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<math>b,b'</math> de cette courbe répondant respectivement aux abscisses <math>a</math> et <math>a',</math> |
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{{SA|où chaque dérivée de <math>\phi a</math> et de <math>\psi b</math> doit être développée comme les équations (10) ; c’est-à-dire, d’après la règle du {{po|n}}8. Les formules précédentes contiennent donc, au fond, tout ce qu’il faut pour la solution complète de la question ; mais, pour ne rien laisser à désirer, nous allons en déduire les moyens d’exécuter immédiatement le développement complet de ces formules.}} |
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C’est même de là que ce problème a été appelé ''problème des quadratures'', et c’est sous ce point de vue que nous l’envisagerons constamment, dans tout ce qui va suivre. |
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2. Soit fait, pour abréger <math>a'-a=c</math> ; et, pour fixer les idées, imaginons que l’on ait divisé l’intervalle <math>c</math> en ''douze'' parties égales ; désignons par <math>a_0,a_1,a_2,</math><math>\ldots a_{10},a_{11},a_{12}</math> |
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14. En exécutant les dérivations indiquées, au moyen de la règle{{lié}}8, effectuant les multiplications, et ordonnant le tout par rapport aux exposans des dérivées, on obtient |
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les abscisses qui répondent aux ''treize'' points de divisions ; au moyen de l’équation <math>y=X,</math> nous pourrons calculer les ordonnées qui leur correspondent ; représentons-les respectivement par <math>b_0,b_1,b_2,\ldots b_{10},b_{11},</math><math>b_{12}\,;</math> |
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{{g|<math>(\mathrm{18}) |
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nous connaîtrons ainsi treize points de la courbe qu’il s’agit de quarrer entre les limites <math>x=a_0</math> et <math>x=a_{12},</math> pour lesquelles on a respectivement <math>y=b_0,y=b_{12}.</math> |
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\left\{ |
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\begin{align} |
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&A=\phi a.\psi b\\ |
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&A_1=\phi a.\operatorname{D}\psi b.b_1\\ |
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&\quad+\operatorname{D}\phi a.\psi b.a_1\\ |
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3. Soient joints les deux points extrêmes <math>\left(a_0,b_0\right),\left(a_{12},b_{12}\right)</math> |
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&A_2=\phi a.\operatorname{D}\psi b.b_2+\phi a.\tfrac{1}{2}\operatorname{D}^2\psi b.b_1^2\\ |
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par ''une'' corde, cette corde, avec sa projection <math>c</math> et les ''deux'' ordonnées extrêmes formera ''un'' trapèze ; en désignant son aire par <math>S_{12},</math> et posant |
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&\quad+\operatorname{D}\phi a.\psi b.a_2+\operatorname{D}\phi a.\operatorname{D}\psi b.a_1b_1\\ |
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{{c|<math>12\left(\tfrac{1}{2}b_0+\tfrac{1}{2}b_{12}\right)=b'_{12},</math>}} |
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&\quad \qquad\qquad \qquad +\tfrac{1}{2}\operatorname{D}^2\phi a.\psi b.a_1^2\\ |
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{{SA|nous aurons}} |
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{{c|<math>S_{12}=\tfrac{1}{12}cb'_{12}.</math>}} |
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{{il|0.3}} |
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4. Soient joints consécutivement les ''trois'' points <math>\left(a_0,b_0\right),</math> <math>\left(a_6,b_6\right),</math> <math>\left(a_{12},b_{12}\right)</math> par deux cordes ; ces cordes formeront, avec <math>c</math> et les ''trois'' ordonnées <math>b_0,b_6,b_{12},</math> ''deux'' trapèzes ; en désignant la somme de leurs aires par <math>S_6,</math> et posant {{c|<math>6\left(\tfrac{1}{2}b_0+b_6+\tfrac{1}{2}b_{12}\right)=b'_6,</math>}} |
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{{SA|nous aurons}} |
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{{c|<math>S_6=\tfrac{1}{12}cb'_6.</math>}} |
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5. Soient joints consécutivement les ''quatre'' points <math>\left(a_0,b_0\right),\left(a_4,b_4\right),</math><math>\left(a_8,b_8\right),\left(a_{12},b_{12}\right)</math> |
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&A_3=\phi a.\operatorname{D}\psi.b_3+\phi a.\tfrac{1}{2}\operatorname{D}^2.\psi b.2b_1b_2+\phi a.\tfrac{1}{6}\operatorname{D}^3\psi b.b_1^3\\ |
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''trois'' cordes ; ces cordes formeront, avec <math>c</math> et les ''quatre'' ordonnées <math>b_0,b_4,b_8,b_{12},</math> |
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&\quad+\operatorname{D}\phi a.\psi b.a_3+\operatorname{D}\phi a.\operatorname{D}\psi b\left(a_1b_2+a_2b_1\right)\operatorname{D}\phi a.\tfrac{1}{2}\operatorname{D}^2\psi b.a_1b_2^2\\ |
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''trois'' trapèzes ; en désignant la somme de leurs aires par <math>S_4,</math> et posant |
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&\quad \qquad \qquad \qquad+\tfrac{1}{2}\operatorname{D}^2\phi a.\psi b.2a_1a_2+\tfrac{1}{2}\operatorname{D}^2\phi a.\operatorname{D}\psi b.a_1^2b_1\\ |
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&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad+\tfrac{1}{6}\operatorname{D}^3\phi a.\psi b.a_1^3\\ |
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&A_4=\phi a.\operatorname{D}\psi.b_4+\phi a.\tfrac{1}{2}\operatorname{D}^2.\psi b\left(2b_1b_3+b_2^2\right)+\phi a.\tfrac{1}{6}\operatorname{D}^3\psi b.3b_1^2b_2\\ |
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&\quad+\operatorname{D}\phi a.\psi b.a_4+\operatorname{D}\phi a.\operatorname{D}\psi b\left(a_1b_3+a_2b_2+a_3b_1\right)\\ |
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&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad+\operatorname{D}\phi a.\tfrac{1}{2}\operatorname{D}^2\psi b.\left(2a_1b_1b_2+a_2b_1^2\right)\\ |
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&\quad+\tfrac{1}{2}\operatorname{D}^2\phi a.\psi b\left(2a_1a_3+a_2^2\right)+\tfrac{1}{2}\operatorname{D}^2\phi a.\operatorname{D}\psi b.\left(a_1^2b_2+2a_1a_2b_1\right)\\ |
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&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad+\tfrac{1}{6}\operatorname{D}^3\phi a.\psi b.3a_1^2a_2\\ |
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&\quad+\phi a.\tfrac{1}{24}\operatorname{D}^4\psi b.b_1^4\\ |
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&\quad+\operatorname{D}\phi a.\tfrac{1}{6}\operatorname{D}^3\psi b.a_1b_1^3\\ |
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&\quad+\tfrac{1}{2}\operatorname{D}^2\phi a.\tfrac{1}{2}\operatorname{D}^2\psi b.a_1^2b_1^2\\ |
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&\quad+\tfrac{1}{6}\operatorname{D}^3\phi a.\operatorname{D}\psi b.a_1^3b_1\\ |
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&\quad+\tfrac{1}{24}\operatorname{D}^4\phi a.\psi b.a_1^4\\ |
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&A_5=\phi a.\operatorname{D}\psi.b_5+\phi a.\tfrac{1}{2}\operatorname{D}^2.\psi b\left(2b_1b_4+2b_2b_3\right)\\ |
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&\quad \qquad \qquad \qquad+\phi a.\tfrac{1}{6}\operatorname{D}^3\psi b\left(3b_1^2b_3+3b_1b_2^2\right)\\ |
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&\quad+\operatorname{D}\phi a.\psi b.a_5+\operatorname{D}\phi a.\operatorname{D}\psi b\left(a_1b_4+a_2b_3+a_3b_2+a_4b_1\right)\\ |
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&\quad \qquad \qquad+\operatorname{D}\phi a.\tfrac{1}{2}\operatorname{D}^2\psi b\left(2a^2b_1b_3+a_1b_1+2a_2b_1b_2+a_3b_1\right)\\ |
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&\quad+\tfrac{1}{2}\operatorname{D}^2\phi a.\psi b\left(2a_1a_4+2a_2a_3\right)\\ |
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&\quad \qquad+\tfrac{1}{2}\operatorname{D}^2\phi a.\operatorname{D}\psi b.\left(a_1^2b_3+2a_1a_2b_2+2a_1a_3b_1+a_2^2b_1\right)\\ |
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&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad+\tfrac{1}{6}\operatorname{D}^3\phi a.\psi b\left(3a_1^2a_3+3a_1a_2^2\right)\\ |
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&+\phi a.\tfrac{1}{24}\operatorname{D}^4\psi b.4b_1^3b_2\ \qquad \qquad \qquad\qquad +\phi a.\tfrac{1}{120}\operatorname{D}^5\psi b.b^5\\ |
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&+\operatorname{D}\phi a.\tfrac{1}{6}\operatorname{D}^4\psi b\left(3a_1b_1^2b_2+a_2b_1^3\right)\,\qquad\ \ +\operatorname{D}\phi a.\tfrac{1}{24}\operatorname{D}^4\psi b.a_1b_1^4\\ |
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&+\tfrac{1}{2}\operatorname{D}^2\phi a.\tfrac{1}{2}\operatorname{D}^2\psi b\left(2a_1^2b_1b_2+2a_1a_2b_1^2\right)+\tfrac{1}{2}\operatorname{D}^2a.\tfrac{1}{6}\operatorname{D}^3\psi b.a_1^2b_1^3\\ |
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&+\tfrac{1}{6}\operatorname{D}^3\phi a.\operatorname{D}\psi b\left(a_1^3b_2+3a_1^2a_2b_1\right)\qquad\ \ +\tfrac{1}{6}\operatorname{D}^3\phi a.\tfrac{1}{6}\operatorname{D}^2\psi b.a_1^3b_1^2\\ |
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&+\tfrac{1}{24}\operatorname{D}^4\phi a.\psi b.4a_1^3a_2\qquad \qquad \qquad\qquad +\tfrac{1}{24}\operatorname{D}^4\phi a.\operatorname{D}\psi b.a_1^4b_1\\ |
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&+\tfrac{1}{120}\operatorname{D}^5\phi a.\psi b.a_1^5 |
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\end{align} |
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\right. |
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</math>|-1}} |
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