Théorie analytique de la chaleur/Chapitre 9

Joseph Fourier

Théorie analytique de la chaleur

Firmin Didot, 1822 (p. Ch. IX.-601).

CHAPITRE IX.

DE LA DIFFUSION DE LA CHALEUR.

SECTION PREMIÈRE.

Du mouvement libre de la chaleur dans une ligne infinie.

342.

On considère ici le mouvement de la chaleur dans une masse solide homogène, dont toutes les dimensions sont infinies. On divise ce solide par des plans infiniment voisins et perpendiculaires à un axe commun, et l’on supposé d’abord qu’on a échauffé une seule partie de la masse, savoir, celle qui est comprise entre deux plans A et B parallèles, dont la distance est $g$ ; toutes les autres parties ont la température initiale 0 : mais chacun des plans compris entre A et B a une température initiale donnée, que l’on regarde comme arbitraire, et qui est commune à tous ses points : cette température est différente pour les différents plans. L’état initial de la masse étant ainsi défini, il s’agit de déterminer par le calcul tous les états successifs. Le mouvement dont il s’agit, est seulement linéaire, et dans le sens de l’axe des plans ; car il est évident qu’il ne peut y avoir aucun transport de chaleur dans un plan quelconque perpendiculaire à cet axe, puisque la chaleur initiale de tous ses points est la même.

On peut supposer, au lieu du solide infini, un prisme d’une très-petite épaisseur, et dont la surface convexe est totalement impénétrable à la chaleur. On ne considère donc le mouvement que dans une ligne infinie, qui est l’axe commun de tous les plans.

La question est plus générale, lorsqu’on attribue des températures entièrement arbitraires à tous les points de la partie de la masse qui a été échauffée, tous les autres points du solide ayant la température initiale 0. Les lois de la distribution de la chaleur dans une masse solide infinie, doivent avoir un caractère simple et remarquable ; parce que le mouvement n’est point troublé par l’obstacle des surfaces et par l’action du milieu.

343.

La position de chaque point étant rapportée à trois axes rectangulaires, sur lesquels on mesure les coordonnées $x,y,z,$ la température cherchée est une fonction des variables $x,y,z,$ et du temps $t.$ Cette fonction $v$ ou $\varphi (x,y,z,t)$ satisfait à l'équation générale ${\frac {dv}{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D.} }}\left({\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}\right)\quad ({\boldsymbol {a}})$. De plus, il est nécessaire qu’elle représente l’état initial qui est arbitraire ; ainsi, en désignant par $\mathrm {F} (x,y,z)$ la valeur donnée de la température d’un point quelconque, prise lorsque le temps est nul, c’est-à-dire, au moment où la diffusion commence ; on doit avoir $\varphi (x,y,z,0)=\mathrm {F} (x,y,z)\quad ({\boldsymbol {b}}).$ Il faut trouver une fonction $v$ des quatre variables $x,y,z,t,$ qui satisfasse à l’équation différentielle $(a)$ et à l’équation déterminée $(b).$

Dans les questions que nous avons traitées précédemment, l’intégrale est assujettie à une troisième condition qui dépend de l’ëtat de la surface. C’est pour cette raison que l’analyse en est plus composée, et que la solution exige l’emploi des termes exponentiels. La forme de l’intégrale est beaucoup plus simple, lorsqu’elle doit seulement satisfaire à l’état initial ; et il serait facile de déterminer immédiatement le mouvement de la chaleur selon les trois dimensions. Mais pour exposer cette partie de la théorie, et faire bien connaître suivant quelle loi la diffusion s’opère, il est préférable de considérer d’abord le mouvement linéaire, en résolvant les deux questions suivantes ; on verra par la suite comment elles s’appliquent au cas des trois dimensions.

344.

1^ère question : une partie ab d’une ligne infinie est élevée dans tous ses points à la température 1 ; les autres parties de la ligne ont la température actuelle 0 ; on suppose que la chaleur ne peut se dissiper dans le milieu environnant ; il faut déterminer quel est l’état de la ligne après un temps donné. On peut rendre cette question plus générale, en supposant, 1^o que les températures initiales des points compris entre a et b sont inégales et représentées par les ordonnées d’une ligne quelconque, que nous regarderons d’abord comme composée de deux parties symétriques (voyez fig. 16) ; 2^o qu’une partie de la chaleur se dissipe par la surface du solide, qui est un prisme d’une très-petite épaisseur et d’une longueur infinie.

La seconde question consiste à déterminer les états successifs d’une barre prismatique, dont une extrémité est assujettie à une température constante, et qui est infiniment prolongée. La résolution de ces deux questions dépend de l’intégration de l’équation

${\frac {dv}{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}\cdot {\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-{\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {C.D.S} }}v,$

(article 105), qui exprime le mouvement linéaire de la chaleur. $v$ est la température que le point placé à la distance $x$ de l’origine doit avoir après le temps écoulé $t$ ; $\mathrm {K,}$ $\mathrm {H,}$ $\mathrm {C,}$ $\mathrm {D,}$ $\mathrm {L,}$ $\mathrm {S,}$ désignent la conducibilité propre, la conducibilité extérieure, la capacité spécifique de chaleur, la densité, le contour de la section perpendiculaire, et l’aire de cette section.

345.

Nous considérons d’abord le premier cas, qui est celui où la chaleur se propage librement dans la ligne infinie dont une partie ab a reçu des températures initiales quelconques ; tous les autres points ayant la température initiale 0. Si l’on élève en chaque point de la barre l’ordonnée d’une courbe plane qui représente la température actuelle de ce point, on voit qu’après une certaine valeur du temps $t,$ l’état du solide est exprimé par la figure de la courbe. Nous désignerons par $v=\mathrm {F} x$ l’équation donnée qui correspond à l’état initial, et nous supposons d’abord pour rendre le calcul plus simple que la figure initiale de la courbe, est composée de deux parties symétriques, en sorte que l’on a la condition $\mathrm {F} x=\mathrm {F} (-x)$. Soit

${\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}=k,\quad {\frac {\mathrm {H.L.} }{\mathrm {C.D.S} }}=h\,;\quad$ dans l’équation $\quad {\frac {dv}{dt}}=k{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-hv,$

on fera $v=e^{-ht}.u$ et l’on aura ${\frac {du}{dt}}=k{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}.$ On prendra pour $u$ la valeur particulière $a\cos .qx\,e^{-kq^{2}t}$ ; $a$ et $q$ sont des constantes arbitraires. Soient $q_{1},\,q_{2},\,q_{3},\,q_{4}\dots$ etc. une suite de valeurs quelconques, et $a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,a_{4}\dots$ etc., une suite de valeurs correspondantes du coëfficient $\mathrm {Q,}$ on aura

$u=a_{1}\cos .(q_{1}x)e^{-kq_{1}^{\,2}t}+a_{2}\cos .(q_{2}x)e^{-kq_{2}^{\,2}t}+a_{3}\cos .(q_{3}x)e^{-kq_{3}^{\,2}t}+\mathrm {etc.}$

Supposons 1^o que les valeurs $q_{1},\,q_{2},\,q_{3},\,q_{4}\dots$ etc., croissent par degrés infiniment petits, comme les abscisses $q$ d’une certaine courbe ; en sorte qu’elles deviennent égales à $dq,$ $2\,dq,$ $3\,dq,$ $4\,dq,\dots$ etc. ; $dq$ étant la différentielle constante de l’abscisse ; 2^o que les valeurs $a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,a_{4}\dots$ etc. sont proportionnelles aux ordonnées $\mathrm {Q}$ de la même courbe, et qu’elles deviennent égales à $\mathrm {\mathrm {Q} _{1}} \,dq$ $\mathrm {Q} _{2}\,dq,$ $\mathrm {Q} _{3}\,dq\dots$ etc. $\mathrm {Q}$ étant une certaine fonction de $q.$ Il en résulte que la valeur de $u$ pourra être exprimée ainsi :

$u=\int dq\,\mathrm {Q} .\cos .qx\,e^{-kq^{2}t}.$

$\mathrm {Q}$ est une fonction arbitraire $fq$, et l’intégrale peut être prise de $q=0$ à $q={\tfrac {1}{0}}.$ La difficulté se réduit à déterminer convenablement la fonction $\mathrm {Q.}$

346.

Pour y parvenir, il faut supposer t$=0$ dans l’expression de $u$ et l’égaler à $\mathrm {F} x.$ On a ainsi l’équation de condition

$\mathrm {F} x=\int dq\,\mathrm {Q} .\cos .qx$

Si l’on mettait au lieu de $\mathrm {Q}$ une fonction quelconque de $q,$ et que l’on achevât l’intégration depuis $q=0$ jusqu’à $q={\tfrac {1}{0}},$ on trouverait une fonction de $x$ ; il s’agit de résoudre la question inverse, c’est-à-dire, de connaître quelle est la fonction de $q$ qui, étant mise au lieu de $\mathrm {Q,}$ donnera pour résultat la fonction $\mathrm {F} x,$ problème singulier dont la solution exige un examen attentif.

En développant le signe de l’intégrale, on écrira comme il suit l’équation dont il faut déduire la valeur de $\mathrm {Q}$ :

${\begin{aligned}\mathrm {F} x=dq\,\mathrm {Q} _{1}\cos .q_{1}x&+dq\,\mathrm {Q} _{2}\cos .q_{2}x+dq\,\mathrm {Q} _{3}\cos .q_{3}x\\&+dq\,\mathrm {Q} _{4}\cos .q_{4}x+dq\,\mathrm {Q} _{5}\cos .q_{5}x+\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

Pour faire disparaître tous les termes du second membre, excepté un seul, on multipliera de part et d’autre par $dx\,\cos .rx,$ et l’on intégrera ensuite par rapport à $x$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=n\pi ,$ $n$ étant un nombre infini ; $r$ représente une grandeur quelconque égale à l’une des suivantes : $q_{1},\,q_{2},\,q_{3},\,q_{4}\dots$ etc., ou ce qui est la même chose $dq,$ $2\,dq,$ $3\,dq,$ $4\,dq\dots$ etc. Soit $q_{i}$ une valeur quelconque de la variable $q$, et $q_{j}$ une autre valeur qui est celle que l’on a prise pour $r$ ; on aura $r=j\,dq$ et $i\,dq$. On considérera ensuite le nombre infini $n$ comme exprimant combien l’unité de longueur contient de fois l’élément $dq,$ en sorte que l’on aura $n={\tfrac {1}{dq}}.$ En procédant à l’intégration, on reconnaîtra que la valeur de l’intégrale $dx\,\cos .qx\,\cos .rx$ est nulle, toutes les fois que $r$ et $q$ sont des grandeurs différentes ; mais cette même valeur de l’intégrale est ${\tfrac {1}{2}}n\pi ,$ lorsque $q=r.$ Il suit de là que l’intégration élimine dans le second membre tous les termes, excepté un seul : savoir, celui qui contient $q_{j}$ ou $r$. La fonction qui affecte ce même terme est $\mathrm {Q_{j},}$ on aura donc

$\int dx\,\mathrm {F} x.\cos .qx=dq.\mathrm {Q} _{j}{\frac {1}{2}}n\pi ,$

et mettant pour $n\,dq$ sa valeur 1, on a

${\frac {\pi \mathrm {Q} _{j}}{2}}=\int dx\,\mathrm {F} x\,\cos .qx\,;$

on trouve donc en général ${\frac {\pi \mathrm {Q} }{2}}=\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}dx\,\mathrm {F} x\,\cos .qx.$ Ainsi, pour déterminer la fonction $\mathrm {Q}$ qui satisfait à la condition proposée, il faut multiplier la fonction donnée $\mathrm {F} x$ par $dx\,\cos .qx,$ et intégrer de $x$ nulle à $x$ infinie, en multipliant le résultat par ${\frac {2}{\pi }}$ ; c’est-à-dire, que de l’équation

$\mathrm {F} x=\int dq\,fq\,\cos .qx$

on déduit celle-ci, $fq={\frac {2}{\pi }}\int dx\,\mathrm {F} x\,\cos .qx,$ la fonction $\mathrm {F} x$ représentant les températures initiales d’un prisme infini dont une partie intermédiaire seulement est échauffée. En substituant la valeur de $fq$ dans l’expression de $\mathrm {F} x,$ on obtient l’équation générale

${\frac {\pi }{2}}\mathrm {F} x=\int dq\,\,\cos .qx\int dx\,\mathrm {F} x\,\cos .qx\qquad \qquad \qquad ({\boldsymbol {\varepsilon }})$

347.

Si l’on substitue dans l’expression de $v$ la valeur que l’on a trouvée pour la fonction $\mathrm {Q,}$ on a l’intégrale suivante, qui contient la solution complète de la question proposée

${\frac {\pi v}{2}}=e^{-ht}\int dq\,\cos .qx\,e^{-kq^{2}t}\int dx\,\mathrm {F} x\,\cos .qx.$

L’intégrale, par rapport à $x,$ étant prise de $x$ nulle à $x$ infinie, il en résulte une fonction de $q,$ et prenant ensuite l’intégrale par rapport à $q$ de $q=0$ à $q={\tfrac {1}{0}},$ on obtient pour $v$ la fonction de $x$ et $t,$ qui représente les états successifs du solide. Puisque l’intégration, par rapport à $x,$ fait disparaître cette variable, on peut la remplacer dans l’expression de $v$ par une variable quelconque $\alpha$, en prenant l’intégrale entre les mêmes limites, savoir depuis $\alpha =0$ jusqu’à $\alpha ={\tfrac {1}{0}}.$ On a donc

${\begin{array}{ll}&\displaystyle {\frac {\pi v}{2}}=\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}dq\,\cos .qx\,e^{-kq^{2}t}\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \,\cos .q\alpha ,\\\mathrm {ou} \qquad &\displaystyle {\frac {\pi v}{2}}=\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}dq\,e^{-kq^{2}t}\cos .qx\,\cos .q\alpha .\end{array}}$

L’intégration, par rapport à $q,$ donnera une fonction de $x,$ $t$ et $\alpha ,$ et en prenant l’intégrale par rapport à $\alpha ,$ on trouve une fonction de $x$ et $t$ seulement. Il serait facile d’effectuer dans la dernière équation l’intégration par rapport à $q$ et l’on changerait ainsi l’expression de $v.$ On peut en général donner diverses formes à l’intégrale de l’équation

${\frac {dv}{dt}}=k{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-hv,$

elles représentent toutes une même fonction de $x$ et $t$.

348.

Supposons en premier lieu que toutes les températures initiales des points compris entre a et b, depuis $x=-1,$ jusqu’à $x=1,$ aient pour valeur commune 1, et que les températures de tous les autres points soient nulles, la fonction $\mathrm {F} x$ sera donnée par cette condition. Il faudra donc intégrer, par rapport à $x,$ depuis $x=-1$ jusqu’à $x=1,$ car le reste de l’intégrale est nulle d’après l’hypothèse. On trouvera ainsi :

$\mathrm {Q} ={\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {\sin .q}{q}}\quad \mathrm {et} \quad {\frac {\pi v}{2}}=e^{-ht}\int {\frac {dq}{q}}\,e^{-q^{2}kt}.\cos .qx\,\sin .q.$

Le second membre peut être facilement converti en série convergente, comme on le verra par la suite ; il représente exactement l’état du solide en un instant donné, et si l’on y fait $t=0,$ on exprime l’état initial.

Ainsi la fonction ${\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq}{q}}\,\sin .a.\cos .qx$ équivaut à l’unité, si l’on donne à $x$ une valeur quelconque comprise entre $-1$ et $1$ : mais cette fonction est nulle si l’on donne à $x$ toute autre valeur non comprise entre $-1$ et $1$. On voit par-là que les fonctions discontinues peuvent aussi être exprimées en intégrales définies.

349.

Pour donner une seconde application de la formule précédente, nous supposerons que la barre a été échauffée en un de ses points par l’action constante d’un même foyer, et qu’elle est parvenue à l’état permanent que l’on sait être représenté par une courbe logarithmique.

Il s’agit de connaître suivant quelle loi s’opérera la diffusion de la chaleur après qu’on aura retiré le foyer. En désignant par $\mathrm {F} x$ la valeur initiale de la température, on aura $\mathrm {F} x=\mathrm {A} e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {HL} }{\mathrm {KS} }}}}$ ; $\mathrm {A}$ est la température initiale du point le plus échauffé. On fera, pour simplifier le calcul,

$\mathrm {A} =1\quad \mathrm {et} \quad {\frac {\mathrm {HL} }{\mathrm {KS} }}=1.$

On a donc $\mathrm {F} x=e^{-x}$ on en déduit $\mathrm {Q} =\int dx\,e^{-x}\,\cos .qx$ et prenant l’intégrale de $x$ nulle à $x$ infinie $\mathrm {Q} ={\frac {1}{1+q^{2}}}.$ Ainsi la valeur de $v$ en $x$ et $t,$ est donnée par l’équation suivante :

${\frac {\pi v}{2}}=e^{-ht}\int {\frac {dq.\cos .qx}{1+q^{2}}}\,e^{-q^{2}kt}.$

350.

Si l’on fait $t=0,$ on aura ${\frac {\pi v}{2}}=\int {\frac {dq.\cos .qx}{1+q^{2}}}\,;$ ce qui correspond à l’état initial. Donc l’expression ${\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq.\cos .qx}{1+q^{2}}}$ équivaut à $e^{-x}$. Il faut remarquer que la fonction $\mathrm {F} x,$ qui représente l’état initial ne change point de valeur d’après l’hypothèse lorsque $x$ devient négative. La chaleur communiquée par le foyer avant que l’état initial ne fût formé, s’est propagée également à la droite et à la gauche du point 0, qui la reçoit immédiatement, il s’ensuit que la ligne dont l’équation serait $y={\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq.\cos .qx}{1+q^{2}}}$ est composée de deux branches symétriques que l’on forme en répétant à droite et à gauche de l’axe de $y$ la partie de la logarithmique qui est à la droite de l’axe des $y,$ et a pour équation $y=e^{-x}.$ On voit ici un second exemple d’une fonction discontinue exprimée par une intégrale définie. Cette fonction ${\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq.\cos .qx}{1+q^{2}}}$ équivaut à $e^{-x}$ lorsque $x$ est positive, mais elle est $e^{x}$ lorsque $x$ est négative,

351.

La question de la propagation de la chaleur dans une barre infinie, dont l’extrémité est assujettie à une température constante, se réduit, comme on le verra dans la suite, à celle de la diffusion de la chaleur clans une ligne infinie ; mais il faut supposer que la chaleur initiale, au lieu d’affecter également les deux moitiés contiguës du solide y est distribuée d’une manière contraire ; c’est-à-dire qu’en représentant par $\mathrm {F} x$ la température d’un point dont la distance au milieu de la ligne est $x,$ la température initiale du point opposé pour lequel la distance est $-x,$ a pour valeur $-\mathrm {F} x.$ Cette seconde question diffère très-peu de la précédente et pourrait être résolue par une méthode semblable : mais on peut aussi déduire la solution de l’analyse qui nous a servi à déterminer le mouvement de la chaleur dans les solides de dimensions finies.

Supposons qu’une partie ab de la barre prismatique infinie soit échauffée d’une manière quelconque, voy. fig. (16) et que la partie opposée aβ soit dans un état pareil, mais de signe contraire ; tout le reste du solide ayant la température initiale 0. On suppose aussi que le milieu environnant est entretenu à la température constante 0, et qu’il reçoit de la barre ou leur communique la chaleur par la surface extérieure. Il s’agit de trouver quelle sera, après un temps donné $t,$ la température $v$ d’un point dont la distance à l’origine est $x.$

On considérera d’abord la barre échauffée comme ayant une longueur finie $2\mathrm {X}$, et comme étant soumise à une cause extérieure quelconque qui retient ses deux extrémités à la température constante 0 ; on fera ensuite $\mathrm {X} ={\tfrac {1}{0}}.$

352.

On emploiera d’abord l’équation

${\frac {dv}{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}.{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-{\frac {\mathrm {C.D.S} }{\mathrm {H\,L} }}v\,;\quad$ ou $\quad {\frac {dv}{dt}}=k{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-h\,v,$

et faisant

$v=e^{-ht}.u\quad$ on aura $\quad {\frac {du}{dt}}=k{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}},$

on exprimera comme il suit la valeur générale de $u$

${\begin{aligned}u&=a_{1}\,e^{-kg_{1}^{\;2}t}\sin .g_{1}x+a_{2}\,e^{-kg_{2}^{\;2}t}\sin .g_{2}x\\&+a_{3}\,e^{-kg_{3}^{\;2}t}\sin .g_{3}x+a_{4}\,e^{-kg_{4}^{\;2}t}\sin .g_{4}x+\mathrm {etc.} \,;\\\end{aligned}}$

faisant ensuite $x=\mathrm {X} ,$ ce qui doit rendre nulle la valeur de $v$, on aura, pour déterminer la série des exposants $g$, la condition $\sin .g\mathrm {X} =0,$ ou $g\mathrm {X} =i\pi ,$ $i$ étant un nombre entier. Donc

$u=a_{1}\,e^{-k{\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {X} ^{2}}}t}\sin .\left(x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+a_{2}\,e^{-k{\frac {4\pi ^{2}}{\mathrm {X} ^{2}}}t}\sin .\left(2x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+\mathrm {etc.}$

Il ne reste plus qu’à trouver la série des constantes $a_{1},$ $a_{2},$ $a_{3},$ $a_{4},$ etc. Faisant $t=0$ on a

$u=\mathrm {F} x=a_{1}\sin .\left(x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+a_{2}\sin .\left(2x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+a_{3}\sin .\left(3x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+\mathrm {etc.}$

soit $x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}=r$, et désignons $\mathrm {F} x$ ou $\mathrm {F} \left(r{\frac {\mathrm {X} }{\pi }}\right)$ par $fr$ ; on aura

$fr=a_{1}\sin .r+a_{2}\sin .2r+a_{3}\sin .3r+a_{4}\sin .4r+\mathrm {etc.}$

Or, on a trouvé précédemment $a_{i}={\frac {2}{\pi }}\int dr\,fr.\sin .ir,$ l’intégrale étant prise de $r=0$ à $r=\pi .$ Donc

${\frac {\mathrm {X} }{2}}a_{i}=\int dx\,\mathrm {F} x.\sin \left(ix{\frac {\mathrm {X} }{\pi }}\right).$

L’intégrale devait être prise de $r=0$ à $r=\pi$ ; donc elle doit être prise par rapport à $x$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=\mathrm {X} .$ En faisant ces substitutions, on forme l’équation

${\begin{aligned}v&={\frac {2}{\mathrm {X} }}e^{-ht}\left\{e^{-k{\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {X} ^{2}}}t}\sin .x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\int dx\,\mathrm {F} x\sin .\left(x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)\right.\\&+\left.e^{-k{\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {X} ^{2}}}2^{2}t}.\sin .\left(2x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)\int dx\,\mathrm {F} x\sin .\left(1x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+\mathrm {etc.} \right\}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ({\boldsymbol {a}})\\\end{aligned}}$

353.

Telle serait la solution, si le prisme avait une longueur finie représentée par $2\,\mathrm {X} .$ Elle est une conséquence évidente des principes que nous avons posés jusqu’ici ; il ne reste plus qu’à supposer la dimension $\mathrm {X}$ infinie. Soit $\mathrm {X} =n\pi ,$ $n$ étant un nombre infini ; soit aussi $q$ une variable dont les accroissements infiniment petits $dq$ sont tous égaux ; on écrira ${\tfrac {1}{qd}}$ au lieu de $n.$ Le terme général de la série qui entre dans l’équation $(a)$ étant

$e^{-k{\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {X} ^{2}}}i^{2}t}\sin .\left(ix{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)\int dx\,\mathrm {F} x\,\sin .\left(ix{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right).$

On représentera par ${\tfrac {q}{dq}},$ le nombre $i$, qui est variable et qui devient infini. Ainsi l’on aura

$\mathrm {X} ={\frac {\pi }{dq}},\quad n={\frac {1}{dq}},\quad i={\frac {q}{dq}},$

En faisant ces substitutions dans le terme dont il s’agit, on trouvera $e^{-kq^{2}r}\sin .qx\int dx\,\mathrm {F} x\,\sin .qx.$ Chacun de ces termes doit être divisé par $\mathrm {X}$ ou ${\tfrac {\pi }{dq}},$ il devient par-là une quantité infiniment petite, et la somme de la série n’est autre chose qu’une intégrale, qui doit être prise par rapport à $q$ de $q=0$ à $q={\tfrac {1}{0}}.$ Donc

$v={\frac {2}{\pi }}e^{-ht}\int dq\,e^{-kq^{2}t}\sin .qx\int dx\,\mathrm {F} x\,\sin .qx\qquad ({\boldsymbol {\alpha }}).$

l’intégrale, par rapport à $x,$ doit être prise de $x=0$ à $x={\tfrac {1}{0}},$ ce qui donne une fonction de $q$ ; et la seconde intégrale doit être prise par rapport à $q$ de $q=0$ à $q={\tfrac {1}{0}}\cdot$ On peut aussi écrire

${\begin{aligned}&{\frac {\pi v}{2}}=e^{-ht}\int \limits _{0}^{\infty }dq\,e^{-kq^{2}t}\sin .qx\int \limits _{0}^{\infty }d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \,\sin .q\alpha ,\\\mathrm {ou} \quad &{\frac {\pi v}{2}}=e^{-ht}\int \limits _{0}^{\infty }d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \int \limits _{0}^{\infty }dq\,e^{-kq^{2}t}\sin .qx\,\sin .q\alpha ,\\\end{aligned}}$

L’équation $(\alpha )$ contient la solution générale de la question ; et, en substituant pour $\mathrm {F} x$ une fonction quelconque, assujettie ou non à une loi continue, on pourra toujours exprimer en $x$ et $t$ la valeur de la température : il faut seulement remarquer que la fonction $\mathrm {F} x$ correspond à une ligne formée de deux parties égales et alternes.

354.

Si la chaleur initiale est distribuée dans le prisme de telle manière que la ligne FFFF (fig. 17) qui représente cet état initial soit formée de deux arcs égaux placés à droite et à gauche du point fixe O, le mouvement variable de la chaleur est exprimé par l’équation

${\frac {\pi v}{2}}=e^{-ht}\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}dq\,e^{-kq^{2}t}\cos .qx\,\cos .q\alpha .$

Si la ligne $ffff$ (fig. 18) qui représente l’état initial est formée de deux arcs pareils et alternes, l’intégrale qui donne la valeur de température est

${\frac {\pi v}{2}}=e^{-ht}\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}d\alpha \,f\alpha \int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}dq\,e^{-kq^{2}t}\sin .qx\,\sin .q\alpha .$

Lorsqu’on supposera la chaleur initiale distribuée d’une manière quelconque, il sera facile de conclure des deux solutions précédentes l’expression de $v$. En effet, quelle que soit la fonction $\varphi x$ qui représente la température initiale et donnée, elle se décompose toujours en deux autres $\mathrm {F} x+fx$ dont l’une correspond à la ligne FFFF, et l’autre à la ligne $ffff,$ en sorte que l’on a ces trois conditions :

$\mathrm {F} x=\mathrm {F} (-x),\quad fx=-f(-x),\quad \varphi x=\mathrm {F} x+fx.$

On a déjà fait usage de cette remarque dans les art. 233 et 234. On sait aussi que chaque état initial donne lieu à un état variable partiel qui se forme comme s’il était seul. La composition de ces divers états n’apporte aucun changement dans les températures qui auraient lieu séparément pour chacun d’eux. Il suit de là qu’en désignant par $v$ la température variable produite par l’état initial que représente la fonction totale $\varphi x,$ on doit avoir

${\begin{aligned}{\frac {\pi v}{2}}=e^{-ht}&\left(\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}dq\,e^{-kq^{2}t}\cos .qx\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \,\cos .q\alpha \right.\\&+\left.\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}dq\,e^{-kq^{2}t}\sin .qx\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}d\alpha \,f\alpha \,\sin .q\alpha .\right)\\\end{aligned}}$

Si l’on prenait entre les limites $-{\tfrac {1}{0}}$ et ${\tfrac {1}{0}}$ les intégrales par rapport à $\alpha ,$ il est évident que l’on doublerait les résultats. On peut donc, dans l’équation précédente, omettre au premier membre le dénominateur 2, et prendre dans le second les intégrales pour $\alpha ,$ depuis $\alpha =-{\tfrac {1}{0}}$ jusqu’à $\alpha =+{\tfrac {1}{0}}$. On voit facilement aussi que l’on pourrait écrire $\int \limits _{-{\frac {1}{0}}}^{+{\frac {1}{0}}}d\alpha \,\varphi \alpha \,\cos .q\alpha ,$ au lieu de $\int \limits _{-{\frac {1}{0}}}^{+{\frac {1}{0}}}d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \,\cos .q\alpha$ ; car il résulte de la condition à laquelle est assujettie la fonction $f\alpha ,$ que l’on doit avoir

$0=\int \limits _{-{\frac {1}{0}}}^{+{\frac {1}{0}}}d\alpha \,f\alpha \,\cos .q\alpha ,$

On peut encore écrire

$\int \limits _{-{\frac {1}{0}}}^{+{\frac {1}{0}}}d\alpha \,\varphi \alpha \,\sin .q\alpha \quad \mathrm {au} \;\mathrm {lieu} \;\mathrm {de} \quad \int \limits _{-{\frac {1}{0}}}^{+{\frac {1}{0}}}d\alpha \,f\alpha \,\cos .q\alpha$

car on a évidemment

$0.=\int \limits _{-{\frac {1}{0}}}^{+{\frac {1}{0}}}d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \,\sin .q\alpha$

On en conclut

${\begin{aligned}\pi v=e^{-ht}\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}dq\,e^{-kq^{2}t}&\left(\int \limits _{-{\frac {1}{0}}}^{+{\frac {1}{0}}}d\alpha \,\varphi \alpha \,\cos .q\alpha \,\cos .qx\right.\\&+\left.\int \limits _{-{\frac {1}{0}}}^{+{\frac {1}{0}}}d\alpha \,\varphi \alpha \,\sin .q\alpha \,\sin .qx\right),\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {ou\quad } \pi v&=e^{-ht}\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}dq\,e^{-kq^{2}t}\int \limits _{-{\frac {1}{0}}}^{+{\frac {1}{0}}}d\alpha \,\varphi \alpha \,\cos .(q{\overline {x-\alpha }}),\\\mathrm {ou\quad } \pi v&=e^{-ht}\int \limits _{-{\frac {1}{0}}}^{+{\frac {1}{0}}}d\alpha \,\varphi \alpha \int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}dq\,e^{-kq^{2}t}\cos .(q{\overline {x-\alpha }})\cdot \\\end{aligned}}$

355.

La solution de cette seconde question fait connaître distinctement quel rapport il y a entre les intégrales définies que nous venons d’employer, et les résultats de l’analyse que nous avons appliquée aux solides d’une figure déterminée. Lorsque, dans les séries convergentes que cette analyse fournit, on donne aux quantités qui désignent les dimensions, une valeur infinie ; chacun des termes devient infiniment petit, et la somme de la série n’est autre chose qu’une intégrale. On pourrait passer directement de la même manière et sans aucune considération physique des diverses séries trigonométriques que nous avons employées dans le chapitre III aux intégrales définies ; il nous suffira de donner quelques exemples de ces transformations dont les résultats sont remarquables.

356.

Dans l’équation

${\frac {1}{4}}\pi =\sin .u+{\frac {1}{3}}\sin .3u+{\frac {1}{5}}\sin .5u+{\frac {1}{7}}\sin .7u+\mathrm {etc.}$

on écrira au lieu de $u$ la quantité ${\frac {x}{n}}$ ; $x$ est une autre variable, et $n$ est un nombre infini égal à ${\frac {1}{dq}}$ ; $q$ est une quantité formée successivement par l’addition de ses parties infiniment petites égales à $dq.$ On représentera le nombre variable $i$ par ${\frac {q}{dq}}.$ Si dans le terme général ${\frac {1}{2i+1}}\sin .(2i+1){\frac {x}{n}}$ on met pour $i$ et $n$ leurs valeurs ; ce terme deviendra ${\frac {dq}{2q}}\sin .2qx.$ Donc la somme de la série sera ${\frac {1}{2}}\int {\frac {dq}{q}}\sin .2ax,$ l’intégrale étant prise de $q=0$ à $q=+{\tfrac {1}{0}}$ ; on a donc l’équation ${\frac {1}{4}}\pi ={\frac {1}{2}}\int {\frac {dq}{q}}\sin .2qx$ qui a toujours lieu, quelle que soit la valeur positive de $x.$ Soit $2qx=r,$ $r$ étant une nouvelle variable, on aura ${\frac {dq}{q}}={\frac {dr}{r}}$ et ${\frac {1}{2}}\pi =\int {\frac {dr}{r}}\sin .r\,;$ cette valeur de l’intégrale définie $\int {\frac {dr}{r}}\sin .r$ est connue depuis long-temps. Si en supposant $r$ négatif on prenait la même intégrale de $r=0$ à $r=-{\tfrac {1}{0}},$ on aurait évidemment un résultat de signe contraire $-{\tfrac {1}{2}}\pi .$

357.

La remarque que nous venons de faire sur la valeur de l’intégrale $\int {\frac {dr}{r}}\sin .r,$ qui est ${\tfrac {1}{2}}\pi$ ou $-{\tfrac {1}{2}}\pi$ peut servir à taire connaître la nature de l’expression

${\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq.\sin .q}{q}}\cos .qx,$

dont nous avons trouvé précédemment (article 348) la valeur égale à 1 ou à 0, selon que $x$ est ou n’est pas comprise entre $1$ et $-1$. En effet, on a

$\int {\frac {dq}{q}}\cos .qx\,\sin .q={\frac {1}{2}}\int {\frac {dq}{q}}\sin .q.{\overline {x+1}}-{\frac {1}{2}}\int {\frac {dq}{q}}\sin .q.{\overline {x-1}}\,;$

le premier terme vaut ${\frac {1}{4}}\pi$ ou $-{\frac {1}{4}}\pi$ selon que $x+1$ est une quantité positive ou négative ; le second ${\frac {1}{2}}\int {\frac {dq}{q}}\sin .q{\overline {x-1}}$ vaut ${\frac {1}{4}}\pi$ ou $-{\frac {1}{4}}\pi ,$ selon que $x-1$ est une quantité positive ou négative. Donc l’intégrale totale est nulle si $x+1$ et $x-1$ ont le même signe ; car, dans ce cas, les deux termes se détruisent. Mais si ces quantités sont de signe différent, c’est-à-dire si l’on a en même temps

$x+1>0\quad \mathrm {et} \quad x-1<0,$

les deux termes s’ajoutent et la valeur de l’intégrale est ${\frac {1}{2}}\pi .$ Donc l’intégrale définie ${\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq}{q}}\sin .q\,\cos .qx$ est une fonction de $x$ égale à $1$ si la variable $x$ a une valeur quelconque comprise entre $1$ et $-1$ ; et cette même fonction est nulle pour toute autre valeur de $x$ non comprise entre les limites $1$ et $-1.$

358.

On pourrait déduire aussi de la transformation des séries en intégrales les propriétés des deux expressions

${\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq\,\cos .qx}{1+q^{2}}}\quad \mathrm {et} \quad {\frac {2}{\pi }}\int {\frac {q\,dq\,\sin .qx}{1+q^{2}}},$

la première (art. 350) équivaut à $e^{-x}$ lorsque $x$ est positive, et à $e^{x}$ lorsque $x$ est négative. La seconde équivaut à $e^{-x}$ si $x$ est positive, et à $-e^{x}$ si $x$ est négative, en sorte que ces deux intégrales ont la même valeur, lorsque $x$ est positive, et ont des valeurs de signe contraire lorsque $x$ est négative. L’une est représentée par la ligne $eeee,$ (fig. 19) l’autre par la ligne εεεε, (fig. 20).

L’équation

${\frac {1}{2\alpha }}\sin .x={\frac {\sin .\alpha .\sin .x}{\pi ^{2}-\alpha ^{2}}}+{\frac {\sin .2\alpha .\sin .2x}{\pi ^{2}-2^{2}.\alpha ^{2}}}+{\frac {\sin .3\alpha .\sin .3x}{\pi ^{2}-3^{2}.\alpha ^{2}}}+\mathrm {etc.} ,$

que nous avons rapportée (art. 226), donne immédiatement l’intégrale ${\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq\,\sin .q\pi \,\sin .qx}{1-q^{2}}}\,;$ cette dernière expression équivaut à $\sin .x$, si $x$ est comprise entre 0 et $\pi$, et sa valeur est nulle toutes les fois que $x$ surpasse $\pi .$

359.

La même transformation s’applique à l’équation générale

${\frac {1}{2}}\pi \,\varphi u=\sin .u\int du\,\varphi u\,\sin .u+\sin .2u\int du\,\varphi u\,\sin .2u+\mathrm {etc.}$

faisant $u={\frac {x}{n}},$ on désignera $\varphi u$ ou $\varphi \left({\frac {x}{n}}\right)$ par $fx$ ; on introduira dans le calcul une quantité $q$ qui reçoit des accroissements infiniment petits, égaux à $dq,$ $n$ sera égal à ${\frac {1}{dq}}$ et $i$ à ${\frac {q}{dq}}$ ; substituant ces valeurs dans le terme général

$\sin .i{\frac {x}{n}}\int {\frac {dx}{n}}\,\varphi \left({\frac {x}{n}}\right)\sin .\left(i{\frac {x}{n}}\right),$

on trouvera $dq\,sin.qx\int dx\,fx\,\sin .qx.$ L’intégrale par rapport à $u$ est prise de $u=0$ à $u=\pi ,$ donc l’intégration par rapport à $x$ doit avoir lieu de $x=0$ à $x=n\pi ,$ ou de $x$ nulle à $x$ infinie.

On obtient ainsi un résultat général exprimé par cette équation

${\frac {1}{2}}\pi \,fx=\int \limits _{0}^{\infty }dq\,\sin .qx\int \limits _{0}^{\infty }dx\,fx\,\sin .qx,\qquad ({\boldsymbol {e}})$

c’est pourquoi, en désignant par $\mathrm {Q}$ une fonction de $q,$ telle que l’on ait $fu=\int dq\,\mathrm {Q} \,\sin .qu,$ équation dans laquelle $fu$ est une fonction donnée, on aura $\mathrm {Q} ={\frac {2}{\pi }}\int du\,fu\,\sin .qu,$ l'intégrale étant prise de $u$ nulle à $u$ infinie. Nous avons déjà résolu une question semblable (art. 346), et démontré l’équation générale

${\frac {1}{2}}\pi \,\mathrm {F} x=\int \limits _{0}^{\infty }dq\,\cos .qx\int \limits _{0}^{\infty }dx\,\mathrm {F} x\,\cos .qx\qquad ({\boldsymbol {\varepsilon }})$

qui est analogue à la précédente.

360.

Pour donner une application de ces théorèmes, nous supposerons $fx=x^{r},$ le second membre de l’équation $(e)$ deviendra par cette substitution $\int dq\,\sin .qx\int dx\,\sin .qx\,x^{r}.$ L’intégrale

$\int dx\,\sin .qx.x^{r}\quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{q^{r}q}}\int q\,dx\,\sin .qx.(qx)^{r}$

équivaut à ${\frac {1}{q^{r}.q}}\int du\,\sin .u.u^{r},$ l’intégrale étant prise de $u$ nulle à $u$ infinie. Soit $\mu$ cette intégrale totale

$\int du\,\sin .u.u^{r}\,;$

il reste à prendre l’intégrale

$\int dq\,\sin .(qx)\cdot {\frac {1}{q^{r}.q}}\,\mu \quad \mathrm {ou} \quad \mu \,x^{r}\int du\,\sin .u.u^{-(r+1)}.$

désignant par $\nu$ cette dernière intégrale, prise de $u$ nulle à $u$ infinie, on aura pour résultat des deux intégrations successives le terme $x^{r}\,\mu .\nu .$ On doit donc avoir, selon la condition exprimée par l’équation $(e),$

${\frac {1}{2}}\pi x^{r}=\mu .\nu \,x^{r}\quad \mathrm {pu} \quad \mu \nu ={\frac {1}{2}}\pi \,;$

ainsi le produit des deux transcendantes

$\int du\,u^{r}\,\sin .u\quad \mathrm {et} \quad \int {\frac {du}{u}}\,u^{-r}\,\sin .u\quad \mathrm {est} \quad {\frac {1}{2}}\pi .$

Par exemple, si $r=-{\tfrac {1}{2}},$ on trouve pour $\int {\frac {du.\sin .u}{\sqrt {u}}}$ sa valeur connue ${\sqrt {\frac {1}{2}}}\,\pi ,$ on trouve de la même manière

$\int {\frac {du\,\cos .u}{\sqrt {\overset {\;}{u}}}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\,\pi \,;$

Et de ces deux équations on pourrait aussi conclure la suivante : $\int \limits _{0}^{\infty }dq\,e^{-q^{2}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }},$ qui est employée depuis long-temps.

361.

On peut résoudre, au moyen des équations $(e)$ et $(\varepsilon ),$ le problème suivant, qui appartient aussi à l’analyse des différences partielles : Quelle est la fonction $\mathrm {Q}$ de la variable $q$ qui doit être placée sous le signe intégral pour que l’expression $\int dq\,\mathrm {Q} \,e^{-qx}$ soit égale à une fonction donnée, l’intégrale étant prise de $q$ nulle à $q$ infinie ; mais sans s’arrêter à ces diverses conséquences dont l’examen nous éloignerait de notre objet principal, on se bornera au résultat suivant, que l’on obtient en combinant les deux équations $(e)$ et $(\varepsilon ).$ Elles peuvent être mises sous cette forme :

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\,\pi \,fx&=\int \limits _{0}^{\infty }dq\,\sin .qx\int \limits _{0}^{\infty }d\alpha \,f\alpha \,\sin .q\alpha \\\mathrm {et} \quad {\frac {1}{2}}\,\pi \,\mathrm {F} x&=\int \limits _{0}^{\infty }dq\,\cos .qx\int \limits _{0}^{\infty }d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \,\cos .q\alpha \\\end{aligned}}$

Si l’on prenait les intégrales par rapport à $\alpha$, depuis $-{\tfrac {1}{0}}$ jusqu’à $+{\tfrac {1}{0}},$ le résultat de chaque intégration serait doublé, ce qui est une conséquence nécessaire des deux conditions

$f\alpha =-f(-\alpha ),\quad \mathrm {et} \quad \mathrm {F} \alpha =\mathrm {F} (-\alpha ),$

on a donc les deux équations

${\begin{aligned}\pi \,fx&=\int \limits _{0}^{\infty }dq\,\sin .qx\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,f\alpha \,\sin .q\alpha \\\mathrm {et} \quad \pi \,\mathrm {F} x&=\int \limits _{0}^{\infty }dq\,\cos .qx\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \,\cos .q\alpha .\end{aligned}}$

On a remarqué précédemment qu’une fonction quelconque $\varphi x$ se décompose toujours en deux autres, dont l’une, $\mathrm {F} x$ satisfait à la condition $\mathrm {F} x=\mathrm {F} (-x),$ et dont l’autre $fx$ satisfait à la condition $fx=-f(-x).$ On a aussi les deux équations

$0=\int d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \,\sin .q\alpha \quad \mathrm {et} \quad 0=\int d\alpha \,f\alpha \,\cos .q\alpha ,$

on en conclut

${\begin{aligned}\pi (\mathrm {F} x+fx)=\pi \,\varphi x&=\int \limits _{0}^{\infty }dq\,\sin .qx\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,f\alpha \,\sin .q\alpha ,\\&+\int \limits _{0}^{\infty }dq\,\cos .qx\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \,\cos .q\alpha ,\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {et} \quad \pi \,\varphi x&=\int \limits _{0}^{\infty }dq\,\sin .qx\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\varphi \alpha \,\sin .q\alpha ,\\&+\int \limits _{0}^{\infty }dq\,\cos .qx\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\varphi \alpha \,\cos .q\alpha ,\\\end{aligned}}$

$\mathrm {ou} \quad \pi \,\varphi x=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\varphi \alpha .\int \limits _{0}^{\infty }dq\,(\sin .qx\,\sin .q\alpha +\cos .qx\,\cos .q\alpha )$

$\mathrm {ou} \;\mathrm {enfin} \quad \varphi x={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\varphi \alpha \int \limits _{0}^{\infty }dq\,\cos .\left(q(x-\alpha )\right).\qquad \qquad (\mathrm {E} )$

L’intégration par rapport à $q$ donne une fonction de $x$ et $\alpha ,$ et la seconde intégration ferait disparaître la variable $\alpha .$ Ainsi la fonction représentée par l’intégrale définie $\int dq\,\cos .(q\,{\overline {x-\alpha }})$ a cette singulière propriété, que si on la multiplie par une fonction quelconque $\varphi \alpha$ et par $d\alpha ,$ et si l’on intègre par rapport à $\alpha$ entre des limites infinies, le résultat est égal à $\pi \,\varphi x\,;$ en sorte que l’effet de l’intégration est de changer $\alpha$ en $x$ et de multiplier par le nombre $\pi .$

362.

On pourrait déduire directement l’équation (E) du théorème rapporté dans l’art. 234, p. 256 et 257, qui donne le développement d’une fonction quelconque $\mathrm {F} x$ en série de sinus et de cosinus d’arcs multiples. On passe de cette dernière proposition à celles que nous venons de démontrer en donnant une valeur infinie aux dimensions. Chaque terme de la série devient dans ce cas une quantité différentielle. Ces transformations des fonctions en suites trigonométriques sont des éléments de la théorie analytique de la chaleur ; il est indispensable d’en faire usage pour résoudre les questions qui dépendent de cette théorie.

La réduction des fonctions arbitraires en intégrales définies, telles que l’expriment l’équation (E), et les deux équations élémentaires dont elle dérive donne lieu à diverses conséquences que l’on omettra ici parce qu’elles ont un rapport moins direct avec la question physique. On fera seulement remarquer que ces mêmes équations se présentent quelquefois dans le calcul sous d’autres formes. On obtient par exemple ce résultat :

$\varphi x={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }d\alpha \,\varphi \alpha \int \limits _{0}^{\infty }dq\,\cos .\left(q\,{\overline {x-\alpha }}\right),\qquad (\mathrm {E} ')$

qui diffère de l’équation (E), en ce que les limites de l’intégrale prises par rapport à $\alpha$ sont 0 et ${\tfrac {1}{0}}$ au lieu d’être $-{\tfrac {1}{0}}$ et $+{\tfrac {1}{0}}.$ Il faut considérer dans ce cas que les deux équations (E) et (E’) donnent pour le second membre des valeurs égales lorsque la variable $x$ est positive. Si cette variable est négative, l’équation (E’) donne toujours pour le second membre une valeur nulle. Il n’en est pas de même de l’équation (E), dont le second membre équivaut $\pi \,\varphi x,$ soit que l’on donne à $x$ une valeur positive ou une valeur négative. Quant à l’équation (E’) elle résoud le problème suivant. Trouver une fonction de $x$ telle que si $x$ est positive, la valeur de la fonction soit $\varphi x,$ et que si $x$ est négative, la valeur de la fonction soit toujours nulle.

363.

La question de la propagation de la chaleur dans une ligne infinie peut encore être résolue en donnant à l’intégrale de l’équation aux différences partielles une forme différente que nous ferons connaître dans l’article suivant. Nous examinerons auparavant le cas où la source de la chaleur est constante.

Supposons que la chaleur initiale étant répartie d’une manière quelconque dans la barre infinie, on entretienne la tranche A à une température constante, tandis qu’une partie de la chaleur communiquée se dissipe par la surface extérieure. Il s’agit de déterminer l’état du prisme après un temps donné, ce qui est l’objet de la seconde question que nous nous sommes proposée. En désignant par 1 la température constante de l’extrémité A, par 0 celle du milieu, on aura $e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {HL} }{\mathrm {KS} }}}}$ pour l’expression de la température finale du point situé à la distance $x$ de cette extrémité, ou seulement $e^{-x}$ en supposant, pour simplifier le calcul, que la quantité ${\frac {\mathrm {HL} }{\mathrm {K.S} }}$ soit égale à l’unité. Désignant par $v$ la température variable du même point après le temps écoulé $t,$ on a, pour déterminer $v$ cette équation

${\frac {dv}{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-{\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {C.D.S} }}\cdot v,$

soit maintenant $\qquad \qquad e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {HL} }{\mathrm {KS} }}}}+u',$

on aura $\;{\frac {du'}{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-{\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {C.D.S} }},\quad \mathrm {ou} \quad {\frac {du'}{dt}}=k{\frac {d^{2}u'}{dx^{2}}}-hu',$

en remplaçant ${\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}$ par $k$ et ${\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {C.D.S} }}$ par $h.$ Si l’on fait

$u'=e^{-ht}u\quad \mathrm {on} \;\mathrm {a} \quad {\frac {du}{dt}}=k{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\,;$

la valeur de $u$ ou $v-e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {HL} }{\mathrm {K.S} }}}}$ en celle de la différence entre la température actuelle et la température finale ; cette différence $u,$ qui tend de plus en plus à s’évanouir, et dont la dernière valeur est nulle équivaut d’abord à

$\mathrm {F} x-e^{-x{\sqrt {\frac {h}{k}}}},$

en désignant par $\mathrm {F} x$ la température initiale d’un point situé à la distance $x.$ Soit $fx$ l’excès de cette température initiale sur la température finale, il faudra trouver pour $u$ une fonction qui satisfasse à l’équation ${\frac {du}{dt}}=k{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-hu,$ et qui ait pour valeur initiale $fx,$ et pour valeur finale 0. Au point A, ou $x=0,$ la quantité $v-e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {K.S} }}}}$ a, par hypothèse, une valeur constante égale à 0. On voit par-là que $u$ représente une chaleur excédente qui est d’abord accumulée dans le prisme, et qui ensuite s’évanouit, soit en se propageant à l’infini, soit en se dissipant dans le milieu. Ainsi pour représenter l’effet qui résulte de réchauffement uniforme de l’extrémité A d’une ligne infiniment prolongée, il faut concevoir 1^o que cette ligne est aussi prolongée à la gauche du point A, et que chaque point situé à droite est présentement affecté de la température initiale excédente ; 2^o que l’autre moitié de la ligne à la gauche du point A est dans un état contraire ; en sorte qu’un point placé à la distance $-x$ du point A a pour température initiale $-fx\,:$ ensuite la chaleur commence à se mouvoir librement dans l’intérieur de la barre, et à se dissiper à la surface. Le point A conserve la température 0, et tous les autres points parviennent insensiblement au même état. C’est ainsi que l’on peut ramener le cas où le foyer extérieur communique incessamment une nouvelle chaleur, à celui où la chaleur primitive se propage dans l’intérieur du solide. On pourrait donc résoudre la question proposée de la même manière que celle de la diffusion de la chaleur, articles (347) et (353) ; mais afin de multiplier les moyens de résolution dans une matière aussi nouvelle, on employera l’intégrale sous une forme différente de celle que nous avons considérée jusqu’ici.

364.

On satisfait à l’équation ${\frac {du}{dt}}=k{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}$ en supposant $u$ égale à $e^{-x}e^{kt}.$ Or cette dernière fonction de $x$ et $t$ peut être mise sous la forme d’intégrale définie, ce qui se déduit très-facilement de la valeur connue de $\int dq\,e^{-q^{2}}.$ On a en effet ${\sqrt {\pi }}=\int dq\,e^{-q^{2}},$ lorsque l’intégrale est prise de $q=-{\tfrac {1}{0}}$ à $q=+{\tfrac {1}{0}}.$ On aura donc aussi ${\sqrt {\pi }}=\int dq\,e^{-(q+b)^{2}},$ $b$ étant une constante quelconque et les limites de l’intégrale étant les mêmes qu’auparavant. De l’équation

${\sqrt {\pi }}=e^{-b^{2}}\int dq\,e^{-(q^{2}+2bq)},$

on conclut, en faisant $b^{2}=kt$

$e^{kt}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}\,e^{-2q{\sqrt {kt}}},$

donc la valeur précédente de $u$ ou $e^{-x}.e^{kt}$ équivaut à

${\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}\,e^{-(x+2q{\sqrt {kt}})}\,;$

on pourrait aussi supposer $u$ égale à la fonction

$a\,e^{-nx}\,e^{kn^{2}t},$

$a$ et $n$ étant deux constantes quelconques ; et l’on trouvera de même que cette fonction équivaut à

${\frac {a}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}\,e^{-n(x+2q{\sqrt {kt}})}.$

On peut donc prendre en général pour valeur de $u$ la somme d’une infinité de valeurs semblables, et l’on aura

${\begin{aligned}u=\int dq\,e^{-q^{2}}\left(a_{1}\,e^{-n_{1}(x+2q{\sqrt {kt}})}\right.&+a_{2}\,e^{-n_{2}(x+2q{\sqrt {kt}})}\\&+\left.a_{3}\,e^{-n_{3}(x+2q{\sqrt {kt}})}+\mathrm {etc.} \right)\end{aligned}}$

Les constantes $a_{1}\,a_{2}\,a_{3}$ etc., et $n_{1}\,n_{2}\,n_{3}$ etc. étant indéterminées, la série représente une fonction quelconque de

$x+2q{\sqrt {kt}}\,;\quad \mathrm {on} \,\mathrm {a} \;\mathrm {donc} \quad u=\int dq\,e^{-q^{2}}\,\varphi (x+2q{\sqrt {kt}}).$

L’intégrale doit être prise de $u=-{\tfrac {1}{0}}$ à $u={\tfrac {1}{0}}$, et la valeur de $u$ satisfera nécessairement a l’équation ${\frac {du}{dt}}=k{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}.$ Cette intégrale, qui contient une fonction arbitraire, n’était point connue lorsque nous avons entrepris nos recherches sur la théorie de la chaleur, qui ont été remises à l’Institut de France dans le mois de décembre 1807 : elle a été donnée par M. Laplace, dans un ouvrage qui fait partie du tome VI des Mémoires de l’école polytechnique ; nous ne faisons que l’appliquer à la détermination du mouvement linéaire de la chaleur. On en conclut

$v=e^{-ht}\int dq\,e^{-q^{2}}\,\varphi (x+2q{\sqrt {kt}})-e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {KS} }}}},$

lorsque $t=0$ la valeur de $u$ est $\mathrm {F} x-e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {K.S} }}}}$ ou $fx$ donc $\varphi x=\int dq\,e^{-q^{2}}\,\varphi x$ et $\varphi x={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}fx.$ Ainsi la fonction arbitraire qui entre dans l’intégrale, est déterminée au moyen de la fonction donnée $fx,$ et l’on a l’équation suivante, qui contient la solution de la question

$v=-e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {KS} }}}}+{\frac {e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}f(x+2q{\sqrt {kt}})\,:$

il est facile de représenter ce résultat par une construction.

365.

Nous appliquerons la solution précédente au cas où tous les points de la ligne AB ayant la température initiale 0, on échauffe l’extrémité A pour la retenir continuellement à la température 1. Il en résulte que $\mathrm {F} x$ a une valeur nulle lorsque $x$ diffère de 0. Ainsi $fx$ équivaut à $-e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {K\,S} }}}},$ toutes les fois que $x$ diffère de 0, et à 0, lorsque $x$ est nulle. D’un autre côté il est nécessaire qu’en faisant $x$ négative, la valeur de $fx$ change de signe, en sorte que l’on a la condition $f(-x)=-fx.$ On connaît ainsi la nature de la fonction discontinue $fx\,;$ elle est $-e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}}$ lorsque $x$ surpasse 0, et $+e^{x{\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}}$ lorsque $x$ est moindre que 0. Il faut maintenant écrire au lieu de $x$ la quantité $x+2q{\sqrt {kt}}.$ Pour trouver $u$ ou $\int dq\,e^{-q^{2}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}f(x+2q{\sqrt {kt}}),$ on prendra d’abord l’intégrale depuis

$x+2q{\sqrt {kt}}=0\quad$ jusqu’à $\quad x+2q{\sqrt {kt}}={\tfrac {1}{0}}$

et ensuite depuis $x+2q{\sqrt {kt}}={\tfrac {1}{0}}$ jusqu’à $x+2q{\sqrt {kt}}=0.$ Pour la première partie on a

$-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}\,e^{-(x+2q{\sqrt {kt}}){\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}},$

et remplaçant $k$ par sa valeur ${\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}$ on a

$-\int {\frac {dq}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-q^{2}}\,e^{-\left(x+2q{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}\right){\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}},$

ou $\;-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}}\int dq\,e^{-q^{2}}.e^{-2q{\sqrt {{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}\cdot t\,}}},$

ou $\;-{\frac {e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}}}{\sqrt {\pi }}}\,e^{{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}t\,}<\int dq\,e^{-\left(q+{\sqrt {{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}\cdot t\,}}\right)^{2}}.$

En désignant par $r$ la quantité $q+{\sqrt {{\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {C.D.S} }}\cdot t\,}},$ l’expression précédente est $-{\frac {e^{-x}}{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {K.S} }}}.e^{{\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {C.D.S} }}\cdot t\,}\int dr\,e^{-r^{2}}\;$ cette intégrale $\int dr\,e^{-r^{2}}\;$ doit être prise par hypothèse depuis

$x+2q{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t\,}{\mathrm {C.D} }}}=0\quad$ jusqu’à $\quad x+2q{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t\,}{\mathrm {C.D} }}}={\tfrac {1}{0}},$

ou depuis

$q=-{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t\,}{\mathrm {C.D} }}}}}\quad$ jusqu’à $\quad q={\tfrac {1}{0}},$

ou de $\quad r={\sqrt {{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}\cdot t\,}}-{\frac {x}{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t\,}{\mathrm {C.D} }}}}\quad$ jusqu’à $\quad r={\tfrac {1}{0}}\,;$

la seconde partie de l’intégrale est

${\begin{aligned}&{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}\,e^{\left(x+2q{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}\right){\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}},\\\mathrm {ou} \quad &{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{x{\sqrt {\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {K\,S} }}}}\int dq\,e^{-q^{2}}.e^{2q{\sqrt {{\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {C.D.S} }}\cdot t\,}}},\\\mathrm {ou} \quad &{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{x{\sqrt {\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {K\,S} }}}}.e^{{\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {C.D.S} }}\cdot t\,}\int dr\,e^{-r^{2}},\\\end{aligned}}$

en désignant par $r$ la quantité $q-{\sqrt {{\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {C.D.S} }}\cdot t\,}}.$ L’intégrale $\int dre^{-r^{2}}$ doit être prise d’après l’hypothèse depuis

$x+2q{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}=-{\tfrac {1}{0}}\quad \mathrm {jusqu'{\grave {a}}} \quad x+2q{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}=0$

ou de $\quad q=-{\tfrac {1}{0}}\quad$ à $\quad q=-{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}},\quad$ c’est-à-dire, depuis

$r=-{\tfrac {1}{0}}\quad$ jusqu’à $\quad r=-{\sqrt {{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}\cdot t\,}}-{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}$

Ces deux premières limites peuvent, d’après la nature de la fonction $e^{-r^{2}}$, être remplacées par celles-ci :

$r={\sqrt {{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}\,t\,}}+{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}},\quad$ et $\quad r={\tfrac {1}{0}}$

Il suit de là que la valeur de $u$ est exprimée ainsi :

$u=e^{x{\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}}.e^{{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}t}\int dr\,e^{-r^{2}}-e^{x{\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}}.e^{{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}t}\int dr\,e^{-r}$

la première intégrale doit être prise depuis

$r={\sqrt {{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}t}}+{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\quad \mathrm {jusqu'{\grave {a}}} \quad r={\tfrac {1}{0}},$

et la seconde depuis

$r={\sqrt {{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}t}}-{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\quad \mathrm {jusqu'{\grave {a}}} \quad r={\tfrac {1}{0}}.$

Représentons maintenant par $\psi \mathrm {R}$ l’intégrale ${\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dr\,e^{-r^{2}}$ depuis $r=\mathrm {R}$ jusqu’à $r={\tfrac {1}{0}}$ et l’on aura

${\begin{aligned}u&=e^{{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}t}.e^{x{\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}}\psi \left({\sqrt {{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}t}}+{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)\\&-e^{{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}t}.e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}}\psi \left({\sqrt {{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}t}}-{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right).\\\end{aligned}}$

donc $u'$ qui équivaut à $e^{-{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}t}.u$ a pour expression

$e^{x{\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}}\psi \left({\sqrt {{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}t}}+{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)-e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}}\psi \left({\sqrt {{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}t}}-{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right),$

${\begin{aligned}\mathrm {et} \quad v=e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}}&-e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}}\psi \left({\sqrt {{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}t}}-{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)\\&+e^{x{\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}}\psi \left({\sqrt {{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}t}}+{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right).\\\end{aligned}}$

La fonction désignée par $\psi \mathrm {R}$ est connue depuis long-temps et l’on peut calculer facilement, soit au moyen des séries convergentes, soit par les fractions continues, les différentes valeurs que reçoit cette fonction, lorsqu’on met au milieu de $\mathrm {R}$ des quantités données ; ainsi l’application numérique de la solution n’est sujette à aucune difficulté.

366.

Si l’on fait $\mathrm {H}$ nulle, on a

$v=1-\left\{\psi \left(-{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)-\psi \left({\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)\right\}.$

Cette équation représente la propagation de la chaleur dans une barre infinie, dont tous les points étaient d’abord à la température 0, et dont l’extrémité est élevée et entretenue à la température constante 1. On suppose que la chaleur ne peut se dissiper par la surface extérieure de la barre ; ou, ce qui est la même chose, que cette barre a une épaisseur infiniment grande. Cette dernière valeur de $v$ fait donc connaître la loi suivant laquelle la chaleur se propage dans un solide terminé par un plan infini, en supposant que ce mur infiniment épais, a d’abord dans toutes ses parties une température constante initiale 0, et que l’on assujettit la surface à une température constante 1. Il ne sera point inutile de faire observer quelques résultats de cette solution.

En désignant par $\varphi (\mathrm {R} )$ l’intégrale ${\tfrac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dr\,e^{-r^{2}}$ prise depuis $r=0$ jusqu’à $r=\mathrm {R}$ ; on a lorsque $\mathrm {R}$ est une quantité positive,

$\psi (\mathrm {R} )={\frac {1}{2}}-\varphi (\mathrm {R} )\quad \mathrm {et} \quad \psi (-\mathrm {R} )={\frac {1}{2}}+\varphi (\mathrm {R} ),$

donc

$\psi (-\mathrm {R} )-\psi (\mathrm {R} )=2\varphi (\mathrm {R} )\quad \mathrm {et} \quad v=1-2\varphi \left({\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)\,;$

en développant l’intégrale $\varphi (\mathrm {R} )$ on a

$\varphi (\mathrm {R} )={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\left(\mathrm {R} -{\frac {1}{1}}\cdot {\frac {1}{3}}\mathrm {R} ^{3}+{\frac {1}{1.2}}\cdot {\frac {1}{5}}\mathrm {R} ^{5}-{\frac {1}{1.2.3}}\cdot {\frac {1}{7}}\mathrm {R} ^{7}+\mathrm {etc.} \right)\,;$

donc

${\frac {1}{2}}v{\sqrt {\pi }}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}-{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}+{\frac {1}{1}}\,{\frac {1}{3}}\cdot \left({\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)^{3}-{\frac {1}{1.2}}\,{\frac {1}{5}}\cdot \left({\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)^{5}+\mathrm {etc.}$

1^o Si l’on suppose $x$ nulle, on trouvera $v=1$ ; 2^o si $x$ n’étant point nulle, on suppose $t=0$ ; la somme des termes qui contiennent $x$ représente l’intégrale $\int dr\,e^{-r^{2}}$ prise depuis $r=0$ jusqu’à $r={\tfrac {1}{0}}$ et par conséquent équivaut à $\mathrm {{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}} \,;$ donc $v$ est nulle ; 3^o différents points du solide placés à des profondeurs différentes $x_{1}\,x_{2}\,x_{3}$ etc., parviennent à une même température après des temps différents $t_{1}\,t_{2}\,t_{3}$ etc., qui sont proportionnels aux quarrés des longueurs $x_{1}\,x_{2}\,x_{3}$ etc. ; 4^o Pour comparer les quantités de chaleur qui traversent pendant un instant infiniment petit une section $\mathrm {S}$ placée dans l’intérieur du solide à la distance $x$ du plan échauffé, on prendra la valeur de la quantité $-\mathrm {KS} {\frac {dv}{dx}}$ et l’on aura

${\begin{aligned}&-\mathrm {K\,S} {\frac {dv}{dt}}={\frac {2\mathrm {S.K} }{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\cdot {\sqrt {\pi }}\left\{1-{\frac {1}{1}}\cdot \left({\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)^{2}+{\frac {1}{1.2}}\cdot \left({\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)^{4}\right.\\&\left.-{\frac {1}{1.2.3}}\left({\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)^{6}+\mathrm {etc.} \right\}=\mathrm {S} \cdot {\frac {{\sqrt {\mathrm {C.D} }}.{\sqrt {\mathrm {K} }}}{{\sqrt {t}}\,{\sqrt {\pi }}}}e^{-\left({\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)^{2}}\,;\\\end{aligned}}$

ainsi l’expression de la quantité ${\frac {dv}{dx}}$ est entièrement dégagée du signe intégral. La valeur précédente à la surface du solide échauffé est $\mathrm {S} \cdot {\tfrac {{\sqrt {\mathrm {C.D} }}.{\sqrt {\mathrm {K} }}}{{\sqrt {\pi }}\,{\sqrt {t}}}}$ ce qui fait connaître comment le flux de chaleur à la surface varie avec les quantités $\mathrm {C.D\,K} ,\,t\,;$ pour trouver combien le foyer communique de chaleur au solide pendant un temps écoulé $t,$ on prendra l’intégrale

$\int \mathrm {S} \cdot {\frac {{\sqrt {\mathrm {C.D} }}.{\sqrt {\mathrm {K} }}}{\sqrt {\pi }}}\,{\frac {dt}{\sqrt {t}}}\quad \mathrm {ou} \quad {\frac {2\mathrm {S} \,{\sqrt {\mathrm {C.D} }}.{\sqrt {\mathrm {K} }}.{\sqrt {t}}}{\sqrt {\pi }}}\,:$

ainsi la chaleur acquise croît proportionnellement à la racine quarrée du temps écoulé.

367.

On peut traiter par une analyse semblable la question de la diffusion de la chaleur qui dépend aussi de l’intégration de l’équation ${\frac {dv}{dt}}=k{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-hv.$ On représentera par $fx$ la température initiale d’un point de la ligne placée à la distance $x$ de l’origine, et l’on cherchera à déterminer quelle doit être la température de ce même point après un temps $t,$ faisant $v=e^{-ht}.z,$ on aura ${\frac {dz}{dt}}=k{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}},$ et par conséquent $z=\int dq\,e^{-q^{2}}\varphi (x+2q{\sqrt {kt}}).$ Lorsque $t=0$ on doit avoir

$v=fx=\int dq\,e^{-q^{2}}\,\varphi x\quad \mathrm {ou} \quad \varphi x={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}fx\,;$ donc

$v={\frac {e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}\,f(x+2q{\sqrt {kt}}).$

Pour appliquer cette expression générale, au cas où une partie de la ligne depuis $x=-\alpha$ jusqu’à $x=\alpha$ est uniformément échauffée, tout le reste du solide étant à la température 0, il faut considérer que le facteur $f(x+2q{\sqrt {kt}})$ qui multiplie $e^{-q^{2}}$ a, selon l’hypothèse, une valeur constante 1, lorsque la quantité qui est sous le signe de la fonction est comprise entre $-\alpha$ et $\alpha ,$,et que toutes les autres valeurs de ce facteur sont nulles. Donc l’intégrale $\int dq\,e^{-q^{2}}$ doit être prise depuis $x+2q{\sqrt {kt}}=-\alpha$ jusqu’à $x+2q{\sqrt {kt}}=\alpha ,$ ou depuis $q={\frac {-x-\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}$ jusqu’à $q={\frac {-x+\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}.$ En désignant comme ci-dessus par ${\tfrac {1}{\sqrt {\pi }}}\psi \mathrm {R}$ l’intégrale $\int dr\,e^{-r^{2}}$ prise depuis $r=\mathrm {R}$ jusqu’à $r={\tfrac {1}{0}},$ on aura

$v=e^{-ht}\left\{\psi \left({\frac {-x-\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}\right)-\psi \left({\frac {-x+\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}\right)\right\}.$

368.

Nous appliquerons encore l’équation générale

$v={\frac {e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}\,f(x+2q{\sqrt {kt}}),$

au cas où la barre infinie échauffée par un foyer d’une intensité constante 1 est parvenue à des températures fixes, et se refroidit ensuite librement dans un milieu entretenu à la température 0. Pour cela il suffit de remarquer que la fonction initiale désignée par $fx$ équivaut à $e^{-x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}$ tant que la variable $x$ qui est sous le signe de fonction est positive, et que cette même fonction équivaut à $e^{x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}$ lorsque la variable qui est affectée du signe $\textstyle \int$ est moindre que 0. Donc

${\begin{aligned}v={\frac {e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}&\left(\int dq\,e^{-q^{2}}\,e^{-x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}\,e^{-2q{\sqrt {kt}}}\right.\\&\left.\int dq\,e^{-q^{2}}\,e^{-x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}\,e^{2q{\sqrt {kt}}}\right)\\\end{aligned}}$

la première intégrale doit être prise depuis

$x+2q{\sqrt {kt}}=0\quad \mathrm {jusqu'{\grave {a}}} \quad x+2q{\sqrt {kt}}={\tfrac {1}{0}},$

et la seconde depuis

$x+2q{\sqrt {kt}}=-{\tfrac {1}{0}}\quad \mathrm {jusqu'{\grave {a}}} \quad x+2q{\sqrt {kt}}=0.$

La première partie de la valeur de $v$ est

${\frac {e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}e^{-x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}\cdot \int dq\,e^{-q^{2}}\,e^{-2q{\sqrt {ht}}},$

ou $\quad {\frac {e^{-x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-\left(q+{\sqrt {ht}}\right)^{2}},$

ou $\quad {\frac {e^{-x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}}{\sqrt {\pi }}}\int dr\,e^{-r^{2}}\,;$

en faisant $r=q+{\sqrt {ht}}.$ L’intégrale doit être prise depuis

$q={\frac {-x}{2{\sqrt {kt}}}}\quad \mathrm {jusqu'{\grave {a}}} \quad q={\tfrac {1}{0}},$

ou depuis $\quad ir={\sqrt {ht}}-{\frac {x}{2{\sqrt {kt}}}}\quad \mathrm {jusqu'{\grave {a}}} \quad r={\tfrac {1}{0}}\cdot$

La seconde partie de la valeur de $v$ est

${\frac {e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}\,e^{x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}\int dq\,e^{-q^{2}}.e^{2q{\sqrt {ht}}}\quad \mathrm {ou} \quad e^{x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}\int dr\,e^{-r^{2}}\,;$

en faisant $r=q-{\sqrt {ht}}.$ L’intégrale doit être prise de

$r=-{\tfrac {1}{0}}\;{\grave {a}}\;r=-{\sqrt {ht}}-{\frac {x}{2{\sqrt {kt}}}},\;\;\mathrm {ou} \;\mathrm {de} \;\;r={\sqrt {ht}}+{\frac {x}{2{\sqrt {kt}}}}\;{\grave {a}}\;r={\tfrac {1}{0}},$

on en conclut l’expression suivante :

$v=e^{-x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}\,\psi \left({\sqrt {ht}}-{\frac {x}{2{\sqrt {kt}}}}\right)+e^{x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}\,\psi \left({\sqrt {ht}}+{\frac {x}{2{\sqrt {kt}}}}\right).$

369.

On a obtenu art. (367) l’équation

$v=e^{-ht}\left\{\psi \left({\frac {-x-\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}\right)-\psi \left({\frac {-x+\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}\right)\right\}.$

pour exprimer la loi de la diffusion de la chaleur dans une barre peu épaisse, échauffée uniformément à son milieu entre les limites données $x=-\alpha ,\,x=+\alpha .$ On avait précédemment résolu la même question en suivant une méthode différente, et l’on était parvenu, en supposant $\alpha =1$ à l’équation

$v={\frac {2}{\pi }}e^{-ht}\int {\frac {dq}{q}}\,\cos .qx\,\sin .q.e^{-q^{2}kt}\qquad \mathrm {art.} \;(348).$

Pour comparer ces deux résultats, on supposera dans l’un et l’autre $x=0\,;$ désignant encore par $\psi (\mathrm {R} )$ l’intégrale

$\int dr\,e^{-r^{2}}$

prise depuis $r=0$ jusqu’à $r=\mathrm {R}$, on a

$v=e^{-ht}\left\{\psi \left({\frac {-\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}\right)-\psi \left({\frac {\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}\right)\right\},$

${\begin{aligned}\mathrm {ou} \qquad v={\frac {2e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}&\cdot \left\{{\frac {\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}-{\frac {1}{1}}{\frac {1}{3}}\cdot \left({\frac {\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}\right)^{3}\right.\\&\left.+{\frac {1}{1.2}}\cdot {\frac {1}{5}}\,\left({\frac {\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}\right)^{5}-{\frac {1}{1.2.3}}\,{\frac {1}{7}}\,\left({\frac {\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}\right)^{7}+\mathrm {etc.} \right\}\\\end{aligned}}$

d’un autre côté on doit avoir

$v={\frac {2}{\pi }}e^{-ht}\int {\frac {dq}{q}}\,\sin .q\,e^{-q^{2}kt},\qquad \mathrm {ou}$

$v=\frac{2}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->ht}\int <!--\; \int \; -->dq{e}^{}$