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{{SA|où chaque dérivée de <math>\phi a</math> et de <math>\psi b</math> doit être développée comme les équations (10) ; c’est-à-dire, d’après la règle du {{po|n}}8. Les formules précédentes contiennent donc, au fond, tout ce qu’il faut pour la solution complète de la question ; mais, pour ne rien laisser à désirer, nous allons en déduire les moyens d’exécuter immédiatement le développement complet de ces formules.}} |
{{SA|où chaque dérivée de <math>\phi a</math> et de <math>\psi b</math> doit être développée comme les équations (10) ; c’est-à-dire, d’après la règle du {{po|n}}8. Les formules précédentes contiennent donc, au fond, tout ce qu’il faut pour la solution complète de la question ; mais, pour ne rien laisser à désirer, nous allons en déduire les moyens d’exécuter immédiatement le développement complet de ces formules.}} |
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14. En exécutant les dérivations indiquées, au moyen de la règle |
14. En exécutant les dérivations indiquées, au moyen de la règle{{lié}}8, effectuant les multiplications, et ordonnant le tout par rapport aux exposans des dérivées, on obtient |
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{{g|<math>(\mathrm{18}) |
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&\quad \qquad+\tfrac{1}{2}\operatorname{D}^2\phi a.\operatorname{D}\psi b.\left(a_1^2b_3+2a_1a_2b_2+2a_1a_3b_1+a_2^2b_1\right)\\ |
&\quad \qquad+\tfrac{1}{2}\operatorname{D}^2\phi a.\operatorname{D}\psi b.\left(a_1^2b_3+2a_1a_2b_2+2a_1a_3b_1+a_2^2b_1\right)\\ |
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&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad+\tfrac{1}{6}\operatorname{D}^3\phi a.\psi b\left(3a_1^2a_3+3a_1a_2^2\right)\\ |
&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad+\tfrac{1}{6}\operatorname{D}^3\phi a.\psi b\left(3a_1^2a_3+3a_1a_2^2\right)\\ |
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&+\phi a.\tfrac{1}{24}\operatorname{D}^4\psi b.4b_1^3b_2\ \qquad \qquad \qquad\qquad +\phi a.\tfrac{1}{120}\operatorname{D}^5\psi b.b^5\\ |
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&+\operatorname{D}\phi a.\tfrac{1}{6}\operatorname{D}^4\psi b\left(3a_1b_1^2b_2+a_2b_1^3\right)\,\qquad\ \ +\operatorname{D}\phi a.\tfrac{1}{24}\operatorname{D}^4\psi b.a_1b_1^4\\ |
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&+\tfrac{1}{2}\operatorname{D}^2\phi a.\tfrac{1}{2}\operatorname{D}^2\psi b\left(2a_1^2b_1b_2+2a_1a_2b_1^2\right)+\tfrac{1}{2}\operatorname{D}^2a.\tfrac{1}{6}\operatorname{D}^3\psi b.a_1^2b_1^3\\ |
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&+\tfrac{1}{6}\operatorname{D}^3\phi a.\operatorname{D}\psi b\left(a_1^3b_2+3a_1^2a_2b_1\right)\qquad\ \ +\tfrac{1}{6}\operatorname{D}^3\phi a.\tfrac{1}{6}\operatorname{D}^2\psi b.a_1^3b_1^2\\ |
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&+\tfrac{1}{24}\operatorname{D}^4\phi a.\psi b.4a_1^3a_2\qquad \qquad \qquad\qquad +\tfrac{1}{24}\operatorname{D}^4\phi a.\operatorname{D}\psi b.a_1^4b_1\\ |
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&+\tfrac{1}{120}\operatorname{D}^5\phi a.\psi b.a_1^5 |
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