quad ({\boldsymbol {a}})$. De plus, il est nécessaire qu’elle représente l’état initial qui est arbitraire ; ainsi, en désignant par $\operatorname {F} (x,y,z)$ la valeur donnée de la température d’un point quelconque, prise lorsque le temps est nul, c’est-à-dire, au moment où la diffusion commence ; on doit avoir $\varphi (x,y,z,0)=\operatorname {F} (x,y,z)\quad ({\boldsymbol {b}}).$ Il faut trouver une fonction $v$ des quatre variables $x,y,z,t,$ qui satisfasse à l’équation différentielle $(a)$ et à l’équation déterminée $(b).$

Dans les questions que nous avons traitées précédemment, l’intégrale est assujettie à une troisième condition qui dépend de l’état de la surface. C’est pour cette raison que l’analyse en est plus composée, et que la solution exige l’emploi des termes exponentiels. La forme de l’intégrale est beaucoup plus simple, lorsqu’elle doit seulement satisfaire à l’état initial ; et il serait facile de déterminer immédiatement le mouvement de la chaleur selon les trois dimensions. Mais pour exposer cette partie de la théorie, et faire bien connaître suivant quelle loi la diffusion s’opère, il est préférable de considérer d’abord le mouvement linéaire, en résolvant les deux questions suivantes ; on verra par la suite comment elles s’appliquent au cas des trois dimensions.

344.

1^ère question : une partie ab d’une ligne infinie est élevée dans tous ses points à la température 1 ; les autres parties de la ligne ont la température actuelle 0 ; on suppose que la chaleur ne peut se dissiper dans le milieu environnant ; il faut déterminer quel est l’état de la ligne après un temps donné. On peut rendre cette question plus générale, en supposant, 1^o que les températures initiales des points compris entre a et b sont inégales et représentées par les ordonnées d’une ligne quelconque, que nous regarderons d’abord comme composée de deux parties symétriques (voyez fig. 16) ; 2^o qu’une partie de la chaleur se dissipe par la surface du solide, qui est un prisme d’une très-petite épaisseur et d’une longueur infinie.

La seconde question consiste à déterminer les états successifs d’une barre prismatique, dont une extrémité est assujettie à une température constante, et qui est infiniment prolongée. La résolution de ces deux questions dépend de l’intégration de l’équation

${\frac {dv}{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}\cdot {\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-{\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {C.D.S} }}v,$

(article 105), qui exprime le mouvement linéaire de la chaleur. $v$ est la température que le point placé à la distance $x$ de l’origine doit avoir après le temps écoulé $t$ ; $\mathrm {K,}$ $\mathrm {H,}$ $\mathrm {C,}$ $\mathrm {D,}$ $\mathrm {L,}$ $\mathrm {S,}$ désignent la conducibilité propre, la conducibilité extérieure, la capacité spécifique de chaleur, la densité, le contour de la section perpendiculaire, et l’aire de cette section.

345.

Nous considérons d’abord le premier cas, qui est celui où la chaleur se propage librement dans la ligne infinie dont une partie ab a reçu des températures initiales quelconques ; tous les autres points ayant la température initiale 0. Si l’on élève en chaque point de la barre l’ordonnée d’une courbe plane qui représente la température actuelle de ce point, on voit qu’après une certaine valeur du temps $t,$ l’état du solide est exprimé par la figure de la courbe. Nous désignerons par $v=\mathrm {F} x$ l’équation donnée qui correspond à l’état initial, et nous supposons d’abord pour rendre le calcul plus simple que la figure initiale de la courbe, est composée de deux parties symétriques, en sorte que l’on a la condition $\mathrm {F} x=\mathrm {F} (-x)$. Soit

${\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}=k,\quad {\frac {\mathrm {H.L.} }{\mathrm {C.D.S} }}=h\,;\quad$ dans l’équation $\quad {\frac {dv}{dt}}=k{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-hv,$

on fera $v=e^{-ht}.u$ et l’on aura ${\frac {du}{dt}}=k{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}.$ On prendra pour $u$ la valeur particulière $a\cos .qx\,e^{-kq^{2}t}$ ; $a$ et $q$ sont des constantes arbitraires. Soient $q_{1},\,q_{2},\,q_{3},\,q_{4}\dots$ etc. une suite de valeurs quelconques, et $a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,a_{4}\dots$ etc., une suite de valeurs correspondantes du coëfficient $\mathrm {Q,}$ on aura

$u=a_{1}\cos .(q_{1}x)e^{-kq_{1}^{\,2}t}+a_{2}\cos .(q_{2}x)e^{-kq_{2}^{\,2}t}+a_{3}\cos .(q_{3}x)e^{-kq_{3}^{\,2}t}+\mathrm {etc.}$

Supposons 1^o que les valeurs $q_{1},\,q_{2},\,q_{3},\,q_{4}\dots$ etc., croissent par degrés infiniment petits, comme les abscisses $q$ d’une certaine courbe ; en sorte qu’elles deviennent égales à $dq,$ $2\,dq,$ $3\,dq,$ $4\,dq,\dots$ etc. ; $dq$ étant la différentielle constante de l’abscisse ; 2^o que les valeurs $a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,a_{4}\dots$ etc. sont proportionnelles aux ordonnées $\mathrm {Q}$ de la même courbe, et qu’elles deviennent égales à $\mathrm {\mathrm {Q} _{1}} \,dq$ $\mathrm {Q} _{2}\,dq,$ $\mathrm {Q} _{3}\,dq\dots$ etc. $\mathrm {Q}$ étant une certaine fonction de $q.$ Il en résulte que la valeur de $u$ pourra être exprimée ainsi :

$u=\int dq\,\mathrm {Q} .\cos .qx\,e^{-kq^{2}t}.$

$\mathrm {Q}$ est une fonction arbitraire $fq$, et l’intégrale peut être prise de $q=0$ à $q={\tfrac {1}{0}}.$ La difficulté se réduit à déterminer convenablement la fonction $\mathrm {Q.}$

346.

Pour y parvenir, il faut supposer t$=0$ dans l’expression de $u$ et l’égaler à $\operatorname {F} x.$ On a ainsi l’équation de condition

$\operatorname {F} x=\int dq\,\mathrm {Q} .\cos .qx$

Si l’on mettait au lieu de $\mathrm {Q}$ une fonction quelconque de $q,$ et que l’on achevât l’intégration depuis $q=0$ jusqu’à $q={\frac {1}{0}},$ on trouverait une fonction de $x$ ; il s’agit de résoudre la question inverse, c’est-à-dire, de connaître quelle est la fonction de $q$ qui, étant mise au lieu de $\mathrm {Q,}$ donnera pour résultat la fonction $\operatorname {F} x,$ problème singulier dont la solution exige un examen attentif.

En développant le signe de l’intégrale, on écrira comme il suit l’équation dont il faut déduire la valeur de $\mathrm {Q}$ :

${\begin{aligned}\operatorname {F} x=dq\,\mathrm {Q} _{1}\cos .q_{1}x&+dq\,\mathrm {Q} _{2}\cos .q_{2}x+dq\,\mathrm {Q} _{3}\cos .q_{3}x\\&+dq\,\mathrm {Q} _{4}\cos .q_{4}x+dq\,\mathrm {Q} _{5}\cos .q_{5}x+\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

Pour faire disparaître tous les termes du second membre, excepté un seul, on multipliera de part et d’autre par $dx\,\cos .rx,$ et l’on intégrera ensuite par rapport à $x$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=n\pi ,$ $n$ étant un nombre infini ; $r$ représente une grandeur quelconque égale à l’une des suivantes : $q_{1},\,q_{2},\,q_{3},\,q_{4}\dots$ etc., ou ce qui est la même chose $dq,$ $2\,dq,$ $3\,dq,$ $4\,dq\dots$ etc. Soit $q_{i}$ une valeur quelconque de la variable $q$, et $q_{j}$ une autre valeur qui est celle que l’on a prise pour $r$ ; on aura $r=j\,dq$ et $r=i\,dq$. On considérera ensuite le nombre infini $n$ comme exprimant combien l’unité de longueur contient de fois l’élément $dq,$ en sorte que l’on aura $n={\frac {1}{dq}}.$ En procédant à l’intégration, on reconnaîtra que la valeur de l’intégrale $dx\,\cos .qx\,\cos .rx$ est nulle, toutes les fois que $r$ et $q$ sont des grandeurs différentes ; mais cette même valeur de l’intégrale est ${\tfrac {1}{2}}n\pi ,$ lorsque $q=r.$ Il suit de là que l’intégration élimine dans le second membre tous les termes, excepté un seul : savoir, celui qui contient $q_{j}$ ou $r$. La fonction qui affecte ce même terme est $\mathrm {Q_{j},}$ on aura donc

$\int dx\,\operatorname {F} x.\cos .qx=dq.\mathrm {Q} _{j}{\frac {1}{2}}n\pi ,$

et mettant pour $n\,dq$ sa valeur 1, on a

${\frac {\pi \mathrm {Q} _{j}}{2}}=\int dx\,\operatorname {F} x\,\cos .qx\,;$

on trouve donc en général ${\frac {\pi \mathrm {Q} }{2}}=\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}dx\,\operatorname {F} x\,\cos .qx.$ Ainsi, pour déterminer la fonction $\mathrm {Q}$ qui satisfait à la condition proposée, il faut multiplier la fonction donnée $\operatorname {F} x$ par $dx\,\cos .qx,$ et intégrer de $x$ nulle à $x$ infinie, en multipliant le résultat par ${\frac {2}{\pi }}$ ; c’est-à-dire, que de l’équation

$\operatorname {F} x=\int dq\,fq\,\cos .qx$

on déduit celle-ci, $fq={\frac {2}{\pi }}\int dx\,\operatorname {F} x\,\cos .qx,$ la fonction $\operatorname {F} x$ représentant les températures initiales d’un prisme infini dont une partie intermédiaire seulement est échauffée. En substituant la valeur de $fq$ dans l’expression de $\operatorname {F} x,$ on obtient l’équation générale

${\frac {\pi }{2}}\operatorname {F} x=\int dq\,\,\cos .qx\int dx\,\operatorname {F} x\,\cos .qx\qquad \qquad \qquad ({\boldsymbol {\varepsilon }})$

347.

Si l’on substitue dans l’expression de $v$ la valeur que l’on a trouvée pour la fonction $\mathrm {Q,}$ on a l’intégrale suivante, qui contient la solution complète de la question proposée

${\frac {\pi v}{2}}=e^{-ht}\int dq\,\cos .qx\,e^{-kq^{2}t}\int dx\,\operatorname {F} x\,\cos .qx.$

L’intégrale, par rapport à $x,$ étant prise de $x$ nulle à $x$ infinie, il en résulte une fonction de $q,$ et prenant ensuite l’intégrale par rapport à $q$ de $q=0$ à $q={\frac {1}{0}},$ on obtient pour $v$ la fonction de $x$ et $t,$ qui représente les états successifs du solide. Puisque l’intégration, par rapport à $x,$ fait disparaître cette variable, on peut la remplacer dans l’expression de $v$ par une variable quelconque $\alpha$, en prenant l’intégrale entre les mêmes limites, savoir depuis $\alpha =0$ jusqu’à $\alpha ={\frac {1}{0}}.$ On a donc

$\displaystyle {\frac {\pi v}{2}}=\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}dq\,\cos .qx\,e^{-kq^{2}t}\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}d\alpha \,\operatorname {F} \alpha \,\cos .q\alpha ,$

ou

$\displaystyle {\frac {\pi v}{2}}=\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}d\alpha \,\operatorname {F} \alpha \int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}dq\,e^{-kq^{2}t}\cos .qx\,\cos .q\alpha .$

L’intégration, par rapport à $q,$ donnera une fonction de $x,$ $t$ et $\alpha ,$ et en prenant l’intégrale par rapport à $\alpha ,$ on trouve une fonction de $x$ et $t$ seulement. Il serait facile d’effectuer dans la dernière équation l’intégration par rapport à $q$ et l’on changerait ainsi l’expression de $v.$ On peut en général donner diverses formes à l’intégrale de l’équation

${\frac {dv}{dt}}=k{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-hv,$

elles représentent toutes une même fonction de $x$ et $t$.

348.

Supposons en premier lieu que toutes les températures initiales des points compris entre a et b, depuis $x=-1,$ jusqu’à $x=1,$ aient pour valeur commune 1, et que les températures de tous les autres points soient nulles, la fonction $\mathrm {F} x$ sera donnée par cette condition. Il faudra donc intégrer, par rapport à $x,$ depuis $x=-1$ jusqu’à $x=1,$ car le reste de l’intégrale est nulle d’après l’hypothèse. On trouvera ainsi :

$\mathrm {Q} ={\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {\sin .q}{q}}\quad \mathrm {et} \quad {\frac {\pi v}{2}}=e^{-ht}\int {\frac {dq}{q}}\,e^{-q^{2}kt}.\cos .qx\,\sin .q.$

Le second membre peut être facilement converti en série convergente, comme on le verra par la suite ; il représente exactement l’état du solide en un instant donné, et si l’on y fait $t=0,$ on exprime l’état initial.

Ainsi la fonction ${\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq}{q}}\,\sin .a.\cos .qx$ équivaut à l’unité, si l’on donne à $x$ une valeur quelconque comprise entre $-1$ et $1$ : mais cette fonction est nulle si l’on donne à $x$ toute autre valeur non comprise entre $-1$ et $1$. On voit par-là que les fonctions discontinues peuvent aussi être exprimées en intégrales définies.

349.

Pour donner une seconde application de la formule précédente, nous supposerons que la barre a été échauffée en un de ses points par l’action constante d’un même foyer, et qu’elle est parvenue à l’état permanent que l’on sait être représenté par une courbe logarithmique.

Il s’agit de connaître suivant quelle loi s’opérera la diffusion de la chaleur après qu’on aura retiré le foyer. En désignant par $\mathrm {F} x$ la valeur initiale de la température, on aura $\mathrm {F} x=\mathrm {A} e^{-x\mathrm {\sqrt {\frac {HL}{KS}}} }$ ; $\mathrm {A}$ est la température initiale du point le plus échauffé. On fera, pour simplifier le calcul,

$\mathrm {A=1\quad et\quad {\frac {HL}{KS}}} =1.$

On a donc $\mathrm {F} x=e^{-x}$ on en déduit $\mathrm {Q} =\int dx\,e^{-x}\,\cos .qx$ et prenant l’intégrale de $x$ nulle à $x$ infinie $\mathrm {Q} ={\frac {1}{1+q^{2}}}.$ Ainsi la valeur de $v$ en $x$ et $t,$ est donnée par l’équation suivante :

${\frac {\pi v}{2}}=e^{-ht}\int {\frac {dq.\cos .qx}{1+q^{2}}}\,e^{-q^{2}kt}.$

350.

Si l’on fait $t=0,$ on aura ${\frac {\pi v}{2}}=\int {\frac {dq.\cos .qx}{1+q^{2}}}\,;$ ce qui correspond à l’état initial. Donc l’expression ${\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq.\cos .qx}{1+q^{2}}}$ équivaut à $e^{-x}$. Il faut remarquer que la fonction $\mathrm {F} x,$ qui représente l’état initial ne change point de valeur d’après l’hypothèse lorsque $x$ devient négative. La chaleur communiquée par le foyer avant que l’état initial ne fût formé, s’est propagée également à la droite et à la gauche du point 0, qui la reçoit immédiatement, il s’ensuit que la ligne dont l’équation serait $y={\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq.\cos .qx}{1+q^{2}}}$ est composée de deux branches symétriques que l’on forme en répétant à droite et à gauche de l’axe de $y$ la partie de la logarithmique qui est à la droite de l’axe des $y,$ et a pour équation $y=e^{-x}.$ On voit ici un second exemple d’une fonction discontinue exprimée par une intégrale définie. Cette fonction ${\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq.\cos .qx}{1+q^{2}}}$ équivaut à $e^{-x}$ lorsque $x$ est positive, mais elle est $e^{x}$ lorsque $x$ est négative,

351.

La question de la propagation de la chaleur dans une barre infinie, dont l’extrémité est assujettie à une température constante, se réduit, comme on le verra dans la suite, à celle de la diffusion de la chaleur dans une ligne infinie ; mais il faut supposer que la chaleur initiale, au lieu d’affecter également les deux moitiés contiguës du solide y est distribuée d’une manière contraire ; c’est-à-dire qu’en représentant par $\mathrm {F} x$ la température d’un point dont la distance au milieu de la ligne est $x,$ la température initiale du point opposé pour lequel la distance est $-x,$ a pour valeur $-\mathrm {F} x.$ Cette seconde question diffère très-peu de la précédente et pourrait être résolue par une méthode semblable : mais on peut aussi déduire la solution de l’analyse qui nous a servi à déterminer le mouvement de la chaleur dans les solides de dimensions finies.

Supposons qu’une partie ab de la barre prismatique infinie soit échauffée d’une manière quelconque, voy. fig. (16) et que la partie opposée aβ soit dans un état pareil, mais de signe contraire ; tout le reste du solide ayant la température initiale 0. On suppose aussi que le milieu environnant est entretenu à la température constante 0, et qu’il reçoit de la barre ou leur communique la chaleur par la surface extérieure. Il s’agit de trouver quelle sera, après un temps donné $t,$ la température $v$ d’un point dont la distance à l’origine est $x.$

On considérera d’abord la barre échauffée comme ayant une longueur finie $2\mathrm {X}$, et comme étant soumise à une cause extérieure quelconque qui retient ses deux extrémités à la température constante 0 ; on fera ensuite $\mathrm {X} ={\tfrac {1}{0}}.$

352.

On emploiera d’abord l’équation

${\frac {dv}{dt}}=\mathrm {\frac {K}{C.D}} .{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-\mathrm {\frac {C.D.S}{H\,L}} v\,;\quad$ ou $\quad {\frac {dv}{dt}}=k{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-h\,v,$

et faisant

$v=e^{-ht}.u\quad$ on aura $\quad {\frac {du}{dt}}=k{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}},$

on exprimera comme il suit la valeur générale de $u$

${\begin{aligned}u&=a_{1}\,e^{-kg_{1}^{\;2}t}\sin .g_{1}x+a_{2}\,e^{-kg_{2}^{\;2}t}\sin .g_{2}x\\&+a_{3}\,e^{-kg_{3}^{\;2}t}\sin .g_{3}x+a_{4}\,e^{-kg_{4}^{\;2}t}\sin .g_{4}x+\mathrm {etc.} \,;\\\end{aligned}}$

faisant ensuite $x=\mathrm {X} ,$ ce qui doit rendre nulle la valeur de $v$, on aura, pour déterminer la série des exposants $g$, la condition $\sin .g\mathrm {X} =0,$ ou $g\mathrm {X} =i\pi ,$ $i$ étant un nombre entier. Donc

$u=a_{1}\,e^{-k{\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {X} ^{2}}}t}\sin .\left(x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+a_{2}\,e^{-k{\frac {4\pi ^{2}}{\mathrm {X} ^{2}}}t}\sin .\left(2x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+\mathrm {etc.}$

Il ne reste plus qu’à trouver la série des constantes $a_{1},$ $a_{2},$ $a_{3},$ $a_{4},$ etc. Faisant $t=0$ on a

$u=\mathrm {F} x=a_{1}\sin .\left(x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+a_{2}\sin .\left(2x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+a_{3}\sin .\left(3x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+\mathrm {etc.}$

soit $x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}=r$, et désignons $\operatorname {F} x$ ou $\operatorname {F} \left(r{\frac {\mathrm {X} }{\pi }}\right)$ par $fr$ ; on aura

$fr=a_{1}\sin .r+a_{2}\sin .2r+a_{3}\sin .3r+a_{4}\sin .4r+\mathrm {etc.}$

Or, on a trouvé précédemment $a_{i}={\frac {2}{\pi }}\int dr\,fr.\sin .ir,$ l’intégrale étant prise de $r=0$ à $r=\pi .$ Donc

${\frac {\mathrm {X} }{2}}a_{i}=\int dx\,\operatorname {F} x.\sin \left(ix{\frac {\mathrm {X} }{\pi }}\right).$

L’intégrale devait être prise de $r=0$ à $r=\pi$ ; donc elle doit être prise par rapport à $x$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=\mathrm {X} .$ En faisant ces substitutions, on forme l’équation

${\begin{aligned}v=&{\frac {2}{\mathrm {X} }}e^{-ht}\left\{e^{-k{\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {X} ^{2}}}t}\sin .x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\int dx\,\operatorname {F} x\sin .\left(x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)\right.\\&+\left.e^{-k{\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {X} ^{2}}}2^{2}t}.\sin .\left(2x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)\int dx\,\operatorname {F} x\sin .\left(2x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+\mathrm {etc.} \right\}\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ({\boldsymbol {a}})\end{aligned}}$

353.

Telle serait la solution, si le prisme avait une longueur finie représentée par $2\,\mathrm {X} .$ Elle est une conséquence évidente des principes que nous avons posés jusqu’ici ; il ne reste plus qu’à supposer la dimension $\mathrm {X}$ infinie. Soit $\mathrm {X} =n\pi ,$ $n$ étant un nombre infini ; soit aussi $q$ une variable dont les accroissements infiniment petits $dq$ sont tous égaux ; on écrira ${\tfrac {1}{qd}}$ au lieu de $n.$ Le terme général de la série qui entre dans l’équation $(a)$ étant

$e^{-k{\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {X} ^{2}}}i^{2}t}\sin .\left(ix{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)\int dx\,\operatorname {F} x\,\sin .\left(ix{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right).$

On représentera par ${\tfrac {q}{dq}},$ le nombre $i$, qui est variable et qui devient infini. Ainsi l’on aura

$\mathrm {X} ={\frac {\pi }{dq}},\quad n={\frac {1}{dq}},\quad i={\frac {q}{dq}},$

En faisant ces substitutions dans le terme dont il s’agit, on trouvera $e^{-kq^{2}r}\sin .qx\int dx\,\operatorname {F} x\,\sin .qx.$ Chacun de ces termes doit être divisé par $\mathrm {X}$ ou ${\tfrac {\pi }{dq}},$ il devient par-là une quantité infiniment petite, et la somme de la série n’est autre chose qu’une intégrale, qui doit être prise par rapport à $q$ de $q=0$ à $q={\tfrac {1}{0}}.$ Donc

$v={\frac {2}{\pi }}e^{-ht}\int dq\,e^{-kq^{2}t}\sin .qx\int dx\,\operatorname {F} x\,\sin .qx\qquad ({\boldsymbol {\alpha }}).$

l’intégrale, par rapport à $x,$ doit être prise de $x=0$ à $x={\tfrac {1}{0}},$ ce qui donne une fonction de $q$ ; et la seconde intégrale doit être prise par rapport à $q$ de $q=0$ à $q={\tfrac {1}{0}}\cdot$ On peut aussi écrire

${\begin{aligned}&{\frac {\pi v}{2}}=e^{-ht}\int \limits _{0}^{\infty }dq\,e^{-kq^{2}t}\sin .qx\int \limits _{0}^{\infty }d\alpha \,\operatorname {F} \alpha \,\sin .q\alpha ,\\\mathrm {ou} \quad &{\frac {\pi v}{2}}=e^{-ht}\int \limits _{0}^{\infty }d\alpha \,\operatorname {F} \alpha \int \limits _{0}^{\infty }dq\,e^{-kq^{2}t}\sin .qx\,\sin .q\alpha ,\\\end{aligned}}$

L’équation $(\alpha )$ contient la solution générale de la question ; et, en substituant pour $\operatorname {F} x$ une fonction quelconque, assujettie ou non à une loi continue, on pourra toujours exprimer en $x$ et $t$ la valeur de la température : il faut seulement remarquer que la fonction $\operatorname {F} x$ correspond à une ligne formée de deux parties égales et alternes.

354.

Si la chaleur initiale est distribuée dans le prisme de telle manière que la ligne FFFF (fig. 17) qui représente cet état initial soit formée de deux arcs égaux placés à droite et à gauche du point fixe O, le mouvement variable de la chaleur est exprimé par l’équation

${\frac {\pi v}{2}}=e^{-ht}\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}d\alpha \,\operatorname {F} \alpha \int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}dq\,e^{-kq^{2}t}\cos .qx\,\cos .q\alpha .$

Si la ligne $ffff$ (fig. 18) qui représente l’état initial est formée de deux arcs pareils et alternes, l’intégrale qui donne la valeur de température est

${\frac {\pi v}{2}}=e^{-ht}\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}d\alpha \,f\alpha \int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}dq\,e^{-kq^{2}t}\sin .qx\,\sin .q\alpha .$

Lorsqu’on supposera la chaleur initiale distribuée d’une manière quelconque, il sera facile de conclure des deux solutions précédentes l’expression de $v$. En effet, quelle que soit la fonction $\varphi x$ qui représente la température initiale et donnée, elle se décompose toujours en deux autres $\operatorname {F} x+fx$ dont l’une correspond à la ligne FFFF, et l’autre à la ligne $ffff,$ en sorte que l’on a ces trois conditions :

$\operatorname {F} x=\operatorname {F} (-x),\quad fx=-f(-x),\quad \varphi x=\operatorname {F} x+fx.$

On a déjà fait usage de cette remarque dans les art. 233 et

234. On sait aussi que chaque état initial donne lieu à un état variable partiel qui se forme comme s’il était seul. La composition de ces divers états n’apporte aucun changement dans les températures qui auraient lieu séparément pour chacun d’eux. Il suit de là qu’en désignant par $v$ la température variable produite par l’état initial que représente la

fonction totale $\varphi x,$ on doit avoir

${\begin{aligned}{\frac {\pi v}{2}}=e^{-ht}&\left(\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}dq\,e^{-kq^{2}t}\cos .qx\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \,\cos .q\alpha \right.\\&+\left.\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}dq\,e^{-kq^{2}t}\sin .qx\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}d\alpha \,f\alpha \,\sin .q\alpha .\right)\end{aligned}}$

Si l’on prenait entre les limites $-{\tfrac {1}{0}}$ et ${\tfrac {1}{0}}$ les intégrales par rapport à $\alpha ,$ il est évident que l’on doublerait les résultats. On peut donc, dans l’équation précédente, omettre au premier membre le dénominateur 2, et prendre dans le second les intégrales pour $\alpha ,$ depuis $\alpha =-{\tfrac {1}{0}}$ jusqu’à $\alpha =+{\tfrac {1}{0}}$. On voit facilement aussi que l’on pourrait écrire $\int \limits _{-{\frac {1}{0}}}^{+{\frac {1}{0}}}d\alpha \,\varphi \alpha \,\cos .q\alpha ,$ au lieu de $\int \limits _{-{\frac {1}{0}}}^{+{\frac {1}{0}}}d\alpha \,\operatorname {F} \alpha \,\cos .q\alpha \,;$ car il résulte de la condition à laquelle est assujettie la fonction $f\alpha ,$ que l’on doit avoir

$0=\int \limits _{-{\frac {1}{0}}}^{+{\frac {1}{0}}}d\alpha \,f\alpha \,\cos .q\alpha ,$

On peut encore écrire

$\int \limits _{-{\frac {1}{0}}}^{+{\frac {1}{0}}}d\alpha \,\varphi \alpha \,\sin .q\alpha \quad$ au lieu de $\quad \int \limits _{-{\frac {1}{0}}}^{+{\frac {1}{0}}}d\alpha \,f\alpha \,\cos .q\alpha$

car on a évidemment

$0.=\int \limits _{-{\frac {1}{0}}}^{+{\frac {1}{0}}}d\alpha \,\operatorname {F} \alpha \,\sin .q\alpha$

On en conclut

	$\pi v=e^{-ht}\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}dq\,e^{-kq^{2}t}\left(\int \limits _{-{\frac {1}{0}}}^{+{\frac {1}{0}}}d\alpha \,\varphi \alpha \,\cos .q\alpha \,\cos .qx\right.$ $+\left.\int \limits _{-{\frac {1}{0}}}^{+{\frac {1}{0}}}d\alpha \,\varphi \alpha \,\sin .q\alpha \,\sin .qx\right),$
ou 	$\pi v=e^{-ht}\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}dq\,e^{-kq^{2}t}\int \limits _{-{\frac {1}{0}}}^{+{\frac {1}{0}}}d\alpha \,\varphi \alpha \,\cos .(q{\overline {x-\alpha }}),$
ou 	$\pi v=e^{-ht}\int \limits _{-{\frac {1}{0}}}^{+{\frac {1}{0}}}d\alpha \,\varphi \alpha \int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}dq\,e^{-kq^{2}t}\cos .(q{\overline {x-\alpha }})\cdot$

355.

La solution de cette seconde question fait connaître distinctement quel rapport il y a entre les intégrales définies que nous venons d’employer, et les résultats de l’analyse que nous avons appliquée aux solides d’une figure déterminée. Lorsque, dans les séries convergentes que cette analyse fournit, on donne aux quantités qui désignent les dimensions, une valeur infinie ; chacun des termes devient infiniment petit, et la somme de la série n’est autre chose qu’une intégrale. On pourrait passer directement de la même manière et sans aucune considération physique des diverses séries trigonométriques que nous avons employées dans le chapitre III aux intégrales définies ; il nous suffira de donner quelques exemples de ces transformations dont les résultats sont remarquables.

356.

Dans l’équation

${\frac {1}{4}}\pi =\sin .u+{\frac {1}{3}}\sin .3u+{\frac {1}{5}}\sin .5u+{\frac {1}{7}}\sin .7u+\mathrm {etc.}$

on écrira au lieu de $u$ la quantité ${\frac {x}{n}}$ ; $x$ est une autre variable, et $n$ est un nombre infini égal à ${\frac {1}{dq}}$ ; $q$ est une quantité formée successivement par l’addition de ses parties infiniment petites égales à $dq.$ On représentera le nombre variable $i$ par ${\frac {q}{dq}}.$ Si dans le terme général ${\frac {1}{2i+1}}\sin .(2i+1){\frac {x}{n}}$ on met pour $i$ et $n$ leurs valeurs ; ce terme deviendra ${\frac {dq}{2q}}\sin .2qx.$ Donc la somme de la série sera ${\frac {1}{2}}\int {\frac {dq}{q}}\sin .2ax,$ l’intégrale étant prise de $q=0$ à $q=+{\tfrac {1}{0}}$ ; on a donc l’équation ${\frac {1}{4}}\pi ={\frac {1}{2}}\int {\frac {dq}{q}}\sin .2qx$ qui a toujours lieu, quelle que soit la valeur positive de $x.$ Soit $2qx=r,$ $r$ étant une nouvelle variable, on aura ${\frac {dq}{q}}={\frac {dr}{r}}$ et ${\frac {1}{2}}\pi =\int {\frac {dr}{r}}\sin .r\,;$ cette valeur de l’intégrale définie $\int {\frac {dr}{r}}\sin .r$ est connue depuis long-temps. Si en supposant $r$ négatif on prenait la même intégrale de $r=0$ à $r=-{\tfrac {1}{0}},$ on aurait évidemment un résultat de signe contraire $-{\tfrac {1}{2}}\pi .$

357.

La remarque que nous venons de faire sur la valeur de l’intégrale $\int {\frac {dr}{r}}\sin .r,$ qui est ${\tfrac {1}{2}}\pi$ ou $-{\tfrac {1}{2}}\pi$ peut servir à taire connaître la nature de l’expression

${\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq.\sin .q}{q}}\cos .qx,$

dont nous avons trouvé précédemment (article 348) la valeur égale à 1 ou à 0, selon que $x$ est ou n’est pas comprise entre $1$ et $-1$. En effet, on a

$\int {\frac {dq}{q}}\cos .qx\,\sin .q={\frac {1}{2}}\int {\frac {dq}{q}}\sin .q.{\overline {x+1}}-{\frac {1}{2}}\int {\frac {dq}{q}}\sin .q.{\overline {x-1}}\,;$

le premier terme vaut ${\frac {1}{4}}\pi$ ou $-{\frac {1}{4}}\pi$ selon que $x+1$ est une quantité positive ou négative ; le second ${\frac {1}{2}}\int {\frac {dq}{q}}\sin .q{\overline {x-1}}$ vaut ${\frac {1}{4}}\pi$ ou $-{\frac {1}{4}}\pi ,$ selon que $x-1$ est une quantité positive ou négative. Donc l’intégrale totale est nulle si $x+1$ et $x-1$ ont le même signe ; car, dans ce cas, les deux termes se détruisent. Mais si ces quantités sont de signe différent, c’est-à-dire si l’on a en même temps

$x+1>0\quad \mathrm {et} \quad x-1<0,$

les deux termes s’ajoutent et la valeur de l’intégrale est ${\frac {1}{2}}\pi .$ Donc l’intégrale définie ${\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq}{q}}\sin .q\,\cos .qx$ est une fonction de $x$ égale à $1$ si la variable $x$ a une valeur quelconque comprise entre $1$ et $-1$ ; et cette même fonction est nulle pour toute autre valeur de $x$ non comprise entre les limites $1$ et $-1.$

358.

On pourrait déduire aussi de la transformation des séries en intégrales les propriétés des deux expressions

${\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq\,\cos .qx}{1+q^{2}}}\qquad \mathrm {et} \qquad {\frac {2}{\pi }}\int {\frac {q\,dq\,\sin .qx}{1+q^{2}}},$

la première (art. 350) équivaut à $e^{-x}$ lorsque $x$ est positive, et à $e^{x}$ lorsque $x$ est négative. La seconde équivaut à $e^{-x}$ si $x$ est positive, et à $-e^{x}$ si $x$ est négative, en sorte que ces deux intégrales ont la même valeur, lorsque $x$ est positive, et ont des valeurs de signe contraire lorsque $x$ est négative. L’une est représentée par la ligne $eeee,$ (fig. 19) l’autre par la ligne εεεε, (fig. 20).

L’équation

${\frac {1}{2\alpha }}\sin .x={\frac {\sin .\alpha .\sin .x}{\pi ^{2}-\alpha ^{2}}}+{\frac {\sin .2\alpha .\sin .2x}{\pi ^{2}-2^{2}.\alpha ^{2}}}+{\frac {\sin .3\alpha .\sin .3x}{\pi ^{2}-3^{2}.\alpha ^{2}}}+\mathrm {etc.} ,$

que nous avons rapportée (art. 226), donne immédiatement l’intégrale ${\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq\,\sin .q\pi \,\sin .qx}{1-q^{2}}}\,;$ cette dernière expression équivaut à $\sin .x$, si $x$ est comprise entre 0 et $\pi$, et sa valeur est nulle toutes les fois que $x$ surpasse $\pi .$

359.

La même transformation s’applique à l’équation générale

${\frac {1}{2}}\pi \,\varphi u=\sin .u\int du\,\varphi u\,\sin .u+\sin .2u\int du\,\varphi u\,\sin .2u+\mathrm {etc.}$

faisant $u={\frac {x}{n}},$ on désignera $\varphi u$ ou $\varphi \left({\frac {x}{n}}\right)$ par $fx$ ; on introduira dans le calcul une quantité $q$ qui reçoit des accroissements infiniment petits, égaux à $dq,$ $n$ sera égal à ${\frac {1}{dq}}$ et $i$ à ${\frac {q}{dq}}$ ; substituant ces valeurs dans le terme général

$\sin .i{\frac {x}{n}}\int {\frac {dx}{n}}\,\varphi \left({\frac {x}{n}}\right)\sin .\left(i{\frac {x}{n}}\right),$

on trouvera $dq\,sin.qx\int dx\,fx\,\sin .qx.$ L’intégrale par rapport à $u$ est prise de $u=0$ à $u=\pi ,$ donc l’intégration par rapport à $x$ doit avoir lieu de $x=0$ à $x=n\pi ,$ ou de $x$ nulle à $x$ infinie.

On obtient ainsi un résultat général exprimé par cette équation

${\frac {1}{2}}\pi \,fx=\int \limits _{0}^{\infty }dq\,\sin .qx\int \limits _{0}^{\infty }dx\,fx\,\sin .qx,\qquad ({\boldsymbol {e}})$

c’est pourquoi, en désignant par $\mathrm {Q}$ une fonction de $q,$ telle que l’on ait $fu=\int dq\,\mathrm {Q} \,\sin .qu,$ équation dans laquelle $fu$ est une fonction donnée, on aura $\mathrm {Q} ={\frac {2}{\pi }}\int du\,fu\,\sin .qu,$ l'intégrale étant prise de $u$ nulle à $u$ infinie. Nous avons déjà résolu une question semblable (art. 346), et démontré l’équation générale

${\frac {1}{2}}\pi \,\mathrm {F} x=\int \limits _{0}^{\infty }dq\,\cos .qx\int \limits _{0}^{\infty }dx\,\mathrm {F} x\,\cos .qx\qquad ({\boldsymbol {\varepsilon }})$

qui est analogue à la précédente.

360.

Pour donner une application de ces théorèmes, nous supposerons $fx=x^{r},$ le second membre de l’équation $(e)$ deviendra par cette substitution $\int dq\,\sin .qx\int dx\,\sin .qx\,x^{r}.$ L’intégrale

$\int dx\,\sin .qx.x^{r}\quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{q^{r}q}}\int q\,dx\,\sin .qx.(qx)^{r}$

équivaut à ${\frac {1}{q^{r}.q}}\int du\,\sin .u.u^{r},$ l’intégrale étant prise de $u$ nulle à $u$ infinie. Soit $\mu$ cette intégrale totale

$\int du\,\sin .u.u^{r}\,;$

il reste à prendre l’intégrale

$\int dq\,\sin .(qx)\cdot {\frac {1}{q^{r}.q}}\,\mu \quad \mathrm {ou} \quad \mu \,x^{r}\int du\,\sin .u.u^{-(r+1)}.$

désignant par $\nu$ cette dernière intégrale, prise de $u$ nulle à $u$ infinie, on aura pour résultat des deux intégrations successives le terme $x^{r}\,\mu .\nu .$ On doit donc avoir, selon la condition exprimée par l’équation $(e),$

${\frac {1}{2}}\pi x^{r}=\mu .\nu \,x^{r}\quad \mathrm {pu} \quad \mu \nu ={\frac {1}{2}}\pi \,;$

ainsi le produit des deux transcendantes

$\int du\,u^{r}\,\sin .u\quad \mathrm {et} \quad \int {\frac {du}{u}}\,u^{-r}\,\sin .u\quad \mathrm {est} \quad {\frac {1}{2}}\pi .$

Par exemple, si $r=-{\tfrac {1}{2}},$ on trouve pour $\int {\frac {du.\sin .u}{\sqrt {u}}}$ sa valeur connue ${\sqrt {\frac {1}{2}}}\,\pi ,$ on trouve de la même manière

$\int {\frac {du\,\cos .u}{\sqrt {\overset {\;}{u}}}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\,\pi \,;$

Et de ces deux équations on pourrait aussi conclure la suivante :

$\int \limits _{0}^{\infty }dq\,e^{-q^{2}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }},$ qui est employée depuis long-temps.

361.

On peut résoudre, au moyen des équations $(e)$ et $(\varepsilon ),$ le problème suivant, qui appartient aussi à l’analyse des différences partielles : Quelle est la fonction $\mathrm {Q}$ de la variable $q$ qui doit être placée sous le signe intégral pour que l’expression $\int dq\,\mathrm {Q} \,e^{-qx}$ soit égale à une fonction donnée, l’intégrale étant prise de $q$ nulle à $q$ infinie ; mais sans s’arrêter à ces diverses conséquences dont l’examen nous éloignerait de notre objet principal, on se bornera au résultat suivant, que l’on obtient en combinant les deux équations $(e)$ et $(\varepsilon ).$ Elles peuvent être mises sous cette forme :

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\,\pi \,fx&=\int \limits _{0}^{\infty }dq\,\sin .qx\int \limits _{0}^{\infty }d\alpha \,f\alpha \,\sin .q\alpha \\\mathrm {et} \quad {\frac {1}{2}}\,\pi \,\mathrm {F} x&=\int \limits _{0}^{\infty }dq\,\cos .qx\int \limits _{0}^{\infty }d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \,\cos .q\alpha \\\end{aligned}}$

Si l’on prenait les intégrales par rapport à $\alpha$, depuis $-{\tfrac {1}{0}}$ jusqu’à

$+{\tfrac {1}{0}},$ le résultat de chaque intégration serait doublé, ce

qui est une conséquence nécessaire des deux conditions

$f\alpha =-f(-\alpha ),\quad \mathrm {et} \quad \mathrm {F} \alpha =\mathrm {F} (-\alpha ),$

on a donc les deux équations

${\begin{aligned}\pi \,fx&=\int \limits _{0}^{\infty }dq\,\sin .qx\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,f\alpha \,\sin .q\alpha \\\mathrm {et} \quad \pi \,\mathrm {F} x&=\int \limits _{0}^{\infty }dq\,\cos .qx\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \,\cos .q\alpha .\end{aligned}}$

On a remarqué précédemment qu’une fonction quelconque $\varphi x$ se décompose toujours en deux autres, dont l’une, $\mathrm {F} x$ satisfait à la condition $\mathrm {F} x=\mathrm {F} (-x),$ et dont l’autre $fx$ satisfait à la condition $fx=-f(-x).$ On a aussi les deux équations

$0=\int d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \,\sin .q\alpha \quad \mathrm {et} \quad 0=\int d\alpha \,f\alpha \,\cos .q\alpha ,$

on en conclut

${\begin{aligned}\pi (\mathrm {F} x+fx)=\pi \,\varphi x&=\int \limits _{0}^{\infty }dq\,\sin .qx\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,f\alpha \,\sin .q\alpha ,\\&+\int \limits _{0}^{\infty }dq\,\cos .qx\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \,\cos .q\alpha ,\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {et} \quad \pi \,\varphi x&=\int \limits _{0}^{\infty }dq\,\sin .qx\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\varphi \alpha \,\sin .q\alpha ,\\&+\int \limits _{0}^{\infty }dq\,\cos .qx\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\varphi \alpha \,\cos .q\alpha ,\\\end{aligned}}$

$\mathrm {ou} \quad \pi \,\varphi x=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\varphi \alpha .\int \limits _{0}^{\infty }dq\,(\sin .qx\,\sin .q\alpha +\cos .qx\,\cos .q\alpha )$

$\mathrm {ou} \;\mathrm {enfin} \quad \varphi x={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\varphi \alpha \int \limits _{0}^{\infty }dq\,\cos .\left(q(x-\alpha )\right).\qquad \qquad (\mathrm {E} )$

L’intégration par rapport à $q$ donne une fonction de $x$ et $\alpha ,$ et la seconde intégration ferait disparaître la variable $\alpha .$ Ainsi la fonction représentée par l’intégrale définie $\int dq\,\cos .(q\,{\overline {x-\alpha }})$ a cette singulière propriété, que si on la multiplie par une fonction quelconque $\varphi \alpha$ et par $d\alpha ,$ et si l’on intègre par rapport à $\alpha$ entre des limites infinies, le résultat est égal à $\pi \,\varphi x\,;$ en sorte que l’effet de l’intégration est de changer $\alpha$ en $x$ et de multiplier par le nombre $\pi .$

362.

On pourrait déduire directement l’équation (E) du théorème rapporté dans l’art. 234, p. 256 et 257, qui donne le développement d’une fonction quelconque $\mathrm {F} x$ en série de sinus et de cosinus d’arcs multiples. On passe de cette dernière proposition à celles que nous venons de démontrer en donnant une valeur infinie aux dimensions. Chaque terme de la série devient dans ce cas une quantité différentielle. Ces transformations des fonctions en suites trigonométriques sont des éléments de la théorie analytique de la chaleur ; il est indispensable d’en faire usage pour résoudre les questions qui dépendent de cette théorie.

La réduction des fonctions arbitraires en intégrales définies, telles que l’expriment l’équation (E), et les deux équations élémentaires dont elle dérive donne lieu à diverses conséquences que l’on omettra ici parce qu’elles ont un rapport moins direct avec la question physique. On fera seulement remarquer que ces mêmes équations se présentent quelquefois dans le calcul sous d’autres formes. On obtient par exemple ce résultat :

$\varphi x={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }d\alpha \,\varphi \alpha \int \limits _{0}^{\infty }dq\,\cos .\left(q\,{\overline {x-\alpha }}\right),\qquad (\mathrm {E} ')$

qui diffère de l’équation (E), en ce que les limites de l’intégrale prises par rapport à $\alpha$ sont 0 et ${\tfrac {1}{0}}$ au lieu d’être $-{\tfrac {1}{0}}$ et $+{\tfrac {1}{0}}.$ Il faut considérer dans ce cas que les deux équations (E) et (E’) donnent pour le second membre des valeurs égales lorsque la variable $x$ est positive. Si cette variable est négative, l’équation (E’) donne toujours pour le second membre une valeur nulle. Il n’en est pas de même de l’équation (E), dont le second membre équivaut $\pi \,\varphi x,$ soit que l’on donne à $x$ une valeur positive ou une valeur négative. Quant à l’équation (E’) elle résoud le problème suivant. Trouver une fonction de $x$ telle que si $x$ est positive, la valeur de la fonction soit $\varphi x,$ et que si $x$ est négative, la valeur de la fonction soit toujours nulle.

363.

La question de la propagation de la chaleur dans une ligne infinie peut encore être résolue en donnant à l’intégrale de l’équation aux différences partielles une forme différente que nous ferons connaître dans l’article suivant. Nous examinerons auparavant le cas où la source de la chaleur est constante.

Supposons que la chaleur initiale étant répartie d’une manière quelconque dans la barre infinie, on entretienne la tranche A à une température constante, tandis qu’une partie de la chaleur communiquée se dissipe par la surface extérieure. Il s’agit de déterminer l’état du prisme après un temps donné, ce qui est l’objet de la seconde question que nous nous sommes proposée. En désignant par 1 la température constante de l’extrémité A, par 0 celle du milieu, on aura $e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {HL} }{\mathrm {KS} }}}}$ pour l’expression de la température finale du point situé à la distance $x$ de cette extrémité, ou seulement $e^{-x}$ en supposant, pour simplifier le calcul, que la quantité ${\frac {\mathrm {HL} }{\mathrm {K.S} }}$ soit égale à l’unité. Désignant par $v$ la température variable du même point après le temps écoulé $t,$ on a, pour déterminer $v$ cette équation

${\frac {dv}{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-{\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {C.D.S} }}\cdot v,$

soit maintenant $\qquad \qquad e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {HL} }{\mathrm {KS} }}}}+u',$

on aura $\;{\frac {du'}{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-{\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {C.D.S} }},\quad \mathrm {ou} \quad {\frac {du'}{dt}}=k{\frac {d^{2}u'}{dx^{2}}}-hu',$

en remplaçant ${\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}$ par $k$ et ${\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {C.D.S} }}$ par $h.$ Si l’on fait

$u'=e^{-ht}u\quad \mathrm {on} \;\mathrm {a} \quad {\frac {du}{dt}}=k{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\,;$

la valeur de $u$ ou $v-e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {HL} }{\mathrm {K.S} }}}}$ en celle de la différence entre la température actuelle et la température finale ; cette différence $u,$ qui tend de plus en plus à s’évanouir, et dont la dernière valeur est nulle équivaut d’abord à

$\mathrm {F} x-e^{-x{\sqrt {\frac {h}{k}}}},$

en désignant par $\mathrm {F} x$ la température initiale d’un point situé

à la distance $x.$ Soit $fx$ l’excès de cette température initiale sur la température finale, il faudra trouver pour $u$ une fonction qui satisfasse à l’équation ${\frac {du}{dt}}=k{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-hu,$ et qui ait pour valeur initiale $fx,$ et pour valeur finale 0. Au point A, ou $x=0,$ la quantité $v-e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {K.S} }}}}$ a, par hypothèse, une valeur constante égale à 0. On voit par-là que $u$ représente une chaleur excédente qui est d’abord accumulée dans le prisme, et qui ensuite s’évanouit, soit en se propageant à l’infini, soit en se dissipant dans le milieu. Ainsi pour représenter l’effet qui résulte de réchauffement uniforme de l’extrémité A d’une ligne infiniment prolongée, il faut concevoir 1^o que cette ligne est aussi prolongée à la gauche du point A, et que chaque point situé à droite est présentement affecté de la température initiale excédente ; 2^o que l’autre moitié de la ligne à la gauche du point A est dans un état contraire ; en sorte qu’un point placé à la distance $-x$ du point A a pour température initiale $-fx\,:$ ensuite la chaleur commence à se mouvoir librement dans l’intérieur de la barre, et à se dissiper à la surface. Le point A conserve la température 0, et tous les autres points parviennent insensiblement au même état. C’est ainsi que l’on peut ramener le cas où le foyer extérieur communique incessamment une nouvelle chaleur, à celui où la chaleur primitive se propage dans l’intérieur du solide. On pourrait donc résoudre la question proposée de la même manière que celle de la diffusion de la chaleur, articles (347) et (353) ; mais afin de multiplier les moyens de résolution dans une matière aussi nouvelle, on employera l’intégrale sous une forme différente de celle

que nous avons considérée jusqu’ici.

364.

On satisfait à l’équation ${\frac {du}{dt}}=k{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}$ en supposant $u$ égale à $e^{-x}e^{kt}.$ Or cette dernière fonction de $x$ et $t$ peut être mise sous la forme d’intégrale définie, ce qui se déduit très-facilement de la valeur connue de $\int dq\,e^{-q^{2}}.$ On a en effet ${\sqrt {\pi }}=\int dq\,e^{-q^{2}},$ lorsque l’intégrale est prise de $q=-{\tfrac {1}{0}}$ à $q=+{\tfrac {1}{0}}.$ On aura donc aussi ${\sqrt {\pi }}=\int dq\,e^{-(q+b)^{2}},$ $b$ étant une constante quelconque et les limites de l’intégrale étant les mêmes qu’auparavant. De l’équation

${\sqrt {\pi }}=e^{-b^{2}}\int dq\,e^{-(q^{2}+2bq)},$

on conclut, en faisant $b^{2}=kt$

$e^{kt}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}\,e^{-2q{\sqrt {kt}}},$

donc la valeur précédente de $u$ ou $e^{-x}.e^{kt}$ équivaut à

${\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}\,e^{-(x+2q{\sqrt {kt}})}\,;$

on pourrait aussi supposer $u$ égale à la fonction

$a\,e^{-nx}\,e^{kn^{2}t},$

$a$ et $n$ étant deux constantes quelconques ; et l’on trouvera de même que cette fonction équivaut à

${\frac {a}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}\,e^{-n(x+2q{\sqrt {kt}})}.$

On peut donc prendre en général pour valeur de $u$ la somme d’une infinité de valeurs semblables, et l’on aura

${\begin{aligned}u=\int dq\,e^{-q^{2}}\left(a_{1}\,e^{-n_{1}(x+2q{\sqrt {kt}})}\right.&+a_{2}\,e^{-n_{2}(x+2q{\sqrt {kt}})}\\&+\left.a_{3}\,e^{-n_{3}(x+2q{\sqrt {kt}})}+\mathrm {etc.} \right)\end{aligned}}$

Les constantes $a_{1}\,a_{2}\,a_{3}$ etc., et $n_{1}\,n_{2}\,n_{3}$ etc. étant indéterminées, la série représente une fonction quelconque de

$x+2q{\sqrt {kt}}\,;\quad \mathrm {on} \,\mathrm {a} \;\mathrm {donc} \quad u=\int dq\,e^{-q^{2}}\,\varphi (x+2q{\sqrt {kt}}).$

L’intégrale doit être prise de $u=-{\tfrac {1}{0}}$ à $u={\tfrac {1}{0}}$, et la valeur de $u$ satisfera nécessairement a l’équation ${\frac {du}{dt}}=k{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}.$ Cette intégrale, qui contient une fonction arbitraire, n’était point connue lorsque nous avons entrepris nos recherches sur la théorie de la chaleur, qui ont été remises à l’Institut de France dans le mois de décembre 1807 : elle a été donnée par M. Laplace, dans un ouvrage qui fait partie du tome VI des Mémoires de l’école polytechnique ; nous ne faisons que l’appliquer à la détermination du mouvement linéaire de la chaleur. On en conclut

$v=e^{-ht}\int dq\,e^{-q^{2}}\,\varphi (x+2q{\sqrt {kt}})-e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {KS} }}}},$

lorsque $t=0$ la valeur de $u$ est $\mathrm {F} x-e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {K.S} }}}}$ ou $fx$ donc $\varphi x=\int dq\,e^{-q^{2}}\,\varphi x$ et $\varphi x={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}fx.$ Ainsi la fonction arbitraire qui entre dans l’intégrale, est déterminée au moyen de la fonction donnée $fx,$ et l’on a l’équation suivante, qui contient la solution de la question

$v=-e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {KS} }}}}+{\frac {e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}f(x+2q{\sqrt {kt}})\,:$

il est facile de représenter ce résultat par une construction.

365.

Nous appliquerons la solution précédente au cas où tous les points de la ligne AB ayant la température initiale 0, on échauffe l’extrémité A pour la retenir continuellement à la température 1. Il en résulte que $\mathrm {F} x$ a une valeur nulle lorsque $x$ diffère de 0. Ainsi $fx$ équivaut à $-e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {K\,S} }}}},$ toutes les fois que $x$ diffère de 0, et à 0, lorsque $x$ est nulle. D’un autre côté il est nécessaire qu’en faisant $x$ négative, la valeur de $fx$ change de signe, en sorte que l’on a la condition $f(-x)=-fx.$ On connaît ainsi la nature de la fonction discontinue $fx\,;$ elle est $-e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}}$ lorsque $x$ surpasse 0, et $+e^{x{\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}}$ lorsque $x$ est moindre que 0. Il faut maintenant écrire au lieu de $x$ la quantité $x+2q{\sqrt {kt}}.$ Pour trouver $u$ ou $\int dq\,e^{-q^{2}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}f(x+2q{\sqrt {kt}}),$ on prendra d’abord l’intégrale depuis

$x+2q{\sqrt {kt}}=0\quad$ jusqu’à $\quad x+2q{\sqrt {kt}}={\tfrac {1}{0}}$

et ensuite depuis $x+2q{\sqrt {kt}}={\tfrac {1}{0}}$ jusqu’à $x+2q{\sqrt {kt}}=0.$ Pour la première partie on a

$-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}\,e^{-(x+2q{\sqrt {kt}}){\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}},$

et remplaçant $k$ par sa valeur ${\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}$ on a

$-\int {\frac {dq}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-q^{2}}\,e^{-\left(x+2q{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}\right){\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}},$

ou $\;-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}}\int dq\,e^{-q^{2}}.e^{-2q{\sqrt {{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}\cdot t\,}}},$

ou $\;-{\frac {e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}}}{\sqrt {\pi }}}\,e^{{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}t\,}<\int dq\,e^{-\left(q+{\sqrt {{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}\cdot t\,}}\right)^{2}}.$

En désignant par $r$ la quantité $q+{\sqrt {{\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {C.D.S} }}\cdot t\,}},$ l’expression précédente est $-{\frac {e^{-x}}{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {K.S} }}}.e^{{\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {C.D.S} }}\cdot t\,}\int dr\,e^{-r^{2}}\;$ cette intégrale $\int dr\,e^{-r^{2}}\;$ doit être prise par hypothèse depuis

$x+2q{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t\,}{\mathrm {C.D} }}}=0\quad$ jusqu’à $\quad x+2q{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t\,}{\mathrm {C.D} }}}={\tfrac {1}{0}},$

ou depuis

$q=-{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t\,}{\mathrm {C.D} }}}}}\quad$ jusqu’à $\quad q={\tfrac {1}{0}},$

ou de $\quad r={\sqrt {{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}\cdot t\,}}-{\frac {x}{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t\,}{\mathrm {C.D} }}}}\quad$ jusqu’à $\quad r={\tfrac {1}{0}}\,;$

la seconde partie de l’intégrale est

${\begin{aligned}&{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}\,e^{\left(x+2q{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}\right){\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}},\\\mathrm {ou} \quad &{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{x{\sqrt {\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {K\,S} }}}}\int dq\,e^{-q^{2}}.e^{2q{\sqrt {{\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {C.D.S} }}\cdot t\,}}},\\\mathrm {ou} \quad &{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{x{\sqrt {\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {K\,S} }}}}.e^{{\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {C.D.S} }}\cdot t\,}\int dr\,e^{-r^{2}},\\\end{aligned}}$

en désignant par $r$ la quantité $q-{\sqrt {{\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {C.D.S} }}\cdot t\,}}.$ L’intégrale $\int dre^{-r^{2}}$ doit être prise d’après l’hypothèse depuis

$x+2q{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}=-{\tfrac {1}{0}}\quad \mathrm {jusqu'{\grave {a}}} \quad x+2q{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}=0$

ou de $\quad q=-{\tfrac {1}{0}}\quad$ à $\quad q=-{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}},\quad$ c’est-à-dire, depuis

$r=-{\tfrac {1}{0}}\quad$ jusqu’à $\quad r=-{\sqrt {{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}\cdot t\,}}-{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}$

Ces deux premières limites peuvent, d’après la nature de la fonction $e^{-r^{2}}$, être remplacées par celles-ci :

$r={\sqrt {{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}\,t\,}}+{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}},\quad$ et $\quad r={\tfrac {1}{0}}$

Il suit de là que la valeur de $u$ est exprimée ainsi :

$u=e^{x{\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}}.e^{{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}t}\int dr\,e^{-r^{2}}-e^{x{\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}}.e^{{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}t}\int dr\,e^{-r}$

la première intégrale doit être prise depuis

$r={\sqrt {{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}t}}+{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\quad \mathrm {jusqu'{\grave {a}}} \quad r={\tfrac {1}{0}},$

et la seconde depuis

$r={\sqrt {{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}t}}-{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\quad \mathrm {jusqu'{\grave {a}}} \quad r={\tfrac {1}{0}}.$

Représentons maintenant par $\psi \mathrm {R}$ l’intégrale ${\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dr\,e^{-r^{2}}$ depuis $r=\mathrm {R}$ jusqu’à $r={\tfrac {1}{0}}$ et l’on aura

${\begin{aligned}u&=e^{{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}t}.e^{x{\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}}\psi \left({\sqrt {{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}t}}+{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)\\&-e^{{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}t}.e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}}\psi \left({\sqrt {{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}t}}-{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right).\\\end{aligned}}$

donc $u'$ qui équivaut à $e^{-{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}t}.u$ a pour expression

$e^{x{\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}}\psi \left({\sqrt {{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}t}}+{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)-e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}}\psi \left({\sqrt {{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}t}}-{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right),$

${\begin{aligned}\mathrm {et} \quad v=e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}}&-e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}}\psi \left({\sqrt {{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}t}}-{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)\\&+e^{x{\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}}\psi \left({\sqrt {{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}t}}+{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right).\\\end{aligned}}$

La fonction désignée par $\psi \mathrm {R}$ est connue depuis long-temps

et l’on peut calculer facilement, soit au moyen des séries convergentes, soit par les fractions continues, les différentes valeurs que reçoit cette fonction, lorsqu’on met au milieu de $\mathrm {R}$ des quantités données ; ainsi l’application numérique

de la solution n’est sujette à aucune difficulté.

366.

Si l’on fait $\mathrm {H}$ nulle, on a

$v=1-\left\{\psi \left(-{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)-\psi \left({\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)\right\}.$

Cette équation représente la propagation de la chaleur dans une barre infinie, dont tous les points étaient d’abord à la température 0, et dont l’extrémité est élevée et entretenue à la température constante 1. On suppose que la chaleur ne peut se dissiper par la surface extérieure de la barre ; ou, ce qui est la même chose, que cette barre a une épaisseur infiniment grande. Cette dernière valeur de $v$ fait donc connaître la loi suivant laquelle la chaleur se propage dans un solide terminé par un plan infini, en supposant que ce mur infiniment épais, a d’abord dans toutes ses parties une température constante initiale 0, et que l’on assujettit la surface à une température constante 1. Il ne sera point inutile de faire observer quelques résultats de cette solution.

En désignant par $\varphi (\mathrm {R} )$ l’intégrale ${\tfrac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dr\,e^{-r^{2}}$ prise depuis $r=0$ jusqu’à $r=\mathrm {R}$ ; on a lorsque $\mathrm {R}$ est une quantité positive,

$\psi (\mathrm {R} )={\frac {1}{2}}-\varphi (\mathrm {R} )\quad \mathrm {et} \quad \psi (-\mathrm {R} )={\frac {1}{2}}+\varphi (\mathrm {R} ),$

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Bonne continuation parmi nous, Théorie analytique de la chaleur !

Les contributeurs de Wikisource

--F0x1 (d) 8 septembre 2023 à 17:02 (UTC)

donc

$\psi (-\mathrm {R} )-\psi (\mathrm {R} )=2\varphi (\mathrm {R} )\quad \mathrm {et} \quad v=1-2\varphi \left({\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)\,;$

en développant l’intégrale $\varphi (\mathrm {R} )$ on a

$\varphi (\mathrm {R} )={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\left(\mathrm {R} -{\frac {1}{1}}\cdot {\frac {1}{3}}\mathrm {R} ^{3}+{\frac {1}{1.2}}\cdot {\frac {1}{5}}\mathrm {R} ^{5}-{\frac {1}{1.2.3}}\cdot {\frac {1}{7}}\mathrm {R} ^{7}+\mathrm {etc.} \right)\,;$

donc

${\frac {1}{2}}v{\sqrt {\pi }}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}-{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}+{\frac {1}{1}}\,{\frac {1}{3}}\cdot \left({\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)^{3}-{\frac {1}{1.2}}\,{\frac {1}{5}}\cdot \left({\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)^{5}+\mathrm {etc.}$

1^o Si l’on suppose $x$ nulle, on trouvera $v=1$ ; 2^o si $x$ n’étant point nulle, on suppose $t=0$ ; la somme des termes qui contiennent $x$ représente l’intégrale $\int dr\,e^{-r^{2}}$ prise depuis $r=0$ jusqu’à $r={\tfrac {1}{0}}$ et par conséquent équivaut à $\mathrm {{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}} \,;$ donc $v$ est nulle ; 3^o différents points du solide placés à des profondeurs différentes $x_{1}\,x_{2}\,x_{3}$ etc., parviennent à une même température après des temps différents $t_{1}\,t_{2}\,t_{3}$ etc., qui sont proportionnels aux quarrés des longueurs $x_{1}\,x_{2}\,x_{3}$ etc. ; 4^o Pour comparer les quantités de chaleur qui traversent pendant un instant infiniment petit une section $\mathrm {S}$ placée dans l’intérieur du solide à la distance $x$ du plan échauffé, on prendra la valeur de la quantité $-\mathrm {KS} {\frac {dv}{dx}}$ et l’on aura

${\begin{aligned}&-\mathrm {K\,S} {\frac {dv}{dt}}={\frac {2\mathrm {S.K} }{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\cdot {\sqrt {\pi }}\left\{1-{\frac {1}{1}}\cdot \left({\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)^{2}+{\frac {1}{1.2}}\cdot \left({\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)^{4}\right.\\&\left.-{\frac {1}{1.2.3}}\left({\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)^{6}+\mathrm {etc.} \right\}=\mathrm {S} \cdot {\frac {{\sqrt {\mathrm {C.D} }}.{\sqrt {\mathrm {K} }}}{{\sqrt {t}}\,{\sqrt {\pi }}}}e^{-\left({\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)^{2}}\,;\\\end{aligned}}$

ainsi l’expression de la quantité ${\frac {dv}{dx}}$ est entièrement dégagée du signe intégral. La valeur précédente à la surface du solide échauffé est $\mathrm {S} \cdot {\tfrac {{\sqrt {\mathrm {C.D} }}.{\sqrt {\mathrm {K} }}}{{\sqrt {\pi }}\,{\sqrt {t}}}}$ ce qui fait connaître comment le flux de chaleur à la surface varie avec les quantités $\mathrm {C.D\,K} ,\,t\,;$ pour trouver combien le foyer communique de chaleur au solide pendant un temps écoulé $t,$ on prendra l’intégrale

$\int \mathrm {S} \cdot {\frac {{\sqrt {\mathrm {C.D} }}.{\sqrt {\mathrm {K} }}}{\sqrt {\pi }}}\,{\frac {dt}{\sqrt {t}}}\quad \mathrm {ou} \quad {\frac {2\mathrm {S} \,{\sqrt {\mathrm {C.D} }}.{\sqrt {\mathrm {K} }}.{\sqrt {t}}}{\sqrt {\pi }}}\,:$

ainsi la chaleur acquise croît proportionnellement à la racine quarrée du temps écoulé.

367.

On peut traiter par une analyse semblable la question de la diffusion de la chaleur qui dépend aussi de l’intégration de l’équation ${\frac {dv}{dt}}=k{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-hv.$ On représentera par $fx$ la température initiale d’un point de la ligne placée à la distance $x$ de l’origine, et l’on cherchera à déterminer quelle doit être la température de ce même point après un temps $t,$ faisant $v=e^{-ht}.z,$ on aura ${\frac {dz}{dt}}=k{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}},$ et par conséquent $z=\int dq\,e^{-q^{2}}\varphi (x+2q{\sqrt {kt}}).$ Lorsque $t=0$ on doit avoir

$v=fx=\int dq\,e^{-q^{2}}\,\varphi x\quad \mathrm {ou} \quad \varphi x={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}fx\,;$ donc

$v={\frac {e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}\,f(x+2q{\sqrt {kt}}).$

Pour appliquer cette expression générale, au cas où une partie de la ligne depuis $x=-\alpha$ jusqu’à $x=\alpha$ est uniformément échauffée, tout le reste du solide étant à la température 0, il faut considérer que le facteur $f(x+2q{\sqrt {kt}})$ qui multiplie $e^{-q^{2}}$ a, selon l’hypothèse, une valeur constante 1, lorsque la quantité qui est sous le signe de la fonction est comprise entre $-\alpha$ et $\alpha ,$,et que toutes les autres valeurs de ce facteur sont nulles. Donc l’intégrale $\int dq\,e^{-q^{2}}$ doit être prise depuis $x+2q{\sqrt {kt}}=-\alpha$ jusqu’à $x+2q{\sqrt {kt}}=\alpha ,$ ou depuis $q={\frac {-x-\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}$ jusqu’à $q={\frac {-x+\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}.$ En désignant comme ci-dessus par ${\tfrac {1}{\sqrt {\pi }}}\psi \mathrm {R}$ l’intégrale $\int dr\,e^{-r^{2}}$ prise depuis $r=\mathrm {R}$ jusqu’à $r={\tfrac {1}{0}},$ on aura

$v=e^{-ht}\left\{\psi \left({\frac {-x-\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}\right)-\psi \left({\frac {-x+\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}\right)\right\}.$

368.

Nous appliquerons encore l’équation générale

$v={\frac {e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}\,f(x+2q{\sqrt {kt}}),$

au cas où la barre infinie échauffée par un foyer d’une intensité constante 1 est parvenue à des températures fixes, et se refroidit ensuite librement dans un milieu entretenu à la température 0. Pour cela il suffit de remarquer que la fonction initiale désignée par $fx$ équivaut à $e^{-x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}$ tant que la variable $x$ qui est sous le signe de fonction est positive, et que cette même fonction équivaut à $e^{x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}$ lorsque la variable qui est affectée du signe $\textstyle \int$ est moindre que 0. Donc

${\begin{aligned}v={\frac {e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}&\left(\int dq\,e^{-q^{2}}\,e^{-x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}\,e^{-2q{\sqrt {kt}}}\right.\\&\left.\int dq\,e^{-q^{2}}\,e^{-x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}\,e^{2q{\sqrt {kt}}}\right)\\\end{aligned}}$

la première intégrale doit être prise depuis

$x+2q{\sqrt {kt}}=0\quad \mathrm {jusqu'{\grave {a}}} \quad x+2q{\sqrt {kt}}={\tfrac {1}{0}},$

et la seconde depuis

$x+2q{\sqrt {kt}}=-{\tfrac {1}{0}}\quad \mathrm {jusqu'{\grave {a}}} \quad x+2q{\sqrt {kt}}=0.$

La première partie de la valeur de $v$ est

${\frac {e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}e^{-x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}\cdot \int dq\,e^{-q^{2}}\,e^{-2q{\sqrt {ht}}},$

ou $\quad {\frac {e^{-x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-\left(q+{\sqrt {ht}}\right)^{2}},$

ou $\quad {\frac {e^{-x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}}{\sqrt {\pi }}}\int dr\,e^{-r^{2}}\,;$

en faisant $r=q+{\sqrt {ht}}.$ L’intégrale doit être prise depuis

$q={\frac {-x}{2{\sqrt {kt}}}}\quad \mathrm {jusqu'{\grave {a}}} \quad q={\tfrac {1}{0}},$

ou depuis $\quad ir={\sqrt {ht}}-{\frac {x}{2{\sqrt {kt}}}}\quad \mathrm {jusqu'{\grave {a}}} \quad r={\tfrac {1}{0}}\cdot$

La seconde partie de la valeur de $v$ est

${\frac {e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}\,e^{x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}\int dq\,e^{-q^{2}}.e^{2q{\sqrt {ht}}}\quad \mathrm {ou} \quad e^{x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}\int dr\,e^{-r^{2}}\,;$

en faisant $r=q-{\sqrt {ht}}.$ L’intégrale doit être prise de

$r=-{\tfrac {1}{0}}\;{\grave {a}}\;r=-{\sqrt {ht}}-{\frac {x}{2{\sqrt {kt}}}},\;\;\mathrm {ou} \;\mathrm {de} \;\;r={\sqrt {ht}}+{\frac {x}{2{\sqrt {kt}}}}\;{\grave {a}}\;r={\tfrac {1}{0}},$

on en conclut l’expression suivante :

$v=e^{-x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}\,\psi \left({\sqrt {ht}}-{\frac {x}{2{\sqrt {kt}}}}\right)+e^{x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}\,\psi \left({\sqrt {ht}}+{\frac {x}{2{\sqrt {kt}}}}\right).$

369.

On a obtenu art. (367) l’équation

$v=e^{-ht}\left\{\psi \left({\frac {-x-\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}\right)-\psi \left({\frac {-x+\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}\right)\right\}.$

pour exprimer la loi de la diffusion de la chaleur dans une barre peu épaisse, échauffée uniformément à son milieu entre les limites données $x=-\alpha ,\,x=+\alpha .$ On avait précédemment résolu la même question en suivant une méthode différente, et l’on était parvenu, en supposant $\alpha =1$ à l’équation

$v={\frac {2}{\pi }}e^{-ht}\int {\frac {dq}{q}}\,\cos .qx\,\sin .q.e^{-q^{2}kt}\qquad \mathrm {art.} \;(348).$

Pour comparer ces deux résultats, on supposera dans l’un et l’autre $x=0\,;$ désignant encore par $\psi (\mathrm {R} )$ l’intégrale

$\int dr\,e^{-r^{2}}$

prise depuis $r=0$ jusqu’à $r=\mathrm {R}$, on a

$v=e^{-ht}\left\{\psi \left({\frac {-\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}\right)-\psi \left({\frac {\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}\right)\right\},$

${\begin{aligned}\mathrm {ou} \qquad v={\frac {2e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}&\cdot \left\{{\frac {\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}-{\frac {1}{1}}{\frac {1}{3}}\cdot \left({\frac {\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}\right)^{3}\right.\\&\left.+{\frac {1}{1.2}}\cdot {\frac {1}{5}}\,\left({\frac {\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}\right)^{5}-{\frac {1}{1.2.3}}\,{\frac {1}{7}}\,\left({\frac {\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}\right)^{7}+\mathrm {etc.} \right\}\\\end{aligned}}$

d’un autre côté on doit avoir

$v={\frac {2}{\pi }}e^{-ht}\int {\frac {dq}{q}}\,\sin .q\,e^{-q^{2}kt},\qquad \mathrm {ou}$

$v={\frac {2}{\pi }}e^{-ht}\int dqe^{-q^{2}kt}\left(1-{\frac {q^{2}}{2.3}}+{\frac {q^{4}}{2.3.4.5}}-{\frac {q^{6}}{2.3.4.5.6.7}}+\mathrm {etc.} \right)$

Or l’intégrale $\int du\,e^{-u^{2}}.u^{2m}$ prise depuis $u=0$ jusqu’à $u={\tfrac {1}{0}}$ a une valeur connue, $m$ étant un nombre entier positif. On a en général

$\int du\,e^{-u^{3}}.u^{2m}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdot {\frac {5}{2}}\cdot {\frac {7}{2}}\cdots \cdot {\frac {2m-1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\,;$

l’équation précédente donne donc, en faisant $q^{2}kt=u^{2},$

${\begin{aligned}v={\frac {2e^{-ht}}{\pi {\sqrt {kt}}}}\int du\,e^{-u^{2}}&\left(1-{\frac {u^{2}}{2.3}}\cdot {\frac {1}{kt}}+{\frac {u^{4}}{2.3.4.5}}\cdot {\frac {1}{k^{2}t^{2}}}\right.\\&\left.-{\frac {u^{6}}{2.3.4.5.6.7}}\cdot {\frac {1}{k^{3}t^{3}}}+\mathrm {etc.} \right),\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {ou} \quad v={\frac {2e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}\left[{\frac {1}{2{\sqrt {kt}}}}-{\frac {1}{1}}{\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{2{\sqrt {kt}}}}\right)^{3}\right.&+{\frac {1}{1.2}}{\frac {1}{5}}\left({\frac {1}{2{\sqrt {kt}}}}\right)^{5}\\&\left.-{\frac {1}{1.2.3}}{\frac {1}{7}}\left({\frac {1}{2{\sqrt {kt}}}}\right)^{7}+\mathrm {etc.} \right].\\\end{aligned}}$

Cette équation est la même que la précédente, lorsqu’on suppose $\alpha =1.$ On voit par-là que ces intégrales, que l’on a obtenues par des procédés différents, conduisent aux mêmes séries convergentes, et l’on parvient aussi à deux résultats identiques, quelle que soit la valeur de $x.$

On pourrait, dans cette question comme dans la précédente, comparer les quantités de chaleur qui, dans un instant donné, traversent différentes sections du prisme échauffé, et l’expression générale de ces quantités ne contient aucun signe d’intégration ; mais, sans s’arrêter à ces remarques, on terminera cette section par la comparaison des différentes formes que l’on a données à l’intégrale de l’équation qui représente la diffusion de la chaleur dans une ligne infinie.

370.

Pour satisfaire à l’équation ${\frac {du}{dt}}=\mathrm {K} {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}},$ on peut supposer $u=e^{-x}.e^{kt},$ et en gênerai $u=e^{-nx}.e^{n^{2}kt},$ on en déduit facilement, art. 364, l’intégrale

$u=\int dq\,e^{-q^{2}}\,\varphi \left(x+2q{\sqrt {kt}}\right).$

De l’équation connue $\textstyle {\sqrt {\pi }}=\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dq\,e{-q^{2}}$ on conclut celle-ci

$\textstyle {\sqrt {\pi }}=\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dq\,e^{-(q+a)^{2}},$ $a$ étant une constante quelconque ;

on a donc $\qquad e^{a^{2}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}\,e^{-2aq^{2}},\quad$ ou

$e^{a^{2}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}\left(1-2aq+{\frac {2^{2}a^{2}q^{2}}{2}}-{\frac {2^{3}a^{3}q^{3}}{2.3}}+\mathrm {etc.} \right).$

Cette équation a lieu, quelle que soit la valeur de $a.$ On peut développer le premier membre ; et, par la comparaison des termes, on obtiendra les valeurs déjà connues de l’intégrale $\int dq\,e^{-q^{2}}\,q^{n}.$ Cette valeur est nulle lorsque $n$ est impair, et l’on trouve, lorsque $n$ est un nombre pair $2m,$

$\int dq\,e^{-q^{2}}\,q^{2m}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdot {\frac {5}{2}}\cdot {\frac {7}{2}}\cdots \cdot {\frac {2m-1}{2}}\cdot {\sqrt {\pi }}.$

371.

On a employé précédemment pour l’intégrale de l’équation ${\frac {du}{dt}}=k{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}$ l’expression

$u=a_{1}e^{-n_{1}^{2}kt}\cos .n_{1}x+a_{2}e^{-n_{2}^{2}kt}\cos .n_{2}x+a_{3}e^{-n_{3}^{2}kt}\cos .n_{3}x+\mathrm {etc.}$

ou celle-ci

$u=a_{1}e^{-n_{1}^{2}kt}\sin .n_{1}x+a_{2}e^{-n_{2}^{2}kt}\sin .n_{2}x+a_{3}e^{-n_{3}^{2}kt}\sin .n_{3}x+\mathrm {etc.}$

$a_{1}\,a_{2}\,a_{3}\,a_{4}\dots$ etc. et $n_{1}\,n_{2}\,n_{3}\,n_{4}$ etc. étant deux séries de constantes arbitraires. Il est aisé de voir que chacun de ces termes équivaut à l’intégrale $\int dq\,e^{-q^{2}}\,\sin .n\left(x+2q{\sqrt {kt}}\right)$ ou

$\int dq\,e^{-q^{2}}\,\cos .n\left(x+2q{\sqrt {kt}}\right).$

En effet, pour déterminer la valeur de l’intégrale

$\int dq\,e^{-q^{2}}\,\sin .\left(x+2q{\sqrt {kt}}\right)\,;$

on lui donnera la forme suivante :

$\int dq\,e^{-q^{2}}\,\sin .x\,\cos .2q{\sqrt {kt}}+\int dq\,e^{-q^{2}}\,\cos .x\,\sin .2q{\sqrt {kt}}\,;$

ou celle-ci,

${\begin{aligned}&\int dq\,e^{-q^{2}}\,\sin .x\left({\frac {e^{2q{\sqrt {-kt}}}}{2}}+{\frac {e^{-2q{\sqrt {-kt}}}}{2}}\right)\\&\quad +\int dq\,e^{-q^{2}}\,\cos .x\left({\frac {e^{2q{\sqrt {-kt}}}}{2{\sqrt {-1}}}}-{\frac {e^{-2q{\sqrt {-kt}}}}{2{\sqrt {-1}}}}\right),\\\end{aligned}}$

qui équivaut à

${\begin{aligned}&e^{-kt}\sin .x\left({\frac {1}{2}}\int dq\,e^{-\left(q-{\sqrt {-kt}}\right)^{2}}+{\frac {1}{2}}\int dq\,e^{-\left(q+{\sqrt {-kt}}\right)^{2}}\right)\\+&e^{-kt}\cos .x\left({\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\int dq\,e^{-\left(q-{\sqrt {-kt}}\right)^{2}}-{\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\int dq\,e^{-\left(q+{\sqrt {-kt}}\right)^{2}}\right)\\\end{aligned}}$

l’intégrale $\int dq\,e^{-\left(q\pm {\sqrt {-kt}}\right)^{2}}$ prise depuis $q=-{\tfrac {1}{0}}$ jusqu’à $q={\tfrac {1}{0}}$ est ${\sqrt {\pi }},$ on a donc pour la valeur de l’intégrale $\int dq\,e^{-q^{2}}\,\sin .(x+2q{\sqrt {kt}})$ la quantité $e^{-kt}\sin .x.{\sqrt {\pi }},$ et en général

$e^{-n^{2}kt}\,\sin .(nx){\sqrt {\pi }}=\int dq\,e^{-q^{2}}\,\sin .n\left(x+2q{\sqrt {kt}}\right),$

on déterminera de la même manière l’intégrale

$\int dq\,e^{-q^{2}}\,\cos .n\left(x+2q{\sqrt {kt}}\right),$

dont la valeur est $e^{-n^{2}kt}\cos .(nx).{\sqrt {\pi }}.$

On voit par-là que l’intégrale

${\begin{aligned}e^{-n_{1}^{2}kt}(a_{1}\sin .n_{1}x&+b_{1}\cos .n_{1}x)+e^{-n_{2}^{2}kt}(a_{2}\sin .n_{2}x+b_{2}\cos .n_{2}x)\\&+e^{-n_{3}^{2}kt}(a_{3}\sin .n_{3}x+b_{3}\cos .n_{3}x)+\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

équivaut à

$\int dq\,e^{-q^{2}}\left\{{\begin{array}{l}a_{1}\sin .n_{1}\left(x+2q{\sqrt {kt}}\right)+a_{2}\sin .n_{2}\left(x+2q{\sqrt {kt}}\right)+\mathrm {etc.} \\b_{1}\cos .n_{1}\left(x+2q{\sqrt {kt}}\right)+b_{2}\cos .n_{2}\left(x+2q{\sqrt {kt}}\right)+\mathrm {etc.} \\\end{array}}\right\}.$

La valeur de la série représente, comme on l’a vu précédemment, une fonction quelconque de $x+2q{\sqrt {kt}}\,;$ ainsi l’intégrale générale sera exprimée ainsi :

$v=\int dq\,e^{-q^{2}}\varphi \left(x+2q{\sqrt {kt}}\right).$

Au reste, l’intégrale de l’équation ${\frac {du}{dt}}=k{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}$ peut être présentée sous divers autres formes. Toutes ces expressions sont nécessairement identiques.

SECTION DEUXIÈME.

Du mouvement libre de la chaleur dans un solide infini.

372.

L’intégrale de l’équation ${\frac {dv}{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}\cdot {\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}\quad ({\boldsymbol {a}})$ fournit immédiatement celle de l’équation à quatre variables

$\qquad \qquad \qquad \quad {\frac {dv}{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}\left({\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}\right),\qquad \qquad ({\boldsymbol {\mathrm {A} }})$

comme nous l’avons déjà remarqué en traitant la question de la propagation de la chaleur dans un cube solide. C’est pour cela qu’il suffit en général de considérer l’effet de la diffusion dans le cas linéaire. Lorsque les corps n’ont point leurs dimensions infinies, la distribution de la chaleur est continuellement troublée par le passage du milieu solide au milieu élastique ; ou, pour employer les expressions propres à l’analyse, la fonction qui détermine la température ne doit pas seulement satisfaire à l’équation aux différences partielles et à l’état initial ; elle est encore assujettie à des conditions qui dépendent de la figure de la surface. Dans ce cas l’intégrale a une forme plus difficile à connaître, et il faut examiner la question avec beaucoup plus de soin pour passer du cas d’une coordonnée linéaire à celui des trois coordonnées orthogonales : mais lorsque la masse solide n’est point interrompue, aucune condition accidentelle ne s’oppose à la libre diffusion de la chaleur. Cet élément se meut de la même manière dans tous les sens.

La température variable $v$ d’un point d’une ligne infinie est exprimée par l’équation

$v={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dq\,e^{-q^{3}}f(x+2q{\sqrt {t}})\qquad \qquad ({\boldsymbol {i}}),$

$x$ désigne la distance entre un point fixe O, et le point m, dont la température équivaut à $v$ après le temps écoulé $t.$ On suppose que la chaleur ne peut se dissiper par la surface extérieure de la barre infinie, et l’état initial de cette barre est exprimé par l’équation $v=fx.$ L’équation différentielle à laquelle la valeur de v doit satisfaire est celle-ci :

${\frac {dv}{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}\cdot {\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}\qquad \qquad ({\boldsymbol {a}})\,;$

Mais pour simplifier le calcul, on écrit ${\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}\qquad \qquad ({\boldsymbol {b}})\,;$

Ce qui suppose que l’on emploie au lieu de $t$ une autre indéterminée $t$ égal à ${\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}.$

Si dans une fonction de $x$ et de constantes $fx$ on substitue $x+2n{\sqrt {t}}$ à $x,$ et si, après avoir multiplié par ${\frac {dn}{\sqrt {\pi }}}e^{-n^{2}},$ on intègre par rapport à $n$ entre des limites infinies, l’expression ${\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dn\,e^{-n^{2}}\,f(x+2n{\sqrt {t}})$) satisfera, comme on l’a démontré plus haut, à l’équation différentielle $(b)$ ; c’est-à-dire que cette expression a la propriété de donner une même valeur pour la fluxion seconde par rapport à x, et pour la fluxion première par rapport à $t.$ D’après cela il est évident qu’une fonction de trois variables $f(x,y,z)$ jouira d’une semblable propriété, si l’on substitue au lieu de $x,\,y,\,z,$ les quantités

$x+2n{\sqrt {t}},\quad y+2p{\sqrt {t}},\quad z+2q{\sqrt {t}},$

et si l’on intègre après avoir multiplié par

${\frac {dn}{\sqrt {\pi }}}e^{-n^{2}t},\quad {\frac {dp}{\sqrt {\pi }}}e^{-p^{2}t},\quad {\frac {dq}{\sqrt {\pi }}}e^{-q^{2}t},$

En effet, la fonction que l’on forme ainsi,

${\frac {1}{\pi ^{\frac {3}{2}}}}\int dn\int dp\int dq\,e^{-(n^{2}+p^{2}+q^{2})}f\left(x+2n{\sqrt {t}},y+2p{\sqrt {t}},z+2q{\sqrt {t}}\right),$

donnera trois termes pour la fluxion par rapport à $t,$ et ces trois termes sont ceux que l’on trouverait en prenant la fluxion seconde pour chacune des trois variables $x,\,y,\,z.$ Donc l’équation

$v=\pi ^{-{\frac {3}{2}}}\!\int \!dn\int \!dp\int \!dq\,e^{-(n^{2}+p^{2}+q^{2})}f\!\left(x\!+\!2n{\sqrt {t}},y\!+\!2p{\sqrt {t}},z\!+\!2q{\sqrt {t}}\!\right)\;({\boldsymbol {\mathrm {I} }}),$

donne une valeur de $v$ qui satisfait à l’équation aux différences partielles

${\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}\qquad ({\boldsymbol {\mathrm {B} }}).$

373.

Supposons maintenant qu’une masse solide sans figure, (c’est-à-dire qui remplit l’espace infini) contienne une quantité de chaleur dont la distribution actuelle est connue. Soit $v=\mathrm {F} (x,y,z)$ l’équation qui exprime cet état initial et arbitraire, en sorte que la molécule dont les coordonnées sont $x,\,y,\,z$ à une température initiale égale à la valeur de la fonction donnée $\mathrm {F} (x,y,z).$ On peut se représenter que la chaleur initiale est contenue dans une certaine partie de la masse dont le premier état est donné au moyen de l’équation $v=\mathrm {F} (x,y,z),$ et que tous les autres points ont une température initiale nulle. Il s’agit de connaître quel sera, après un temps donné, le système des températures. Il faut par conséquent exprimer la température variable $v$ par une fonction $\varphi (x,y,z,t)$ qui doit satisfaire à l’équation générale (A) et à la condition $\varphi (x,y,z,0)=\mathrm {F} (x,y,z).$ Or la valeur de cette fonction est donnée par l’intégrale

$v=\pi ^{-{\frac {3}{2}}}\int dn\int dp\int dq\,e^{-(n^{2}+p^{2}+q^{2})t}\mathrm {F} \left(x+2n{\sqrt {t}}\right).$

En effet, cette fonction $v$ satisfait à l’équation (A), et si l’on y fait $t=0,$ on trouve

$\pi ^{-{\frac {3}{2}}}\int dn\int dp\int dq\,e^{-(n^{2}+p^{2}+q^{2})t}\mathrm {F} (x,y,z).$

ou, en achevant les intégrations, $\mathrm {F} (x,y,z).$

374.

Puisque la fonction $v$ ou $\varphi (x,y,z,t)$ représente l’état initial lorsqu’on y fait $t=0,$ et qu’elle satisfait à l’équation différentielle de la propagation de la chaleur, elle représente aussi l’état du solide qui a lieu au commencement du second instant, et en faisant varier le second état, on en conclut que la même fonction représente le troisième état du solide, et tous les états subséquens. Ainsi la valeur de $v,$ que l’on vient de déterminer, contenant une fonction entièrement arbitraire des trois variables $x,y,z$ donne la solution de la question ; et l’on ne peut supposer qu’il y ait une expression plus générale, quoique d’ailleurs la même intégrale puisse être mise sous des formes très-diverses.

Au lieu d’employer l’équation

$v={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}f\left(x+2q{\sqrt {t}}\right),$

On pourrait donner une autre forme à l’intégrale de l’équation ${\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}\,;$ et il serait toujours facile d’en déduire l’intégrale qui convient au cas des trois dimensions. Le résultat que l’on obtiendrait serait nécessairement le même que le précédent.

Pour donner un exemple de ce calcul nous ferons usage de la valeur particulière qui nous a servi à former l’intégrale exponentielle.

Reprenant donc l’équation ${\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}\quad ({\boldsymbol {b}}),$ nous donnerons à $v$ la valeur très-simple $e^{-n^{2}t}\cos .nx,$ qui satisfait évidemment à l’équation différentielle $(b).$ En effet, on en tire ${\frac {dv}{dt}}=-n^{2}v$ et ${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}=-n^{2}v.$ Donc l’intégrale

$\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dn\,e^{-n^{2}t}\cos .nx$

convient aussi à l’équation $(b)\,;$ car cette valeur de $v$ est formée de la somme d’une infinité de valeurs particulières. Or, l’intégrale

$\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dn\,e^{-n^{2}t}\cos .nx$

est connue, et l’on sait qu’elle équivaut à ${\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{4\,t}}}}{{\sqrt {\pi }}.{\sqrt {t}}}}.$ (Voyez l’article suivant.) Cette dernière fonction de $x$ et $t$ convient donc aussi avec l’équation différentielle $(b).$ Il est d’ailleurs très-facile de reconnaître immédiatement que la valeur particulière ${\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{4\,t}}}}{\sqrt {t}}}$ satisfait à l’équation dont il s’agit.

Ce même résultat aura lieu si l’on remplace la variable $x$ par $x-\alpha ,$ $\alpha$ étant une constante quelconque. On peut donc employer comme valeur particulière la fonction ${\frac {\mathrm {A} e^{-{\frac {(x-\alpha )^{2}}{4\,t}}}}{\sqrt {t}}},$ dans laquelle on attribue à $\alpha$ une valeur quelconque. Par conséquent la somme $\int d\alpha \,f\alpha {\frac {\mathrm {A} e^{-{\frac {(x-\alpha )^{2}}{4\,t}}}}{\sqrt {t}}}$ satisfait aussi à l’équation différentielle $(b)$ ; car cette somme se compose d’une infinité de valeurs particulières de la même forme, multipliées par des constantes arbitraires. Donc on peut prendre pour valeur de $v$ dans l’équation ${\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}$ celle-ci :

$v=\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}d\alpha \,f\alpha .\mathrm {A} {\frac {e^{\frac {-(x-\alpha )^{2}}{4\,t}}}{\sqrt {t}}}$

$\mathrm {A}$ étant un coëfficient constant. Si dans cette dernière intégrale on suppose ${\frac {(x-\alpha )^{2}}{4\,t}}=q^{2},$ en faisant aussi $\mathrm {A} ={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}},$ on

aura $\quad v=\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}d\alpha \,f\alpha .{\frac {e^{\frac {-(\alpha -x)^{2}}{4\,t}}}{2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}}\qquad ({\boldsymbol {i}})$

ou $\quad v={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}\,f(x+2q{\sqrt {t}}).\qquad ({\boldsymbol {i}})$

On voit par-là comment l’emploi des valeurs particulières

$e^{-n^{2}t}\,\cos .nx\qquad \mathrm {ou} \qquad {\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{4\,t}}}}{\sqrt {t}}}$

conduit à l’intégrale sous forme finie.

375.

La relation qu’ont entre elles ces deux valeurs particulières, se découvre lorsqu’on détermine l’intégrale

$\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dn\,e^{-n^{2}t}\,\cos .nx.$

Pour effectuer l’intégration, on pourrait développer le facteur $\cos .nx,$ et intégrer par rapport à $n.$ On obtient ainsi une série qui représente un développement connu ; mais on déduit plus facilement ce résultat de l’analyse suivante. L’intégrale $\int dn\,e^{-n^{2}t}\,\cos .nx$ se rapporte à celle-ci :

$\int dp\,e^{-p^{2}}\,\cos .2pu\,;$

en supposant $n^{2}t=p^{2}$ et $nx=2pu.$ On a ainsi

$\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dn\,e^{-n^{2}t}\,\cos .nx={\frac {1}{\sqrt {t}}}\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dp\,e^{-p^{2}}\,\cos .2pu.$

On écrira maintenant

${\begin{aligned}\int dp\,e^{-p^{2}}\!\cos .2pu&={\frac {1}{2}}\int dp\,e^{-p^{2}+2pu{\sqrt {-1}}}+{\frac {1}{2}}\int dp\,e^{-p^{2}-2pu{\sqrt {-1}}}\\&={\frac {1}{2}}e^{-u^{2}}\!\!\int \!dp\,e^{-p^{2}+2pu{\sqrt {-1}}+u^{2}}\!+\!{\frac {1}{2}}e^{-u^{2}}\!\!\int \!dp\,e^{-p^{2}-2pu{\sqrt {-1}}+u^{2}}\\&={\frac {1}{2}}e^{-u^{2}}\int dp\,e^{-\left(p-u{\sqrt {-1}}\right)^{2}}+{\frac {1}{2}}e^{-u^{2}}\int dp\,e^{-\left(p+u{\sqrt {-1}}\right)^{2}}\\\end{aligned}}$

Or chacune des intégrales qui entrent dans ces deux termes équivaut à ${\sqrt {\pi }}.$ En effet, on a en général

${\sqrt {\pi }}=\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dq\,e^{-q^{2}},$

et par conséquent

${\sqrt {\pi }}=\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dq\,e^{-(q+b)^{2}},$

quelle que soit la constante $b.$ On trouve donc, en faisant

$b=\mp u{\sqrt {-1}},\quad \int dq\,e^{-q^{2}}\,\cos .2qu=e^{-n^{2}}\,{\sqrt {\pi }},$

donc

$\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dn\,e^{-n^{2}t}\,\cos .nx={\frac {e^{-n^{2}}\,{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {t}}},$

et mettant pour $u$ sa valeur ${\frac {x}{2\,{\sqrt {t}}}},$ on aura

$\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dn\,e^{-n^{2}t}\,\cos .nx={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{4\,t}}}}{\sqrt {t}}}{\sqrt {\pi }}.$

Au reste la valeur particulière ${\frac {e^{\frac {-x^{2}}{4\,t}}}{\sqrt {t}}}$ est assez simple pour

qu’elle se présente immédiatement sans qu’il soit nécessaire de la déduire de celle-ci $e^{-n^{2}t}\cos .nx.$ Quoi qu’il en soit, il est certain que la fonction ${\frac {e^{\frac {-x^{2}}{4\,t}}}{\sqrt {t}}}$ satisfait à l’équation différentielle ${\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}\,;$ il en est de même par conséquent de

la fonction ${\frac {e^{\frac {-(x-\alpha )^{2}}{4\,t}}}{\sqrt {t}}},$ quelle que soit la quantité $\alpha .$

376.

Pour passer au cas des trois dimensions, il suffit de multiplier la fonction en $x$ et $t,$ ${\frac {e^{\frac {-(x-\alpha )^{2}}{4\,t}}}{\sqrt {t}}}$ par deux autres fonctions semblables l’une en $y$ et $t\,;$ le produit doit évidemment satisfaire à l’équation ${\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}.$ On prendra donc pour $v$ la valeur ainsi exprimée

$v={\frac {e^{\frac {-(x-\alpha )^{2}}{4\,t}}}{\sqrt {t}}}\cdot {\frac {e^{\frac {-(y-\beta )^{2}}{4\,t}}}{\sqrt {t}}}\cdot {\frac {e^{\frac {-(z-\gamma )^{2}}{4\,t}}}{\sqrt {t}}}\cdot$

Si maintenant on multiplie le second membre par $d\alpha ,\,d\beta ,\,d\gamma ,$ et par une fonction quelconque $f(\alpha ,\beta ,\gamma )$ des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma$ on trouvera, en indiquant l’intégration, une valeur de $v$ formée de la somme d’une infinité de valeurs particulières multipliées par des constantes arbitraires.

Il suit de là que la fonction $v$ peut être ainsi exprimée :

$v=\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}d\alpha \int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}d\beta \int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}d\gamma \,f(\alpha ,\beta ,\gamma ).t^{-{\frac {3}{2}}}\,e^{-{\frac {\left((\alpha -x)^{2}+(\beta -y)^{2}+(\gamma -z)^{2}\right)}{4\,t}}}\quad {\overset {\;}{({\boldsymbol {j}})}}$

Cette équation contient l’intégrale générale de la proposée (A) : le procédé qui nous a conduit à cette intégrale doit être remarqué par ce qu’il s’applique aux cas les plus variés ; il est principalement utile lorsque l’intégrale doit satisfaire à des conditions relatives à la surface. En l’examinant avec attention on reconnaîtra que les transformations qu’il exige sont toutes indiquées par la nature physique de la question. On peut aussi, dans l’équation $(j),$ changer d’indéterminées, en prenant

${\frac {(\alpha -x)^{2}}{4\,t}}=n^{2},\quad {\frac {(\beta -y)^{2}}{4\,t}}=p^{2},\quad {\frac {(\gamma -z)^{2}}{4\,t}}=q^{2},$

on aura, en multipliant le second membre par un coëfficient constant $\mathrm {A} ,$

$v=2^{3}.\mathrm {A} \!\int dn\!\int dp\!\int dq\,e^{-(n^{2}+p^{2}+q^{2})}f(x\!+\!2n{\sqrt {t}},y\!+\!2p{\sqrt {t}},z\!+\!2q{\sqrt {t}})$

Prenant les trois intégrales entre les limites $-{\tfrac {1}{0}}$ et $+{\tfrac {1}{0}},$ et faisant $t=0$ afin de connaître l’état initial, on trouvera $v=2^{3}.\mathrm {A} {\sqrt {\pi ^{3}}}f(x,y,z).$ Ainsi, en représentant les températures initiales connues par $\mathrm {F} (x,y,z),$ et donnant à la constante $\mathrm {A}$ la valeur ${\frac {1}{2^{3}{\sqrt {\pi ^{3}}}}},$ on parviendra à l’intégrale

$v=\pi ^{-{\frac {3}{2}}}\!\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dn\!\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dp\!\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dq\,e^{-n^{2}}.e^{-p^{2}}.e^{-q^{2}}.\mathrm {F} \left(x\!+\!2n{\sqrt {t}},y\!+\!2p{\sqrt {t}},z\!+\!2q{\sqrt {t}}\right)$

qui est la même que celle de l’article (372).

L’intégrale de l’équation (A) peut être mise sous plusieurs autres formes parmi lesquelles on choisit celle qui convient le mieux à la question que l’on se propose de résoudre. Il faut observer en général, dans ces recherches, que deux fonctions $\varphi (x,y,z,t)$ sont les mêmes lorsqu’elles satisfont l’une et l’autre à l’équation différentielle (A), et lorsqu’elles sont égales pour une valeur déterminée du temps. Il suit de ce principe que les intégrales, qui se réduisent, lorsque y fait $t=0,$ à une fonction arbitraire $\mathrm {F} (x,y,z),$ ont toutes le même degré de généralité ; elles sont nécessairement identiques.

Le second membre de l’équation différentielle $(a)$ était multiplié par ${\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }},$ et l’on a supposé dans l’équation $(b)$ ce coëfficient égal à l’unité. Il suffira, pour rétablir cette quantité dans le calcul, d’écrire ${\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}$ au lieu de $t,$ dans l’intégrale $(i)$ ou dans l’intégrale (I). Nous indiquerons maintenant quelques-unes des conséquences que l’on déduit de ces équations.

377.

La fonction qui sert d’exposant au nombre $e,$ ne peut représenter qu’un nombre absolu, ce qui suit des principes généraux du calcul, comme on l’a prouvé explicitement dans la section IX du chapitre II page 152. Si dans cet exposant on remplace l’indéterminée $t$ par ${\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }},$ on voit que les dimensions de $\mathrm {K,\,C,\,D}$ et $t,$ par rapport à l’unité de longueur étant $-1$, 0, $-3$ et 0, la dimension du dénominateur ${\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}$ est 2 comme celle de chaque terme du numérateur, en sorte que la dimension totale de l’exposant est 0. Considérons le cas où la valeur du temps $t$ augmente de plus en plus, et pour simplifier cet examen, employons d’abord l’équation

$v=\int d\alpha \,f\alpha {\frac {e^{\frac {-(\alpha -x)^{2}}{4\,t}}}{2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}}\qquad \qquad ({\boldsymbol {i}})$

qui représente la diffusion de la chaleur dans une ligne infinie. Supposons que la chaleur initiale est contenue dans une portion donnée de la ligne, depuis $x=-h$ jusqu’à $x=+g,$ et que l’on attribue à $x$ une valeur déterminée $\mathrm {X} ,$ qui fixe la position d’un certain point m de cette ligne. Si le temps $t$ croît sans limite, les termes ${\frac {-\alpha ^{2}}{4\,t}}$ et $+{\frac {2\alpha \mathrm {X} }{4\,t}}$ qui entrent dans l’exposant deviendront des nombres absolus de plus en plus petits, en sorte que, dans le produit

$e^{-{\frac {x^{2}}{4\,t}}}.e^{\frac {2\alpha x}{4\,t}}\,e^{-{\frac {\alpha ^{2}}{4\,t}}}.$

On pourra omettre les deux derniers facteurs qui se confondent sensiblement avec l’unité. On trouvera ainsi,

$v={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{4\,t}}}}{2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}}\int \limits _{-h}^{+g}d\alpha \,f\alpha .\qquad \qquad ({\boldsymbol {y}})$

C’est l’expression de l’état variable de la ligne après un temps très-long ; elle s’applique à toutes les parties de cette ligne qui sont moins éloignées de l’origine que le point m. L’intégrale définie $\textstyle \int \limits _{-h}^{+g}d\alpha \,f\alpha$ désigne la quantité de chaleur totale B contenue dans le solide, et l’on voit que la distribution primitive n’a plus d’influence sur les températures après un temps très-long. Elles ne dépendent plus que de la somme B, et non de la loi suivant laquelle la chaleur a été répartie.

378.

Si l’on suppose qu’un seul élément $\omega$ placé à l’origine a reçu la température initiale $f,$ et que tous les autres avaient la température 0, le produit $\omega f$ sera équivalent à l’intégrale $\textstyle \int \limits _{-h}^{+g}d\alpha \,f\alpha$ ou B. La constante $f$ sera extrêmement grande. puisqu’on suppose la ligne $\omega$ très-petite.

L’équation $v={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{4\,t}}}}{2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}}.\omega f$ représente le mouvement qui aurait lieu, si un seul élément placé à l’origine eût été échauffé. En effet, si l’on donne à $x$ une valeur quelconque $a,$ non infiniment petite, la fonction ${\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{4\,t}}}}{\sqrt {t}}}$ sera nulle lorsqu’on supposera $t=0.$ Il n’en sera pas de même si la valeur de $x$ est nulle. Dans ce cas la fonction ${\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{4\,t}}}}{\sqrt {t}}}$ reçoit au contraire une valeur infinie, si $t=0.$ On connaîtra distinctement la nature de cette fonction, si l’on applique les principes généraux de la théorie des surfaces courbes à la surface qui aurait pour équation $z={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{4\,y}}}}{\sqrt {y}}}.$

L’équation $v={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{4\,t}}}}{2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}}.\omega .f$ exprime donc la température variable d’un point quelconque du prisme, lorsqu’on suppose toute la chaleur initiale réunie dans un seul élément placé à l’origine. Cette hypothèse, quoique particulière, appartient à une question générale, parce qu’après un temps assez long, l’état variable du solide est toujours le même que si la chaleur initiale eût été rassemblée à l’origine. La loi suivant laquelle la chaleur a été distribuée, influe beaucoup sur les températures variables du prisme ; mais cet effet s’affaiblit de plus en plus, et finit par devenir entièrement insensible.

379.

Il est nécessaire de remarquer que l’équation réduite $(y)$ ne s’applique point à la partie de la ligne qui est placée au-delà du point m dont la distance a été désignée par $\mathrm {X} .$ En effet, quelque grande que soit la valeur de temps, on pourrait choisir une valeur de $x$ telle que le terme $e^{\frac {2\alpha x}{4\,t}}$ différât sensiblement de l’unité, et alors ce facteur ne doit pas être supprimé. Il faut donc se représenter que l’on a marqué de part et d’autre de l’origine O deux points, m et m’, placés à une certaine distance $\mathrm {X}$ ou $-\mathrm {X} ,$ et que l’on augmente de plus en plus la valeur du temps, en observant les états successifs de la partie de la ligne qui est comprise entre m et m’. Cet état variable convergera de plus en plus vers celui qui est exprimé par l’équation

$v={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{4\,t}}}}{2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}}\int \limits _{-h}^{+g}d\alpha \,f\alpha .\qquad \qquad ({\boldsymbol {y}})$

Quelle que soit la valeur attribuée à $\mathrm {X} ,$ on pourra toujours trouver une valeur du temps assez grande pour que l’état de la ligne m’Om ne diffère pas sensiblement de celui qu’exprime l’équation précédente $(y).$ Si l’on demande que cette même équation s’applique à d’autres parties plus éloignées de l’origine, il faudra supposer une valeur du temps plus grande que la précédente.

L’équation $(y),$ qui exprime dans tous les cas l’état final d’une ligne quelconque, fait voir qu’après un temps extrêmement long, les divers points acquièrent des températures presqu’égales, et que les températures d’un même point finissent par varier, en raison inverse de la racine quarrée des temps écoulés depuis le commencement de la diffusion. Les décroissements de la température d’un point quelconque deviennent toujours proportionnels aux accroissements du temps.

380.

Si l’on faisait usage de l’intégrale

$v=\int {\frac {d\alpha \,f\alpha .e^{\frac {-(\alpha -x)^{2}}{4\,kt}}}{2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {k}}{\sqrt {t}}}}\qquad \qquad ({\boldsymbol {i}})$

pour connaître l’état variable des points de la ligne placés à une grande distance de la portion échauffée, et que, pour exprimer cette dernière condition, on supprimât encore le facteur $e^{-\left({\frac {\alpha ^{2}-2\alpha x}{4\,kt}}\right)},$ les conséquences que l’on obtiendrait ne seraient pas exactes. En effet, en supposant que la portion échauffée s’étende seulement depuis $\alpha =0$ jusqu’à $\alpha =g$ et que la limite $g$ soit très-petite par rapport à la distance $x$ du point dont on veut déterminer la température ; la quantité $-{\frac {(\alpha -x)^{2}}{4\,kt}}$ qui forme l’exposant se réduit en effet à ${\frac {-x^{2}}{4\,k\,t}}\,;$ c’est-à-dire que la raison des deux quantités

${\frac {(\alpha -x)^{2}}{4\,k\,t}}\quad \mathrm {et} \quad {\frac {-x^{2}}{4\,k\,t}}$

approche d’autant plus de l’unité que la valeur de $x$ est plus grande par rapport à celle de $\alpha$ : mais il ne s’ensuit pas que l’on puisse remplacer l’une de ces quantités par l’autre dans l’exposant de $e.$ En général l’omission des termes subordonnés ne peut point avoir lieu ainsi dans les expressions exponentielles ou trigonométriques. Les quantités placées sous les signes de sinus ou de cosinus, ou sous le signe exponentiel $e$ sont toujours des nombres absolus, et l’on ne peut omettre que les parties de ces nombres, dont la valeur est extrêmement petite ; leurs valeurs relatives ne sont ici d’aucune considération. Pour juger si l’on peut réduire l’expression

$\int \limits _{0}^{g}d\alpha \;f\alpha \,e^{\frac {-(x-\alpha )^{2}}{4\,k\,t}}\quad$ à celle-ci $\quad e^{\frac {-x^{2}}{4\,k\,t}}\int \limits _{0}^{g}d\alpha \;f\alpha ,$

il ne faut pas examiner si le rapport de $x$ à $\alpha$ est très-grand, mais si les termes ${\frac {2\alpha x}{4\,k\,t}},\;{\frac {-\alpha ^{2}}{4\,k\,t}}$ sont des nombres très-petits. Cette condition a toujours lieu lorsque le temps écoulé $t$ est extrêmement grand ; mais elle ne dépend point du rapport ${\frac {x}{\alpha }}.$

381.

Supposons maintenant que l’on veuille connaître combien il doit s’écouler de temps pour que les températures de la partie du solide, comprise depuis $x=0$ jusqu’à $x=\mathrm {X} ,$ puissent être représentées à très-peu près par l’équation réduite

$v={\frac {e^{\frac {-x^{2}}{4\,k\,t}}}{2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {k}}{\sqrt {t}}}}\int \limits _{-h}^{+g}d\alpha \,f\alpha ,$

et que 0 et soient $g,$ les limites de la portion primitivement échauffée.

La solution exacte est donnée par l’équation

$v=\int \limits _{0}^{g}{\frac {d\alpha \,f\alpha \,e^{\frac {-(\alpha -x)^{2}}{4\,k\,t}}}{2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {k}}{\sqrt {t}}}}\qquad \qquad ({\boldsymbol {i}})$

et la solution approchée est donnée par l’équation

$v={\frac {e^{\frac {-x^{2}}{4\,k\,t}}}{2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {k}}{\sqrt {t}}}}\int \limits _{0}^{g}d\alpha \,f\alpha \,;\qquad ({\boldsymbol {y}})$

$k$ désignant la valeur ${\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}$ de la conducibilité. Pour que l’équation $(y)$ puisse être en général substituée à la précédente $(i),$ il faut que le facteur $e^{\frac {2\alpha x-\alpha ^{2}}{4\,k\,t}},$ qui est celui que l’on omet, diffère très-peu de l’unité ; car s’il était 1 ou ${\tfrac {1}{2}}$ on pourrait craindre de commettre une erreur égale à la valeur calculée, ou à la moitié de cette valeur. Soit donc $e^{\frac {2\alpha x-\alpha ^{2}}{4\,k\,t}}=1+\omega ,$ $\omega$ étant une petite fraction, comme ${\tfrac {1}{100}}$ ou ${\tfrac {1}{1000}}$ on en conclura la condition

${\frac {2\alpha x-\alpha ^{2}}{4\,k\,t}}=\omega \qquad \mathrm {ou} \qquad t={\frac {1}{\omega }}\left({\frac {2\alpha x-\alpha ^{2}}{4\,k\,t}}\right),$

et si la plus grande valeur $g$ que puisse recevoir la variable $\alpha$ est très-petite par rapport à $x,$ on aura $t={\frac {1}{\omega }}\cdot {\frac {g\,x}{2\,k}}.$

On voit par ce résultat que plus les points dont on veut déterminer la température au moyen de l’équation réduite, sont éloignés de l’origine, plus il est nécessaire que la valeur du temps écoulé soit grande. Ainsi la chaleur tend de plus en plus à se distribuer suivant une loi indépendante de réchauffement primitif. Après un certain temps, la diffusion est sensiblement opérée, c’est-à-dire que l’état du solide ne dépend plus que de la quantité de la chaleur initiale, et non de la distribution qui en avait été faite. Les températures des points assez voisins de l’origine ne tardent pas à être représentées sans erreur par l’équation réduite $(y)\,:$ mais il n’en est pas de même des points très-distants de ce foyer. On ne peut alors faire usage de la même équation que si le temps écoulé est extrêmement long. Les applications numériques rendront cette remarque plus sensible.

382.

Supposons que la substance dont le prisme est formé, est le fer, et que la portion de ce solide qui a été échauffée a un décimètre d’étendue, en sorte que $g=0,1.$ Si l’on veut connaître quelle sera, après un temps donné, la température d’un point m dont la distance à l’origine est un mètre, et si l’on emploie pour ce calcul l’intégrale approchée $(y),$ on commettra une erreur d’autant plus grande que la valeur du temps sera moindre. Cette erreur sera plus petite que la centième partie de la quantité cherchée, si le temps écoulé surpasse trois jours et demi.

Dans ce cas la distance comprise entre l’origine O et le point m dont on détermine la température, est seulement dix fois plus grande que la portion échauffée. Si ce rapport est cent au lieu d’être dix, l’intégrale réduite $(y)$ donnera la température à moins d’un centième près, lorsque la valeur du temps écoulé surpassera un mois. Pour que l’approximation soit admissible, il est nécessaire, en général, 1^o que la quantité ${\tfrac {2\alpha x-\alpha ^{2}}{4\,k\,t}}$ ne puisse équivaloir qu’à une très-petite fraction comme ${\tfrac {1}{1000}}$ ou ${\tfrac {1}{100}}$ au plus ; 2^o que l’erreur qui en doit résulter ait une valeur absolue beaucoup moindre que les petites quantités que l’on observe avec les thermomètres les plus sensibles.

Lorsque les points que l’on considère sont très-éloignés de la portion du solide qui a été primitivement échauffée, les températures qu’il s’agit de déterminer sont extrêmement petites ; ainsi l’erreur que l’on commettrait en se servant de l’équation réduite, aurait une très-petite valeur absolue ; mais il ne s’ensuit pas que l’on soit autorisé à faire usage de cette équation. Car si l’erreur commise, quoique très-petite, surpasse ou égale la quantité cherchée ; ou même si elle en est la moitié ou le quart, ou une partie notable, l’approximation doit être rejetée. Il est manifeste que dans ce cas l’équation approchée $(y)$ n’exprimerait point l’état du solide, et que l’on ne pourrait point s’en servir pour déterminer les rapports des températures simultanées de deux ou plusieurs points.

383.

Il suit de cet examen que l’on ne doit point conclure de l’intégrale $\;v={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {k}}{\sqrt {t}}}}\int \limits _{0}^{g}d\alpha \,f\alpha \,e^{\frac {-(\alpha -x)^{2}}{4\,k\,t}}\;$ que la loi de la distribution primitive n’influe pas sur la température des points très-éloignés de l’origine. L’effet résultant de cette distribution cesse bientôt d’avoir lieu pour les points voisins de la portion échauffée ; c’est-à-dire que leur température ne dépend plus que de la quantité de chaleur initiale, et non de la répartition qui en avait été faite : mais la grandeur de la distance ne concourt point à effacer l’empreinte de la distribution, elle la conserve au contraire pendant un très-long temps et retarde la diffusion de la chaleur. Ainsi l’équation

$v={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {e^{\frac {-x^{2}}{4\,k\,t}}}{\sqrt {4\,k\,t}}}\int \limits _{0}^{g}d\alpha \,f\alpha$

ne représente les températures des points extrêmement éloignés de la partie échauffée, qu’après un temps immense. Si on l’appliquait sans cette condition, on trouverait des résultats doubles ou triples des véritables ou même incomparablement plus grands ou plus petits ; et cela n’aurait pas lieu seulement pour des valeurs très-petites du temps ; mais pour de grandes valeurs, telles que, une heure, un jour, une année. Enfin cette expression serait d’autant moins exacte, toutes choses égales d’ailleurs, que les points seraient plus éloignés de la partie primitivement échauffée.

384.

Lorsque la diffusion de la chaleur s’opère dans tous les sens, l’état du solide est représenté comme on l’a vu par l’intégrale

$v=\iiint {\frac {d\alpha \,d\beta \,d\gamma }{2^{3}.{\sqrt {k^{3}\pi ^{3}t^{3}}}}}e^{-\left({\frac {(\alpha -x)^{2}+(\beta -y)^{2}+(\gamma -z)^{2}}{4\,k\,t}}\right)}f(\alpha ,\beta ,\gamma ).\quad ({\boldsymbol {j}})$

Si la chaleur initiale est contenue dans une portion déterminée de la masse solide, on connaîtra les limites qui comprennent cette partie échauffée, et les quantités $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,$ qui varient sous le signe intégral, ne pourront point recevoir de valeurs qui excèdent ces limites. Supposons donc que l’on marque sur les trois axes six points dont les distances sont $+\mathrm {X} ,$ $+\mathrm {Y} ,$ $+\mathrm {Z} ,$ et $-\mathrm {X} ,$ $-\mathrm {Y} ,$ $-\mathrm {Z} ,$ et que l’on considère les états successifs du solide compris entre les six plans qui passent à ces distances ; on voit que l’exposant de $e,$ sous le signe d’intégration, se réduit à $-\left({\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}}{4\,k\,t}}\right),$ lorsque la valeur du temps écoulé augmente sans borne. En effet, les termes tels que ${\frac {2\alpha x}{4kt}}$ et ${\frac {\alpha ^{2}}{4kt}}$ reçoivent dans ce cas des valeurs absolues très-petites, parce que les numérateurs sont compris entre des limites fixes, et que les dénominateurs croissent à l’infini. Ainsi les facteurs que l’on omet diffèrent extrêmement peu de l’unité. Donc l’état variable du solide, après une grande valeur du temps, a pour expression

$v={\frac {e^{\frac {-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{4\,k\,t}}}{2^{3}{\sqrt {k^{3}\pi ^{3}t^{3}}}}}\int d\alpha \int d\beta \int d\gamma \;f(\alpha ,\beta ,\gamma ).$

Le facteur $\int d\alpha \int d\beta \int d\gamma \,f(\alpha ,\beta ,\gamma )$ représente la quantité

totale de chaleur B que le solide contient. Ainsi le système des températures ne dépend point de la distribution de la chaleur initiale, mais seulement de sa quantité. On pourrait supposer que toute la chaleur initiale était contenue dans un seul élément prismatique placé à l’origine, et dont les dimensions, orthogonales et extrêmement petites seraient $\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}.$ La température initiale de cet élément serait désignée par un nombre extrêmement grand $f,$ et toutes les autres molécules du solide auraient une température initiale nulle. Le

produit $\omega _{1}\omega _{2}\omega _{3}f$ équivaut dans ce cas à l’intégrale

$\int d\alpha \int d\beta \int d\gamma \,f(\alpha ,\beta ,\gamma ).$

Quelque soit réchauffement initial, l’état du solide qui correspond à une valeur du temps très-grande, est le même que si toute la chaleur avait été réunie dans un seul élément placé à l’origine.

385.

Supposons maintenant que l’on ne considère que les points du solide dont la distance à l’origine est très-grande par rapport aux dimensions de la partie échauffée ; on pourrait d’abord penser que cette condition suffit pour réduire l’exposant de $e$ dans l’intégrale générale. En effet cet exposant est $-\left({\frac {(\alpha -x)^{2}+(\beta -y)^{2}+(\gamma -z)^{2}}{4\,k\,t}}\right)\,;$ et les variables $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ sont, par hypothèse, comprises entre des limites déterminées, en sorte que leurs valeurs sont toujours extrêmement petites, par rapport à la plus grande coordonnée d’un point très-éloigné de l’origine. Il suit de là que l’exposant de $e$ se compose de deux parties $\mathrm {M} +\mu$, dont l’une est très-petite par rapport à l’autre. Mais de ce que le rapport ${\tfrac {\mu }{\mathrm {M} }}$est une très-petite fraction, on ne peut pas conclure que l’exponentielle $e^{\mathrm {M} +\mu }$ devienne égale à $e^{\mathrm {M} },$ ou n’en diffère que d’une quantité très-petite par rapport à sa propre valeur. Il ne faut point considérer les valeurs relatives de $\mathrm {M}$ et $\mu ,$ mais seulement la valeur absolue de $\mu .$ Pour que l’on puisse réduire l’intégrale exacte $(j)$ à l’équation

$v=\mathrm {B} {\frac {e^{\frac {-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{4\,k\,t}}}{2^{3}{\sqrt {\pi ^{3}k^{3}t^{3}}}}},$

il est nécessaire que la quantité

${\frac {2\alpha x+2\beta y+2\gamma z-\alpha ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2}}{4\,k\,t}},$

dont la dimension est 0, soit toujours un nombre fort petit. Si l’on suppose que la distance de l’origine au point m dont on veut déterminer la température est très-grande par rapport à l’étendue de la partie qui a été d’abord échauffée, on examinera si la quantité précédente est toujours une très-petite fraction $\omega .$ Il faut que cette condition soit satisfaite, pour que l’on puisse employer l’intégrale approchée $v=\mathrm {B} \,2^{-3}\pi ^{-{\frac {3}{2}}}k^{-{\frac {3}{2}}}t^{-{\frac {3}{2}}}e^{\frac {-x^{2}}{4\,k\,t}}\,:$ mais cette équation ne représente point l’état variable de la partie de la masse qui est très-distante du foyer. Elle donne au contraire un résultat d’autant moins exact, toutes choses d’ailleurs égales, que les points dont on détermine la température sont plus éloignés du foyer.

La chaleur initiale contenue dans une portion déterminée de la masse solide pénètre successivement les parties voisines, et se répand dans tous les sens ; il n’en parvient qu’une quantité extrêmement petite aux points dont la distance à l’origine est très-grande. Lorsqu’on exprime par l’analyse la température de ces points, l’objet du calcul n’est pas de déterminer en nombre ces températures, qui ne sont point mesurables, mais de connaître leurs rapports. Or ces quantités dépendent certainement de la loi suivant laquelle la chaleur initiale a été distribuée, et l’effet de cette répartition initiale dure d’autant plus que les parties du prisme sont plus éloignées du foyer. Mais si les termes qui font partie de l’exposant, tels que ${\frac {2\alpha x}{4kt}}$ et ${\frac {\alpha ^{2}}{4kt}}$ ont des valeurs absolues qui décroissent sans limite, on doit employer les intégrales approchées.

Cette condition a lieu dans les questions où l’on se propose de déterminer les plus hautes températures des points très-éloignés de l’origine. En effet on peut démontrer que dans ce cas les valeurs du temps croissent dans un plus grand rapport que les distances, et qu’elles sont proportionnelles au quarré de ces distances, lorsque les points que l’on considère sont très-éloignés de l’origine. Ce n’est qu’après avoir établi cette proposition qu’on peut opérer la réduction sous l’exposant. Les questions de ce genre seront l’objet de la section suivante.

SECTION III.

Des plus hautes températures dans un solide infini.

386.

Nous considérerons en premier lieu le mouvement linéaire dans une barre infinie, dont une portion a été uniformément échauffée, et nous chercherons quelle doit être la valeur du temps écoulé pour qu’un point donné de cette ligne parvienne à sa plus haute température.

On désignera par $2g$ l’étendue de la partie échauffée dont le milieu correspond avec l’origine O des distances $x.$ Tous les points dont la distance à l’axe des $y$ est moindre que $g,$ et plus grande que $-g,$ ont par hypothèse une température initiale commune $f,$ et toutes les autres tranches ont la température initiale 0. On suppose qu’il ne se fait à la surface extérieure du prisme aucune déperdition de chaleur, ou, ce qui est la même chose, on attribue à la section perpendiculaire à l’axe des dimensions infinies. Il s’agit de connaître quel sera pour un point donné, dont la distance est $x,$ le temps $t$ qui répond au maximum de température.

On a vu, dans les articles précédents, que la température variable d’un point quelconque est exprimée par l’équation

$v={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {kt}}}}\int d\alpha \,f\alpha \,e^{\frac {-(\alpha -x)^{2}}{4\,k\,t}}$

Le coëfficient $k$ représente ${\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }},$ $\mathrm {K}$ étant la conducibilité spécifique, $\mathrm {C}$ la capacité de chaleur, et $\mathrm {D}$ la densité. On fera $k=1$ pour simplifier le calcul, et dans le résultat on écrira $k\,t$ ou ${\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}$ au lieu de $t.$ L’expression de $v$ est donc

$v={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}{\frac {f}{\sqrt {t}}}\int \limits _{-g}^{+g}d\alpha \,e^{\frac {-(\alpha -x)^{2}}{4\,t}}.$

Elle est l’intégrale de l’équation ${\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}.$ La fonction ${\frac {dv}{dx}}$ mesure la vitesse avec laquelle la chaleur s’écoule suivant l’axe du prisme. Or cette valeur de ${\frac {dv}{dx}}$ est donnée dans la question actuelle sans aucun signe d’intégrale. On a en effet

${\frac {dv}{dx}}={\frac {f}{2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}}\int \limits _{-g}^{+g}2\,d\alpha \,{\frac {(\alpha -x)}{4\,t}}e^{\frac {-(\alpha -x)^{2}}{4\,t}}.$

ou en achevant l’intégration

${\frac {dv}{dx}}={\frac {f}{2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}}\left\{e^{\frac {-(x+g)^{2}}{4\,t}}-e^{\frac {-(x-g)^{2}}{4\,t}}\right\}$

387.

La fonction ${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}$ peut donc aussi être exprimée sans signe d’intégrale ; or elle équivaut à la fluxion du premier ordre ${\frac {dv}{dt}}\,;$ donc en égalant à zéro cette valeur de ${\frac {dv}{dt}}$ qui mesure l’accroissement instantané de la température d’un point quelconque, on aura la relation cherchée entre $x$ et $t.$ On trouve ainsi

${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}={\frac {f}{2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}}\left({\frac {-2(x+g)}{4\,t}}e^{\frac {-(x+g)^{2}}{4\,t}}+2{\frac {(x-g)}{4\,t}}e^{\frac {-(x-g)^{2}}{4\,t}}\right)={\frac {dv}{dt}},$

$\mathrm {ce} \;\mathrm {qui} \;\mathrm {donne} \quad (x+g)\,e^{\frac {-(x+g)^{2}}{4\,t}}=(x-g)\,e^{\frac {-(x-g)^{2}}{4\,t}}\,;$

$\mathrm {on} \;\mathrm {en} \;\mathrm {conclut} \qquad t={\frac {g\,x}{\log .\left({\frac {x+g}{x-g}}\right)}}.$

On a supposé ${\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}=1.$ Pour rétablir le coëfficient, il faut écrire ${\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}$ au lieu de $t$ et l’on a

$t={\frac {g.\mathrm {C.D} }{\mathrm {K} }}{\frac {x}{\log .\left({\frac {x+g}{x-g}}\right)}}.$

Les plus hautes températures se succèdent suivant la loi exprimée par cette équation. Si l’on suppose qu’elle représente le mouvement varié d’un corps qui décrit une ligne droite, $x$ étant l’espace parcouru, et $t$ le temps écoulé, la vitesse du mobile sera celle du maximum de température.

Lorsque la quantité $g$ est infiniment petite, c’est-à-dire lorsque toute la chaleur initiale est réunie dans un seul élément placé à l’origine, la valeur de $t$ se réduit à ${\tfrac {0}{0}}$ et par la différentiation ou le développement en série, on trouve ${\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}={\frac {x^{2}}{2}}.$

On a fait abstraction de la quantité de chaleur qui se dissipe par la surface du prisme ; nous allons maintenant avoir égard à cette déperdition, et nous supposerons que la chaleur initiale est contenue dans un seul élément de la barre prismatique infinie.

388.

Dans la question précédente on a déterminé l’état variable d’un prisme infini dont une portion déterminée était affectée dans tous les points d’une température initiale $f.$ On supposait que la chaleur initiale était distribuée dans une étendue finie depuis $x=0$ jusqu’à $x=b.$ On suppose maintenant que la même quantité de chaleur $bf$ est contenue dans un élément infiniment petit, depuis $x=0$ jusqu’à $x=\omega .$ La température de la tranche échauffée sera donc ${\frac {f\,b}{\omega }},$ et il résulte de ce qui a été dit précédemment, que l’état variable du solide sera exprimé par l’équation

$v={\frac {f.b}{\sqrt {\pi }}}\,{\frac {e^{\frac {-x^{2}}{4\,k\,t}}}{2{\sqrt {kt}}}}\cdot e^{-ht}\,;\qquad \qquad ({\boldsymbol {a}})$

ce résultat a lieu lorsque le coëfficient ${\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}$ qui entre dans l’équation différentielle ${\frac {dv}{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}\cdot {\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-hv,$ est désigné par $k.$ Quant au coëfficient $h,$ il équivaut à ${\frac {\mathrm {H} \,l}{\mathrm {C.D.S} }}\,;$ on désigne par $\mathrm {S}$ l’aire de la section du prisme, par $l$ le contour de cette section, et par $\mathrm {H}$ la conducibilité de la surface extérieure. En substituant ces valeurs dans l’équation $(a)$ on a

$v={\frac {b\,f}{\sqrt {\pi }}}{\frac {e^{-x^{2}\cdot {\frac {\mathrm {C.D} }{4\,k\,t}}}}{2{\sqrt {t}}.{\sqrt {\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}}}}\,e^{-{\frac {\mathrm {H} \,l}{\mathrm {C.D.S} }}\cdot t}\qquad ({\boldsymbol {\mathrm {A} }})$

$f$ représente la température moyenne initiale, c’est-à-dire celle qu’aurait un seul point, si l’on distribuait également la chaleur initiale entre tous les points d’une portion de la barre dont la longueur serait $b,$ ou, plus simplement, l’unité de mesure. Il s’agit de déterminer la valeur du temps écoulé $t,$ qui répond au maximum de température d’un point donné.

Pour résoudre cette question, il suffit de déduire de l’équation $(a)$ la valeur de ${\frac {dv}{dt}}$ et de l’égaler à zéro, on aura

${\frac {dv}{dt}}=-hv+{\frac {x^{2}}{4\,k\,t^{2}}}v-{\frac {1}{2}}t^{-1}.v,\quad \mathrm {et} \quad {\frac {1}{t^{2}}}-{\frac {2k}{x^{2}}}{\frac {1}{t}}={\frac {4\,h\,k}{x^{2}}}\quad ({\boldsymbol {b}})$

donc la valeur $\theta ,$ du temps qui doit s’écouler pour que le point placé à la distance $x$ atteigne sa plus haute température, est exprimé par l’équation

$\theta \,k={\frac {1}{{\frac {1}{x^{2}}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{4}}}+{\frac {4\,h}{k\,x^{2}}}}}}}.\qquad ({\boldsymbol {c}})$

Pour connaître la plus haute température $\mathrm {V} ,$ on remarquera que l’exposant de $e^{-1}$ dans l’équation $(a)$ est $ht+{\frac {x^{2}}{4\,k\,t}}.$ Or l’équation $(b)$ donne $ht={\frac {x^{2}}{4\,k\,t}}-{\frac {1}{2}}\,;$ donc $ht+{\frac {x^{2}}{4\,k\,t}}={\frac {x^{2}}{2\,k\,t}}-{\frac {1}{2}}$ et, mettant pour ${\frac {1}{t}}$ sa valeur connue, on a $ht+{\frac {x^{2}}{4\,k\,t}}={\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\frac {h}{k}}x^{2}}}\,;$ substituant cet exposant de $e^{-1}$ dans l’équation $(a),$ on a

$\mathrm {V} ={\frac {b\,f}{2{\sqrt {\pi }}}}\cdot {\frac {e^{-{\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\frac {h}{k}}x^{2}}}}}{{\sqrt {k}}{\sqrt {\theta }}}}\,;$

et remplaçant ${\sqrt {\theta .k}}$ par sa valeur connue, on trouve, pour l’expression du maximum $\mathrm {V}$

$\mathrm {V} ={\frac {b\,f}{2{\sqrt {\pi }}}}e^{-{\sqrt {{\frac {h}{k}}x^{2}+{\frac {1}{4}}}}}.{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+{\sqrt {{\frac {4h}{k}}{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {1}{x^{4}}}}}}}\qquad ({\boldsymbol {d}})$

Les équations $(c)$ et $(d)$ contiennent la solution de la question ; on remplacera $h$ et $k$ par leurs valeurs ${\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {C.D.S} }}$ et ${\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}:$ on peut aussi écrire ${\frac {1}{2}}g$ au lieu de ${\frac {s}{l}},$ en représentant par $g$ la demi-épaisseur du prisme dont la base est un quarré. On aura, pour déterminer $\mathrm {V}$ et $\theta ,$ les équations

${\begin{array}{cr}\displaystyle \mathrm {V} ={\frac {b\,f}{2{\sqrt {\pi }}}}\cdot {\frac {e^{-{\sqrt {{\frac {2\mathrm {H} }{\mathrm {K} \,g}}x^{2}+{\frac {1}{4}}}}}}{x}}\textstyle {\sqrt {1+2{\sqrt {{\frac {2\mathrm {H} }{\mathrm {K} \,g}}x^{2}+{\frac {1}{4}}}}}},&\quad ({\boldsymbol {\mathrm {D} }})\\\displaystyle {\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}\theta ={\frac {x^{2}}{1+2{\sqrt {{\frac {2\mathrm {H} }{\mathrm {K} \,g}}x^{2}+{\frac {1}{4}}}}}}.&\quad ({\boldsymbol {\mathrm {C} }})\\\end{array}}$

Ces équations s’appliquent au mouvement de la chaleur dans une barre peu épaisse, dont la longueur est très-grande. On suppose que le milieu de ce prisme a été aflecte d’une certaine quantité de chaleur $b\,f$ qui se propage jusqu’aux extrémités, et se dissipe par la surface convexe. $\mathrm {V}$ désigne le maximum de température pour le point dont la distance au foyer primitif est $x\,;$ $\theta$ est le temps qui s’écoule depuis le commencement de la diffusion jusqu’à l’instant où la plus haute température $\mathrm {V}$ a lieu. Les coëfficients $\mathrm {C} ,$ $\mathrm {H} ,$ $\mathrm {K} ,$ $\mathrm {D}$ désignent les mêmes propriétés spécifiques que dans les questions précédentes, et $g$ est le demi-côté du quarré formé par une section du prisme.

389.

Si l’on veut rendre ces résultats plus sensibles par une application numérique, on supposera que la substance dont le prisme est formé est le fer, et que le côté $2g$ du quarré est la vingt-cinquième partie d’un mètre.

Nous avons mesuré autrefois, par nos expériences, les valeurs de $\mathrm {H} ,$ $\mathrm {K} \,;$ celles de $\mathrm {C}$ et $\mathrm {D}$ étaient déjà connues. En prenant le mètre pour unité de longueur, et la minute sexagésimale pour unité de temps, et employant les valeurs approchées de $\mathrm {H} ,$ $\mathrm {K} ,$ $\mathrm {C.D} ,$ on déterminera les valeurs de et de $\theta$ relatives à une distance donnée. Pour l’examen des conséquences que nous avons en vue, il n’est pas nécessaire de connaître les coëfficients avec une grande précision.

On voit d’abord que si la distance $x$ est d’environ un mètre et demi ou deux mètres, le terme ${\frac {2\mathrm {H} }{\mathrm {K} \,g}}x^{2},$ qui entre sous le radical, a une grande valeur par rapport au second terme ${\frac {1}{4}}.$ Le rapport de ces termes est d’autant plus grand que la distance est plus grande.

Ainsi la loi des plus hautes températures devient de plus en plus simple, à mesure que la chaleur s’éloigne de l’origine. Pour déterminer cette loi régulière qui s’établit dans toute l’étendue de la barre, il faut supposer que la distance $x$ est très-grande, et l’on trouve

$\mathrm {V} ={\frac {b\,f}{{\sqrt {2}}{\sqrt {\pi }}}}{\frac {e^{-x{\sqrt {\frac {2\mathrm {H} }{\mathrm {K} \,g}}}}}{\sqrt {x}}}\cdot \left({\frac {2\mathrm {H} }{\mathrm {K} \,g}}\right)^{\frac {1}{4}}\qquad \quad ({\boldsymbol {\delta }})$

${\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}\theta ={\frac {x}{2{\sqrt {\frac {2\mathrm {H} }{\mathrm {K} \,g}}}}}\quad \mathrm {ou} \quad \theta ={\frac {\mathrm {C.D} .{\sqrt {g}}}{2^{\frac {3}{2}}{\sqrt {\mathrm {H} }}.{\sqrt {\mathrm {K} }}}}.x.\qquad ({\boldsymbol {\gamma }})$

390.

On voit par la seconde équation que le temps qui répond au maximum de température, croît proportionnellement à la distance. Ainsi la vitesse de l’onde (si toutefois on peut appliquer cette expression au mouvement dont il s’agit) est constante, ou plutôt elle le devient de plus en plus, et conserve cette propriété en s’éloignant à l’infini de l’origine de la chaleur.

On remarquera aussi dans la première équation que la quantité $f\,e^{-x{\sqrt {\frac {2\mathrm {H} }{\mathrm {K} \,g}}}}$ exprime les températures permanentes que prendraient les différents points de la barre, si l’on affectait l’origine d’une température fixe $f,$ comme on peut le voir dans le chapitre 1, page 65.

Il faut donc, pour se représenter la valeur de $\mathrm {V} ,$ concevoir que toute la chaleur initiale que le foyer contient, est également distribuée dans une portion de la barre dont la longueur est $b$ ou l’unité de mesure. La température $f$ qui en résulterait pour chaque point de cette portion, est en quelque sorte la température moyenne. Si l’on supposait que la tranche placée à l’origine fût retenue pendant un temps infini à la température constante $f,$ toutes les autres tranches acquerraient des températures fixes dont l’expression générale est $f\,e^{-x{\sqrt {\frac {2\mathrm {H} }{\mathrm {K} \,g}}}}$ en désignant par $x$ la distance de la tranche. Ces températures fixes représentées par les ordonnées d’une logarithmique sont extrêmement petites, lorsque la distance est un peu considérable ; elles décroissent, comme on le sait, très-rapidement à mesure que l’on s’éloigne de l’origine. Or l’équation $(\delta )$ fait voir que ces températures fixes, qui sont les plus hautes, que chaque point puisse acquérir, surpassent beaucoup les plus hautes températures qui se succèdent pendant la diffusion de la chaleur. Pour déterminer ce dernier maximum, il faut calculer la valeur du maximum fixe, la multiplier par le nombre constant $\left({\frac {2\,\mathrm {H} }{\mathrm {K} \,g}}\right)^{\frac {1}{4}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$ et diviser par la racine quarrée de la distance $x.$

Ainsi les plus hautes températures se succèdent dans toute l’étendue de la ligne, comme les ordonnées d’une logarithmique divisées par les racines quarrées des abscisses, et le mouvement de l’onde est uniforme. C’est suivant cette loi générale que la chaleur réunie en un seul point se propage dans le sens de la longueur du solide.

391.

Si l’on regardait comme nulle la conducibilité de la surface extérieure du prisme, ou si la conducibilité {{corr|$\mathrm {X}$|$\mathrm {K}$} l’épaisseur $2g$ étaient supposées infinies, on obtiendrait des résultats très-différents. On omettrait alors le terme ${\frac {2\,\mathrm {H} }{\mathrm {K} \,g}}x^{2},$ et l’on aurait

$V={\frac {f}{2{\sqrt {e}}.{\sqrt {\pi }}}}\cdot {\frac {1}{x}},\quad \mathrm {et} \quad {\frac {\mathrm {K} \theta }{\mathrm {C.D} }}={\frac {1}{2}}x^{2}.$

Dans ce cas la valeur du maximum est en raison inverse de la distance. Ainsi le mouvement de l’onde ne serait point uniforme. Il faut remarquer que cette hypothèse est purement théorique, et que si la conducibilité $\mathrm {H}$ n’est pas nulle, mais seulement une quantité extrêmement petite, la vitesse de l’onde n’est point variable dans les parties du prisme qui sont très-éloignées de l’origine. En effet, quelque petite que soit la valeur de $\mathrm {H} ,$ si cette valeur est donnée ainsi que celles de $\mathrm {K}$ et $\mathrm {g} ,$ et si l’on suppose que la distance $x$ augmente sans limite, le terme ${\frac {2\,\mathrm {H} }{\mathrm {K} \,g}}x^{2}$ deviendra toujours beaucoup plus grand que ${\frac {1}{4}}.$ Les distances peuvent d’abord être assez petites pour que ce terme ${\frac {2\,\mathrm {H} }{\mathrm {K} \,g}}x^{2}$ doive être omis sous le radical. Alors les temps sont proportionnels aux quarrés des distances : mais à mesure que la chaleur s’écoule dans le sens de la longueur infinie, la loi de la propagation s’altère, et les temps deviennent proportionnels aux distances. La loi initiale, c’est-à-dire celle qui se rapporte aux points extrêmement voisins du foyer, diffère beaucoup de la loi finale qui s’établit dans les parties très-éloignées, et jusqu’à l’infini : mais, dans les portions intermédiaires, les plus hautes températures se succèdent suivant une loi mixte, exprimée par les deux équations précédentes (D) et (C).

392.

Il nous reste à déterminer les plus hautes températures pour le cas où la chaleur se propage à l’infini, et en tout sens dans la matière solide. Cette recherche ne présente aucune difficulté d’après les principes que nous avons établis.

Lorsqu’une portion déterminée d’un solide infini a été échauffée, et que toutes les autres parties de la masse ont la température initiale 0, la chaleur se propage dans tous les sens, et après un certain temps l’état du solide est le même que si elle avait été primitivement réunie dans un seul point à l’origine des coordonnées. Le temps qui doit s’écouler pour que ce dernier effet ait lieu est extrêmement grand, lorsque les points de la masse sont très-éloignés de l’origine. Chacun de ces derniers points qui avait d’abord la température 0 s’échauffe insensiblement ; sa température acquiert ensuite la plus grande valeur qu’elle puisse recevoir ; et elle finit par diminuer de plus en plus, jusqu’à ce qu’il ne reste dans la masse aucune chaleur sensible. L’état variable est en général représenté par l’équation

$v=\int \!da\!\int \!db\!\int \!dc\cdot {\frac {e^{\frac {-(a-x)^{2}}{4t}}}{2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}}\cdot {\frac {e^{\frac {-(b-y)^{2}}{4t}}}{2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}}\cdot {\frac {e^{\frac {-(c-z)^{2}}{4t}}}{2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}}\cdot f(a,b,c)\qquad ({\boldsymbol {\mathrm {E} }})$

les intégrales doivent être prises entre les limites

$a=-a_{1}\;\;a=a_{1},\quad b=-b_{1}\;\;b=b_{1},\quad c=-c_{1}\;\;c=c_{1}.$

Les limites $-a_{1},+a_{2},\,$ $-b_{1},+b_{2},\,$ $-c_{1},+c_{2},\,$ sont données ; elles comprennent toute la portion du solide qui a été primitivement échauffée. La fonction $f(a,b,c)$ est aussi donnée. Elle exprime la température initiale d’un point dont les coordonnées sont $a,\,b,\,c.$ Les intégrations définies font disparaître les variables $a,\,b,\,c,$ et il reste pour $v$ une fonction de $x,\,y,\,z,\,t,$ et des constantes. Pour déterminer le temps $\theta$ qui répond au maximum de $v,$ en un point m donné, il faut tirer de l’équation précédente la valeur de ${\frac {dv}{dt}},$ on formera ainsi une équation qui contient $\theta$ et les coordonnées du point m. On en pourra donc déduire la valeur de $\theta .$ Si l’on substitue ensuite cette valeur de $\theta$ au lieu de $t$ dans l’équation (E), on connaîtra la valeur de la plus haute température $\mathrm {V}$ exprimée en $x,y,z$ et en constantes.

On écrira au lieu de l’équation (E)

$v=\int \!da\!\int \!db\!\int \!dc\,\,\mathrm {P} .f(a,b,c),$

en désignant par $\mathrm {P}$ le produit des trois fonctions semblables, on aura ensuite

${\frac {dv}{dt}}=-{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {1}{t}}\,v+\int \!da\!\int \!db\!\int \!dc\left({\frac {(a-x)^{2}+(b-y)^{2}+(c-z)^{2}}{4\,t^{2}}}\right)P.f(a,b,c).\;\;\;{\overset {\;}{({\boldsymbol {e}})}}$

393.

Il faut maintenant appliquer cette dernière expression aux points du solide qui sont très-éloignés de l’origine. Un point quelconque de la portion qui contient la chaleur initiale, a pour coordonnées les variables $a,b,c,$ et le point m, dont on veut déterminer la température, a pour coordonnées $x,y,z.$ Le quarré de la distance de ces deux points est $(a-x)^{2}+(b-y)^{2}+(c-z)^{2}\,;$ et cette quantité entre comme facteur dans le second terme de \frac{dv}{dt}. Or le point m étant très-éloigné de l’origine, il est évident que sa distance Δ à un point quelconque de la portion échauffée, se confond avec la distance D de ce même point à l’origine ; c’est-à-dire que le point m s’éloignant de plus en plus du foyer primitif qui contient l’origine des coordonnées, la dernière raison des distances D et Δ est 1.

Il suit de là que dans l’équation $(e)$ qui donne la valeur de ${\frac {dv}{dt}}$ il faut remplacer le facteur $(a-x)^{2}+(b-y)^{2}+(c-z)^{2}$ par $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ou $r^{2}$ en désignant par $r$ la distance du point m à l’origine. On aura donc

${\frac {dv}{dt}}=-{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {1}{t}}v+{\frac {r^{2}}{4t^{2}}}\int \!da\!\int \!db\!\int \!dc\,\,\mathrm {P} \,f(a,b,c)$

$\mathrm {ou} \qquad {\frac {dv}{dt}}=v\left({\frac {r^{2}}{4t^{2}}}-{\frac {3}{2t}}\right).$

Si l’on met pour $v$ sa valeur, et si l’on remplace $t$ par ${\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }},$ afin de rétablir le coëfficient ${\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }},$ que l’on avait supposé égal à 1, on aura

${\frac {dv}{dt}}=\left\{{\frac {r^{2}}{4\left({\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}t\right)^{2}}}-{\frac {3}{\overset {\;}{2{\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}t}}}\right\}\!\int \!da\!\int \!db\!\int \!dc\,{\frac {e^{-\left((a-x)^{2}+(b-y)^{2}+(c-z)^{2}\right){\frac {1}{{\frac {4\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}t}}}}{2^{3}\pi ^{\frac {3}{2}}\left({\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}\right)^{\frac {1}{2}}}}f(a,b,c).\;\;{\overset {\;}{({\boldsymbol {\alpha }})}}$

394.

Ce résultat ne convient qu’aux points du solide dont la distance à l’origine est très-grande par rapport à la plus grande dimension du foyer. Il faut toujours remarquer avec soin qu’il ne s’ensuit pas de cette condition que l’on puisse omettre les variables $a,\,b,\,c$ sous le signe exponentiel. On doit seulement les omettre hors de ce signe. Si l’on ne faisait point cette distinction on pourrait commettre une erreur considérable. En effet, le terme qui entre sous les signes d’intégration, et qui multiplie $f(a,b,c)$ est le produit de plusieurs facteurs, tels que

$e^{\displaystyle {\frac {-a^{2}}{4{\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}t}}},\quad e^{\displaystyle {\frac {-2ax}{4{\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}t}}},\quad e^{\displaystyle {\frac {-x^{2}}{4{\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}t}}}.$

Or il ne suffit pas que le rapport ${\frac {x}{a}}$ soit toujours un très-grand nombre pour que l’on puisse supprimer les deux premiers facteurs ; par exemple : si l’on suppose $a$ égal à un décimètre, et $x$ égale à dix mètres, et si la substance dans laquelle la chaleur se propage est le fer, on voit qu’après neuf ou dix heures écoulées, le facteur $e^{\frac {2ax}{4{\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}t}}$ est encore plus grand que 2 ; donc, en le supprimant, on s’exposerait à réduire le résultat cherché à la moitié de sa valeur. Ainsi la valeur de ${\frac {dv}{dt}}$ telle qu’elle convient aux points très-éloignés de l’origine, et pour un temps quelconque, doit être exprimée par l’équation $(\alpha )\,;$ mais il n’en est pas de même, si l’on ne considère que des valeurs du temps extrêmement grandes, et qui croissent proportionnellement au quarré des distances. Il faut d’après cette condition omettre sous le signe exponentiel même, les termes qui contiennent $a,$ ou $b,$ ou $c.$ Or la condition a lieu lorsqu’on veut déterminer la plus haute température qu’un point éloigné puisse acquérir, comme nous allons le prouver.

395.

En effet la valeur de ${\frac {dv}{dt}}$ doit être nulle dans le cas dont il s’agit ; on aura donc

${\frac {r^{2}}{4\left({\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}t\right)^{2}}}-{\frac {3}{\overset {\;}{2{\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}t}}}=0\quad \mathrm {ou} \quad {\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}t={\frac {1}{6}}r^{2}.$

Ainsi le temps qui doit s’écouler pour qu’un point très-éloigné acquierre sa plus haute température est proportionnel au quarré de la distance de ce point à l’origine.

Si dans l’expression de $v$ on remplace le dénominateur $4{\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}t$ par sa valeur ${\frac {2}{3}}r^{2}$ l’exposant de $e^{-1}$ qui est

${\frac {(a-x)^{2}+(b-y)^{2}+(c-z)^{2}}{\displaystyle {\frac {2}{3}}r^{2}}}$

peut se réduire à ${\frac {3}{2}}$ parce que les facteurs que l’on omet se confondent avec l’unité.

On trouve par conséquent

$v=\left({\frac {3}{2\pi e}}\right)^{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {1}{r^{3}}}\!\int \!da\!\int \!db\!\int \!dc\,f(a,b,c).$

L’intégrale $\int \!da\!\int \!db\!\int \!dc\,f(a,b,c)$ représente la quantité de chaleur initiale ; le volume de la sphère dont le rayon est $r$ est ${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$ en sorte qu’en désignant par $f$ température que recevrait chaque molécule de cette sphère, si l’on distribuait également entre ses parties toute la chaleur initiale, on aura $v=f{\sqrt {\frac {6}{\pi e^{3}}}}.$

Les résultats que nous avons exposés dans ce chapitre font connaître suivant quelle loi la chaleur contenue dans une portion déterminée d’un solide infini pénètre progressivement toutes les autres parties dont la température initiale était nulle. Cette question est résolue par une analyse plus simple que celle des chapitres précédents, parce qu’en attribuant au solide des dimensions infinies, on fait disparaître les conditions relatives à la surface, et que la principale difficulté consiste dans l’emploi de ces mêmes conditions. Les conséquences générales du mouvement de la chaleur dans une masse solide non terminée sont très-remarquables, parce que le mouvement n’est point troublé par l’obstacle des surfaces. Il s’accomplit librement, en vertu des propriétés naturelles de la chaleur. Cette analyse est, à proprement parler, celle de l’irradiation de la chaleur dans la matière solide.

SECTION IV.

Comparaison des intégrales.

396.

L’intégrale de l’équation de la propagation de la chaleur se présente sous différentes formes qu’il est nécessaire de comparer. Il est facile, comme on le voit dans la section deuxième de ce chapitre, pages 471 et 478, de ramener le cas des trois dimensions à celui du mouvement linéaire ; il suffit donc d’intégrer l’équation

${\frac {dv}{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}\cdot {\frac {d^{2}v}{dx^{2}}},$

ou celle-ci :

${\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}\cdot \qquad ({\boldsymbol {a}})$

Pour déduire de cette équation différentielle les lois de la propagation de la chaleur dans un corps d’une figure déterminée, par exemple, dans une armille, il était nécessaire de connaître l’intégrale, et de l’obtenir sous une certaine forme propre à la question, et qui ne pourrait être suppléée par aucune autre. Cette intégrale a été donnée pour la première fois dans notre Mémoire remis à l’Institut de France le 21 décembre 1807 (page 124, art. 84) : elle consiste dans l’équation suivante, qui exprime le système variable des températures d’un anneau solide :

$v={\frac {1}{2\pi \mathrm {R} }}\sum \int d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \,e^{-i^{2}{\frac {t}{\mathrm {R} ^{2}}}}\,\cos \left(i\cdot {\frac {x-\alpha }{\mathrm {R} }}\right)\cdot \qquad ({\boldsymbol {\alpha }})$

$\mathrm {R}$ est le rayon de la circonférence moyenne de l’armille ; l’intégrale $\int$, par rapport à $\alpha ,$ doit être prise depuis $\alpha =0$ jusqu’à $\alpha =2\pi \mathrm {R} ,$ ou, ce qui donne le même résultat, depuis $\alpha =-\pi \mathrm {R}$ jusqu’à $\alpha =\pi \mathrm {R} .$ $i$ est un nombre entier quelconque, et la somme $\sum$ doit être prise depuis $i=-{\tfrac {1}{0}}$ jusqu’à $i=+{\tfrac {1}{0}}.$ $v$ désigne la température que l’on observerait après le temps écoulé $t,$ en chaque point d’une section séparée par l’arc $x$ de celle qui est à l’origine. On représente par $v=\mathrm {F} \alpha$ la température initiale d’un point quelconque de l’anneau. Il faut donner à $i$ les valeurs successives

$0,\,+1,\,+2,\,+3,\,+4\dots \,\mathrm {etc.,} \;\mathrm {et} \;-1,\,-2,\,-3,\,-4\dots \,\mathrm {etc.}$

et au lieu de $\cos .i\left({\frac {x-\alpha }{\mathrm {R} }}\right),$ écrire

$\cos .\left(i.{\frac {x}{\mathrm {R} }}\right).\cos .\left(i.{\frac {\alpha }{\mathrm {R} }}\right)+\sin .\left(i.{\frac {x}{\mathrm {R} }}\right).\sin .\left(i.{\frac {\alpha }{\mathrm {R} }}\right).$

On obtient ainsi tous les termes de la valeur de $v.$ Telle est la forme sous laquelle doit être mise l’intégrale de l’équation $(a),$ pour exprimer le mouvement variable de la chaleur dans une armille (chap. IV, page 272). On considère le cas où la forme et l’étendue de la section génératrice de l’armille sont telles, que les points d’une même section conservent des températures sensiblement égales. On suppose aussi qu’il ne se fait à la superficie de l’anneau aucune déperdition de la chaleur.

397.

L’équation $(\alpha )$ s’appliquant à toutes les valeurs de $\mathrm {R} ,$ on y peut supposer $\mathrm {R}$ infini ; elle donne dans ce cas la solution de la question suivante : L’état initial d’un prisme solide d’une petite épaisseur et d’une longueur infinie, étant connu et exprimé par $v=\mathrm {F} x,$ déterminer tous les états subséquents. On considère le rayon $\mathrm {R}$ comme contenant un nombre $n$ de fois le rayon 1 des tables trigonométriques. Désignant par $q$ une variable qui devient successivement $dq,$ $2dq,$ $3dq,$ $\dots i\,dq\dots$ etc., le nombre infini $n$ sera exprimé par ${\frac {1}{dq}},$ et le nombre variable $i$ par ${\frac {q}{dq}}.$ Faisant ces substitutions, on trouve

$v={\frac {1}{2\pi }}\sum dq\int d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \,e^{-q^{2}t}.\cos .(qx-q\alpha ).$

Les termes qui entrent sous le signe $\textstyle \sum$ sont des quantités différentielles, en sorte que ce signe devient celui d’une intégrale définie ; et l’on a

$v={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \int \limits _{-\infty }^{+\infty }dq\,e^{-q^{2}t}.\cos .(qx-q\alpha ).\qquad ({\boldsymbol {\beta }})$

Cette équation est une seconde forme de l’intégrale de l’équation $(a)\,;$ elle exprime le mouvement linéaire de la chaleur dans un prisme d’une longueur infinie (chap. VII, page 441). Elle est une conséquence évidente de la première intégrale $(\alpha ).$

398.

On peut, dans l’équation $(\beta ),$ effectuer l’intégration définie par rapport à $q\,;$ car on a, selon un lemme connu, et que l’on a démontré précédemment (art. 375),

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }dz\,e^{-z^{2}}\,\cos .2hz=e^{-h^{2}}{\sqrt {\pi }}.$

Faisant donc $z^{2}=q^{2}t,$ on trouvera

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }dq\,e^{\displaystyle -q^{2}t}\,\cos .(qx-q\alpha )={\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}e^{\displaystyle -\left({\frac {\alpha -x}{2{\sqrt {t}}}}\right)^{2}}\,;$

donc l’intégrale $(\beta )$ de l’article précédent devient

$v=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {d\alpha .\mathrm {F} \alpha }{2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}}\cdot e^{\displaystyle -\left({\frac {\alpha -x}{2{\sqrt {t}}}}\right)^{2}}\qquad \qquad ({\boldsymbol {\gamma }})$

Si l’on emploie au lieu de $\alpha$ une autre indéterminée $\beta ,$ en faisant ${\frac {x-\alpha }{2{\sqrt {t}}}}=\beta ,$ on trouve

$v={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int d\beta \,e^{\displaystyle -\beta ^{2}}.\mathrm {F} (\alpha +2\beta {\sqrt {t}}).\qquad ({\boldsymbol {\delta }})$

Cette forme $(\delta )$ de l’intégrale de l’équation $(a)$ a été donnée par M. Laplace, dans le tome VIII des Mémoires de l’École polytechnique. Ce grand géomètre est parvenu à ce résultat en considérant la série infinie qui représente l’intégrale.

Chacune des équations $(\beta ),\,(\gamma ),\,(\delta ),$ exprime la diffusion linéaire de la chaleur dans un prisme d’une longueur infinie. Il est évident que ce sont trois formes d’une même intégrale, et qu’aucune ne peut être considérée comme plus générale que les autres. Chacune d’elles est contenue dans l’intégrale $(\alpha )$ dont elle dérive en donnant à $\mathrm {R}$ une valeur infinie.

399.

Il est facile de développer la valeur de $v$ déduite de l’équation $(a)$ en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de l’une ou l’autre variable. Ces développements se présentent d’eux-mêmes, et nous pourrions nous dispenser de les rapporter ; mais ils donnent lieu à des remarques utiles pour la recherche des intégrales. En désignant par $\varphi ',$ $\varphi '',$ $\varphi ''',$ etc., les fonctions ${\frac {d}{dx}}\varphi x,$ ${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\varphi x,$ ${\frac {d^{3}}{dx^{3}}}\varphi x,$ etc., on a

${\frac {dv}{dt}}=v'',\qquad \mathrm {et} \qquad v=c+\int dt\,v''\,:$

la constante représente ici une fonction quelconque de $x.$ En mettant pour $v''$ sa valeur $c''+\int dt\,v'',$ et continuant toujours des substitutions semblables, on trouve

${\begin{aligned}v&=c+\int dt\,v''\\&=c+\int dt\left(c''+\int dt.v''\right)\\&=c+\int dt\left(c''+\int dt\left(c''+\int dt.v''\right)\right),\\\end{aligned}}$

ou

$v=c+tc''+{\frac {t^{2}}{2}}c^{IV}+{\frac {t^{3}}{2.3}}c^{VI}+{\frac {t^{4}}{2.3.4}}c^{VIII}+\mathrm {etc.} \quad ({\boldsymbol {\mathrm {T} }})$

Dans cette série, $c$ désigne une fonction arbitraire en $x.$ Si l’on veut ordonner le développement de la valeur de $v,$ selon les puissances ascendantes de $x,$ on écrira

${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}={\frac {dv}{dt}},$

et, désignant par $\varphi _{I},\,\varphi _{II},\,\varphi _{III},$ etc., les fonctions

${\frac {d}{dt}}\varphi ,\;{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\varphi ,\;{\frac {d^{3}}{dt^{3}}}\varphi ,\;\mathrm {etc.} ,$

on aura d’abord $v=a+bx+\int dx\int dx\,v_{I}\,;$ $a$ et $b$ représentent ici deux fonctions quelconques de $t.$ On mettra ensuite pour $v_{I}$ sa valeur $a_{I}+b_{I}x+\int dx\int dx\,v_{II}\,;$ et, pour $v_{II},$ sa valeur $a_{II}+b_{II}x+\int dx\int dx\,v_{III},$ et ainsi de suite. On trouvera, par ces substitutions continuées,

${\begin{aligned}v&=a+bx+\int dx\int dx\,v_{I}\\&=a+bx+\int dx\int dx\left(a_{I}+b_{I}x+\int dx\int dx\,v_{II}\right)\\&=a+bx+\int \!\!dx\!\!\int \!\!dx\left(a_{I}+b_{I}x+\int \!\!dx\!\!\int \!\!dx\ \left(a_{II}+b_{II}x+\int \!\!dx\!\!\int \!\!dx\,v_{III}\right)\right).\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {ou} \quad v&=a+{\frac {x^{2}}{2}}a_{I}+{\frac {x^{4}}{2.3.4}}a_{II}+{\frac {x^{6}}{2.3.4.5.6}}a_{III}+\mathrm {etc.} \\&+xb+{\frac {x^{3}}{2.3}}b_{I}+{\frac {x^{5}}{2.3.4.5}}b_{II}+{\frac {x^{7}}{2.3.4.5.6.7}}b_{III}+\mathrm {etc.} \quad ({\boldsymbol {\mathrm {X} }})\\\end{aligned}}$

Dans cette série, $a$ et $b$ désignent deux fonctions arbitraires de $t.$

Si dans cette série donnée par l’équation (X) on met, au lieu de $a$ et $b,$ deux fonctions $\varphi t$ et $\psi t,$ et qu’on les développe selon les puissances ascendantes de $t,$ en ordonnant le résultat total par rapport à ces mêmes puissances de $t,$ on ne trouve qu’une seule fonction arbitraire de $x,$ au lieu des deux fonctions $a$ et $b.$ On doit cette remarque à M. Poisson, qui l’a donnée dans le tome VI des Mémoires de l’École polytechnique, pag. 110.

Réciproquement, si dans la série exprimée par l’équation (T) on développe la fonction $c$ selon les puissances de $x,$ en ordonnant le résultat par rapport à ces mêmes puissances de $x,$ les coëfficients de ces puissances se trouvent formés de deux fonctions entièrement arbitraires de $t\,;$ ce que l’on peut aisément vérifier en faisant le calcul.

400.

La valeur de $v,$ développée selon les puissances de $t,$ ne doit en effet contenir qu’une fonction arbitraire en $x\,:$ car l’équation différentielle $(a)$ montre clairement que, si l’on connaissait en fonction de $x$ la valeur de $v,$ qui répond à $t=0,$ les autres valeurs de cette fonction $v,$ qui répondent aux valeurs subséquentes de $t,$ seraient par cela même déterminées.

Il n’est pas moins évident que la fonction $v,$ étant développée selon les puissances ascendantes de $x,$ doit contenir deux fonctions entièrement arbitraires de la variable $t.$ En effet, l’équation différentielle ${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}={\frac {dv}{dt}}$ montre que, si l’on connaissait en fonction de $t$ la valeur de $v,$ qui répond à une valeur déterminée de $x,$ on ne pourrait pas en conclure les valeurs de $v$ qui répondent à toutes les autres valeurs de $x.$ Il faudrait, de plus, que l’on donnât en fonction de $t$ la valeur de $v$ qui répond à une seconde valeur de $x,$ par exemple à celle qui est infiniment voisine de la première. Alors tous les autres états de la fonction $v,$ c’est-à-dire ceux qui répondent à toutes les autres valeurs de $x,$ seraient déterminés. L’équation différentielle $(a)$ appartient à une surface courbe, l’ordonnée verticale d’un point quelconque étant $v,$ et les deux coordonnées horizontales étant $x$ et $t.$ Il suit évidemment de cette équation $(a)$ que la forme de la surface est déterminée, lorsqu’on donne la figure de la section verticale dans le plan qui passe par l’axe des $x\,;$ et cela résulte aussi de la nature physique de la question : car il est manifeste que, l’état initial du prisme étant donné, tous les états subséquents sont déterminés. Mais on ne pourrait pas construire la surface, si elle était seulement assujettie à passer par une courbe tracée sur le premier plan vertical des $t$ et des $v.$ Il faudrait de plus connaître la courbe tracée sur un second plan vertical parallèle au premier, et que l’on peut supposer extrêmement voisin. Les mêmes remarques s’appliquent à toutes les équations aux différences partielles, et l’on voit que l’ordre de l’équation ne détermine point pour tous les cas le nombre des fonctions arbitraires.

401.

La série (T) de l’art. 399, qui dérive de l’équation

${\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}},\qquad ({\boldsymbol {a}})$

peut être mise sous cette forme $v=e^{t\mathrm {D} ^{2}}.\varphi x.$ On développera l’exponentielle selon les puissances de $\mathrm {D} ,$ et l’on écrira ${\frac {d^{i}}{dx^{i}}}$ au lieu de $\mathrm {D} ^{i}$ en considérant $i$ comme indice de différentiation. On aura ainsi

$v=\varphi x+t{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\varphi x+{\frac {t^{2}}{2}}{\frac {d^{4}}{dx^{4}}}\varphi x+{\frac {t^{3}}{2.3}}{\frac {d^{6}}{dx^{6}}}\varphi x+\mathrm {etc.}$

Suivant la même notation, la première partie de la série (X) (art. 399), qui ne contient que des puissances paires de $x,$ sera exprimée sous cette forme : $\cos .(x{\sqrt {-\mathrm {D} }})\varphi t.$ On développera selon les puissances de $x,$ et l’on écrira ${\frac {d^{i}}{dt^{i}}}$ au lieu de $\mathrm {D} ^{i}$ en considérant $i$ comme indice de différentiation. La seconde partie de la série (X) se déduit de la première, en intégrant par rapport à $x,$ et changeant la fonction $\varphi t$ en une autre fonction arbitraire $\psi t.$ Ou a donc

${\begin{aligned}v&=\cos .\left(x{\sqrt {-\mathrm {D} }}\right)+\mathrm {W} ,\\\mathrm {et} \qquad \qquad \qquad \mathrm {W} &=\psi t.\int \limits _{0}^{x}dx\,\cos .\left(x{\sqrt {-\mathrm {D} }}\right).\\\end{aligned}}$

Ces notations abrégées et connues dérivent des analogies qui subsistent entre les intégrales et les puissances. Quant à l’usage que nous en faisons ici, il a pour objet d’exprimer les séries, et de les vérifier sans aucun développement. Il suffit de différentier sous les signes que cette notation emploie. Par exemple, de l’équation $v=e^{r\mathrm {D} ^{2}}\varphi x,$ on déduit, en différentiant par rapport à $t$ seulement,

${\frac {dv}{dt}}=\mathrm {D} ^{2}.e^{t\mathrm {D} ^{2}}\varphi x=\mathrm {D} ^{2}v={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}v\,;$

ce qui montre immédiatement que la série satisfait à l’équation différentielle $(a).$ Pareillement, si l’on considère la première partie de la série (X), en écrivant

$v=\cos .\left(x{\sqrt {-\mathrm {D} }}\right)\,\varphi t,$

on aura, en différentiant deux fois par rapport à $x$ seulement,

${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}=\mathrm {D} .\cos .(x{\sqrt {-\mathrm {D} )}}\,\varphi t=\mathrm {D} v={\frac {dv}{dt}}\cdot$

Donc cette valeur de $v$ satisfait à l’équation différentielle $(a).$

On trouvera, de la même manière, que l’équation différentielle

${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}=0\qquad \qquad ({\boldsymbol {b}})$

donne pour l’expression de $v,$ en série développée selon les puissances croissantes de $y,$

$v=\cos .(y\mathrm {D} )\,\varphi x.$

Il faut développer par rapport à $y,$ et écrire ${\frac {d}{dx}},$ au lieu de $\mathrm {D} .$ En effet, on déduit de cette valeur de $v,$

${\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}=-\mathrm {D} ^{2}\cos .(y\mathrm {D} )\varphi x=-\mathrm {D} ^{2}v=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}v\cdot$

La valeur $\sin .(y\mathrm {D} )\psi x$ satisfait aussi à l’équation différentielle : donc la valeur générale de $v$ est

$v=\cos .(y\mathrm {D} )\varphi x+\mathrm {W} \qquad \mathrm {et} \qquad \mathrm {W} =\sin .(y\mathrm {D} )\psi x.$

402.

Si l’équation différentielle proposée est

${\frac {d^{1}v}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}},\qquad \qquad ({\boldsymbol {c}})$

et que l’on veuille exprimer $v$ en série ordonnée selon les puissances de $t,$ on désignera par $\mathrm {D} \varphi$ la fonction

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\varphi +{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}\varphi \,;$

et l’équation étant ${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}=\mathrm {D} v,$ on aura

$v=\cos .\left(t{\sqrt {-\mathrm {D} }}\right)\varphi (x,y).$

En effet, on en conclut

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}=\mathrm {D} v={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}\cdot$

Il faut développer la valeur précédente de $v$ selon les puissances de $t,$

écrire $\left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}\right)^{i},$ au lieu de $\mathrm {D} ^{i},$

et regarder ensuite $i$ comme indice de différentiation.

La valeur suivante $\int dt\,\cos .\left(t{\sqrt {-\mathrm {D} }}\right)\,\psi (x,y)$ satisfait à la même condition : ainsi la valeur la plus générale de $v$ est

${\begin{aligned}v&=\cos .\left(t{\sqrt {-\mathrm {D} }}\right)\varphi (x,y)+\mathrm {W} \\\mathrm {et} \qquad \qquad \qquad \mathrm {W} &=\int dt\,\cos .\left(t{\sqrt {-\mathrm {D} }}\right).\psi (x,y)\cdot \\\end{aligned}}$

$v$ est une fonction $f(x,y,t)$ de trois variables. Si l’on fait $t=0,$ on a $f(x,y,0)=\varphi (x,y)\,;$ et, désignant ${\frac {d}{dt}}f(x,y,t)$ par $f'(x,y,t),$ on aura $f'(x,y,0)=\psi (x,y).$

Si l’équation proposée est

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+{\frac {d^{4}v}{dx^{4}}}=0,\qquad \qquad ({\boldsymbol {d}})$

la valeur de $v$ en série ordonnée selon les puissances de $t$ sera $v=\cos .(t\mathrm {D} ^{2})\varphi (x,y),$ en désignant ${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}$ par $\mathrm {D} \,:$ car on en déduit

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}=-\mathrm {D} ^{4}v=-{\frac {d^{4}}{dy^{4}}}v.$

La valeur générale de $v,$ qui ne peut contenir que deux fonctions arbitraires de $x$ et $y,$ est donc

${\begin{aligned}v&=\cos .(t\mathrm {D} ^{2}).\varphi (x,y)+\mathrm {W} \\\mathrm {et} \qquad \qquad \qquad \mathrm {W} &=\int \limits _{0}^{t}dt\,\cos .(t\mathrm {D} ^{2}).\psi (x,y)\cdot \end{aligned}}$

Désignant $v$ par $f(x,y,t),$ et ${\frac {dv}{dt}}$ par $f'(x,y,t),$ on a, pour déterminer les deux fonctions arbitraires,

$\varphi (x,y)=f(x,y,0),\qquad \mathrm {et} \qquad \psi (x,y)=f'(x,y,0).$

403.

Si l’équation différentielle proposée est

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+{\frac {d^{4}v}{dx^{4}}}+2{\frac {d^{4}v}{dx^{2}dy^{2}}}+{\frac {d^{4}v}{dy^{4}}}=0,\qquad ({\boldsymbol {e}})$

on désignera par $\mathrm {D} \varphi$ la fonction ${\frac {d^{2}.\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}.\varphi }{dy^{2}}},$ en sorte que $\mathrm {DD} \varphi$ ou $\mathrm {D} ^{2}\varphi$ se formera en élevant le binôme ${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}$ au quarré, et regardant les exposants comme indices de différentiation. L’équation $(e)$ deviendra donc ${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+\mathrm {D} ^{2}v=0\,;$ et la valeur de $v,$ ordonnée selon les puissances de $t,$ sera $\cos .(t\mathrm {D} )\varphi (x,y)\,:$ car on en tire

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-\mathrm {D} ^{2}v,\quad \mathrm {ou} \quad {\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+{\frac {d^{4}v}{dx^{4}}}+2{\frac {d^{4}v}{dx^{2}dy^{2}}}+{\frac {d^{4}v}{dy^{4}}}=0.$

La valeur la plus générale de $v$ ne pouvant contenir que deux fonctions arbitraires en $x$ et $y,$ ce qui est une conséquence évidente de la forme de l’équation, cette valeur $v$ sera ainsi exprimée :

$v=\cos .(t\mathrm {D} )\,\varphi (x,y)+\int dt\,\cos .(t\mathrm {D} )\,\psi (x,y).$

Les fonctions $\varphi$ et $\psi$ sont déterminées comme il suit, en désignant la fonction $v$ par $f(x,y,t),$ et ${\frac {d}{dt}}f(x,y,t)$ par $f_{'}(x,y,t),$

$\varphi (x,y)=f(x,y,0),\quad \psi (x,y)=f_{'}(x,y,0).$

Enfin, soit l’équation différentielle proposée,

${\frac {dv}{dt}}=a{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+b{\frac {d^{4}v}{dx^{4}}}+c{\frac {d^{6}v}{dx^{6}}}+d{\frac {d^{8}v}{dx^{8}}}+\mathrm {etc.} \quad ({\boldsymbol {f}})$

les coëfficients $a,\,b,\,c,\,d$ sont des nombres connus, et l’ordre de l’équation est indéfini.

La valeur la plus générale de $v$ ne peut pas contenir plus d’une fonction arbitraire en $x$ : car il est évident, par la forme même de l’équation, que si l’on connaissait en fonction de $x$ la valeur de $v$ qui répond à $t=0,$ toutes les autres valeurs de $v,$ qui répondent aux valeurs successives de $t,$ seraient déterminées. On aura donc, pour exprimer $v,$ l’équation $v=e^{t\mathrm {D} }.\varphi x.$

On désigne par $\mathrm {D} \varphi$ l’expression

$a{\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+b{\frac {d^{4}\varphi }{dx^{4}}}+c{\frac {d^{6}\varphi }{dx^{6}}}+\mathrm {etc.} \,;$

c’est-à-dire que, pour former la valeur de $v,$ il faudrait développer, selon les puissances de $t,$ la quantité

$e^{\displaystyle t(a\alpha ^{2}+b\alpha ^{4}+c\alpha ^{6}+d\alpha ^{8}+\mathrm {etc.} )},$

et écrire ensuite ${\frac {d}{dx}}$ au lieu de $\alpha ,$ en considérant les exposants de $\alpha$ comme des indices de différentiation. En effet, cette valeur de $v$ étant différentiée par rapport à $t$ seulement, on a

${\frac {dv}{dt}}=\mathrm {D} e^{t\mathrm {D} }\varphi x=\mathrm {D} v=a{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+b{\frac {d^{4}v}{dx^{4}}}+c{\frac {d^{6}v}{dx^{6}}}+\mathrm {etc.}$

Il serait inutile de multiplier ces applications d’un même procédé. Pour les équations très-simples, on peut se dispenser des expressions abrégées ; mais, en général, elles suppléent à des calculs très-composés. Nous avons choisi pour exemple les équations précédentes, parce qu’elles se rapportent toutes à des phénomènes physiques dont l’expression analytique est analogue à celle du mouvement de la chaleur. Les deux premières, $(a)$ et $(b),$ appartiennent à la théorie de la chaleur ; et les trois suivantes, $(c),$ $(d),$ $(e),$ à des questions dynamiques ; la dernière, $(f),$ exprime ce que serait le mouvement de la chaleur dans les corps solides, si la transmission instantanée n’était pas bornée à une distance extrêmement petite. On a un exemple de ce genre de question dans le mouvement de la chaleur lumineuse qui pénètre les milieux diaphanes.

404.

On peut obtenir par divers moyens les intégrales de ces mêmes équations. Nous indiquerons en premier lieu celui qui résulte de l’usage du théorème énoncé dans l’art. 361, pag. 449, et que nous allons rappeler.

Si l’on considère l’expression

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\varphi \alpha \int \limits _{-\infty }^{+\infty }dp\,\cos .(px-p\alpha ),\qquad \qquad ({\boldsymbol {a}})$

on voit qu’elle représente une fonction de $x\,:$ car les deux intégrations définies par rapport à $\alpha$ et $p$ font disparaître ces variables, et il reste une fonction de $x.$ La nature de cette fonction dépendra évidemment de celle que l’on aura choisie pour $\varphi \alpha .$ On peut demander quelle doit être la fonction de $\varphi \alpha ,$ pour qu’après les deux intégrations définies on obtienne une fonction donnée $fx.$ En général, la recherche des intégrales propres à exprimer divers phénomènes physiques, se réduit à des questions semblables à la précédente. Ces questions ont pour objet de déterminer les fonctions arbitraires sous les signes d’intégration définie, en sorte que le résultat de cette intégration soit une fonction donnée. Il est facile de voir, par exemple, que l’intégrale générale de l’équation

${\frac {dv}{dt}}=a{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+b{\frac {d^{4}v}{dx^{4}}}+c{\frac {d^{6}v}{dx^{6}}}+d{\frac {d^{8}v}{dx^{8}}}+\mathrm {etc.} \quad ({\boldsymbol {f}})$

serait connue si, dans l’expression précédente $(a),$ on pouvait

déterminer $\varphi \alpha ,$ en sorte que le résultat de l’équation fût une fonction donnée $fx.$ En effet, on forme immédiatement

une valeur particulière de $v,$ ainsi exprimée,

$v=e^{-mt}\,\cos .px,$

et l’on trouve cette condition :

$m=ap^{2}+bp^{4}+cp^{6}+\mathrm {etc.}$

On pourra donc prendre aussi

$v=e^{-mt}\,\cos .(px-p\alpha ),$

en donnant à la constante $\alpha$ une valeur quelconque. On aura pareillement

$v=\int d\alpha \,\varphi \alpha \int dp\,e^{-t(ap^{2}+bp^{4}+cp^{6}+\mathrm {etc.} )}.\cos .(px-p\alpha ).$

Il est évident que cette valeur de $v$ satisfait à l’équation différentielle $(f)$ ; elle n’est autre chose qu’une somme de valeurs particulières. De plus, supposant $t=0,$ on doit trouver pour $v$ une fonction arbitraire de $x.$ Désignant cette fonction par $f(x),$ on a

$fx=\int d\alpha \,\varphi \alpha \int dp\,\cos .(px-p\alpha ).$

Or il résulte de la forme de l’équation $(f),$ que la valeur la plus générale de $v$ ne peut contenir qu’une seule fonction arbitraire en $x.$ En effet, cette équation montre clairement que si l’on connaît en fonction de $x$ la valeur de $v$ pour une valeur donnée du temps $t,$ toutes les autres valeurs de $v$ qui correspondent aux autres valeurs du temps, sont nécessairement déterminées. Il s’ensuit rigoureusement que si l’on connaît en fonction de $t$ et de $x$ une valeur de $v$ qui satisfasse à l’équation différentielle ; et si, de plus, en y faisant $t=0,$ cette fonction de $x$ et $t$ devient une fonction entièrement arbitraire de $x,$ la fonction de $x$ et $t$ dont il s’agit est l’intégrale générale de l’équation $(f).$ Toute la question est donc réduite à déterminer dans l’équation la fonction $\varphi \alpha ,$ en sorte que le résultat des deux intégrations soit une fonction donnée $fx.$ Il est seulement nécessaire, pour que la solution soit générale, que l’on puisse prendre pour $fx$ une fonction entièrement arbitraire et même discontinue. Il ne s’agit donc que de connaître la relation qui doit toujours exister entre la fonction donnée $fx$ et la fonction inconnue $\varphi \alpha .$ Or cette relation très-simple est exprimée par le théorème dont nous parlons. Elle consiste en ce que les intégrales étant prises entre des limites infinies, la fonction $\varphi \alpha$ est ${\frac {1}{2\pi }}f\alpha$ ; c’est-à-dire qu’on a l’équation

$fx={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\varphi \alpha \int \limits _{-\infty }^{+\infty }dp\,\cos .(px-p\alpha ).\qquad ({\boldsymbol {\mathrm {B} }})$

On en conclut, pour l’intégrale générale de la proposée $(f),$

$v={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,f\alpha \int \limits _{-\infty }^{+\infty }dp\,e^{-t(ap^{2}+bp^{4}+cp^{6}+\mathrm {etc.} )}\cos .(px-p\alpha ).\quad ({\boldsymbol {\varphi }})$

405.

Si l’on propose l’équation

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+{\frac {d^{4}v}{dx^{4}}}=0,\qquad ({\boldsymbol {d}})$

qui exprime le mouvement vibratoire d’une lame élastique, on considérera que, d’après la forme de cette équation, la valeur la plus générale de $v$ ne peut contenir que deux fonctions arbitraires en $x\,:$ car, en désignant cette valeur de $v$ par $f(x,t),$ et par $f'(x,t)$ la fonction ${\frac {d}{dt}}f(x,t),$ il est évident que si l’on connaissait $f(x,0)$ et $f'(x,0),$ c’est-à-dire les valeurs de $v$ et de ${\frac {dv}{dt}}$ au premier instant, toutes les autres valeurs de $v$ seraient déterminées.

Cela résulte aussi de la nature même du phénomène. En effet, considérons dans son état de repos une lame élastique rectiligne : $x$ est la distance d’un point quelconque de cette lame à l’origine O des coordonnées ; on change extrêmement peu la figure de cette lame, en l’écartant de sa position d’équilibre, où elle coïncidait avec l’axe de $x$ sur le plan horizontal ; ensuite on l’abandonne à ses forces propres excitées par le changement de figure. On suppose le déplacement arbitraire, mais très-petit, et tel que la figure initiale donnée à cette lame soit celle d’une courbe comprise dans un plan vertical qui passe par l’axe de $x.$ Le système changera successivement de forme, et continuera à se mouvoir dans le plan vertical de part et d’autre de la ligne d’équilibre. C’est ce mouvement dont l’équation

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+{\frac {d^{4}v}{dx^{4}}}=0\qquad ({\boldsymbol {d}})$

exprime la condition la plus générale.

Un point quelconque m, placé dans la situation d’équilibre à la distance $x$ de l’origine O, et sur le plan horizontal, est, à la fin du temps $t,$ éloigné de ce point de la hauteur perpendiculaire $v.$ Cet écart variable $v$ est une fonction de $x$ et $t.$ La valeur initiale de $v$ est arbitraire ; elle est exprimée par une fonction quelconque $\varphi x.$ Or, l’équation $(d)$ déduite des principes fondamentaux de la dynamique fait connaître que la seconde fluxion de $v,$ prise pour $t,$ ou ${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}},$ et la fluxion du quatrième ordre, prise pour $x,$ ou ${\frac {d^{4}v}{dx^{4}}},$ sont deux fonctions de $x$ et $t$ qui ne différent que par le signe. Nous n’entrons point ici dans la question spéciale relative à la discontinuité des fonctions ; nous n’avons en vue que l’expression analytique de l’intégrale. On peut supposer aussi, qu’après avoir déplacé arbitrairement les divers points de la lame, on leur imprime des vitesses initiales très-petites, et dans le plan vertical où les vibrations doivent s’accomplir. La vitesse initiale donnée à un point quelconque m placé à la distance $x,$ a une valeur arbitraire. Elle est exprimée par une fonction quelconque $\psi x$ de la distance $x.$

Il est manifeste que si l’on donne, 1^o la figure initiale du système ou $\varphi x,$ 2^o les impulsions initiales ou la fonction $\psi x,$ tous les états subséquents du système sont déterminés. Ainsi la fonction $v$ ou $f(x,t),$ qui représente, après un temps quelconque $t,$ la forme correspondante de la lame, contient deux fonctions arbitraires $\varphi x$ et $\psi x.$

Pour déterminer la fonction cherchée $f(x,t),$ nous considérons que, dans l’équation

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+{\frac {d^{4}v}{dx^{4}}}=0,\qquad ({\boldsymbol {d}})$

on peut donner à $v$ la valeur très-simple $u=\cos .(q^{2}t)\,\cos .(qx),$ ou celle-ci :

$u=\cos .(q^{2}t).\cos .(qx-q\alpha ),$

en désignant par $q$ et $\alpha$ des quantités quelconques qui ne contiennent ni $x,$ ni $t.$ On aura donc aussi

$u=\int d\alpha \,\mathrm {F} \alpha .\int dq.\cos .(q^{2}t)\,\cos .(qx-q\alpha ),$

$\mathrm {F} \alpha$ étant une fonction quelconque, et quelles que soient les limites des intégrations. Cette valeur de $v$ n’est autre chose qu’une somme de valeurs particulières.

Il est nécessaire maintenant qu’en supposant $t=0,$ la valeur de $u$ soit celle que nous avons désignée par $f(x,0)$ ou $\varphi x.$ On aura donc

$\varphi x=\int d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \int dq\,\cos .(qx-q\alpha ).$

Il faut déterminer la fonction $\mathrm {F} \alpha ,$ en sorte que, les deux intégrations étant achevées, le résultat soit la fonction arbitraire $\varphi x.$ Or le théorème exprimé par l’équation (B) fait connaître que les limites de chacune des intégrales étant

$-{\tfrac {1}{0}}\quad \mathrm {et} \quad +{\tfrac {1}{0}},\qquad \mathrm {on} \;\mathrm {a} \quad \mathrm {F} \alpha ={\frac {1}{2\pi }}\varphi \alpha .$

Donc la valeur de $u$ est donnée par l’équation suivante :

$u={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\varphi \alpha \int \limits _{-\infty }^{+\infty }dq\,\cos .(q^{2}t)\,\cos .(qx-q\alpha ).$

Si l’on intégrait par rapport à $t$ cette valeur $u,$ en y changeant $\varphi$ en $\psi ,$ il est évident que l’intégrale désignée par $\mathrm {W}$ satisferait encore à l’équation différentielle proposée $(d),$ et l’on aurait

$\mathrm {W} ={\frac {1}{2\pi }}\int d\alpha \,\psi \alpha \int dq.{\frac {1}{q^{2}}}\,\sin .(q^{2}t)\,\cos .(qx-q\alpha )\cdot$

Cette valeur $\mathrm {W}$ devient nulle lorsque $t=0$ ; et si l’on prend l’expression

${\frac {d\mathrm {W} }{dt}}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\psi \alpha \int \limits _{-\infty }^{+\infty }dq\,\cos .(q^{2}t)\,\cos .(qx-q\alpha ),$

on voit qu’en y faisant $t=0$ elle devient égale à $\psi x.$ Il n’en est pas de même de l’expression ${\frac {du}{dt}}\,;$ elle devient nulle lorsque $t=0,$ et $u$ devient égal à $\varphi x$ lorsque $t=0.$

Il suit de là que l’intégrale de l’équation $(d)$ est

${\begin{aligned}&v={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\varphi \alpha \int \limits _{-\infty }^{+\infty }dq\,\cos .q^{2}t\,\cos .(qx-q\alpha )+\mathrm {W} =u+\mathrm {W} \\\mathrm {et} \;\;&\mathrm {W} ={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\psi \alpha \int \limits _{-\infty }^{+\infty }dq\cdot {\frac {1}{q^{2}}}\sin .(q^{2}t)\,\cos .(qx-q\alpha ).\\\end{aligned}}$

En effet, 1^o cette valeur de $v$ satisfait à l’équation différentielle $(d).$

2^o Lorsqu’on fait $t=0,$ elle devient égale à la fonction entièrement arbitraire $\varphi x.$

3^o Lorsqu’on fait $t=0$ dans l’expression ${\frac {dv}{dt}},$ elle se réduit à une seconde fonction arbitraire $\psi x.$ Donc la valeur de $v$ est l’intégrale complète de la proposée, et il ne peut y avoir une intégrale plus générale.

406.

On peut réduire la valeur de $u$ à une forme plus simple en achevant l’intégration par rapport à $q.$ Cette réduction et celle d’autres expressions du même genre dépendent des deux résultats exprimés par les équations (1) et (2), qui seront démontrées dans l’article suivant.

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }dq\,\cos .(q^{2}t).\cos .(qz)={\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}\sin .\left({\frac {1}{4}}\pi +{\frac {z^{2}}{4t}}\right),\quad ({\boldsymbol {1}})$

$\int dq\,\sin .(q^{2}t).\cos .(qz)={\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}\sin .\left({\frac {1}{4}}\pi -{\frac {z^{2}}{4t}}\right).\qquad ({\boldsymbol {2}})$

On en conclut

$u={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\cdot {\sqrt {t}}\int d\alpha \,\varphi \alpha \,\sin .\left({\frac {1}{4}}\pi +{\frac {(x-\alpha )^{2}}{4t}}\right).\qquad ({\boldsymbol {\delta }})$

Désignant ${\frac {\alpha -x}{2{\sqrt {t}}}}$ par une autre indéterminée $\mu ,$ on aura

$\alpha =x+2\,\mu \,{\sqrt {t}},\qquad d\alpha =2\,d\mu \,{\sqrt {t}}.$

Mettant, au lieu de $\quad \sin .\left({\frac {1}{4}}\pi +\mu ^{2}\right),$

sa valeur $\qquad {\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot \sin .\mu ^{2}+{\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot \cos .\mu ^{2},$

on aura

$u={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\mu \,\left(sin.\mu ^{2}+\cos .\mu ^{2}\right)\,\varphi \left(\alpha +2\mu {\sqrt {t}}\right).\quad ({\boldsymbol {\delta '}})$

Nous avons prouvé dans un mémoire particulier, que ces intégrales $(\delta )$ ou $(\delta ')$ de l’équation $(d)$ représentent d’une manière claire et complète le mouvement des diverses parties de la lame élastique infinie. Elles contiennent l’expression distincte du phénomène, et en font connaître facilement toutes les lois. C’est sous ce point de vue sur-tout que nous les avons proposées à l’attention des géomètres. Elles montrent comment les oscillations se propagent et s’établissent dans toute l’étendue de la lame, et comment l’effet du déplacement initial, qui est arbitraire et fortuit, s’altère de plus en plus en s’éloignant de l’origine, devient bientôt insensible, et ne laisse subsister que l’action des forces propres du système, qui sont celles de l’élasticité.

407.

Les résultats exprimés par les équations (1) et (2) dérivent des intégrales définies

${\begin{aligned}\int dx\,\cos .x^{2},\qquad &\mathrm {et} \quad \int dx\,\sin .x^{2}\,;\\\mathrm {soit} \qquad g=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }dx\,\cos .x^{2},\qquad &\mathrm {et} \quad h=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }dx\,\sin .x^{2}\,;\\\end{aligned}}$

et regardons $g$ et $h$ comme des nombres connus. Il est évident que, dans les deux équations précédentes, on peut mettre $y+b$ au lieu de $x,$ en désignant par $b$ une constante quelconque, et que les limites de l’intégrale seront les mêmes. Ainsi l’on a

${\begin{aligned}g&=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }dy\,\cos .\left(y^{2}+2by+b^{2}\right),\qquad h=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }dy\,\sin .\left(y^{2}+2by+b^{2}\right),\\g&=\int dy\left\{{\begin{array}{rcl}\cos .y^{2}.\cos .2by.\cos .b^{2}&\!\!-\!\!&\cos .y^{2}.\sin .2by.\sin .b^{2}\\-\sin .y^{2}.\sin .2by.\cos .b^{2}&\!\!-\!\!&\sin .y^{2}.\cos .2by.\sin .b^{2}\\\end{array}}\right\}\cdot \\\end{aligned}}$

Or il est facile de voir que toutes les intégrales qui contiennent le facteur $\sin .(2by)$ sont nulles, si les limites sont $-{\tfrac {1}{0}}$ et $+{\tfrac {1}{0}}\,:$ car $\sin .(2by)$ change désigne en même temps que $y.$ On a donc

$g=\cos .b^{2}\int dy\,\cos .y^{2}.\cos .2by-\sin .b^{2}\int dy\,\sin .y^{2}.\cos .2by.\quad ({\boldsymbol {a}})$

L’équation en $h$ donnera aussi

$h=\int dy\left\{{\begin{array}{rcl}\sin .y^{2}.\cos .2by.\cos .b^{2}&\!\!+\!\!&\cos .y^{2}.\cos .2by.\sin .b^{2}\\+\cos .y^{2}.\sin .2by.\cos .b^{2}&\!\!-\!\!&\sin .y^{2}.\sin .2by.\sin .b^{2}\\\end{array}}\right\}\,;$

et, omettant aussi les termes qui contiennent $\sin .2by,$ on aura

$h=\cos .b^{2}\int dy\,\sin .y^{2}\,\cos .2by+\sin .b^{2}\int dy\,\cos .y^{2}\,\cos .2by.\quad ({\boldsymbol {b}})$

Les deux équations $(a)$ et $(b)$ donnent donc en $g$ et $h$ les deux intégrales

$\int dy.\sin .y^{2}.\cos .2by\qquad \mathrm {et} \qquad \int dy.\cos .y^{2}.\cos .2by$

que nous désignerons respectivement par $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} .$ On fera ensuite

$y^{2}=p^{2}t,\quad \mathrm {et} \quad 2by=pz,\qquad \mathrm {ou} \quad y=p{\sqrt {t}},\quad b={\frac {z}{2{\sqrt {t}}}}\cdot$

On a donc

${\sqrt {t}}.\int dp\,\cos .p^{2}t.\cos .pz=\mathrm {A} ,\quad {\sqrt {t}}.\int dp\,\sin .p^{2}t.\cos .pz=\mathrm {B} .$

On déduit immédiatement les valeurs de $g$ et $h$ du résultat connu

${\sqrt {\pi }}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }dx.e^{-x^{2}}\cdot$

En effet, cette dernière équation est identique, et par conséquent ne cessera point de l’être, lorsqu’on mettra au lieu de $x$ la quantité $\qquad y\left({\frac {1+{\sqrt {-1}}}{\sqrt {2}}}\right)\,:$

cette substitution donne

$\left({\frac {1+{\sqrt {-1}}}{\sqrt {2}}}\right)\int dy\,e^{-y^{2}{\sqrt {-1}}}={\frac {1+{\sqrt {-1}}}{\sqrt {2}}}\int dy\,\cos .y^{2}-{\sqrt {-1}}.\sin .y^{2}\cdot$

Ainsi la partie réelle du second membre de la dernière équation est ${\sqrt {\pi }},$ et la partie imaginaire est nulle. On en conclut

${\begin{aligned}{\sqrt {\pi }}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\int dy\,\cos .y^{2}+\int dy\,]sin.y^{2}\right),\\\mathrm {et} \qquad \qquad \qquad 0&=\int dy\,\cos .y^{2}-\int dy\,\sin .y^{2}\\\end{aligned}}$

$\mathrm {ou} \quad \int \limits _{-\infty }^{+\infty }dy\,\cos .y^{2}=g={\sqrt {{\frac {1}{2}}\pi }},\quad \int dy\,\sin .y^{2}=h={\sqrt {{\frac {1}{2}}\pi }}.$

Il ne reste plus qu’à déterminer, au moyen des équations $(a)$ et $(b),$ les valeurs des deux intégrales

$\int dy\,\cos .y^{2}\,\cos .2by,\qquad \mathrm {et} \quad \int dy\,\sin .y^{2}\,\sin .2by$

Elles seront ainsi exprimées :

${\begin{aligned}\mathrm {A} &=\int dy\,\cos .y^{2}\,\cos .2by=h\,\sin .b^{2}+g\,\cos .b^{2},\\\mathrm {B} &=\int dy\,\sin .y^{2}\,\cos .2by=h\,\cos .b^{2}-g\,\sin .b^{2},\\\end{aligned}}$

On en conclut :

${\begin{aligned}\int dp\,\cos .p^{2}t\,\cos .pz&={\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2}}}\cdot \left(\cos .\left({\frac {z^{2}}{4t}}\right)+\sin .\left({\frac {z^{2}}{4t}}\right)\right),\\\int dp\,\sin .p^{2}t\,\cos .pz&={\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2}}}\cdot \left(\cos .\left({\frac {z^{2}}{4t}}\right)-\sin .\left({\frac {z^{2}}{4t}}\right)\right).\\\end{aligned}}$

écrivant $\sin \left({\frac {1}{4}}\pi \right),$ ou $\cos \left({\frac {1}{4}}\pi \right),$ au lieu de ${\sqrt {\frac {1}{2}}},$ on a

${\begin{aligned}\int dp\,\cos .(p^{2}t)\,\cos .(pz)&={\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}\sin .\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {z^{2}}{4t}}\right),\qquad ({\boldsymbol {1}})\\\mathrm {et} \qquad \int dp\,\sin .(p^{2}t)\,\cos .(pz)&={\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}\sin .\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {z^{2}}{4t}}\right),\qquad ({\boldsymbol {2}})\\\end{aligned}}$

408.

La proposition exprimée par l’équation (B), page 525, ou par l’équation (E), page 449, et qui nous a servi à découvrir cette intégrale $(\delta )$ et les précédentes, s’applique évidemment à un plus grand nombre de variables. En effet, dans l’équation générale

$fx={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,f\alpha \int \limits _{-\infty }^{+\infty }dp\,\cos .(px-p\alpha ),$

$\mathrm {ou} \qquad fx={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }dp\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\cos .(px-p\alpha )f\alpha ,$

on peut regarder $fx$ comme une fonction de deux variables $x$ et $y.$ La fonction $f\alpha$ sera donc une fonction de $\alpha$ et $y.$ On regardera maintenant cette fonction $f(\alpha ,y)$ comme une fonction de la variable $y,$ et l’on conclura du même théorème (B), page 525,

$f(\alpha ,y)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,f(\alpha ,\beta )\int dq\,\cos .(qy-q\beta ).$

On aura donc, pour exprimer une fonction quelconque des deux variables $x$ et $y,$ l’équation suivante :

$f(x,y)=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{2}\!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!d\alpha \!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!d\beta \,f(\alpha ,\beta )\!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!dp\,\cos .(px-p\alpha )\!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!dq\,\cos .(qy-q\beta ).\;\;({\boldsymbol {\mathrm {BB} }})$

On formera de la même manière l’équation qui convient aux fonctions de trois variables, savoir :

${\begin{aligned}f&(x,y,z)=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{3}\int d\alpha \int d\beta \int d\gamma \,f(\alpha ,\beta ,\gamma )\\&\int \!\!dp\,\cos .(px-p\alpha )\int \!\!dq\,\cos .(qy-q\beta )\int \!\!dr\,\cos .(rz-r\gamma ),\;\;({\boldsymbol {\mathrm {BBB} }})\\\end{aligned}}$

chacune des intégrales étant prise entre les limites $-{\tfrac {1}{0}}$ et $+{\tfrac {1}{0}}.$

Il est manifeste que la même proposition s’étend aux fonctions qui comprennent un nombre quelconque de variables,

Il nous reste à montrer comment cette proposition s’applique à la recherche des intégrales, lorsque les équations contiennent plus de deux variables.

409.

Par exemple, l’équation différentielle étant

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}},\qquad ({\boldsymbol {c}})$

on veut connaître la valeur de $v$ en fonction de $(x,y,t),$ et telle, 1^o qu’en supposant $t=0,$ $v$ ou $f(x,y,t)$ devienne une fonction arbitraire $\varphi (x,y)$ de $x$ et $y\,;$

2^o Qu’en faisant $t=0$ dans la valeur de ${\frac {dv}{dt}},$ ou $f'(x,y,t),$ on trouve une seconde fonction entièrement arbitraire $\psi (x,y).$

Nous pouvons conclure de la forme de l’équation différentielle $(c),$ que la valeur de $v$ qui satisfera à cette équation et aux deux conditions précédentes, sera nécessairement l’intégrale générale. Pour découvrir cette intégrale, nous donnons d’abord à $v$ la valeur particulière

$v=\cos .(mt)\,\cos .(px)\,\cos .(qy).$

La substitution de $v$ fournit cette condition $m={\sqrt {p^{2}+q^{2}}}$. Il n’est pas moins évident que l’on peut écrire :

${\begin{aligned}v&=\cos .(p\,{\overline {x-\alpha }})\,\cos .(q\,{\overline {y-\beta }})\,\cos .t{\sqrt {p^{2}+q^{2}}},\\\mathrm {ou} \quad v&=\int d\alpha \int d\beta \,\mathrm {F} (\alpha ,\beta )\\&\int dp\,\cos .(px-p\alpha )\int dq\,\cos .(qy-q\beta )\,\cos .t{\sqrt {p^{2}+q^{2}}},\\\end{aligned}}$

quelles que soient les quantités $p,\,q,\,\alpha ,\,\beta$ et $\mathrm {F} (\alpha ,\beta ),$ qui ne contiennent ni $x,$ ni $y,$ ni $t.$ En effet, cette dernière valeur de $v$ n’est autre chose qu’une somme de valeurs particulières.

Si l’on suppose $t=0,$ il est nécessaire que $v$ devienne $\varphi (x,y).$ On aura donc

$\varphi (x,y)=\int d\alpha \int d\beta \,\mathrm {F} (\alpha ,\beta )\int dp\,\cos .(px-p\alpha )\int dq\,\cos .(qy-q\beta ).$

Ainsi la question est réduite à déterminer $\mathrm {F} (\alpha ,\beta ),$ en sorte que le résultat des intégrations indiquées soit $\varphi (x,y).$ Or, en comparant la dernière équation à l’équation (BB), on trouve

$\varphi (x,y)=\left({\frac {2}{2\pi }}\right)^{2}\!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!d\alpha \!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!d\beta \,\varphi (\alpha ,\beta )\!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!dp\,\cos .(px-p\alpha )\!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!dq\,\cos .(qy-q\beta ).$

Donc l’intégrale sera ainsi exprimée :

$v=\left({\frac {2}{2\pi }}\right)^{2}\!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!d\alpha \!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!d\beta \,\varphi (\alpha ,\beta )\!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!dp\,\cos .(px-p\alpha )\!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!dq\,\cos .(qy-q\beta )\,\cos .t{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}\cdot$

On obtient ainsi une première partie $u$ de l’intégrale ; et, désignant par $\mathrm {W}$ la seconde partie, qui doit contenir l’autre fonction arbitraire $\psi (x,y),$ on aura

$v=u+\mathrm {W} ,$

et l’on prendra pour $\mathrm {W}$ l’intégrale $\int u\,dt,$ en changeant seulement $\varphi$ en $\psi .$ En effet, $u$ devient égale à $\varphi (x,y),$ lorsqu’on fait $t=0\,;$ et en même temps $\mathrm {W}$ devient nulle, puisque l’intégration, par rapport à $t,$ change le cosinus en sinus.

De plus, si l’on prend la valeur de ${\frac {dv}{dt}},$ et que l’on fasse $t=0,$ la première partie, qui contient alors un sinus, devient nulle, et la seconde partie devient égale à $\psi (x,y).$ Ainsi l’équation $v=u+\mathrm {W}$ est l’intégrale complète de la proposée.

On formerait de la même manière l’intégrale de l’équation

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}\cdot$

Il suffirait d’introduire un nouveau facteur

${\frac {1}{2\pi }}\,\cos .(rz-r\gamma ),$

et d’intégrer par rapport à $r$ et $\gamma .$

410.

Soit l’équation proposée ${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}=0\,;$ il s’agit d’exprimer $v$ en une fonction $f(x,y,z),$ telle, 1^o que $f(x,y,0)$ soit une fonction arbitraire $\varphi (x,y)\,;$ 2^o qu’en faisant $z=0$ dans la fonction ${\frac {d}{dz}}f(x,y,z),$ on trouve une seconde fonction arbitraire $\psi (x,y).$ Il suit évidemment de la forme de l’équation différentielle, que la fonction ainsi déterminée sera l’intégrale complète de la proposée. Pour connaître cette fonction, on remarquera d’abord que l’on satisfait a l’équation en écrivant $v=\cos .px.\cos .qy.e^{mz},$ les exposants $p$ et $q$ étant des nombres quelconques, et la valeur de $m$ étant $\pm {\sqrt {p^{2}+q^{2}}}\cdot$

On pourrait donc aussi écrire

${\begin{aligned}v&=\cos .(px-p\alpha )\,\cos .(qy-q\beta )\left(e^{z{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}+e^{-z{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}\right),\\\mathrm {ou} \quad v&=\int d\alpha \int d\beta \,\mathrm {F} (\alpha ,\beta )\int dp\int dq.\\&\cos .(px-p\alpha )\,\cos .(qy-q\beta )\left(e^{z{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}+e^{-z{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}\right)\cdot \\\end{aligned}}$

Si l’on fait $z=0,$ on aura, pour déterminer $\mathrm {F} (\alpha ,\beta ),$ la condition suivante :

$\varphi (x,y)=\!\int \!d\alpha \!\int \!d\beta \,\mathrm {F} (\alpha \beta )\!\int \!dp\!\int \!dq\,\cos .(px-p\alpha )\,\cos .(qy-q\beta )\,;$

et, en comparant à l’équation (BB), on voit que

$\mathrm {F} (\alpha ,\beta )=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{2}\varphi (\alpha ,\beta ).$

On aura donc, pour l’expression d’une première partie de l’intégrale :

${\begin{aligned}u&=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{2}\int d\alpha \int d\beta \,\varphi (\alpha ,\beta )\\&\!\int \!dp\,\cos .(px-p\alpha )\!\int \!dq\,\cos .(qy-q\beta )\left(e^{z{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}+e^{-z{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}\right)\cdot \\\end{aligned}}$

Cette valeur de $u$ se réduit à $\varphi (x,y)$ lorsque $z=0,$ et la même substitution rend nulle la valeur de ${\frac {du}{dz}}\cdot$

On pourrait aussi intégrer par rapport à $z$ la valeur de $u,$ et l’on donnerait à l’intégrale la forme suivante dans laquelle $\psi$ est une nouvelle fonction arbitraire :

${\begin{aligned}\mathrm {W} &=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{2}\int d\alpha \int d\beta \,\psi (\alpha ,\beta )\\&\!\int \!dp\,\cos .(px-p\alpha )\!\int \!dq\,\cos .(qy-q\beta )\left({\frac {e^{z{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}-e^{-z{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}}{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}\right)\cdot \\\end{aligned}}$

La valeur de $\mathrm {W}$ devient nulle lorsque $z=0,$ et la même substitution rend la fonction ${\frac {d\mathrm {W} }{dz}}$ égale à $\psi (x,y).$ Donc l’intégrale générale de la proposée est $v=u+\mathrm {W} .$

411.

Enfin, soit l’équation

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+{\frac {d^{4}v}{dx^{4}}}+{\frac {d^{4}v}{dx^{2}dy^{2}}}+{\frac {d^{4}v}{dy^{4}}}=0\,:\qquad ({\boldsymbol {e}})$

on veut connaître pour $v$ une fonction $f(x,y,t),$ qui satisfasse à la proposée $(e)$ et aux deux conditions suivantes, savoir, 1^o que la substitution de $t=0$ donne $f(x,y,t)$ donne une fonction arbitraire $\varphi (x,y)\,;$ que la même substitution dans ${\frac {d}{dt}}f(x,y,t)$ donne une seconde fonction arbitraire $\psi (x,y).$

Il suit évidemment de la forme de l’équation $(e),$ et des principes que nous avons exposés plus haut, que la fonction $v,$ étant déterminée en sorte qu’elle satisfasse aux conditions précédentes, sera l’intégrale complète de la proposée. Pour découvrir cette fonction on écrira d’abord

$v=\cos .(px)\,\cos .(qy)\,\cos .(mt),$

d’où l’on tire

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}=-m^{2}v,\quad {\frac {d^{4}v}{dx^{4}}}=p^{4}v,\quad {\frac {d^{4}v}{dx^{2}dy^{2}}}=p^{2}q^{2}v,\quad {\frac {d^{4}v}{dy^{4}}}=q^{4}v\cdot$

On a donc la condition $m=p^{2}+q^{2}.$ Ainsi l’on écrira

${\begin{aligned}v&=\cos .px.\cos .qy.\cos .\left(t.{\overline {p^{2}+q^{2}}}\right)\\\mathrm {ou} \quad v&=\cos .\left(p.{\overline {x-\alpha }}\right)\,\cos .\left(q.{\overline {y-\beta }}\right)\,\cos .\left(t.{\overline {p^{2}+q^{2}}}\right)\\\mathrm {ou} \quad v&=\int d\alpha \int d\beta \,\mathrm {F} (\alpha ,\beta )\int dp\int dq\\&\cos .(px-p\alpha )\,\cos .(qy-q\beta )\,\cos .(p^{2}t+q^{2}t).\end{aligned}}$

Lorsqu’on fait $t=0,$ on doit avoir $v=\varphi (x,y)\,;$ ce qui sert à déterminer la fonction $\mathrm {F} (\alpha ,\beta ).$ Si l’on compare à l’équation générale (BB), on trouve que, les intégrales étant prises entre des limites infinies, la valeur de $\mathrm {F} (\alpha ,\beta )$ est $\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{2}\varphi (\alpha ,\beta ).$ On aura donc, pour exprimer une première partie $u$ de l’intégrale,

$u=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{2}\!\int \!d\alpha \!\int \!d\beta \,\varphi (\alpha ,\beta )\!\int \!dp\!\int \!dq\,\cos .(px-p\alpha )\,\cos .(qy-q\beta )\,\cos .(p^{2}t+q^{2}t).$

En intégrant la valeur de $u$ par rapport à $t,$ et $\psi$ désignant la seconde fonction arbitraire, on trouvera une autre partie $\mathrm {W}$ de l’intégrale ainsi exprimée :

$\mathrm {W} =\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{2}\!\!\int \!\!d\alpha \!\!\int \!\!d\beta \,\psi (\alpha ,\beta )\!\!\int \!\!dp\!\!\int \!\!dq\,\cos .(px-p\alpha ).\cos .(qy-q\beta ){\frac {\sin .(p^{2}t+q^{2}t)}{p^{2}+q^{2}}}\cdot$

Si l’on fait $t=0$ dans $u$ et dans $\mathrm {W} ,$ la première fonction devient égale à $\varphi (x,y),$ et la seconde nulle ; et si l’on fait aussi $t=0$ dans ${\frac {d}{dt}}u$ et dans ${\frac {d}{dt}}\mathrm {W} ,$ la première fonction devient nulle, et la seconde devient égale à $\psi (x,y)\,:$ donc $v=u+\mathrm {W}$ est l’intégrale générale de la proposée.

412.

On peut donner à la valeur de $u$ une forme plus simple en effectuant les deux intégrations par rapport à $p$ et $q.$ On fait usage, pour ce calcul, des deux équations (1) et (2) que nous avons démontrées dans l’art. 407, et l’on obtient l’intégrale suivante :

$u={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\beta \,\varphi (\alpha ,\beta )\cdot {\frac {1}{4t}}\sin .\left({\frac {(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}}{4t}}\right)\cdot$

Désignant par $u$ cette première partie de l’intégrale, et par $\mathrm {W}$ la seconde, qui doit contenir une autre fonction arbitraire, on a

$\mathrm {W} =\int \limits _{0}^{t}dt\,u\qquad \mathrm {et} \quad v=u+\mathrm {W} .$

Si l’on désigne par $\mu$ et $\nu$ deux nouvelles indéterminées, telles que l’on ait

${\frac {\alpha -x}{2{\sqrt {t}}}}=\mu ,\qquad {\frac {\beta -y}{2{\sqrt {t}}}}=\nu ,$

et que l’on substitue, pour $\alpha ,$ $\beta ,$ $d\alpha ,$ $d\beta ,$ leurs valeurs

$x+2\mu {\sqrt {t}},\quad y+2\nu {\sqrt {t}},\quad 2d\mu {\sqrt {t}},\quad 2d\nu {\sqrt {t}},$

on aura cette autre forme de l’intégrale

$v={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\mu \int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\nu \,\sin .(\mu ^{2}+\nu ^{2})\,\varphi (x+2\mu {\sqrt {t}},y+2\nu {\sqrt {t}})+\mathrm {W} .$

Nous ne pourrions multiplier davantage ces applications de nos formules, sans nous écarter de notre sujet principal. Les exemples précédents se rapportent à des phénomènes physiques dont les lois étaient inconnues et difficiles à découvrir ; et nous les avons choisis parce que les intégrales de ces équations, que l’on avait inutilement cherchées jusqu’ici, ont une analogie remarquable avec celles qui expriment le mouvement de la chaleur.

413.

On peut aussi, dans la recherche des intégrales, considérer d’abord les séries développées selon les puissances d’une variable, et sommer ces séries au moyen des théorèmes exprimés par les équations (B), (BB). Voici un exemple de cette analyse, choisi dans la théorie même de la chaleur, et qui nous a paru remarquable.

On a vu, art. 399, que la valeur générale de $v,$ déduite de l’équation

${\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}},\qquad ({\boldsymbol {a}})$

développée en série, selon les puissances croissantes de la variable $t,$ contient une seule fonction arbitraire de $x\,;$ et qu’étant développée en série selon les puissances croissantes de $x,$ elle contient deux fonctions entièrement arbitraires de $t.$

La première série est ainsi exprimée :

$v=\varphi x+t{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\varphi x+{\frac {t^{2}}{2}}{\frac {d^{4}}{dx^{4}}}\varphi x+{\frac {t^{3}}{2.3}}{\frac {d^{6}}{dx^{6}}}\varphi x+\mathrm {etc.} \qquad ({\boldsymbol {\mathrm {T} }})$

L’intégrale désignée par $(\beta ),$ art. 397, ou

$v={\frac {1}{2\pi }}\int d\alpha \,\varphi \alpha \int dp\,e^{-p^{2}t}\,\cos .(px-p\alpha ),$

représente la somme de cette série, et contient la seule fonction arbitraire $\varphi x.$

La valeur de $v,$ développée selon les puissances de $x,$ contient deux fonctions arbitraires $ft$ et $\mathrm {F} t,$ et est ainsi exprimée :

${\begin{aligned}v&=ft+{\frac {x^{2}}{2}}\cdot {\frac {d}{dt}}ft+{\frac {x^{4}}{2.3.4}}\cdot {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}ft+{\frac {x^{6}}{2.3.4.5.6}}\cdot {\frac {d^{3}}{dt^{3}}}ft+\mathrm {etc.} \\&+x\mathrm {F} t+{\frac {x^{3}}{2.3}}{\frac {d}{dt}}\mathrm {F} t+{\frac {x^{5}}{2.3.4.5}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathrm {F} t+{\frac {x^{7}}{2.3.4.5.6.7}}{\frac {d^{3}}{dt^{3}}}\mathrm {F} t+\mathrm {etc.} \;\;({\boldsymbol {\mathrm {X} }})\\\end{aligned}}$

Il y a donc, indépendamment de l’équation $(\beta ),$ une autre forme de l’intégrale qui représente la somme de cette dernière série, et qui contient deux fonctions arbitraires, $ft$ et $\mathrm {F} t.$ Il s’agit de découvrir cette seconde intégrale de l’équation proposée, qui ne peut être plus générale que la précédente $(\beta ),$ mais qui contient deux fonctions arbitraires.

On y parviendra en sommant chacune des deux séries qui entrent dans l’équation (X). Or il est évident que si l’on connaissait en fonction de $x$ et $t$ la somme de la première série qui contient $ft,$ il faudrait, après l’avoir multipliée par $dx,$ prendre l’intégrale par rapport à $x,$ et changer $ft$ en $\mathrm {F} t.$ On trouverait ainsi la seconde série. De plus, il suffirait de connaître la somme des termes impairs qui entrent dans la première série : car, en désignant cette somme par $\mu ,$ et la somme de tous les autres termes par $\nu ,$ on a évidemment

$\nu =\int \limits _{0}^{x}dx\int \limits _{0}^{x}dx\,\mu .$

il reste donc à trouver la valeur de $\mu .$ Or la fonction $ft$ peut être ainsi exprimée, au moyen de l’équation générale (B),

$ft={\frac {1}{2\pi }}\int d\alpha \,f\alpha \int dp\,\cos .(pt-p\alpha ).\quad ({\boldsymbol {\mathrm {B} }})$

Il est facile d’en déduire les valeurs des fonctions

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}ft,\quad {\frac {d^{4}}{dt^{4}}}ft,\quad {\frac {d^{6}}{dt^{6}}}ft,\quad \mathrm {etc.}$

Il est évident que la différentiation se réduit à écrire dans le second membre de l’équation (B), sous le signe $\textstyle \int dp,$ les facteurs respectifs $-p^{2},$ $+p^{4},$ $-p^{6},$ $+p^{8},$ etc.

On aura donc, en écrivant une seule fois le facteur commun $\cos .(pt-p\alpha ),$

${\begin{aligned}\mu ={\frac {1}{2\pi }}&\int d\alpha \,f\alpha \int dp\,\cos .(pt-p\alpha )\\&\left(1-{\frac {p^{2}x^{4}}{2.3.4}}+{\frac {p^{4}x^{8}}{2.3.4.5.6.7.8}}-{\frac {p^{6}x^{12}}{2.3.\dots \dots .12}}+\mathrm {etc.} \right).\\\end{aligned}}$

Ainsi la question consiste à trouver la somme de la série qui entre dans le second membre, ce qui ne présente aucune difficulté. En effet, soit $y$ la valeur de cette série, on en conclut

${\frac {d^{4}y}{dx^{4}}}=-p^{2}+{\frac {p^{4}x^{4}}{2.3.4}}-{\frac {p^{6}x^{8}}{2.3.4\dots 8}}+\mathrm {etc.} ,\quad \mathrm {ou} \;\;{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}}=-p^{2}y.$

Intégrant cette équation linéaire, et déterminant les constantes arbitraires, en sorte que, $x$ étant nulle, $y$ soit 1, et ${\frac {dy}{dx}},$ ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},$ ${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},$ soient nulles, on trouve, pour la somme de la série,

$y=\left(e^{x{\sqrt {2p}}}+e^{-x{\sqrt {2p}}}\right)\cos .\left(x{\sqrt {2p}}\right).$

Il serait inutile de rapporter le détail de ce calcul ; il suffit d’en énoncer le résultat, qui donne pour l’intégrale cherchée,

${\begin{aligned}v={\frac {2}{\pi }}\int d\alpha \,f\alpha &\int dq.q\left\{\cos .\left(2q^{2}{\overline {t-\alpha }}\right)\left(e^{qx}+e^{-qx}\right)\cos .qx\right.\\&\left.-\sin .\left(2q^{2}{\overline {t-\alpha }}\right)\left(e^{qx}-e^{-qx}\right)\sin .qx\right\}+\mathrm {W} .\quad ({\boldsymbol {\beta \beta }})\\\end{aligned}}$

Le terme $\mathrm {W}$ est la seconde partie de l’intégrale ; on le forme en intégrant la première partie par rapport à $x,$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=x,$ et en changeant $f$ en $\mathrm {F} .$ Sous cette forme l’intégrale contient deux fonctions entièrement arbitraires, $ft$ et $\mathrm {F} t.$ Si, dans la valeur de $v,$ on suppose $x$ nulle, le terme $\mathrm {W}$ devient nul par hypothèse, et la première partie $u$ de l’intégrale devient $ft.$ Si l’on fait la même substitution $x=0$ dans la valeur de ${\frac {dv}{dx}},$ il est évident que la première partie ${\frac {du}{dx}}$ deviendra nulle, et que la seconde, ${\frac {d\mathrm {W} }{dx}},$ qui ne diffère de la première que par la fonction $\mathrm {F}$ placée au lieu de $f,$ se réduira à $\mathrm {F} t.$ Ainsi l’intégrale exprimée par l’équation $(\beta \beta )$ satisfait à toutes les conditions, et elle représente la somme des deux séries qui forment le second membre de l’équation (X).

C’est cette forme de l’intégrale qu’il est nécessaire de choisir dans plusieurs questions de la théorie de la chaleur ; on voit qu’elle est très-différente de celle qui est exprimée par l’équation $(\beta ),$ art. 397.

414.

On peut employer des procèdes de calcul très-variés, pour exprimer, en intégrales définies, les sommes des séries qui représentent les intégrales des équations différentielles. La forme de ces expressions dépend aussi des limites des intégrales définies. Nous citerons un seul exemple de ce calcul en rappelant le résultat de l’art. 311, pag. 380. Si, dans l’équation qui termine cet article, on écrit $x+t\sin .u$ sous le signe de fonction $\varphi ,$ on a

${\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }\!du\,\varphi (x\!+\!t\sin .u)=\varphi x+{\frac {t^{2}}{2^{2}}}\!\cdot \!\varphi ''x+{\frac {t^{4}}{2^{2}.4^{2}}}\!\cdot \!\varphi ^{IV}x+{\frac {t^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}\!\cdot \!\varphi ^{VI}x+\mathrm {etc.}$

Désignant par $v$ la somme de la série qui forme le second membre, on voit que, pour faire disparaître dans chaque terme un des facteurs $2^{2},$ $4^{2},$ $6^{2},$ $8^{2},$ etc., il faut différencier une fois par rapport à $t,$ multiplier le résultat par $t,$ et différencier une seconde fois par rapport à $t.$ On conclut de là que $v$ satisfait à l’équation aux différences partielles

${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}={\frac {1}{t}}\cdot {\frac {d}{dt}}\left(t\cdot {\frac {dv}{dt}}\right),\qquad \mathrm {ou} \quad {\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+{\frac {1}{t}}\cdot {\frac {dv}{dt}}.$

On a donc, pour exprimer l’intégrale de cette équation.

$v={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }du\,\varphi (x+t\sin .u)+\mathrm {W} .$

La seconde partie $\mathrm {W}$ de l’intégrale contient une nouvelle fonction arbitraire. La forme de cette seconde partie $\mathrm {W}$ de l’intégrale diffère beaucoup de celle de la première, et pourrait aussi être exprimée en intégrales définies. Les résultats que l’on obtient au moyen des intégrales définies varient selon les procédés de calcul dont on les déduit, et selon les limites des intégrales. On peut dire, en général, que ces recherches n’ont point un but assez déterminé lorsqu’on les sépare des questions physiques auxquelles elles se rapportent.

415.

Il est nécessaire d’examiner avec soin la nature des propositions générales qui servent à transformer les fonctions arbitraires : car l’usage de ces théorèmes est très-étendu, et l’on en déduit immédiatement la solution de plusieurs questions physiques importantes, que l’on ne pourrait traiter par aucune autre méthode. Les démonstrations suivantes, que nous avons données dans nos premières recherches, sont très-propres à rendre sensible la vérité de ces propositions. Dans l’équation générale

$fx={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,f\alpha \int \limits _{0}^{+\infty }dp\,\cos .(p\alpha -px),$

qui est la même que l’équation (B), page 525, on peut effectuer l’intégration par rapport à $p,$ et l’on trouve

$fx={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,f\alpha \cdot {\frac {\sin .(p\alpha -px)}{\alpha -x}}\cdot$

On doit donc donner à $p,$ dans cette dernière expression, une valeur infinie ; et, cela étant, le second membre exprimera la valeur de $fx.$ On reconnaîtra la vérité de ce résultat au moven de la construction suivante. Nous examinerons d’abord l’intégrale définie $\int \limits _{0}^{\tfrac {1}{0}}dx\cdot {\frac {\sin .x}{x}},$ que l’on sait être égale à ${\frac {1}{2}}\pi ,$ art. 356.

Si l’on construit au-dessus de l’axe des $x$ la ligne dont l’ordonnée est $\sin .x,$ et celle dont l’ordonnée est ${\frac {1}{x}},$ et qu’ensuite on multiplie l’ordonnée de la première ligne par l’ordonnée correspondante de la seconde, on considérera le produit comme l’ordonnée d’une troisième ligne dont il est très-facile de connaître la forme.

Sa première ordonnée à l’origine est 1, et les ordonnées suivantes deviennent alternativement positives ou négatives ; la courbe coupe l’axe aux points où $x=\pi ,$ $2\pi ,$ $3\pi ,$ $4\pi ,$ etc., et elle se rapproche de plus en plus de cet axe. Une seconde branche de la courbe, entièrement semblable à la première, est située à la gauche de l’axe des $y.$ L’intégrale $\int \limits _{0}^{+\infty }dx\cdot {\frac {\sin .x}{x}}$ est l’aire comprise entre la courbe et l’axe des $x,$ et comptée depuis $x=0$ jusqu’à une valeur positive infinie de $x.$

L’intégrale définie $\int \limits _{0}^{+\infty }dx\cdot {\frac {\sin .(px)}{x}},$ dans laquelle $p$ est supposé un nombre positif quelconque, a la même valeur que la précédente. En effet, soit $px=z\,;$ l’intégrale proposée deviendra $\int \limits _{0}^{+\infty }dz\cdot {\frac {\sin .z}{z}},$ et, par conséquent, elle équivaut aussi à ${\tfrac {1}{2}}\pi .$ Cette proposition est vraie, quel que soit le nombre positif $p.$ Si l’on suppose, par exemple, $p=10,$ la courbe dont l’ordonnée est ${\frac {\sin .(10\,x)}{x}}$ a des sinuosités beaucoup plus rapprochées et plus courtes que celles dont l’ordonnée est ${\frac {\sin .x}{x}}\,;$ mais l’aire totale depuis $x=0$ jusqu’à $x={\tfrac {1}{0}}$ est la même.

Supposons maintenant que le nombre $p$ devienne de plus en plus grand, et qu’il croisse sans limite, c’est-à-dire qu’il soit infini. Les sinuosités de la courbe dont ${\frac {\sin .(px)}{x}}$ est l’ordonnée sont infiniment voisines. Leur base est une longueur infiniment petite égale à ${\frac {\pi }{p}}.$ Cela étant, si l’on compare l’aire positive qui repose sur un de ces intervalles ${\frac {\pi }{p}}$ à l’aire négative qui repose sur l’intervalle suivant, et si l’on désigne par $\mathrm {X}$ l’abscisse finie et assez grande qui répond au commencement du premier arc, on voit que l’abscisse $x,$ qui entre comme dénominateur dans l’expression ${\frac {\sin .(px)}{x}}$ de l’ordonnée, n’a aucune variation sensible dans le double intervalle ${\frac {2\pi }{p}}$ qui sert de base aux deux aires. Par conséquent, l’intégrale est la même que si $x$ était une quantité constante. Il s’ensuit que la somme des deux aires qui se succèdent est nulle.

Il n’en est pas de même lorsque la valeur de $x$ est infiniment petite, parce que l’intervalle ${\frac {2\pi }{p}}$ a dans ce cas un rapport fini avec la valeur de $x.$ On connaît par là que l’intégrale $\int \limits _{0}^{+\infty }dx{\frac {\sin .(px)}{x}},$ dans laquelle on suppose $p$ un nombre infini, est entièrement formée de la somme de ses premiers termes qui répondent à des valeurs extrêmement petites de $x.$ Lorsque l’abscisse a une valeur finie $\mathrm {X} ,$ l’aire ne varie plus, parce que les parties qui la composent se détruisent deux à deux alternativement. Nous exprimons ce résultat en écrivant

$\int \limits _{0}^{\tfrac {1}{0}}dx\cdot {\frac {\sin .(px)}{x}}=\int \limits _{0}^{\omega }dx\cdot {\frac {\sin .(px)}{x}}={\frac {1}{2}}\pi .$

La quantité $\omega ,$ qui désigne la limite de la seconde intégrale,

a une valeur infiniment petite ; et la valeur de l’intégrale est

la même lorsque cette limite est $\omega ,$ et lorsqu’elle est ${\tfrac {1}{0}}.$

416.

Cela posé, reprenons l’équation

$fx={\frac {1}{\pi }}\int d\alpha \,f\alpha {\frac {\sin .\left(p.{\overline {\alpha -x}}\right)}{\alpha -x}}\cdot$

Ayant placé l’axe des abscisses $\alpha ,$ on tracera au-dessus de cet axe la ligne $ff,$ dont l’ordonnée est $f\alpha .$ La forme de cette ligne est entièrement arbitraire ; elle pourrait n’avoir d’ordonnées subsistantes que dans une ou dans quelques parties de son cours, toutes les autres ordonnées étant nulles.

On placera aussi au-dessus du même axe des abscisses une ligne courbe $ss$ dont l’ordonnée est ${\frac {\sin .(pz)}{z}},$ $z$ désignant l’abscisse et $p$ un nombre positif extrêmement grand. Le centre de cette courbe, ou le point qui répond à la plus grande ordonnée $p,$ pourra être placé soit à l’origine O des abscisses $\alpha ,$ soit à l’extrémité d’une abscisse quelconque. On suppose que ce centre est successivement déplacé, et qu’il se transporte à tous les points de l’axe des $\alpha ,$ vers la droite, à partir du point O. Considérons ce qui a lieu dans une certaine position de la seconde courbe, lorsque le centre est parvenu au point $x$ qui termine une abscisse $x$ de la première courbe.

La valeur de $x$ étant regardée comme constante, et $\alpha$ étant seule variable, l’ordonnée de la seconde courbe sera

${\frac {\sin .\left(p\,{\overline {\alpha -x}}\right)}{\alpha -x}}\cdot$

Si donc on conjugue les deux courbes pour en former une troisième, c’est-à-dire si l’on multiplie chaque ordonnée de la première par l’ordonnée correspondante de la seconde, et si l’on représente le produit par l’ordonnée d’une troisième courbe tracée au-dessus de l’axe des $\alpha ,$ ce produit sera

$f\alpha \cdot {\frac {\sin .\left(p.{\overline {\alpha -x}}\right)}{\alpha -x}},$

L’aire totale de la troisième courbe, ou l’aire comprise entre cette courbe et l’axe des abscisses, sera donc exprimée par

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,f\alpha \cdot {\frac {\sin .\left(p.{\overline {\alpha -x}}\right)}{\alpha -x}}\cdot$

Or, le nombre $p$ étant infiniment grand, la seconde courbe a toutes ses sinuosités infiniment voisines ; on reconnaît facilement que, pour tous les points qui sont à une distance finie du point $x,$ l’intégrale définie, ou l’aire totale de la troisième courbe, est formée de parties égales alternativement positives ou négatives, et qui se détruisent deux à deux. En effet, pour un de ces points placés à une certaine distance du point $x,$ la valeur de $f\alpha .$ varie infiniment peu lorsqu’on augmente la distance d’une quantité moindre que ${\frac {2\pi }{p}}.$ Il en est de même du dénominateur $\alpha -x,$ qui mesure cette distance. L’aire qui répond à l’intervalle ${\frac {2\pi }{p}}$ est donc la même que si les quantités $f\alpha$ et $\alpha -x$ n’étaient pas variables. Par conséquent elle est nulle lorsque $\alpha -x$ est une grandeur finie. Donc l’intégrale définie peut être prise entre des limites aussi voisines que l’on veut, et elle donne, entre ces limites, le même résultat qu’entre des limites infinies. Tout se réduit donc à prendre l’intégrale entre des points infiniment voisins, l’un à gauche, l’autre à droite de celui où $\alpha -x$ est nul, c’est-à-dire depuis $\alpha =x-\omega$ jusqu’à $\alpha =x+\omega ,$ en désignant par $\omega$ une quantité infiniment petite. Or, dans cet intervalle, la fonction $f\alpha$ ne varie point, elle est égale à $fx,$ et peut être mise hors du signe d’intégration. Donc la valeur de l’expression est le produit de $f(x)$ par

$\int d\alpha \,\cdot {\frac {\sin .\left(p\,{\overline {\alpha -x}}\right)}{\alpha -x}},$

prise entre les limites $\alpha -x=-\omega ,$ et $\alpha -x=\omega .$

Or cette intégrale est égale à $\pi ,$ comme on l’a vu dans l’article précédent ; donc l’intégrale définie est égale à $\pi \,fx,$ d’où l’on conclut l’équation

$fx={\frac {1}{2\pi }}\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!d\alpha \,f\alpha {\frac {2.\sin .\left(p\,{\overline {\alpha -x}}\right)}{\alpha -x}}={\frac {1}{2\pi }}\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!d\alpha \,f\alpha \!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!dp\,\cos .(px-p\alpha )\cdot \;\;({\boldsymbol {\mathrm {B} }})$

417.

La démonstration précédente suppose la notion des quantités infinies, telle qu’elle a toujours été admise par les géomètres. Il serait facile de présenter la même démonstration sous une autre forme, en examinant les changements qui résultent de l’accroissement continuel du facteur $p$ sous le signe $\sin .\left(p\,{\overline {\alpha -x}}\right)\cdot$ Ces considérations sont trop connues pour qu’il soit nécessaire de les rappeler.

Il faut sur-tout remarquer que la fonction $fx,$ à laquelle cette démonstration s’applique, est entièrement arbitraire, et non assujettie à une loi continue. On pourrait donc concevoir qu’il s’agit d’une fonction telle, que l’ordonnée qui la représente n’a de valeurs subsistantes que si l’abscisse $x$ est comprise entre deux limites données, $a$ et $b\,;$ toutes les autres ordonnées seraient supposées nulles, en sorte que la courbe n’aurait de forme tracée qu’au-dessus de l’intervalle de $x=a$ à $x=b,$ et se confondrait avec l’axe des $\alpha$ dans toutes les autres parties de son cours.

La même démonstration fait connaître que l’on ne considère point ici des valeurs infinies de $x,$ mais des valeurs actuelles et déterminées.

On pourrait aussi examiner d’après les mêmes principes les cas où la fonction $fx$ deviendrait infinie, pour des valeurs singulières de $x$ comprises entre des limites données ; mais cela ne se rapporte point à l’objet principal que nous avons en vue, qui est d’introduire dans les intégrales les fonctions arbitraires ; il est impossible qu’aucune question naturelle conduise à supposer que la fonction $fx$ devient infinie, lorsqu’on donne à $x$ une valeur singulière comprise entre des limites données.

En général, la fonction $fx$ représente une suite de valeurs ou ordonnées dont chacune est arbitraire. L’abscisse $x$ pouvant recevoir une infinité de valeurs, il y a un pareil nombre d’ordonnées $fx.$ Toutes ont des valeurs numériques actuelles, ou positives, ou négatives, ou nulles. On ne suppose point que ces ordonnées soient assujetties à une loi commune ; elles se succèdent d’une manière quelconque, et chacune d’elles est donnée comme le serait une seule quantité.

Il peut résulter de la nature même de la question, et de l’analyse qui s’y applique, que le passage d’une ordonnée à la suivante doive s’opérer d’une manière continue. Mais il s’agit alors de conditions spéciales, et l’équation générale (B), considérée en elle-même, est indépendante de ces conditions. Elle s’applique rigoureusement aux fonctions discontinues.

Supposons maintenant que la fonction $fx$ coïncide avec une certaine expression analytique, telle que $\sin .x,$ $e^{-x^{2}},$ ou $\varphi x$ lorsqu’on donne à $x$ une valeur comprise entre deux limites $a$ et $b,$ et que toutes les valeurs de $fx$ soient nulles lorsque $x$ n’est pas comprise entre $a$ et $b\,;$ les limites de l’intégration par rapport à $\alpha ,$ dans l’équation précédente (B) seront donc $\alpha =a,$ $\alpha =b\,:$ car le résultat serait le même que pour les limites $\alpha =-{\tfrac {1}{0}},$ $\alpha ={\tfrac {1}{0}},$ toutes les valeurs de $\alpha$ étant nulles par hypothèse, lorsque $\alpha$ n’est point comprise entre $a$ et $b.$ On aura donc l’équation :

$fx={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{a}^{b}d\alpha \,\varphi \alpha \int \limits _{-\infty }^{+\infty }dp\,\cos .(px-p\alpha ).\quad ({\boldsymbol {\mathrm {B} '}})$

Le second membre de cette équation (B’) est une fonction de la variable $x\,:$ car les deux intégrations font disparaître les variables $\alpha$ et $p,$ et il ne reste que $x$ et les constantes $a$ et $b.$ Or cette fonction équivalente au second membre est telle, qu’en y substituant pour $x$ une valeur quelconque comprise entre $a$ at $b,$ on trouve le même résultat qu’en substituant cette valeur de $x$ dans $\varphi x,$ et l’on trouve un résultat nul, si, dans le second membre, on met au lieu de $x$ une valeur quelconque non comprise entre $a$ et $b.$ Si donc, en conservant toutes les autres quantités qui forment le second membre, on remplaçait les limites $a$ et $b$ par des limites plus voisines, $a'$ et $b',$ dont chacune est comprise entre $a$ et $b,$ on changerait la fonction de $x$ qui équivaut au second membre, et l’effet du changement serait tel que ce second membre deviendrait nul toutes les fois que l’on donnerait à $x$ une valeur non comprise entre $a'$ et $b'\,;$ et, si la valeur de $x$ était comprise entre $a'$ et $b',$ on aurait le même résultat qu’en substituant cette valeur de $x$ dans $\varphi x.$

On peut donc varier à volonté les limites de l’intégrale dans le second membre de l’équation (B’). Cette équation subsistera toujours pour les valeurs de $x$ comprises entre les limites quelconques $a$ et $b,$ que l’on aura choisies ; et, si l’on emploie toute autre valeur de $x,$ le second membre sera nul. Représentons $\varphi x$ par l’ordonnée variable d’une courbe dont $x$ est l’abscisse ; le second membre, dont la valeur est $fx,$ représentera l’ordonnée variable d’une seconde courbe dont la figure dépendra des limites $a$ et $b.$ Si ces limites sont $-{\tfrac {1}{0}}$ et $+{\tfrac {1}{0}},$ les deux courbes, dont l’une a pour ordonnée $\varphi x,$ et l’autre a pour ordonnée $fx,$ coïncideront exactement dans toute l’étendue de leur cours. Mais, si l’on donne d’autres valeurs $a$ et $b$ à ces limites, les deux courbes coïncideront exactement dans toute la partie de leur cours qui répond à l’intervalle de $x=a$ à $x=b.$ À droite et à gauche de cet intervalle, la seconde courbe se confondra précisément dans tous ses points avec l’axe des $x.$ Cette conséquence est très-remarquable, et détermine le véritable sens de la proposition exprimée par l’équation (B).

418.

Il faut considérer sous le même point de vue le théorème exprimé par l’équation $(\Pi )$ de l’art. 234, pag. 258. Cette équation sert à développer une fonction arbitraire $fx$ en une suite de sinus et de cosinus d’arcs multiples. La fonction $fx$ désigne une fonction entièrement arbitraire, c’est-à-dire une suite de valeurs données, assujetties ou non à une loi commune, et qui répondent à toutes les valeurs de $x$ comprises entre 0 et une grandeur quelconque $\mathrm {X} .$

La valeur de cette fonction est représentée par l’équation suivante :

$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\cdot \sum \int \limits _{a}^{b}d\alpha \,f\alpha .\cos .\left({\frac {i.2\pi }{\mathrm {X} }}\,{\overline {x-\alpha }}\right).\quad ({\boldsymbol {\mathrm {A} }})$

L’intégrale, par rapport à $\alpha ,$ doit être prise entre les limites $\alpha =a$ et $\alpha =b\,;$ chacune de ces limites $a$ et $b$ est une quantité quelconque comprise entre 0 et $\mathrm {X} .$ Le signe $\textstyle \sum$ affecte le nombre entier $i,$ et indique que l’on doit donner à $i$ toutes ses valeurs négatives ou positives, savoir :

$\dots -5,\,-4,\,-3,\,-2,\,-1,\,0,\,+1,\,+2,\,+3,\,+4,\,+5,\dots$

et prendre la somme des termes placés sous ce signe $\textstyle \sum .$ Le second membre devient, par ces intégrations, une fonction de la seule variable $x$ et des constantes $a$ et $b.$ La proposition générale consiste en ce que 1^o la valeur du second membre, que l’on trouverait en y mettant au lieu de $x$ une quantité comprise entre $a$ et $b,$ est égale à celle que l’on obtiendrait en mettant cette même quantité au lieu de $x$ dans la fonction $fx\,;$ 2^o toute autre valeur de $x$ comprise entre 0 et $\mathrm {X} ,$ mais non comprise entre $a$ et $b,$ étant substituée dans le second membre, donne un résultat nul.

Il n’y a ainsi aucune fonction $fx,$ ou partie de fonction, que l’on ne puisse exprimer en une suite trigonométrique.

La valeur du second membre est périodique, et l’intervalle de la période est $\mathrm {X} ,$ c’est-à-dire que cette valeur du second membre ne change point lorsqu’on écrit $x+\mathrm {X}$ au lieu de $x.$ Toutes ses valeurs successives se renouvellent à chaque intervalle $\mathrm {X} .$

La suite trigonométrique égale au second membre est convergente ; le sens de cette dernière proposition est que, si l’on donne à la variable $x$ une valeur quelconque, la somme des termes de la suite s’approche de plus en plus, et infiniment près, d’une limite déterminée. C’est cette limite qui est 0, si l’on a mis pour $x$ une quantité comprise entre 0 et $\mathrm {X}$, mais non comprise entre $a$ et $b\,;$ et si cette quantité mise pour $x$ est comprise entre $a$ et $b,$ la limite de la série a la même valeur que $fx.$ Cette dernière fonction n’est assujettie à aucune condition, et la ligne dont elle représente l’ordonnée peut avoir une forme quelconque ; par exemple, celle d’un contour formé d’une suite de lignes droites et de lignes courbes. On voit par là que les limites $a$ et $b,$ l’intervalle total $\mathrm {X}$ et la nature de la fonction étant arbitraires, cette proposition a un sens très-étendu ; et, comme elle n’exprime pas seulement une propriété analytique, mais qu’elle conduit facilement à la solution de plusieurs questions naturelles importantes, il était nécessaire de la considérer sous divers points de vue, et d’en indiquer les principales applications. On a donné plusieurs démonstrations de ce théorème dans le cours de cet ouvrage. Celle que nous rapporterons dans un des articles suivants (art. 424) a l’avantage de s’appliquer aussi à des fonctions non périodiques.

Si l’on suppose l’intervalle $\mathrm {X}$ infini, les termes de la série deviennent des quantités différentielles ; la somme indiquée par le signe $\textstyle \sum$ devient une intégrale définie, comme on le voit dans les art. 353 et 355, et l’équation (A) se transforme dans l’équation (B). Ainsi cette dernière équation (B) est contenue dans la précédente, et convient au cas où l’intervalle $\mathrm {X}$ est infini : alors les limites $a$ et $b$ sont évidemment des constantes entièrement arbitraires.

419.

Le théorème exprimé par l’équation (B) offre aussi diverses applications analytiques, que nous ne pourrions exposer sans nous écarter de l’objet de cet ouvrage ; mais nous énoncerons le principe dont ces applications dérivent.

On voit que, dans le second membre de l’équation

$fx={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{a}^{b}d\alpha \,f\alpha \int \limits _{-\infty }^{+\infty }dp\,\cos .(px-p\alpha ),\quad ({\boldsymbol {\mathrm {B} }})$

la fonction $fx$ est tellement transformée, que le signe de fonction $f$ n’affecte plus la variable $x,$ mais une variable auxiliaire $\alpha .$ La variable $x$ est seulement affectée du signe cosinus. Il suit de là que, pour différencier la fonction $fx$ par rapport à $x,$ autant de fois que l’on voudra, il suffira de différencier le second membre par rapport à $x$ sous le signe cosinus. On aura donc, en désignant par $i$ un nombre entier quelconque,

${\frac {d^{2i}}{dx^{2i}}}fx=\pm {\frac {1}{2\pi }}\int d\alpha \,f\alpha \int dp\,p^{2i}\,\cos .(px-p\alpha ).$

On écrit le signe supérieur lorsque $i$ est pair, et le signe inférieur lorsque $i$ est impair. On aura en suivant cette même règle relative au choix du signe :

${\frac {d^{(2i+1)}}{dx^{(2i+1)}}}fx=\mp {\frac {1}{2\pi }}\int d\alpha \,f\alpha \int dp\,p^{2i+1}\,\sin .(px-p\alpha ).$

On peut aussi intégrer plusieurs fois de suite, par rapport à $x,$ le second membre de l’équation (B) ; il suffit d’écrire au-devant du signe sinus ou cosinus une puissance négative de $p.$

La même remarque s’applique aux différenciations finies, ou aux intégrales désignées par le signe $\textstyle \sum ,$ et en général aux opérations analytiques qui peuvent s’effectuer sur les quantités trigonométriques. Le caractère principal du théorème dont il s’agit, est de transporter le signe général de fonction à une variable auxiliaire, et de placer la variable $x$ sous le signe trigonométrique. La fonction $fx$ acquiert en quelque sorte, par cette transformation, toutes les propriétés des quantités trigonométriques ; les différentiacions, les intégrations et la sommation des suites s’appliquent ainsi à des fonctions générales de la même manière qu’aux fonctions trigonométriques exponentielles. C’est pour cela que l’emploi de cette proposition donne immédiatement les intégrales des équations à différences partielles à coëfficients constants. En effet, il est évident que l’on peut satisfaire à ces équations par des valeurs particulières exponentielles ; et, comme les théorèmes dont nous parlons donnent à des fonctions générales et arbitraires le caractère des quantités exponentielles, ils conduisent facilement à l’expression des intégrales complètes. Cette même transformation donne aussi, comme on l’a vu dans l’art. 413, un moyen facile de sommer les suites infinies, lorsque ces suites contiennent les différentielles successives, ou les intégrales successives d’une même fonction : car la sommation de la suite est réduite, par ce procédé, à celle d’une suite de termes algébriques.

420.

On peut aussi faire usage du théorème dont il s’agit pour substituer sous le signe général de fonction un binôme formé d’une partie réelle et d’une partie imaginaire. Cette question d’analyse s’est présentée dès l’origine du calcul des différences partielles ; et nous l’indiquerons ici parce qu’elle a un rapport plus direct avec notre objet principal.

Si dans la fonction $fx$ on écrit $\mu +\nu .{\sqrt {-1}}$ au lieu de $x,$ le résultat sera formé de deux parties $\varphi +{\sqrt {-1}}.\psi .$ Il s’agit de connaître en $\mu$ et $\nu$ chacune des deux fonctions $\varphi$ et $\psi .$ On y parviendra facilement si l’on remplace $fx$ par l’expression

${\frac {1}{2\pi }}\int d\alpha \,f\alpha \int dp\,\cos .(px-p\alpha )\,:$

car la question sera réduite à substituer $\mu +\nu .{\sqrt {-1}}$ au lieu de $x$ sous le signe cosinus, et à calculer le terme réel et le coëfficient de ${\sqrt {-1}}.$ On aura ainsi

${\begin{aligned}fx&=f\left(\mu +\nu .{\sqrt {-1}}\right)={\frac {1}{2\pi }}\int d\alpha \,f\alpha \int dp\,\cos .\left(p\,{\overline {\mu -\alpha }}+p\nu .{\sqrt {-1}}\right)\\&={\frac {1}{\pi }}\int d\alpha \,f\alpha \int dp\left\{\cos .(p\mu -p\alpha )\left(e^{\displaystyle p\nu }+e^{\displaystyle -p\nu }\right)\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-{\sqrt {-1}}.\sin .(p\mu -p\alpha )\left(e^{\displaystyle p\nu }-e^{\displaystyle -p\nu }\right)\right\}\,;\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {donc} \quad \varphi =&{\frac {1}{\pi }}\int d\alpha \,f\alpha \int dp\,\cos .(p\mu -p\alpha )\left(e^{\displaystyle p\nu }+e^{\displaystyle -p\nu }\right)\\\psi =-&{\frac {1}{\pi }}\int d\alpha \,f\alpha \int dp\,\sin .(p\mu -p\alpha )\left(e^{\displaystyle p\nu }-e^{\displaystyle -p\nu }\right).\\\end{aligned}}$

Ainsi toutes les fonctions $fx$ que l’on peut concevoir, même celles qui ne sont assujetties à aucune loi de continuité, sont réduites à la forme $\mathrm {M} +\mathrm {N} {\sqrt {-1}},$ lorsqu’on y remplace la variable $x$ par le binôme $\mu +\nu .{\sqrt {-1}}.$

421.

Pour donner un exemple de l’usage de ces dernières formules, nous considérerons l’équation ${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}=0,$ qui se rapporte au mouvement uniforme de la chaleur dans une table rectangulaire. L’intégrale générale de cette équation contient évidemment deux fonctions arbitraires. Supposons donc que l’on connaisse eu fonction de $x$ la valeur de $v$ lorsque $y=0,$ et que l’on connaisse aussi, par une autre fonction de $x,$ la valeur de ${\frac {dv}{dy}}$ lorsque $y=0,$ on peut déduire l’intégrale cherchée de celle de l’équation

${\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}},$

qui est connue depuis long-temps ; mais on trouve des quantités imaginaires sous le signe de fonction. Cette intégrale est

$v=\varphi \left(x+y{\sqrt {-1}}\right)+\varphi \left(x-y{\sqrt {-1}}\right)+\mathrm {W} .$

La seconde partie $\mathrm {W}$ de l’intégrale dérive de la première en intégrant par rapport à $y,$ et changeant $\varphi$ en $\psi .$ Il reste donc à transformer les quantités $\varphi \left(x+y{\sqrt {-1}}\right)$ et $\varphi \left(x-y{\sqrt {-1}}\right),$ afin de séparer les parties réelles des parties imaginaires. Suivant le procédé de l’article précédent, on trouve, pour la première partie $u$ de l’intégrale,

$u={\frac {1}{4\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,f\alpha \int \limits _{-\infty }^{+\infty }dp\,\cos .(px-p\alpha )\left(e^{\displaystyle py}+e^{\displaystyle -py}\right),$

et par conséquent

$\mathrm {W} ={\frac {1}{4\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \int \limits _{-\infty }^{+\infty }dp\,\cos .(px-p\alpha )\left(e^{\displaystyle py}-e^{\displaystyle -py}\right),$

L’intégrale complète de la proposée exprimée en termes réels est donc $v=u=\mathrm {W} \,;$ et l’on reconnaît, en effet, 1^o qu’elle satisfait à l’équation différentielle ; 2^o qu’en y faisant $y=0,$ elle donne $v=fx\,;$ 3^o qu’en faisant $y=0$ dans la fonction ${\frac {dv}{dy}},$ le résultat est $\mathrm {F} x.$

422.

Nous ferons aussi remarquer que l’on peut déduire de l’équation (B) une expression très-simple du coëfficient différentiel de l’ordre indéfini ${\frac {d^{i}}{dx^{i}}}fx,$ ou de l’intégrale $\textstyle \int ^{i}dx^{i}.fx.$

L’expression cherchée est une certaine fonction de $x$ et de l’indice $i.$ Il s’agit de connaître cette fonction sous une forme telle, que le nombre $i$ n’y entre point comme indice, mais comme une quantité, afin de comprendre, dans une même formule, tous les cas où l’on attribue à $i$ des valeurs positives ou négatives quelconques. Pour y parvenir, nous remarquerons que l’expression $\cos .\left(r+i{\frac {\pi }{2}}\right)$,

$\mathrm {ou} \qquad \qquad \qquad \cos .r.\cos .\left({\frac {i\pi }{2}}\right)-\sin .r.\sin .\left({\frac {i\pi }{2}}\right),$

devient successivement

$-\sin .r,\;-\cos .r,\;+\sin .r,\;+\cos .r,\;-\sin .r,\dots \mathrm {\mathrm {etc.} } ,$

si les valeurs respectives de $i$ sont 1, 2, 3, 4, 5, $\mathrm {etc} \dots .$ Les mêmes résultats reviennent dans le même ordre, lorsqu’on augmente la valeur de $i.$ Il faut maintenant, dans le second membre de l’équation

$fx={\frac {1}{2\pi }}\int d\alpha \,f\alpha \int dp\,\cos .(px-p\alpha ),$

écrire le facteur $p^{i}$ au-devant du signe cosinus, et ajouter sous ce signe le terme $+{\frac {i\pi }{2}}\cdot$ On aura ainsi

${\frac {d^{i}}{dx^{i}}}fx={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,f\alpha \int \limits _{-\infty }^{+\infty }dp\,\cos .\left(px-p\alpha +i{\frac {\pi }{2}}\right).$

Le nombre $i,$ qui entre dans le second membre, sera regardé comme une quantité quelconque positive ou négative. Nous n’insisterons point sur ces applications à l’analyse générale ; il nous suffit d’avoir montré par divers exemples l’usage de nos théorèmes. Les équations du quatrième ordre $(d),$ art. 405, et $(e),$ art. 411, appartiennent, comme nous l’avons dit, à des questions dynamiques. On ne connaissait point encore les intégrales de ces équations lorsque nous les avons données dans un Mémoire sur les vibrations des surfaces élastiques, lu à la séance de l’Académie des Sciences, le 6 juin 1816 (art. VI, § 10 et 11, et art. VII, § 13 et 14). Elles consistaient dans les deux formules $(\delta )$ et $(\delta '),$ art. 406, et dans les deux intégrales exprimées, l’une par la première équation de l’art. 412, l’autre par la dernière équation du même article. On a donné ensuite diverses autres démonstrations de ces mêmes résultats. Ce Mémoire contenait aussi l’intégrale de l’équation $(e),$ art. 409, sous la forme rapportée dans cet article. Quant à l’intégrale (BB) de l’équation $(b),$ art. 413, elle est ici publiée pour la première fois.

423.

Les propositions exprimées par les équations (A) et (B’), art. 418 et 417, dont nous avons montré diverses applications, peuvent être considérées sous un point de vue plus général. La construction indiquée dans les art. 415 et 413 ne s’applique pas seulement à la fonction trigonométrique ${\frac {\sin .\left(p\,{\overline {\alpha -x}}\right)}{\alpha -x}}\,;$ elle convient à toutes les autres fonctions, et suppose seulement que le nombre $p$ devenant infini, on trouve la valeur de l’intégrale par rapport à $\alpha ,$ en prenant cette intégrale entre des limites extrêmement voisines. Or cette condition n’appartient pas seulement aux fonctions trigonométriques, elle s’applique à une infinité d’autres fonctions. On parvient ainsi à exprimer une fonction arbitraire $fx$ sous diverses formes très-remarquables ; mais nous ne faisons point usage de ces transformations dans la recherche spéciale qui nous occupe.

Quant à la proposition exprimée par l’équation (A) (art. 418), il est également facile d’en rendre la vérité sensible par des constructions, et c’est pour ce théorème que nous les avons d’abord employées. Il suffira d’indiquer la marche de la démonstration.

Dans l’équation (A), savoir :

$fx={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\mathrm {X} }^{+\mathrm {X} }d\alpha \,f\alpha \sum \limits _{-\infty }^{+\infty }\cos .\left(i\cdot {\frac {2\pi }{\mathrm {X} }}\cdot {\overline {\alpha -x}}\right)\,;$

on remplacera la somme des termes placés sous le signe $\textstyle \sum$ par sa valeur, qui se déduit de théorèmes connus. Nous avons vu précédemment divers exemples de ce calcul, Section III, Chap. III. Il donne ce résultat en supposant, pour rendre l’expression plus simple, $2\pi =\mathrm {X} ,$ et désignant $\alpha -x$ par $r,$

$\sum \limits _{-j}^{+j}\cos .(jr)=\cos .(jr)+\sin .(jr){\frac {\sin .r}{\mathrm {sin.vers.} \,r}}\cdot$

Il faut donc multiplier le second membre de cette équation

par $d\alpha \,fa,$ supposer le nombre $j$ infini, et intégrer depuis $\alpha =-\pi$ jusqu’à $\alpha =+\pi .$ La ligne courbe, dont l’abscisse est $\alpha$ et l’ordonnée $\cos .jr$ étant conjuguée avec la ligne dont l’abscisse est $\alpha$ et l’ordonnée $f\alpha ,$ c’est-à-dire les ordonnées correspondantes étant multipliées l’une par l’autre, il est manifeste que l’aire de la courbe produite, prise entre des limites quelconques, devient nulle lorsque le nombre $j$ croît sans limite. Ainsi le premier terme $\cos .jr$ donne un résultat

nul.

Il en serait de même du terme $\sin .jr,$ s’il n’était pas multiplié par le facteur ${\frac {\sin .r}{\mathrm {sin.vers.} \,r}}\,;$ mais en comparant les trois courbes qui ont pour abscisse commune $\alpha ,$ et pour ordonnées $\sin .r,$ ${\frac {\sin .r}{\mathrm {sin.vers.} \,r}},$ $f\alpha ,$ on reconnaît évidemment que l’intégrale $\int d\alpha .f\alpha .\sin .(jr){\frac {\sin .r}{\mathrm {sin.vers.} \,r}}$ n’a de valeurs subsistantes que pour de certains intervalles infiniment petits ; savoir, lorsque l’ordonnée ${\frac {\sin .r}{\mathrm {sin.vers.} \,r}}\,;$ devient infinie. Cela aura lieu si $r$ ou $\alpha -x$ est nulle ; et dans cet intervalle où $\alpha$ diffère infiniment peu de $x,$ la valeur de $f\alpha$ se confond avec $fx.$ Donc l’intégrale devient

$2\,fx.\int \limits _{0}^{\infty }dr.\sin .(jr)\cdot {\frac {r}{{\frac {1}{2}}r^{2}}}\quad \mathrm {ou} \quad 4fx\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {dr}{r}}\sin .(jr),$

qui est égale à $2\pi .fx$ (art. 415 et 356). On en conclut l’équation précédente (A).

Lorsque la variable $x$ est précisément égale à $-\pi$ on $+\pi ,$ la construction fait connaître quelle est la valeur du second membre de cette équation A.

Si les limites de l’intégration ne sont pas $-\pi$ et $+\pi ,$ mais d’autres nombres $a$ et $b,$ dont chacun est compris entre $-\pi$ et $+\pi ,$ on voit par la même figure quelles sont les valeurs de $x,$ pour lesquelles le second membre de l’équation (A) est nul.

Si l’on conçoit qu’entre les limites de l’intégration certaines valeurs de $\alpha$ deviennent infinies, la construction indique dans quel sens la proposition générale doit être entendue. Mais nous ne considérons point ici les cas de cette nature, parce qu’ils n’appartiennent point aux questions physiques.

Si, au lieu de restreindre les limites $-\pi$ et $+\pi ,$ on donne plus d’étendue à l’intégrale, en choisissant des limites plus distantes $a'$ et $b',$ on connaît par la même figure que le second membre de l’équation (A) est formé de plusieurs termes, et donne le résultat d’une intégration finie, quelle que soit la fonction $fx.$

On trouve des résultats semblables si l’on écrit ${\frac {2\pi }{\mathrm {X} }}\alpha -x$ au lieu de $r,$ et si les limites de l’intégration sont $-\mathrm {X}$ et $+\mathrm {X} .$

Il faut considérer maintenant que les conséquences auxquelles on est parvenu auraient encore lieu pour une infinité de fonctions différentes de $\sin .(jr).$ Il suffit que ces fonctions reçoivent des valeurs alternativement positives et négatives, en sorte que l’aire devienne nulle, lorsque $j$ croît sans limite. On peut faire varier aussi le facteur ${\frac {\sin .r}{\mathrm {sin.vers.} \,r}},$ ainsi que les limites de l’intégration, et l’on peut supposer que l’intervalle devient infini. Ces sortes d’expressions sont donc très-générales, et susceptibles des formes les plus diverses. Nous ne pouvons nous arrêter à ces développements ; mais il était nécessaire de montrer l’emploi des constructions : car elles résolvent sans aucun doute les questions qui peuvent s’élever sur les valeurs extrêmes et sur les valeurs singulières ; elles n’auraient pu servir à découvrir ces théorèmes, mais elles les démontrent et en dirigent toutes les applications.

424.

Nous avons encore à faire envisager ces mêmes propositions sous un autre point de vue. Si l’on compare entre elles les solutions relatives au mouvement varié de la chaleur dans l’armille, la sphère, le prisme rectangulaire, le cylindre, on voit que nous avions à développer une fonction arbitraire $fx$ en une suite de termes, tels que

$a_{1}\varphi (\mu _{1}x)+a_{2}\varphi (\mu _{2}x)+a_{3}\varphi (\mu _{3}x)+\mathrm {etc.}$

La fonction $\varphi ,$ qui, dans le second membre de l’équation (A), est un cosinus ou un sinus, est remplacée ici par une fonction qui peut être très-différente du sinus. Les nombres $\mu _{1},$ $\mu _{2},$ $\mu _{3},$ etc., au lieu d’être des nombres entiers, sont donnés par une équation transcendante, dont les racines en nombre infini sont toutes réelles. La question consistait à trouver les valeurs des coëfficients $a_{1},$ $a_{2},$ $a_{3},$ $a_{4},$ $\mathrm {etc} \dots a_{i}\,;$ on y est parvenu au moyen des intégrations définies qui font disparaître toutes les inconnues, excepté une seule. Nous allons examiner spécialement la nature de ce procédé, et les conséquences exactes qui en dérivent.

Afin de donner à cet examen un objet plus déterminé, nous choisirons pour exemple une des questions les plus importantes, savoir celle du mouvement varié de la chaleur dans la sphère solide. On a vu, art. 290, pag. 348, que, pour satisfaire à la distribution initiale de la chaleur, il faut déterminer les coëfficients

$a_{1},\quad a_{2},\quad a_{3},\;\dots \;a_{i},$

dans l’équation

$x\mathrm {F} x=a_{1}\sin .(\mu _{1}x)+a_{2}\sin .(\mu _{2}x)+a_{3}\sin .(\mu _{3}x)+\mathrm {etc.} \quad ({\boldsymbol {e}})$

La fonction $\mathrm {F} x$ est entièrement arbitraire : elle désigne la valeur $v$ de la température initiale et donnée de la couche sphérique dont le rayon est $x.$ Les nombres $\mu _{1},$ $\mu _{2},$ $dots\,\mu _{i},$ sont les racines $\mu$ de l’équation transcendante

${\frac {\mu \mathrm {X} }{\mathrm {tang.} \mu \mathrm {X} }}=1-h\mathrm {X} .\qquad ({\boldsymbol {f}})$

$\mathrm {X}$ est le rayon total de la sphère ; $h$ est un coëfficient numérique connu d’une valeur positive quelconque. Nous avons prouvé rigoureusement, dans nos premières recherches, que toutes les valeurs de $\mu$ ou les racines de l’équation $(f)$ sont réelles. Cette démonstration est déduite de la théorie générale des équations, et n’exige point que l’on suppose connue la forme des racines imaginaires que toute équation peut avoir. Nous ne l’avons point rappelée dans cet ouvrage, parce qu’elle est suppléée par des constructions qui rendent la proposition plus sensible. Au reste, nous avons traité cette même question par l’analyse, en déterminant le mouvement varié de la chaleur dans un corps cylindrique (art. 308, pag. 372 et 373). Cela posé, la question consiste à trouver pour $a_{1},$ $a_{2},$ $a_{3},$ $\dots a_{i},$ etc., des valeurs numériques telles que le second membre de l’équation $(e)$ devienne nécessairement égal a $x\mathrm {F} x,$ lorsqu’on y mettra pour $x$ une valeur quelconque comprise entre 0 et la longueur totale $\mathrm {X} .$

Pour trouver le coëfficient $a_{i},$ nous avons multiplié l’équation $(e)$ par $dx\,sin.(\mu _{i}x),$ et ensuite intégré entre les limites $x=0,$ $x=\mathrm {X} ,$ et nous avons démontré, pag. 349, que l’intégrale

$\int \limits _{0}^{\mathrm {X} }dx\,\sin .(\mu _{i}x)\,\sin .(\mu _{j}x)$

a une valeur nulle toutes les fois que les indices $i$ et $j$ ne sont point les mêmes ; c’est-à-dire lorsque les nombres $\mu _{i}$ et $\mu _{j}$ sont deux racines différentes de l’équation $(f).$ Il suit de là, que l’intégration définie faisant disparaître tous les termes du second membre, excepté celui qui contient $a_{i},$ on a, pour déterminer ce coëfficient, l’équation

$\int \limits _{0}^{\mathrm {X} }dx\left(\sin .(\mu _{i}x)x\mathrm {F} (x)\right)=a_{i}\int \limits _{0}^{\mathrm {X} }dx\left(\sin .(\mu _{i}x)\sin .(\mu _{j}x)\right).$

Mettant cette valeur du coëfficient =a_i dans l’équation $(e),$ on en conclut l’équation identique $(\varepsilon )\,:$

$x\mathrm {F} x=\sum \sin .(\mu _{i}x){\frac {\int \limits _{0}^{\mathrm {X} }\left(d\alpha .\alpha \mathrm {F} \alpha .\sin .(\mu _{i}\alpha )\right)}{\int \limits _{0}^{\mathrm {X} }\left(d\beta .\sin .(\mu _{i}\beta ).\sin .(\mu _{i}\beta )\right)}}\cdot \quad ({\boldsymbol {\varepsilon }})$

Il faut dans le second membre donner à $i$ toutes ses valeurs,

c’est-à-dire, mettre successivement, au lieu de $\mu _{i},$ toutes les racines $\mu$ de l’équation $(f).$ L’intégrale doit être prise pour $\alpha ,$ depuis $\alpha =0$ jusqu’à $\alpha =\mathrm {X} ,$ ce qui fait disparaître l’indéterminée $\alpha .$ Il en est de même de $\beta ,$ qui entre dans le dénominateur ; en sorte que le terme $\sin .(\mu _{i}x)$ est multiplié par un coëfficient $a_{i},$ dont la valeur ne dépend que de $\mathrm {X}$ et de l’indice $i.$ Le signe $\textstyle \sum$ indique qu’après avoir donné à $i$ ses

différentes valeurs, il faut écrire la somme de tous les termes.

L’intégration offre donc un moyen très-simple de déterminer immédiatement les coëfficients ; mais il faut examiner attentivement l’origine de ce procédé, ce qui donne lieu aux deux remarques suivantes :

1^o Si dans l’équation $(e)$ on avait omis d’écrire une partie des termes, par exemple, tous ceux où l’indice est un nombre pair, on trouverait encore, en multipliant l’équation par $dx\,\sin .(\mu _{i}x),$ et intégrant depuis $x=0$ jusqu’à $x=\mathrm {X} ,$ cette même valeur de $a_{i},$ qui a été déterminée précédemment, et l’on formerait ainsi une équation qui ne serait point vraie ; car elle ne contiendrait qu’une partie des termes de l’équation générale, savoir, ceux dont l’indice est impair.

2^o L’équation complète $(\varepsilon ),$ que l’on obtient, après avoir déterminé les coëfficients, et qui ne diffère point de l’équation rapportée page 350, art. 291, dans laquelle on ferait $t=0$ et $v=\mathrm {F} x,$ est telle que si l’on donne à $x$ une valeur quelconque comprise entre 0 et $\mathrm {X} ,$ les deux membres sont nécessairement égaux ; mais on ne peut point conclure, comme nous l’avons fait observer, que cette égalité ait lieu, si, choisissant pour le premier membre $xFx$ une fonction assujettie à une loi continue, telle que $\sin .x$ ou $\cos .x,$ on donnait à $x$ une valeur non comprise entre 0 et $\mathrm {X} .$ En général, l’équation résultante $(\varepsilon )$ doit être appliquée aux valeurs de $x,$ comprises entre 0 et $\mathrm {X} .$ Or le procédé qui détermine le coëfficient $a_{i}$ ne fait point connaître pourquoi toutes les racines $\mu _{i}$ doivent entrer dans l’équation $(\varepsilon ),$ et pourquoi cette équation se rapporte uniquement aux valeurs de $x,$ comprises entre 0 et $\mathrm {X} .$

Pour résoudre clairement ces questions, il suffit de remonter aux principes qui servent de fondement à notre analyse.

Nous divisons l’intervalle $\mathrm {X}$ en un nombre infini $n$ de parties égales à $dx,$ en sorte que l’on a $n\,dx=\mathrm {X} ,$ et écrivant $fx$ au lieude $x\mathrm {F} x,$ nous désignons par $f_{1},$ $f_{2},$ $f_{3}\dots$ $f_{i}\dots f_{n},$ les valeurs de $fx$ qui répondent aux valeurs $dx,$ $2\,dx,$ $3\,dx\dots$ $i\,dx\dots n\,dx$ attribuées à $x\,;$ nous composons l’équation générale $(e)$ d’un nombre $n$ de termes ; en sorte qu’il y entre $n$ coëfficients inconnus, $a_{1},$ $a_{2},$ $a_{3}\dots$ $a_{i}\dots a_{n}.$ Cela posé, cette équation $(e)$ représente les $n$ équations du premier degré, que l’on formerait en y mettant successivement, au lieu de $x,$ ses $n$ valeurs $dx,$ $2\,dx,$ $3\,dx\dots n\,dx.$ Ce système de $n$ équations contient dans la première $f_{1},$ dans la seconde $f_{2},$ dans la troisième $f_{3},$ dans la $n^{\mathrm {me} }$ $f_{n}.$ Pour déterminer le premier coëfficient $a_{1},$ on multiplie la première équation par $\sigma _{1},$ la seconde par $\sigma _{2},$ la troisième par $\sigma _{3},$ ainsi de suite, et l’on ajoute ensemble les équations ainsi multipliées. Les facteurs $\sigma _{1},$ $\sigma _{2},$ $\sigma _{3}\dots \sigma _{n},$ doivent être déterminés par cette condition, que la somme de tous les termes des seconds membres qui contiennent $a_{2},$ soit mille, et qu’il en soit de même pour tous les coëfficients suivants, $a_{3},$ $a_{4}\dots a_{n}.$ Donc toutes les équations étant ajoutées, le coëfficient $a_{1}$ entre seul dans le résultat, et l’on a une équation pour déterminer ce coëfficient. Ensuite on multiplie de nouveau toutes les équations par d’autres facteurs respectifs $\rho _{1},$ $\rho _{2},$ $\rho _{3}\dots \rho _{n},$ et ces facteurs sont déterminés en sorte qu’en ajoutant les $n$ équations, tous les coëfficients soient éliminés, excepté $a_{2}.$ On a donc une équation pour déterminer $a_{2}.$ On continue des opérations semblables, et choisissant toujours de nouveaux facteurs, on détermine successivement tous les coëfficients inconnus. Or il est manifeste que ce procédé d’élimination est précisément celui qui résulte de l’intégration entre les limites 0 et $\mathrm {X} .$ La série $\sigma _{1},$ $\sigma _{2},$ $\sigma _{3},$ $\sigma _{n},$ des premiers facteurs est $dx\,\sin .(\mu _{1}\,dx)\dots$ $dx\,\sin .(\mu _{1}\,2dx)\dots$ $dx\,\sin .(\mu _{1}\,3dx)\dots$ $dx\,\sin .(\mu _{1}\,n\,dx).$ En général, la série des facteurs qui servent à éliminer tous les coëfficients, excepté $a_{i},$ est $dx\,\sin .(\mu _{i}\,dx)\dots$ $dx\,\sin .(\mu _{i}\,2dx)\dots$ $dx\,\sin .(\mu _{i}\,3dx)\dots$ $dx\,\sin(\mu _{i}\,n\,dx)\,;$ elle est représentée par le terme général $dx\,\sin .(\mu _{i}\,x),$ dans lequel on donne successivement à $x$ toutes les valeurs

$dx\quad 2\,dx\quad 3\,dx\dots n\,dx.$

On voit par là que le procédé qui nous sert à déterminer les coëfficients, ne diffère en rien du calcul ordinaire de l’élimination dans les équations du premier degré. Le nombre $n$ des équations est égal à celui des quantités inconnues $a_{1},$ $a_{2},$ $a_{3}\dots a_{n},$ et le même que le nombre des quantités données $f_{1},$ $f_{2},$ $f_{3}\dots f_{n}.$ Les valeurs trouvées pour les coëfficients sont celles qui doivent avoir lieu pour que les $n$ équations subsistent à la fois, c’est-à-dire, pour que l’équation $(\varepsilon )$ subsiste lorsqu’on donne à $x$ une de ces $n$ valeurs comprises entre 0 et $\mathrm {X} \,;$ et comme le nombre $n$ est infini, il s’ensuit que le premier membre $fx$ coïncide nécessairement avec le second, lorsque la valeur $x,$ substituée dans l’un et l’autre, est comprise entre 0 et $\mathrm {X} .$

La démonstration précédente ne s’applique pas seulement aux développemens dont la forme est

$a_{1}\,\sin .(\mu _{1}\,x)+a_{2}\,\sin .(\mu _{2}\,x)+a_{3}\,\sin .(\mu _{3}\,x)\dots +a_{i}\,\sin .(\mu _{i}\,x),$

elle convient à toutes les fonctions $\varphi (\mu _{i}x)$ que l’on pourrait substituer à $\sin .(\mu _{i}x)$ en conservant la condition principale, savoir, que l’intégrale $\textstyle \int \limits _{0}^{\mathrm {X} }dx\,\varphi (\mu _{i}x)\,\varphi (\mu _{j}x),$ ait une valeur nulle lorsque $i$ et $j$ sont des nombres différents.

Si l’on propose de développer $fx$ sous cette forme :

$fx=a+{\begin{array}{ll}a_{1}\cos .x\\b_{1}\,\sin .x\\\end{array}}+{\begin{array}{ll}a_{2}\cos .2x\\b_{2}\,\sin .2x\\\end{array}}+\cdots {\begin{array}{ll}a_{i}\cos .x\\b_{i}\,\sin .x\\\end{array}}+\mathrm {etc.}$

Les racines $\mu _{1},$ $\mu _{2},$ $\mu _{3}\dots$ $\mu _{i}\dots$ etc., seront des nombres entiers, et la condition

$\int \limits _{0}^{\mathrm {X} }dx\,\cos .\left(2\pi i{\frac {x}{\mathrm {X} }}\right)\,\sin .\left(2\pi j{\frac {x}{\mathrm {X} }}\right)=0$

ayant toujours lieu lorsque les indices $i$ et $j$ sont des nombres différents, on obtient, en déterminant les coëfficients $a_{i},$ $b_{i},$ l’équation générale $(\Pi ),$ page 258, qui ne diffère pas de l’équation (A), page 555.

425.

Si l’on omettait dans le second membre de l’équation $(e)$ un ou plusieurs des termes qui répondent à une ou plusieurs racines $\mu _{i}$ de l’équation $(f),$ l’équation $(\varepsilon )$ ne serait pas vraie en général. Pour s’en convaincre, supposons qu’un terme contenant $\mu _{j}$ et $a_{j}$ ne soit point écrit dans le second membre de l’équation $(e),$ on pourrait multiplier respectivement les $n$ équations par les facteurs

$dx\,\sin .(\mu _{j}\,dx),\;dx\,\sin .(\mu _{j}\,2\,dx),\;dx\,\sin .(\mu _{j}\,3\,dx)\dots dx\,\sin .(\mu _{n}\,3\,dx)\,;$

et en les ajoutant, la somme de tous les termes des seconds membres serait nulle, en sorte qu’il ne resterait aucun des coëfficients inconnus. Le résultat, formé de la somme des premiers membres, c’est-à-dire la somme des valeurs $f_{1}\;f_{2}\;f_{3}\dots \,f_{n},$ multipliées respectivement par les facteurs

$dx\,\sin .(\mu _{j}\,dx)\;,dx\,\sin .(\mu _{j}\,2\,dx),dx\,\sin .(\mu _{j}\,3\,dx)\dots \;dx\,\sin .(\mu _{j}\,n\,dx)$

se réduirait à zéro. Il faudrait par conséquent que cette relation existât entre les quantités données $f_{1}\;f_{2}\;f_{3}\dots \,f_{n}\,;$ et on ne pourrait point les considérer comme entièrement arbitraires, ce qui est contre l’hypothèse. Si ces quantités $f_{1}\;f_{2}\;f_{3}\;f_{n}\dots$ ont des valeurs quelconques, la relation dont il s’agit ne subsiste point, et l’on ne pourrait pas satisfaire aux conditions proposées, en omettant un ou plusieurs termes, tels que $a_{j}\,\sin .(\mu _{j}x)$ dans l’équation $(e).$ Donc la fonction $fx$ demeurant indéterminée, c’est-à-dire, représentant le système d’un nombre infini de constantes arbitraires qui correspondent à des valeurs de $x$ comprises entre $0$ et $\mathrm {X} ,$ il est nécessaire d’introduire dans le second membre de l’équation $(e)$ tous les termes, tels que $a_{j}\sin .(\mu _{j}x),$ qui satisfont à la condition

$\int \limits _{0}^{\mathrm {X} }dx\left(\sin .(\mu _{i}x).\sin .(\mu _{j}x)\right)=0,$

les indices $i$ et $j$ étant différents ; mais s’il arrivait que la fonction $fx$ fût telle que les $n$ grandeurs $f_{1},\,f_{2},\,f_{3}\dots \,f_{n}$ eussent entre elles cette relation exprimée par l’équation

$\int \limits _{0}^{\mathrm {X} }dx\left(\sin .(\mu _{j}x).fx\right)=0,$

il est évident que le terme $a_{j}\sin .(\mu _{j}x)$ pourrait être omis dans l’équation $(e).$

Ainsi, il y a plusieurs classes de fonctions $fx$ dont le développement, représenté par le second membre de l’équation $(\varepsilon ),$ ne contient pas certains termes correspondants à quelques-unes des racines $\mu .$ Il y a, par exemple, des cas où l’on doit omettre tous les termes dont l’indice est pair ; et nous en avons vu divers exemples dans le cours de cet ouvrage. Mais cela ne peut avoir lieu, si la fonction $fx$ a toute la généralité possible. Dans tous les cas, on doit supposer le second membre de l’équation $(e)$ complet, et le calcul fait connaître les termes qui peuvent être omis, parce que leurs valeurs deviennent nulles.

426.

On voit clairement, par cet examen, que la fonction $fx$ représente, dans notre analyse, le système d’un nombre $n$ de quantités séparées, correspondantes aux $n$ valeurs de $x$ comprises entre $0$ et $\mathrm {X} ,$ et que ces $n$ quantités ont des valeurs actuelles, et par conséquent non infinies, choisies à volonté. Toutes pourraient être nulles, excepté une seule dont la valeur serait donnée.

Il pourrait arriver que la série de ces $n$ valeurs $f_{1},\,f_{2},\,f_{3}\dots f_{n}$ fût exprimée par une fonction assujettie à une loi continue, telle que $x$ ou $x^{2},$ $\sin .x,$ $\cos .x,$ ou en général $\varphi x\,;$ alors la ligne courbe, dont les ordonnées représentent les valeurs correspondantes aux abscisses $x,$ et qui est placée au-dessus de l’intervalle de $x=0$ à $x=\mathrm {X} ,$ se confond dans cet intervalle avec la courbe dont l’ordonnée est $\varphi x,$ et les coëfficients $a_{1},\,a_{2},\,a_{3}\dots a_{n}$ de l’équation $(e),$ déterminés par la règle précédente, satisfont toujours à cette condition, qu’une valeur de $x$ comprise entre $0$ et $\mathrm {X} ,$ donne le même résultat étant substituée dans $\varphi x,$ et dans le second membre de l’équation $(\varepsilon ).$

$\mathrm {F} x$ représente la température initiale de la couche sphérique dont le rayon est $x.$ On pourrait supposer, par exemple, $\mathrm {F} x=bx,$ c’est-à-dire, que la chaleur initiale croît proportionnellement à la distance, depuis le centre, où elle est nulle, jusqu’à la surface, où elle est $b\mathrm {X} .$ Dans ce cas, $x\mathrm {F} x$ ou $f(x)$ est égale à $bx^{2}\,;$ en appliquant à cette fonction la règle qui détermine les coëfficients, on développerait $bx^{2}$ en une suite de termes, tels que

$a_{1}\sin .(\mu _{1}x)+a_{2}\sin .(\mu _{2}x)+a_{3}\sin .(\mu _{3}x)\dots +a_{n}\sin .(\mu _{n}x).$

Or chaque terme $\sin .(\mu _{i}x),$ étant développé selon les puissances

de $x,$ ne contient que des puissances de rang impair, et la fonction $bx^{2}$ est une puissance de rang pair. Il est très-remarquable que cette fonction $bx^{2},$ désignant une suite de valeurs données pour l’intervalle de $0$ à $\mathrm {X} ,$ puisse

être développée en une suite de termes, tels que

$a_{i}.\sin .(\mu _{i}x).$

Nous avons déjà prouvé l’exactitude rigoureuse de ces résultats, qui ne s’étaient point encore présentés dans l’analyse, et nous avons montré le véritable sens des propositions qui les expriment. On a vu, par exemple, dans l’article 223, page 238, que la fonction $\cos .x$ est développée en une suite de sinus d’arcs multiples, en sorte que dans l’équation qui donne ce développement, le premier membre ne contient que des puissances paires de la variable, et le second ne contient que des puissances impaires. Réciproquement la fonction $\sin .x,$ où il n’entre que des fonctions impaires, est résolue, page 242, en une suite de cosinus qui ne contiennent que les puissances paires.

Dans la question actuelle relative à la sphère, la valeur de $x\mathrm {F} x$ est développée au moyen de l’équation $(\varepsilon ).$ Il faut ensuite, comme on le voit art. 290, page 348, écrire dans chaque terme le facteur exponentiel, qui contient $t,$ et l’on a, pour exprimer la température $v,$ qui est une fonction de $x$ et $t,$ l’équation

$xv=\sum \sin .(\mu _{i}x)e^{-K\mu _{i}^{2}t}{\frac {\int \limits _{0}^{\mathrm {X} }d\alpha \,\sin .(\mu _{i}\alpha )\,\alpha \,\mathrm {F} \alpha }{\int \limits _{0}^{\mathrm {X} }d\beta \,\sin .(\mu _{i}\beta ).\sin .(\mu _{i}\beta )}}\cdot \qquad {({\boldsymbol {\mathrm {E} }})}$

La solution générale que donne cette équation (E) est totalement

indépendante de la nature de la fonction $\mathrm {F} x$ parce que cette fonction ne représente ici qu’une multitude infinie de constantes arbitraires, qui répondent à autant de valeurs

de $x$ comprises entre $0$ et $\mathrm {X} .$

Si l’on supposait la chaleur primitive contenue dans une seule partie de la sphère solide, par exemple, depuis $x=0$ jusqu’à $x={\tfrac {1}{2}}\mathrm {X} ,$ et que les températures initiales des couches supérieures fussent nulles, il suffirait de prendre l’intégrale

$\int d\alpha \left(\sin .(\mu _{i}\alpha ).f\alpha \right),$

entre les limites $x=0$ et $x={\frac {1}{2}}\mathrm {X} .$

En général, la solution exprimée par l’équation (E) convient à tous les cas, et la forme du développement ne varie point selon la nature de la fonction.

Supposons maintenant qu’ayant écrit $\sin .x$ au lieu de $\mathrm {F} .x,$ on ait déterminé par l’intégration les coëfficiens $a_{i},$ et que l’on ait formé l’équation

${\begin{aligned}x\sin .x=a_{1}\sin(\mu _{1}x)&+a_{2}\sin(\mu _{2}x)+a_{3}\sin(\mu _{3}x)\dots \\&+a_{i}\sin(\mu _{i}x)+\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

Il est certain qu’en donnant à $x$ une valeur quelconque comprise entre $0$ et $\mathrm {X} ,$ le second membre de cette équation équivaut à $x\sin x\,;$ c’est une conséquence nécessaire de notre calcul. Mais il ne s’ensuit nullement qu’en donnant à $x$ une valeur non comprise entre $0$ et $\mathrm {X} ,$ la même égalité aura lieu. On voit très-distinctement le contraire dans les exemples que nous avons cités, et si l’on excepte les cas particuliers, on peut dire que la fonction assujettie à une loi continue, qui formerait le premier membre des équations de ce genre, ne coïncide avec la fonction exprimée par le second membre, que pour les valeurs de $x$ comprises entre $0$ et $\mathrm {X} .$

À proprement parler, l’équation $(\varepsilon )$ est identique, et elle subsiste pour toutes les valeurs que l’on attribuerait à la variable $x\,;$ mais l’un et l’autre membre de cette équation représentent une certaine fonction analytique qui coïncide avec une fonction connue $fx,$ si l’on donne à la variable $x$ des valeurs comprises entre $0$ et $\mathrm {X} .$ Quant à l’existence de ces fonctions, qui coïncident pour toutes les valeurs de la variable comprises entre certaines limites, et diffèrent pour les autres valeurs, elle est démontrée par tout ce qui précède, et les considérations de ce genre sont un élément nécessaire de l’analyse des différences partielles.

Au reste, il est évident que les équations $(\varepsilon )$ et (E) ne s’appliquent pas seulement à la sphère solide dont le rayon est $\mathrm {X} ,$ elles représentent, l’une l’état initial, l’autre l’état variable du solide infiniment étendu, dont le corps sphérique fait partie ; et lorsqu’on donne dans ces équations, à la variable $x,$ des valeurs plus grandes que $\mathrm {X} ,$ elles se rapportent aux parties de ce solide infini qui enveloppe la sphère. Cette remarque convient aussi à toutes les questions dynamiques que l’on résout par l’analyse des différences partielles.

427.

Pour appliquer la solution donnée par l’équation (E) au cas où une seule couche sphérique aurait été primitivement échauffée, toutes les autres ayant une température initiale nulle, il suffirait de prendre l’intégrale $\textstyle \int \left(d\alpha \,\sin .(\mu _{i}\alpha ).\alpha \,\mathrm {F} \alpha \right),$ entre deux limites extrêmement voisines, $\alpha =r$ et $\alpha =r+u,$ $r$ étant le rayon de la surface intérieure de la couche échauffée, et $u$ l’épaisseur de cette couche.

On peut aussi considérer séparément l’effet résultant de l’échauffement initial d’une autre couche comprise entre les limites $r+u$ et $r+2u\,;$ et si l’on ajoute la température variable due à cette seconde cause à la température que l’on avait d’abord trouvée lorsque la première couche était seule échauffée, la somme des deux températures est celle qui aurait lieu, si les deux couches étaient échauffées à la fois. Il suffirait, pour avoir égard aux deux causes réunies, de prendre l’intégrale $\textstyle \int d\alpha \left(\sin .(\mu _{i}\alpha )\alpha \,\mathrm {F} \alpha \right),$ entre les limites $\alpha =r$ et $\alpha =r+2u.$ Plus généralement, l’équation (E) pouvant être mise sous cette forme :

$v=\int \limits _{0}^{\mathrm {X} }\left(d\alpha .\alpha \,\mathrm {F} \alpha .\sin .(\mu _{i}\alpha )\;\cdot \;\sum {\frac {\sin .(\mu _{i}x).e^{-\mathrm {K} \mu _{i}^{2}t}}{x.\int \limits _{0}^{\mathrm {X} }\left(d\beta \,\sin .(\mu _{i}\beta )\sin .(\mu _{i}\beta )\right)}}\right).$

On reconnaît que l’effet total de l’échauffement des différentes couches est la somme des effets partiels que l’on déterminerait séparément, en supposant que chacune des couches a été seule échauffée. La même conséquence s’étend à toutes les autres questions de la théorie de la chaleur ; elle dérive de la nature même des équations, et la forme des intégrales la rend manifeste. On voit que la chaleur contenue dans chaque élément d’un corps solide produit son effet distinct, comme si cet élément avait été seul échauffé, tous les autres ayant une température initiale nulle. Ces divers états se superposent en quelque sorte, et se rassemblent pour former le système général des températures.

C’est pour cette raison que la forme de la fonction qui représente l’état initial doit être regardée comme entièrement arbitraire. L’intégrale définie, qui entre dans l’expression de la température variable, ayant les mêmes limites que le solide échauffé, montre expressément que l’on réunit tous les effets partiels dus à l’échauffement initial de chaque élément.

428.

Nous terminerons ici cette section, dont l’objet appartient presque entièrement à l’analyse. Les intégrales que nous avons obtenues ne sont point seulement des expressions générales qui satisfont aux équations différentielles ; elles représentent de la manière la plus distincte l’effet naturel, qui est l’objet de la question. C’est cette condition principale que nous avons eu toujours en vue, et sans laquelle les résultats du calcul ne nous paraîtraient que des transformations inutiles. Lorsque cette condition est remplie, l’intégrale est, à proprement parler, l’équation du phénomène ; elle en exprime clairement le caractère et le progrès, de même que l’équation finie d’une ligne ou d’une surface courbe fait connaître toutes les propriétés de ces figures. Pour découvrir ces solutions, nous ne considérons point une seule forme de l’intégrale ; nous cherchons à obtenir immédiatement celle qui est propre à la question. C’est ainsi que l’intégrale, qui exprime le mouvement de la chaleur dans une sphère d’un rayon donné, est très-différente de celle qui exprime ce mouvement dans un corps cylindrique, ou même dans une sphère d’un rayon supposé infini. Or, chacune de ces intégrales a une forme déterminée qui ne peut pas être suppléée par une autre. Il est nécessaire d’en faire usage, si l’on veut connaître la distribution de la chaleur dans le corps dont il s’agit. En général, on ne pourrait apporter aucun changement dans la forme de nos solutions, sans leur faire perdre leur caractère essentiel, qui est de représenter les phénomènes.

Ces diverses intégrales pourraient être déduites les unes des autres ; car elles ont la même étendue. Mais ces transformations exigent de longs calculs, et supposent presque toujours que la forme des résultats est connue d’avance. On peut considérer en premier lieu, des corps dont les dimensions sont finies, et passer de cette question à celle qui se rapporte à un solide non terminé. On substitue alors une intégrale définie à la somme désignée par le signe $\textstyle \sum .$ C’est ainsi que les équations $(\alpha )$ et $(\beta ),$ rapportées au commencement de cette section, dépendent l’une de l’autre. La première devient la seconde, lorsqu’on suppose le rayon $\mathrm {R}$ infini. On peut réciproquement déduire de cette seconde équation $(\beta )$ les solutions relatives aux corps de dimensions limitées.

En général, nous avons cherché à obtenir chaque résultat par la voie la plus courte. Voici les éléments principaux de la méthode que nous avons suivie.

1^o On considère à-la-fois la condition générale donnée par l’équation aux différences partielles, et toutes les conditions singulières qui déterminent entièrement la question, et l’on se propose de former l’expression analytique qui satisfait à toutes ces conditions.

2^o On reconnaît d’abord que cette expression contient un nombre indéfini de termes, où il entre des constantes inconnues, ou qu’elle équivaut à une intégrale où se trouvent une ou plusieurs fonctions arbitraires. Dans le premier cas, c’est-à-dire, lorsque le terme général est affecté du signe $\textstyle \sum ,$ on déduit des conditions spéciales une équation transcendante déterminée, dont les racines donnent les valeurs d’un nombre infini de constantes.

Le second cas a lieu lorsque le terme général devient une quantité infiniment petite ; alors la somme de la série se change en une intégrale définie.

3^o On peut démontrer par les théorèmes fondamentaux de l’algèbre, ou même par la nature physique de la question, que l’équation transcendante a toutes ses racines réelles en nombre infini.

4^o Dans les questions élémentaires, le terme général est formé de sinus ou cosinus ; les racines de l’équation déterminée sont des nombres entiers, ou des quantités réelles et irrationnelles : chacune d’elles est comprise entre deux limites déterminées.

Dans les questions plus composées, le terme général est formé d’une fonction implicitement donnée au moyen d’une équation différentielle intégrable ou non. Quoi qu’il en soit, l’équation déterminée subsiste ; elle a toutes ses racines réelles en nombre infini. Cette distinction des parties, dont l’intégrale doit être composée, est très-importante, parce qu’elle fait connaître clairement la forme de la solution, et les relations nécessaires entre les coëfficients.

5^o Il reste à déterminer les seules constantes qui dépendent de l’état initial, ce qui se fait par l’élimination des inconnues dans un nombre infini d’équations du premier degré. On multiplie l’équation qui se rapporte à l’état initial par un facteur différentiel, et l’on intègre entre des limites définies, qui sont le plus souvent celles du solide où le mouvement s’accomplit.

Il y a des questions pour lesquelles nous avons déterminé les coëfficients par des intégrations successives, comme on le verra dans le mémoire qui a pour objet la température des habitations. Dans ce cas, on considère les intégrales exponentielles qui conviennent à l’état initial du solide infini ; car il est facile d’obtenir ces intégrales.

Il résulte des intégrations que tous les termes du second membre disparaissent, excepté celui dont on veut déterminer le coëfficient. Dans la valeur de ce coëfficient, le dénominateur devient nul, et l’on obtient toujours une intégrale définie dont les limites sont celles du solide, et dont un des facteurs est la fonction arbitraire qui convient à l’état initial. Cette forme du résultat est nécessaire, parce que le mouvement variable, qui est l’objet de la question, se compose de tous ceux qui auraient lieu séparément, si chaque point du solide était seul échauffé, et que la température initiale de tous les autres fût nulle.

Lorsqu’on examine avec soin ce procédé d’intégration, qui sert à déterminer les coëfficients, on voit qu’il contient une démonstration complète, et qu’il montre très-distinctement la nature des résultats, en sorte qu’il n’est nullement nécessaire de les vérifier par d’autres calculs.

La plus remarquable des questions que nous ayons exposées jusqu’ici, et la plus propre à faire connaître l’ensemble de notre analyse, est celle du mouvement variable de la chaleur dans un corps cylindrique. Dans d’autres recherches, la détermination des coëfficients exigerait des procédés de calcul que nous ne connaissons point encore. Mais il faut remarquer que l’on peut toujours, sans déterminer les valeurs des coëfficients, acquérir une connaissance exacte de la question, et de la marche naturelle du phénomène qui en est l’objet ; la considération principale est celle des mouvements simples.

6^o Lorsque l’expression cherchée contient une intégrale définie, on détermine les fonctions inconnues placées sous le signe $\textstyle \int ,$ soit par les théorèmes que nous avons donnés pour exprimer les fonctions arbitraires en intégrales définies, soit par un procédé plus composé, dont on trouvera divers exemples dans la seconde Partie.

Ces théorèmes s’étendent à un nombre quelconque de variables. Ils appartiennent en quelque sorte à une méthode inverse d’intégration définie : car ils servent à déterminer sous les signes $\textstyle \int$ et $\textstyle \sum$ des fonctions inconnues qui doivent être telles, que le résultat de l’intégration soit une fonction donnée.

Les mêmes principes s’appliquent à diverses autres questions de géométrie, de physique générale, ou d’analyse, soit que les équations contiennent des différences finies ou infiniment petites, soit qu’elles comprennent les unes et les autres.

Les solutions que l’on obtient par cette méthode sont complètes, et consistent dans des intégrales générales. Aucune autre intégrale ne peut avoir plus d’étendue. Les objections qui avaient été proposées à ce sujet sont dénuées de tout fondement ; il serait aujourd’hui superflu de les discuter.

7^o Nous avons dit que chacune de ces solutions donne l’équation propre du phénomène, parce qu’elle le représente distinctement dans toute l’étendue de son cours, et qu’elle sert à déterminer facilement en nombre tous les résultats.

Les fonctions que l’on obtient par ces solutions sont donc composées d’une multitude de termes, soit finis, soit infiniment petits : mais la forme de ces expressions n’a rien d’arbitraire ; elle est déterminée par le caractère physique du phénomène. C’est pourquoi, lorsque la valeur de la fonction est exprimée par une série où il entre des exponentielles relatives au temps, il est nécessaire que cela soit ainsi, parce que l’effet naturel dont on recherche les lois, se décompose réellement en parties distinctes, correspondantes aux différents termes de la série. Ces parties expriment autant de mouvements simples compatibles avec les conditions spéciales ; pour chacun de ces mouvements, toutes les températures décroissent en conservant leurs rapports primitifs. On ne doit pas voir dans cette composition un résultat de l’analyse dû à la seule forme linéaire des équations différentielles, mais un effet subsistant qui devient sensible dans les expériences. Il se présente aussi dans les questions dynamiques où l’on considère les causes qui anéantissent le mouvement ; mais il appartient nécessairement à toutes les questions de la théorie de la chaleur, et il détermine la nature de la méthode que nous avons suivie pour les résoudre.

La théorie mathématique de la chaleur se forme, 1^o de la définition exacte de tous les éléments du calcul ; 2^o des équations différentielles ; 3^o des intégrales propres aux questions fondamentales. On peut arriver aux équations par plusieurs voies ; on peut aussi obtenir les mêmes intégrales, ou résoudre d’autres questions, en apportant quelque changement dans la marche du calcul. Nous pensons que ces recherches ne constituent point une méthode différente de la nôtre ; mais elles confirment et multiplient les résultats.

9^o On avait objecté, au sujet de notre analyse, que les équations transcendantes qui déterminent les exposants, ayant des racines imaginaires, il serait nécessaire d’employer les termes qui en proviennent, et qui indiqueraient dans une partie du phénomène le caractère périodique : mais cette objection n’est point fondée, parce que les équations dont il s’agit ont en effet toutes leurs racines réelles, et qu’aucune partie du phénomène ne peut être périodique.

10^o On avait allégué que pour résoudre avec certitude les questions de ce genre, il est nécessaire de recourir dans tous les cas à une certaine forme de l’intégrale que l’on désignait comme générale ; et l’on proposait, sous cette dénomination, l’équation $(\gamma )$ de l’article 398 ; mais cette distinction n’est point fondée, et l’usage d’une seule intégrale n’aurait pour effet, dans plusieurs cas, que de compliquer le calcul sans nécessité. Il est d’ailleurs évident que cette intégrale $(\gamma )$ se déduit de celle que nous avons donnée en 1807 pour déterminer le mouvement de la chaleur dans une armille d’un rayon déterminé $\mathrm {R} \,;$ il suffit de donner à $\mathrm {R}$ une valeur infinie.

11^o On a pensé que la méthode qui consiste à exprimer l’intégrale par une suite de termes exponentiels, et à déterminer les coëfficients au moyen de l’état initial, ne résout point la question relative à un prisme qui perd inégalement sa chaleur par ses deux extrémités ; ou que, du moins, il serait très-difficile de vérifier ainsi la solution que l’on déduit de l’intégrale $(\gamma )$ par de longs calculs. On reconnaîtra par un nouvel examen, que notre méthode s’applique directement à cette question, et qu’il suffit même d’une seule intégration.

12^o Nous avons développé en séries de sinus d’arcs multiples des fonctions qui paraissent ne contenir que des puissances paires de la variable, par exemple, $\cos x.$ Nous avons exprimé par des suites convergentes ou en intégrales définies des parties séparées de diverses fonctions ou des fonctions discontinues entre certaines limites, par exemple, celle qui mesure l’ordonnée dans un triangle. Nos démonstrations ne laissent aucun doute sur l’exacte vérité de ces équations.

13^o On trouve dans les ouvrages de tous les géomètres des résultats et des procédés de calcul analogues à ceux que nous avons employés. Ce sont des cas particuliers d’une méthode générale qui n’était point encore formée, et qu’il devenait nécessaire d’établir pour connaître, même dans les questions les plus simples, les lois mathématiques de la distribution de la chaleur. Cette théorie exigeait une analyse qui lui est propre, et dont un élément principal est l’expression analytique des fonctions séparées, ou des parties de fonctions.

Nous entendons par fonction séparée, ou partie de fonction, une fonction $fx$ qui a des valeurs subsistantes, lorsque la variable $x$ est comprise entre des limites données, et dont la valeur est toujours nulle, si la variable n’est pas comprise entre ces limites. Cette fonction mesure l’ordonnée d’une ligne qui comprend un arc fini d’une forme arbitraire, et se confond avec l’axe des abcisses dans tout le reste de son cours.

Cette notion n’est point opposée aux principes généraux du calcul ; on pourrait même en trouver les premiers fondements dans les écrits de Daniel Bernouilly, de Clairaut, de La Grange et d’Euler. Toutefois on avait regardé comme manifestement impossible d’exprimer en séries de sinus d’arcs multiples, ou du moins en séries trigonométriques convergentes, une fonction qui n’a de valeurs subsistantes que si celles de la variable sont comprises entre certaines limites, et dont toutes les autres valeurs seraient nulles. Mais ce point d’analyse est pleinement éclairci, et il demeure incontestable que les fonctions séparées, ou parties de fonctions, sont exactement exprimées par des séries trigonométriques convergentes, ou par des intégrales définies. Nous avons insisté sur cette conséquence dès l’origine de nos recherches jusqu’à ce jour, parce qu’il ne s’agit point ici d’une question abstraite et isolée, mais d’une considération principale, intimement liée aux applications les plus utiles et les plus étendues. Rien ne nous a paru plus propre que les constructions géométriques à démontrer la vérité de ces nouveaux résultats, et à rendre sensibles les formes que l’analyse emploie pour les exprimer.

14^o Les principes qui nous ont servi à établir la théorie analytique de la chaleur, s’appliquent immédiatement à la recherche du mouvement des ondes dans les liquides dont une partie a été agitée. Ils donnent aussi celle des vibrations des lames élastiques, des surfaces flexibles tendues, des surfaces planes élastiques de très-grandes dimensions, et conviennent en général aux questions qui dépendent de la théorie de l’élasticité. Le propre des solutions que l’on déduit de ces principes est de rendre les applications numériques faciles, et de présenter des résultats distincts et sensibles, qui déterminent réellement l’objet de la question, sans faire dépendre cette connaissance d’intégrations ou d’éliminations qu’on ne peut effectuer. Nous regardons comme superflue toute transformation des résultats du calcul qui ne satisfait point à cette condition principale.

429.

1^o Nous présenterons maintenant diverses remarques concernant les équations différentielles du mouvement de la chaleur.

Si deux molécules d’un même corps sont extrêmement voisines et ont des températures inégales, celle qui est la plus échauffée communique directement à l’autre pendant un instant une certaine quantité de chaleur ; cette quantité est proportionnelle à la différence extrêmement petite des températures : c’est-à-dire que si cette différence devenait double triple, quadruple, et que toutes les autres conditions demeurassent les mêmes, la chaleur communiquée serait double triple, quadruple.

Cette proposition exprime un fait général et constant, qui suffit pour servir de fondement à la théorie mathématique. Le mode de transmission est donc connu avec certitude, indépendamment de toute hypothèse sur la nature de la cause, et il ne peut être envisagé sous deux points de vue différents. Il est évident que la communication immédiate s’opère suivant toutes les directions, et qu’elle n’a lieu dans les fluides ou les liquides non diaphanes, qu’entre des molécules extrêmement voisines.

Les équations générales du mouvement de la chaleur, dans l’intérieur des solides de dimensions quelconques, et à la surface de ces corps, sont des conséquences nécessaires de la proposition précédente. Elles s’en déduisent rigoureusement, comme nous l’avons prouvé dans nos premiers Mémoires en 1807, et l’on obtient facilement ces équations au moyen de lemmes dont la démonstration n’est pas moins exacte que celle des propositions élémentaires de la mécanique.

On déduit encore ces équations de la même proposition, en déterminant par des intégrations, la quantité totale de chaleur qu’une molécule reçoit de celles qui l’environnent. Ce calcul n’est sujet à aucune difficulté. Les lemmes dont il s’agit suppléent aux intégrations, parce qu’ils donnent immédiatement l’expression du flux, c’est-à-dire de la quantité de chaleur qui traverse une section quelconque. L’un et l’autre calcul doivent évidemment conduire au même résultat ; et comme il n’y a aucune différence dans le principe, il ne peut point y en avoir dans les conséquences.

2^o Nous avons donné, en 1811, l’équation générale qui se rapporte à la surface. Elle n’a pas été déduite de cas particuliers, comme on l’a supposé sans aucun fondement, et elle n’aurait pu l’être ; la proposition qu’elle exprime n’est point de nature à être découverte par voie d’induction ; on ne peut pas la connaître pour certains corps, et l’ignorer pour les autres ; elle est nécessaire pour tous, afin que l’état de la superficie ne subisse pas dans un temps déterminé un changement infini. Nous avons omis dans notre Mémoire les détails de la démonstration, parce qu’ils consistent seulement dans l’application de propositions connues. Il suffisait dans cet écrit de donner le principe et le résultat, comme nous l’avons fait dans l’article 15 du Mémoire cité.

On déduit aussi de cette même condition l’équation générale dont il s’agit, en déterminant la quantité totale de chaleur que chaque molécule placée à la surface reçoit et communique. Ces calculs très-composés ne changent rien à la nature de la démonstration.

Dans la recherche de l’équation différentielle du mouvement de la chaleur, on peut supposer que la masse n’est point homogène, et il est très-facile de déduire cette équation de l’expression analytique du flux ; il suffit de laisser sous le signe de la différentiation le coefficient qui mesure la conducibilité.

3^o Newton a considéré le premier la loi du refroidissement des corps dans l’air : celle qu’il a admise pour le cas où l’air est emporté avec une vitesse constante, est d’autant plus conforme aux observations que la différence des températures est moindre ; elle aurait lieu exactement, si cette différence était infiniment petite.

Amontons a fait une expérience remarquable sur l’établissement de la chaleur dans un prisme dont l’extrémité est assujettie à une température déterminée. La loi logarithmique du décroissement des températures dans ce prisme, a été donnée pour la première fois par Lambert, de l’Académie de Berlin. MM. Biot et de Rumford ont confirmé cette loi par des expériences.

Pour découvrir les équations différentielles du mouvement variable de la chaleur, et même dans le cas le plus élémentaire, comme celui du prisme cylindrique d’un très-petit rayon, il était nécessaire de connaître l’expression mathématique de la quantité de chaleur qui traverse une partie extrêmement petite du prisme. Cette quantité n’est pas seulement proportionnelle à la différence des températures des deux sections qui terminent la tranche. On prouve de la manière la plus rigoureuse qu’elle est aussi en raison inverse de l’épaisseur de cette tranche, c’est-à-dire, que si deux tranches d’un même prisme étaient inégalement épaisses, et que pour la première, la différence des températures des deux bases fut la même que pour la seconde, les quantités de chaleur qui traversent ces tranches pendant le même instant, seraient en raison inverse des épaisseurs. Le lemme précédent ne convient pas seulement à des tranches dont l’épaisseur est infiniment petite ; il s’applique à des prismes d’une épaisseur quelconque. Cette notion du flux est fondamentale ; tant qu’on ne l’a point acquise, on ne peut se former une idée exacte du phénomène et de l’équation qui l’exprime.

Il est évident que l’accroissement instantanée de la température d’un point, est proportionnel à l’excès de la quantité de chaleur que ce point a reçue, sur la quantité qu’il a perdue, et qu’une équation différentielle partielle doit exprimer ce résultat : mais la question ne consiste pas à énoncer cette proposition, qui est le fait lui-même ; elle consiste à former réellement l’équation différentielle, ce qui exige que l’on considère ce fait dans ses éléments. Si au lieu d’employer l’expression exacte du flux de chaleur, on omet le dénominateur de cette expression, on fait naître par cela même une difficulté qui n’est nullement inhérente à la question ; et il n’y a aucune théorie mathématique qui n’en présentât de semblables, si l’on commençait par altérer le principe des démonstrations. Non-seulement on ne peut former ainsi une équation différentielle : mais il n’y a rien de plus opposé à une équation, qu’une proposition de ce genre, où l’on exprimerait l’égalité de quantités qui ne peuvent être comparées. Pour éviter cette erreur, il suffit de donner quelque attention à la démonstration et aux conséquences du lemme précédent (art. 65, 66, 67, et art. 75).

4^o Quant aux notions dont nous avons déduit pour la première fois les équations différentielles, elles sont celles que les physiciens ont toujours admises. Nous ignorons si quelqu’un a pu concevoir le mouvement de la chaleur, comme étant produit dans l’intérieur des corps par le seul contact des surfaces qui séparent les différentes parties. Pour nous, une telle proposition nous paraîtrait dépourvue de tout sens intelligible. Une surface de contact ne peut être le sujet d’aucune qualité physique ; elle n’est ni échauffée, ni colorée, ni pesante. Il est évident que lorsqu’une partie d’un corps donne sa chaleur à une autre, il y a une infinité de points matériels de la première, qui agissent sur une infinité de points de la seconde. Il faut seulement ajouter que dans l’intérieur des matières opaques, les points dont la distance n’est pas très-petite ne peuvent se communiquer directement leur chaleur ; celle qu’ils s’envoient est interceptée par les molécules intermédiaires. Les tranches en contact sont les seules qui se communiquent immédiatement leur chaleur, lorsque l’épaisseur de ces tranches égale ou surpasse la distance que la chaleur envoyée par un point, parcourt avant d’être entièrement absorbée. Il n’y a d’action directe qu’entre les points matériels extrêmement voisins, et c’est pour cela, que l’expression du flux a la forme que nous lui attribuons. Ce flux résulte donc d’une multitude infinie d’actions dont les effets s’ajoutent ; mais ce n’est point pour cette cause que sa valeur, pendant l’unité de temps est une grandeur finie et mesurable, quoiqu’il ne soit déterminé que par une différence extrêmement petite entre les températures.

Lorsqu’un corps échauffé perd sa chaleur dans un milieu élastique, ou dans un espace vide d’air terminé par une enveloppe solide, la valeur de ce flux extérieur est assurément une intégrale ; elle est encore due à l’action d’une infinité de points matériels, très-voisins de la surface, et nous avons démontré autrefois, que ce concours détermine la loi du rayonnement extérieur. Cependant la quantité de chaleur émise, pendant l’unité de temps, serait infiniment petite, si la différence des températures n’avait point une valeur finie. Dans l’intérieur des masses, la faculté conductrice est incomparablement plus grande que celle qui s’exerce à la superficie. Cette propriété, quelle qu’en puisse être la cause, nous est connue de la manière la plus claire, puisque le prisme étant parvenu à son état constant, la quantité de chaleur qui traverse une section, pendant l’unité de temps, compense exactement celle qui se dissipe par toute la partie de la surface échauffée, qui est placée au-delà de cette section, et dont les températures surpassent celle du milieu d’une grandeur finie. Lorsqu’on n’a point égard à ce fait principal, et que l’on omet le diviseur dans l’expression du flux, il est entièrement impossible de former l’équation différentielle, même pour le cas le plus simple ; à plus forte raison, serait-on arrêté dans la recherche des équations générales.

5^o De plus, il est nécessaire de connaître comment les dimensions de la section du prisme influent sur les valeurs des températures acquises. Quoiqu’il s’agisse seulement du mouvement linéaire, et que tous les points d’une section soient regardés comme ayant la même température, il ne s’ensuit pas que l’on puisse faire abstraction des dimensions de la section, et étendre à d’autres prismes les conséquences qui ne conviennent qu’à un seul. On ne peut point former l’équation exacte sans exprimer cette relation entre l’étendue de la section et l’effet produit à l’extrémité du prisme.

Nous ne développerons pas davantage l’examen des principes qui nous ont conduit à la connaissance des équations différentielles ; nous ajoutons seulement que pour porter un jugement approfondi sur l’utilité de ces principes, il faut aussi considérer des questions variées et difficiles : par exemple, celle que nous allons indiquer, et dont la solution manquait à notre théorie, ainsi que nous l’avions fait remarquer depuis long-temps. Cette question consiste à former les équations différentielles, qui expriment la distribution de la chaleur dans les liquides en mouvement, lorsque toutes les molécules sont déplacées par des forces quelconques, combinées avec les changements de température. Ces équations que nous avons données dans le cours de l’année 1820, appartiennent à l’hydrodynamique générale ; elles complètent cette branche de la mécanique analytique.

430.

Les différents corps jouissent très-inégalement de cette propriété que les physiciens ont appelée conductibilité ou conducibilite, c’est-à-dire de la faculté d’admettre la chaleur, et de la propager dans l’intérieur des masses. Nous n’avons point changé ces dénominations, quoique elles ne nous paraissent point exactes. L’une et l’autre, et sur-tout la première, exprimeraient plutôt, selon toutes les analogies, la faculté d’être conduit que celle de conduire.

La chaleur pénètre avec plus ou moins de facilité la superficie des diverses substances, soit pour s’y introduire, soit pour en sortir, et les corps sont inégalement perméables à cet élément, c’est-à-dire qu’il s’y propage avec plus ou moins de facilité, en passant d’une molécule intérieure à une autre. Nous pensons que l’on pourrait désigner ces deux propriétés distinctes par les noms de pénétrabilité, et de perméabilité.

Il faut sur-tout ne point perdre de vue que la pénétrabilité de la surface dépend de deux qualités différentes : l’une est relative au milieu extérieur, et exprime la facilité de la communication par le contact ; l’autre consiste dans la propriété d’émettre ou d’admettre la chaleur rayonnante. Quant à la perméabilité spécifique, elle est propre à chaque substance, et indépendante de l’état de la superficie. Au reste, les définitions précises sont le vrai fondement de la théorie ; mais les dénominations n’ont point, dans la matière que nous traitons, le même degré d’importance.

431.

On ne peut point appliquer cette dernière remarque aux notations, car elles contribuent beaucoup aux progrès de la science du calcul. On ne doit les proposer qu’avec réserve, ni les admettre qu’après un long examen. Celle que nous avons employée se réduit à indiquer au-dessous et au-dessus du signe d’intégration $\textstyle \int$ les limites de l’intégrale, en écrivant immédiatement après ce signe, la différentielle de la quantité qui varie entre ces limites.

On se sert aussi du signe $\textstyle i\sum$ pour exprimer la somme d’un nombre indéfini de termes qui dérivent d’un terme général, où l’on fait varier l’indice $i.$ Nous plaçons cet indice, s’il est nécessaire, au-devant du signe, et nous écrivons la première valeur de $i$ au-dessous, et la dernière au-dessus. L’emploi habituel de ces notations en fera connaître toute l’utilité, principalement lorsque le calcul des intégrales définies devient composé, et lorsque les limites de l’intégrale sont elles-mêmes l’objet de ce calcul.

432.

Les résultats principaux de notre théorie sont les équations différentielles du mouvement de la chaleur dans les corps solides ou liquides, et l’équation générale qui se rapporte à la surface. La vérité de ces équations n’est point fondée sur une explication physique des effets de la chaleur. De quelque manière que l’on veuille concevoir la nature de cet élément, soit qu’on le regarde comme un être matériel distinct, qui passe d’une partie de l’espace dans une autre, soit qu’on fasse consister la chaleur dans la seule transmission du mouvement, on parviendra toujours aux mêmes équations, parce que l’hypothèse qu’on aura formée doit représenter les faits généraux et simples, dont les lois mathématiques sont dérivées.

La quantité de chaleur que se transmettent deux molécules dont les températures sont inégales, dépend de la différence de ces températures. Si la différence est infiniment petite, il est certain que la chaleur communiquée est proportionnelle à cette différence ; toutes les expériences concourent à démontrer rigoureusement cette proposition. Or pour établir les équations différentielles dont il s’agit, on considère seulement l’action réciproque des molécules infiniment voisines. Il n’y a donc aucune incertitude sur la forme des équations qui se rapportent à l’intérieur de la masse.

L’équation relative à la surface exprime, comme nous l’avons dit, que le flux de la chaleur, dans le sens de la normale et à l’extrémité du solide, doit avoir la même valeur, soit que l’on calcule l’action mutuelle des molécules du solide, soit que l’on considère l’action que le milieu exerce sur l’enveloppe. L’expression analytique de la première valeur est très-simple, et exactement connue ; quant à la seconde valeur, elle est sensiblement proportionnelle à la température de la surface, lorsque l’excès de cette température sur celle du milieu est une quantité assez petite. Dans les autres cas, il faut regarder cette seconde valeur comme donnée par une série d’observations ; elle dépend de l’état de la superficie, de la pression et de la nature du milieu ; c’est cette valeur observée qui doit former le second membre de l’équation relative à la surface.

Dans plusieurs questions importantes, cette dernière équation est remplacée par une condition donnée, qui exprime l’état ou constant, ou variable, ou périodique de la superficie.

433.

Les équations différentielles du mouvement de la chaleur sont des conséquences mathématiques analogues aux équations générales de l’équilibre et du mouvement, et qui dérivent, comme elles, des faits naturels les plus constants.

Les coëfficients $c,\,h,\,k,$ qui entrent dans ces équations, doivent être considérés, en général, comme des grandeurs variables, qui dépendent de la température, ou de l’état des corps. Mais dans l’application aux questions naturelles qui nous intéressent le plus, on peut attribuer à ces coëfficients des valeurs sensiblement constantes.

Le premier coëfficient $c$ varie très-lentement, à mesure que la température s’élève. Ces changements sont presque insensibles dans un intervalle d’environ trente degrés. Une suite d’observations précieuses, dues à MM. les professeurs Dulong et Petit, indique que cette valeur de la capacité spécifique croît fort lentement avec la température.

Le coëfficient $h,$ qui mesure la pénétrabilité de la surface, est plus variable, et se rapporte à un état très-composé. Il exprime la quantité de chaleur communiquée au milieu, soit par l’irradiation, soit par le contact. Le calcul rigoureux de cette quantité dépendrait donc de la question du mouvement de la chaleur dans les milieux liquides ou aériformes. Mais lorsque l’excès de température est une quantité assez petite, les observations prouvent que la valeur du coëfficient peut être regardée comme constante. Dans d’autres cas, il est facile de déduire des expériences connues une correction qui donne au résultat une exactitude suffisante.

On ne peut douter que le coëfficient $k,$ mesure de la perméabilité, ne soit sujet à des variations sensibles ; mais on n’a encore fait, sur ce sujet important, aucune suite d’expériences propres à nous apprendre comment la facilité de conduire la chaleur change avec la température et avec la pression. On voit par les observations, que cette qualité peut être regardée comme constante dans une assez grande partie de l’échelle thermométrique. Mais ces mêmes observations nous porteraient à croire que la valeur du coëfficient dont il s’agit, est beaucoup plus changée par les accroissements de température, que celle de la capacité spécifique.

Enfin la dilatabilité des solides, ou la disposition à augmenter de volume, n’est point la même à toutes les températures : mais dans les questions que nous avons traitées, ces changements ne peuvent point altérer d’une manière sensible la précision des résultats. En général, dans l’étude des grands phénomènes naturels qui dépendent de la distribution de la chaleur, on est fondé à regarder comme constantes les valeurs des coëfficients. Il est d’abord nécessaire de considérer sous ce point de vue les conséquences de la théorie. Ensuite la comparaison attentive de ces résultats avec ceux d’expériences très-précises, fera connaître quelles sont les corrections dont on doit faire usage, et l’on donnera aux recherches théoriques une extension nouvelle, à mesure que les observations deviendront plus nombreuses et plus exactes. On connaîtra alors quelles sont les causes qui pourraient modifier le mouvement de la chaleur dans l’intérieur des corps, et la théorie acquerra une perfection qu’il serait impossible de lui donner aujourd’hui.

La chaleur lumineuse, ou celle qui accompagne les rayons de lumière envoyés par les corps enflammés, pénètre les solides et les liquides diaphanes, et s’y éteint progressivement en parcourant un intervalle de grandeur sensible.

On ne pourrait donc point supposer, dans l’examen de ces questions, que les impressions directes de la chaleur ne se portent qu’à une distance extrêmement petite. Lorsque cette distance a une valeur finie, les équations différentielles prennent une forme différente : mais cette partie de la théorie ne présenterait des applications utiles qu’en se fondant sur des connaissances expérimentales que nous n’avons point encore acquises.

Les expériences indiquent que, pour les températures peu élevées, une portion extrêmement faible de la chaleur obscure jouit de la même propriété que la chaleur lumineuse ; il est vraisemblable que la distance où se portent les impressions de la chaleur qui pénètre les solides, n’est pas totalement insensible, et qu’elle est seulement fort petite : mais cela n’occasionne aucune différence appréciable dans les résultats de la théorie ; ou du moins, ces différences ont échappé jusqu’ici à toutes les observations.

FIN.