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${\begin{array}{l}\\X_{1}^{\prime }=k{\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}\left(X_{1}+\epsilon \sum X_{1}\xi \right)=k^{2}X_{1}\left(1-\epsilon ^{2}\right)=X_{1},\\\\Y_{1}^{\prime }={\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}Y_{1}=kY_{1},\\\\Z_{1}^{\prime }=kZ_{1}.\end{array}}$

On a d’ailleurs :

$x+\epsilon t=x-\xi t,\quad r^{\prime 2}=k^{2}(x-\xi t)^{2}+y^{2}+z^{2}$

et

(4)

$X_{1}={\frac {-k(x-\xi t)}{r^{\prime 3}}},\quad Y_{1}={\frac {-y}{kr^{\prime 3}}},\quad Z_{1}={\frac {-z}{kr^{\prime 3}}}\,;$

ce qui peut s’écrire :

(4bis)

$X_{1}={\frac {dV}{dx}},\quad Y_{1}={\frac {dV}{dy}},\quad Z_{1}={\frac {dV}{dz}}\,;\quad V={\frac {1}{kr^{\prime }}}.$

Il semble d’abord que l’indétermination subsiste, puisque nous n’avons fait aucune hypothèse sur la valeur de $t$, c’est-à-dire sur la rapidité de la transmission ; et que d’ailleurs $x$ est fonction de $t$ ; mais il est aisé de voir que $x-\xi t,y,z$ qui figurent seuls dans nos formules, ne dépendent pas de $t$.

On voit que si les deux corps sont simplement animés d’une translation commune, la force qui agit sur le corps attiré est normale à un ellipsoïde ayant pour centre le corps attirant.

Pour aller plus loin il faut chercher les invariants du groupe de Lorentz.

Nous savons que les substitutions de ce groupe (en supposant $l=1$) sont les substitutions linéaires qui n’altèrent pas la forme quadratique

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}.\,$

Posons d’autre part :

${\begin{array}{l}\xi ={\frac {\delta x}{\delta t}},\quad \eta ={\frac {\delta y}{\delta t}},\quad \zeta ={\frac {\delta z}{\delta t}}\,;\\\\\xi _{1}={\frac {\delta _{1}x}{\delta _{1}t}},\quad \eta _{1}={\frac {\delta _{1}y}{\delta _{1}t}},\quad \zeta _{1}={\frac {\delta _{1}z}{\delta _{1}t}}\,;\end{array}}$

nous voyons que la transformation de Lorentz aura pour effet de faire subir à $\delta x,\delta y,\delta z,\delta t$ et à $\delta _{1}x,\ \delta _{1}y,\delta _{1}z,\ \delta _{1}t$ les mêmes substitutions linéaires qu’à $x,\ y,\ z,\ t.$

Regardons

${\begin{array}{ccccccc}x,&&y,&&z,&&t{\sqrt {-1}},\\\\\delta x,&&\delta y,&&\delta z,&&\delta t{\sqrt {-1}},\\\\\delta _{1}x,&&\delta _{1}y,&&\delta _{1}z,&&\delta _{1}t{\sqrt {-1}},\end{array}}$

comme les coordonnées de 3 points P, P′, P″ dans l’espace à 4 dimensions. Nous voyons que la transformation de Lorentz n’est qu’une rotation de cet espace autour de l’origine, regardée comme fixe. Nous n’aurons donc pas d’autres invariants distincts que les 6 distances des 3 points P, P′, P″ entre eux et à l’origine, ou, si l’on aime