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:<math>X_{1}^{\prime}=k\frac{\rho}{\rho^{\prime}}\left(X_{1}+\epsilon\sum X_{1}\xi\right)=k^{2}X_{1}\left(1-\epsilon^{2}\right)=X_{1}</math>, |
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:<math>Y_{1}^{\prime}=\frac{\rho}{\rho^{\prime}}Y_{1}=kY_{1}</math>, |
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:<math>Z_{1}^{\prime}=kZ_{1}</math>. |
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On a d'ailleurs: |
On a d'ailleurs: |
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<center><math>x+\epsilon t=x-\xi t,\quad r^{\prime2}=k^{2}(x-\xi t)^{2}+y^{2}+z^{2}</math></center> |
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et |
et |
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(4) |
{{MathForm1|(4)|<math>X_{1}=\frac{-k(x-\xi t)}{r^{\prime3}},\quad Y_{1}=\frac{-y}{kr^{\prime3}},\quad Z_{1}=\frac{-z}{kr^{\prime3}};</math>}} |
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ce qui peut s'écrire: |
ce qui peut s'écrire: |
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(4 |
{{MathForm1|(4<sup>bis</sup>)|<math>X_{1}=\frac{dV}{dx},\quad Y_{1}=\frac{dV}{dy},\quad Z_{1}=\frac{dV}{dz};\quad V=\frac{1}{kr^{\prime}}.</math>}} |
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Il semble d'abord que l'indétermination subsiste, puisque nous n'avons fait aucune hypothèse sur la valeur de t c'est-à-dire sur la rapidité de la transmission; et que d'ailleurs x est fonction de t; mais il est aisé de voir que x-ξt, y, z, qui figurent seuls dans nos formules, ne dépendent pas de t. |
Il semble d'abord que l'indétermination subsiste, puisque nous n'avons fait aucune hypothèse sur la valeur de t c'est-à-dire sur la rapidité de la transmission; et que d'ailleurs x est fonction de t; mais il est aisé de voir que x-ξt, y, z, qui figurent seuls dans nos formules, ne dépendent pas de t. |
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Nous savons que les substitutions de ce groupe (en supposant l=1) sont les substitutions linéaires qui n'altèrent pas la forme quadratique |
Nous savons que les substitutions de ce groupe (en supposant l=1) sont les substitutions linéaires qui n'altèrent pas la forme quadratique |
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<center><math>x^2 + y^2 + z^2 - t^2.\,</math></center> |
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:''x²+y²+z²-t²''. |
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Posons d'autre part: |
Posons d'autre part: |
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\xi=\frac{\delta x}{\delta t},\quad\eta=\frac{\delta y}{\delta t},\quad\zeta=\frac{\delta z}{\delta t};\\ |
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\\ |
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\xi_{1}=\frac{\delta_{1}x}{\delta_{1}t},\quad\eta_{1}=\frac{\delta_{1}y}{\delta_{1}t},\quad\zeta_{1}=\frac{\delta_{1}z}{\delta_{1}t}; |
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\end{array}</math></center> |
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nous voyons que la transformation de {{sc|Lorentz}} aura pour effet de faire subir δx, δy, δz, δt et à δ<sub>1</sub>x, δ<sub>1</sub>y, δ<sub>1</sub>z, δ<sub>1</sub>t les mêmes substitutions linéaires qu'à x, y, z, t. |
nous voyons que la transformation de {{sc|Lorentz}} aura pour effet de faire subir δx, δy, δz, δt et à δ<sub>1</sub>x, δ<sub>1</sub>y, δ<sub>1</sub>z, δ<sub>1</sub>t les mêmes substitutions linéaires qu'à x, y, z, t. |
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Regardons |
Regardons |
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<center><math>\begin{array}{ccccccc} x, & & y, & & z, & & t\sqrt{-1},\\ \\\delta x, & & \delta y, & & \delta z, & & \delta t\sqrt{-1},\\ \\\delta_{1}x, & & \delta_{1}y, & & \delta_{1}z, & & \delta_{1}t\sqrt{-1},\end{array}</math></center> |
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x, & & y, & & z, & & t\sqrt{-1},\\ |
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\\\delta x, & & \delta y, & & \delta z, & & \delta t\sqrt{-1},\\ |
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\\\delta_{1}x, & & \delta_{1}y, & & \delta_{1}z, & & \delta_{1}t\sqrt{-1},\end{array}</math> |
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comme les coordonnées de 3 points P, P', P |
comme les coordonnées de 3 points P, P', P" dans l'espace à 4 dimensions. Nous voyons que la transformation de {{sc|Lorentz}} n'est qu'une rotation de cet espace autour de l'origine, regardée comme fixe. Nous n'aurons donc pas d'autres invariants distincts que les 6 distances des 3 points P, P', P" entre eux et á l'origine, ou, si l'on aime |
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