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principes que celle de Cauchy ; la définition générale qui découle de ces principes peut s’énoncer ainsi : |
principes que celle de Cauchy ; la définition générale qui découle de ces principes peut s’énoncer ainsi : |
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{{p début|100|m= |
{{p début|100|m=1em}} |
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''Une fonction <math>f(x)</math> a une intégrale dans un intervalle fini <math>{(a, b)}</math> s’il existe dans <math>{(a, b)}</math> une fonction continue <math>\mathrm{F}(x)</math>, et une seule à une constante additive près, telle que l’on ait'' |
''Une fonction <math>f(x)</math> a une intégrale dans un intervalle fini <math>{(a, b)}</math> s’il existe dans <math>{(a, b)}</math> une fonction continue <math>\mathrm{F}(x)</math>, et une seule à une constante additive près, telle que l’on ait'' |
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{{MathForm1|(1)|<math>\int_\alpha^\beta f(x)\,\mathrm{d}x = \mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)</math>.}} |
{{MathForm1|(1)|<math>\int_\alpha^\beta f(x)\,\mathrm{d}x = \mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)</math>.}} |
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Pour que cette définition s’applique, il faut d’abord qu’il existe une fonction continue <math>\mathrm{F}(x)</math> vérifiant la {{lié|formule (1)}}. Ceci revient, dans les deux cas traités par Cauchy et Dirichlet, à supposer l’existence des limites qui ont servi dans la définition. Nous supposerons cette condition remplie et nous allons chercher comment doivent être distribués les points singuliers de <math>f(x)</math> pour que cette fonction ait une intégrale. Au point de vue qui nous occupe, les points singuliers de <math>f(x)</math> sont ceux qui ne sont intérieurs à aucun intervalle dans lequel <math>f(x)</math> est continue ; ce sont donc les points de <math>e</math> et ceux de <math>e'</math>, ces points forment un ensemble que nous désignerons par <math>\mathrm{E}</math>. Tout point limite de points de <math>\mathrm{E}</math>, par sa définition même, est aussi point de <math>\mathrm{E}</math> ; <math>\mathrm{E}</math> contient donc tous ses points limites. C’est un des ensembles que Jordan appelait ''parfaits'' et {{M.|Borel}} ''relativement parfaits'' ; nous appellerons un tel ensemble un ''ensemble fermé'', conformément à un usage maintenant universel. |
Pour que cette définition s’applique, il faut d’abord qu’il existe une fonction continue <math>\mathrm{F}(x)</math> vérifiant la {{lié|formule (1)}}. Ceci revient, dans les deux cas traités par Cauchy et Dirichlet, à supposer l’existence des limites qui ont servi dans la définition. Nous supposerons cette condition remplie et nous allons chercher comment doivent être distribués les points singuliers de <math>f(x)</math> pour que cette fonction ait une intégrale. Au point de vue qui nous occupe, les points singuliers de <math>f(x)</math> sont ceux qui ne sont intérieurs à aucun intervalle dans lequel <math>f(x)</math> est continue ; ce sont donc les points de <math>e</math> et ceux de <math>e'</math>, ces points forment un ensemble que nous désignerons par {{Ancre+|p-11|<math>\mathrm{E}</math>}}. Tout point limite de points de <math>\mathrm{E}</math>, par sa définition même, est aussi point de <math>\mathrm{E}</math> ; <math>\mathrm{E}</math> contient donc tous ses points limites. C’est un des ensembles que Jordan appelait ''parfaits'' et {{M.|Borel}} ''relativement parfaits'' ; nous appellerons un tel ensemble un ''ensemble fermé'', conformément à un usage maintenant universel. |
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Pour que la {{lié|formule (1)}} définisse entièrement <math>\mathrm{F}(x)</math>, il faut que, dans tout intervalle, il en existe un autre où <math>f(x)</math> est continue. L’ensemble <math>\mathrm{E}</math> doit donc être tel que, dans tout intervalle, s’en trouve un autre qui ne contienne pas de points de <math>\mathrm{E}</math> ; c’est ce que l’on exprime en disant que <math>\mathrm{E}</math> doit être non dense dans tout intervalle<ref name=p11>{{abréviation|{{nobr|P. Du Bois}} Reymond|Paul du Bois-Reymond}}, auquel est due la distinction des deux classes remarquables d’ensembles, que nous appelons ''ensembles denses'' dans tout intervalle</ref>. |
Pour que la {{lié|formule (1)}} définisse entièrement <math>\mathrm{F}(x)</math>, il faut que, dans tout intervalle, il en existe un autre où <math>f(x)</math> est continue. L’ensemble <math>\mathrm{E}</math> doit donc être tel que, dans tout intervalle, s’en trouve un autre qui ne contienne pas de points de <math>\mathrm{E}</math> ; c’est ce que l’on exprime en disant que <math>\mathrm{E}</math> doit être non dense dans tout intervalle<ref name=p11>{{abréviation|{{nobr|P. Du Bois}} Reymond|Paul du Bois-Reymond}}, auquel est due la distinction des deux classes remarquables d’ensembles, que nous appelons ''ensembles denses'' dans tout intervalle</ref>. |
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