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D'autre part, nous voyons que les systèmes suivants de quantités: |
D'autre part, nous voyons que les systèmes suivants de quantités: |
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<center><math>\begin{array}{ccccccc} |
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x, & & y, & & z, & & -r=t\\ |
x, & & y, & & z, & & -r=t\\ |
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k_{0}X_{1}, & & k_{0}Y_{1}, & & k_{0}Z_{1}, & & k_{0}T_{1}\\ |
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\end{array}</math></center> |
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subissent les ''mêmes'' substitutions linéaires quand on leur applique les transformations du groupe de {{sc|Lorentz}}. Nous sommes donc conduits à poser: |
subissent les ''mêmes'' substitutions linéaires quand on leur applique les transformations du groupe de {{sc|Lorentz}}. Nous sommes donc conduits à poser: |
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{{MathForm1|(9)|<math>\begin{cases} X_{1}=x\frac{\alpha}{k_{0}}+\xi\beta+\xi_{1}\frac{k_{1}}{k_{0}}\gamma,\\ \\Y_{1}=y\frac{\alpha}{k_{0}}+\eta\beta+\eta_{1}\frac{k_{1}}{k_{0}}\gamma,\\ \\Z_{1}=z\frac{\alpha}{k_{0}}+\zeta\beta+\zeta_{1}\frac{k_{1}}{k_{0}}\gamma,\\ \\T_{1}=-r\frac{\alpha}{k_{0}}+\beta+\frac{k_{1}}{k_{0}}\gamma,\end{cases} |
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9) <math>\begin{cases} |
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</math>}} |
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X_{1}=x\frac{\alpha}{k_{0}}+\xi\beta+\xi_{1}\frac{k_{1}}{k_{0}}\gamma,\\ |
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\\Y_{1}=y\frac{\alpha}{k_{0}}+\eta\beta+\eta_{1}\frac{k_{1}}{k_{0}}\gamma,\\ |
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\\Z_{1}=z\frac{\alpha}{k_{0}}+\zeta\beta+\zeta_{1}\frac{k_{1}}{k_{0}}\gamma,\\ |
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\\T_{1}=-r\frac{\alpha}{k_{0}}+\beta+\frac{k_{1}}{k_{0}}\gamma,\end{cases}</math> |
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Il est clair que si α, β, γ sont des invariants, X<sub>1</sub>, Y<sub>1</sub>, Z<sub>1</sub>, T<sub>1</sub> satisferont à la condition fondamentale, c'est-à-dire subiront, par l'effet de transformations de {{sc|Lorentz}}, une substitution linéaire convenable. |
Il est clair que si α, β, γ sont des invariants, X<sub>1</sub>, Y<sub>1</sub>, Z<sub>1</sub>, T<sub>1</sub> satisferont à la condition fondamentale, c'est-à-dire subiront, par l'effet de transformations de {{sc|Lorentz}}, une substitution linéaire convenable. |
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Mais pour que les équations (9) soient compatibles, il faut que l'on ait: |
Mais pour que les équations (9) soient compatibles, il faut que l'on ait: |
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<center><math>\sum X_{1}\xi-T_{1}=0,</math></center> |
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ce qui, en remplaçant X<sub>1</sub>, Y<sub>1</sub>, Z<sub>1</sub>, T<sub>1</sub> par leurs valeurs (9) et en multipliant par k²<sub>0</sub>, devient: |
ce qui, en remplaçant X<sub>1</sub>, Y<sub>1</sub>, Z<sub>1</sub>, T<sub>1</sub> par leurs valeurs (9) et en multipliant par k²<sub>0</sub>, devient: |
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(10) |
{{MathForm1|(10)|<math>-A\alpha-\beta-C\gamma=0.\,</math>}} |
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Ce que nous voulons, c'est que si l'on néglige, devant le carré de la vitesse de la lumière, les carrés des vitesses ξ, etc., ainsi que le produit des accélérations par les distances, comme nous l'avons fait plus haut, les valeurs de X<sub>1</sub>, Y<sub>1</sub>, Z<sub>1</sub> restent conformes à la loi de Newton. |
Ce que nous voulons, c'est que si l'on néglige, devant le carré de la vitesse de la lumière, les carrés des vitesses ξ, etc., ainsi que le produit des accélérations par les distances, comme nous l'avons fait plus haut, les valeurs de X<sub>1</sub>, Y<sub>1</sub>, Z<sub>1</sub> restent conformes à la loi de Newton. |
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Nous pourrons prendre: |
Nous pourrons prendre: |
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<center><math>\beta=0,\quad\gamma=-\frac{A\alpha}{C}.</math></center> |
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Avec l'ordre d'approximation adopté, on a: |
Avec l'ordre d'approximation adopté, on a: |
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{{MathForm1|(10)|<math>k_{0}=k_{1}=1,\quad C=1,\quad A=-r_{1}+\sum x\left(\xi_{1}-\xi\right),\quad B=-r_{1}</math>, |
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<math>x=x_{1}+\xi_{1}t=x_{1}-\xi_{1}r</math>}} |
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La 1<sup>ere</sup> équation (9) devient alors: |
La 1<sup>ere</sup> équation (9) devient alors: |
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<center><math>X_{1}=\alpha\left(x-A\xi_{1}\right)</math></center> |
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Mais si on néglige le carré de ξ, on peut remplacer Aξ<sub>1</sub>, par -r<sub>1</sub>ξ<sub>1</sub>, ou encore |
Mais si on néglige le carré de ξ, on peut remplacer Aξ<sub>1</sub>, par -r<sub>1</sub>ξ<sub>1</sub>, ou encore |
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