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:<math>X_{1}^{\prime}=k\frac{\rho}{\rho^{\prime}}\left(X_{1}+\epsilon\sum X_{1}\xi\right)=k^{2}X_{1}\left(1-\epsilon^{2}\right)=X_{1}</math>,
 
 
:<math>Y_{1}^{\prime}=\frac{\rho}{\rho^{\prime}}Y_{1}=kY_{1}</math>,
 
 
:<math>Z_{1}^{\prime}=kZ_{1}</math>.
 
 
 
On a d'ailleurs:
 
On a d'ailleurs:
   
:<math>x+\epsilon t=x-\xi t,\quad r^{\prime2}=k^{2}(x-\xi t)^{2}+y^{2}+z^{2}</math>
+
<center><math>x+\epsilon t=x-\xi t,\quad r^{\prime2}=k^{2}(x-\xi t)^{2}+y^{2}+z^{2}</math></center>
   
 
et
 
et
   
(4) <math>X_{1}=\frac{-k(x-\xi t)}{r^{\prime3}},\quad Y_{1}=\frac{-y}{kr^{\prime3}},\quad Z_{1}=\frac{-z}{kr^{\prime3}}</math>;
+
{{MathForm1|(4)|<math>X_{1}=\frac{-k(x-\xi t)}{r^{\prime3}},\quad Y_{1}=\frac{-y}{kr^{\prime3}},\quad Z_{1}=\frac{-z}{kr^{\prime3}};</math>}}
   
 
ce qui peut s'écrire:
 
ce qui peut s'écrire:
   
(4 bis) <math>X_{1}=\frac{dV}{dx},\quad Y_{1}=\frac{dV}{dy},\quad Z_{1}=\frac{dV}{dz};\quad V=\frac{1}{kr^{\prime}}</math>.
+
{{MathForm1|(4<sup>bis</sup>)|<math>X_{1}=\frac{dV}{dx},\quad Y_{1}=\frac{dV}{dy},\quad Z_{1}=\frac{dV}{dz};\quad V=\frac{1}{kr^{\prime}}.</math>}}
   
 
Il semble d'abord que l'indétermination subsiste, puisque nous n'avons fait aucune hypothèse sur la valeur de t c'est-à-dire sur la rapidité de la transmission; et que d'ailleurs x est fonction de t; mais il est aisé de voir que x-&xi;t, y, z, qui figurent seuls dans nos formules, ne dépendent pas de t.
 
Il semble d'abord que l'indétermination subsiste, puisque nous n'avons fait aucune hypothèse sur la valeur de t c'est-à-dire sur la rapidité de la transmission; et que d'ailleurs x est fonction de t; mais il est aisé de voir que x-&xi;t, y, z, qui figurent seuls dans nos formules, ne dépendent pas de t.
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Nous savons que les substitutions de ce groupe (en supposant l=1) sont les substitutions linéaires qui n'altèrent pas la forme quadratique
 
Nous savons que les substitutions de ce groupe (en supposant l=1) sont les substitutions linéaires qui n'altèrent pas la forme quadratique
   
  +
<center><math>x^2 + y^2 + z^2 - t^2.\,</math></center>
:''x²+y²+z²-t²''.
 
   
 
Posons d'autre part:
 
Posons d'autre part:
   
 
<center><math>\begin{array}{l}
:<math>\xi=\frac{\delta x}{\delta t},\quad\eta=\frac{\delta y}{\delta t},\quad\zeta=\frac{\delta z}{\delta t}</math>;
+
\xi=\frac{\delta x}{\delta t},\quad\eta=\frac{\delta y}{\delta t},\quad\zeta=\frac{\delta z}{\delta t};\\
 
  +
\\
:<math>\xi_{1}=\frac{\delta_{1}x}{\delta_{1}t},\quad\eta_{1}=\frac{\delta_{1}y}{\delta_{1}t},\quad\zeta_{1}=\frac{\delta_{1}z}{\delta_{1}t}</math>;
+
\xi_{1}=\frac{\delta_{1}x}{\delta_{1}t},\quad\eta_{1}=\frac{\delta_{1}y}{\delta_{1}t},\quad\zeta_{1}=\frac{\delta_{1}z}{\delta_{1}t};
  +
\end{array}</math></center>
   
 
nous voyons que la transformation de {{sc|Lorentz}} aura pour effet de faire subir &delta;x, &delta;y, &delta;z, &delta;t et à &delta;<sub>1</sub>x, &delta;<sub>1</sub>y, &delta;<sub>1</sub>z, &delta;<sub>1</sub>t les mêmes substitutions linéaires qu'à x, y, z, t.
 
nous voyons que la transformation de {{sc|Lorentz}} aura pour effet de faire subir &delta;x, &delta;y, &delta;z, &delta;t et à &delta;<sub>1</sub>x, &delta;<sub>1</sub>y, &delta;<sub>1</sub>z, &delta;<sub>1</sub>t les mêmes substitutions linéaires qu'à x, y, z, t.
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Regardons
 
Regardons
   
  +
<center><math>\begin{array}{ccccccc} x, & & y, & & z, & & t\sqrt{-1},\\ \\\delta x, & & \delta y, & & \delta z, & & \delta t\sqrt{-1},\\ \\\delta_{1}x, & & \delta_{1}y, & & \delta_{1}z, & & \delta_{1}t\sqrt{-1},\end{array}</math></center>
:<math>\begin{array}{ccccccc}
 
x, & & y, & & z, & & t\sqrt{-1},\\
 
\\\delta x, & & \delta y, & & \delta z, & & \delta t\sqrt{-1},\\
 
\\\delta_{1}x, & & \delta_{1}y, & & \delta_{1}z, & & \delta_{1}t\sqrt{-1},\end{array}</math>
 
   
comme les coordonnées de 3 points P, P', P'' dans l'espace à 4 dimensions. Nous voyons que la transformation de {{sc|Lorentz}} n'est qu'une rotation de cet espace autour de l'origine, regardée comme fixe. Nous n'aurons donc pas d'autres invariants distincts que les 6 distances des 3 points P, P', P'' entre eux et á l'origine, ou, si l'on aime
+
comme les coordonnées de 3 points P, P', P" dans l'espace à 4 dimensions. Nous voyons que la transformation de {{sc|Lorentz}} n'est qu'une rotation de cet espace autour de l'origine, regardée comme fixe. Nous n'aurons donc pas d'autres invariants distincts que les 6 distances des 3 points P, P', P" entre eux et á l'origine, ou, si l'on aime
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