Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/313

dans la troisième ; etc. ; et si l’on fait, d’abord

${\frac {\mu }{l^{2}}}+{\frac {\mu '}{l'^{2}}}+{\frac {\mu ''}{l''^{2}}}+{\text{etc.}}=\mathrm {D} ^{2}$,

et ensuite

${\frac {\mu }{\mathrm {D} ^{2}l^{2}}}=q$,${\frac {\mu '}{\mathrm {D} ^{2}l'^{2}}}=q'$,${\frac {\mu ''}{\mathrm {D} ^{2}l''^{2}}}=q''$, etc.,

la formule (13) exprimera la probabilité que la valeur inconnue de A est comprise entre les limites

${\frac {sq}{\mu }}+{\frac {s'q'}{\mu '}}+{\frac {s''q''}{\mu ''}}+{\text{etc.}}\mp {\frac {u}{\mathrm {D} }}$,

résultantes de la combinaison la plus avantageuse des observations. Et comme on pourra rendre cette formule (13) très peu différente de l’unité, en prenant pour $u$ un nombre peu considérable, il s’ensuit que la valeur de A différera très probablement fort peu de la somme des moyennes ${\frac {s}{\mu }}$, ${\frac {s'}{\mu '}}$, ${\frac {s''}{\mu ''}}$, etc., multipliées respectivement par les quantités $q$, $q'$, $q''$, etc. Le résultat de chaque série d’observations influera d’autant plus sur cette valeur approchée de A et sur l’amplitude ${\mp {\tfrac {u}{\mathrm {D} }}}$ de ses limites, que celui des quotients ${\frac {\mu }{l^{2}}}$, ${\frac {\mu '}{l'^{2}}}$, ${\frac {\mu ''}{l''^{2}}}$, etc., qui se rapporte à cette série, aura une plus grande valeur.

Lorsque toutes les séries d’observations auront été faites avec un même instrument, on pourra les considérer comme une seule série, composée d’un nombre d’observations égal à ${\mu +\mu '+\mu ''+{\text{etc.}}}$. Ainsi qu’on l’a dit plus haut, les quantités $l$, $l'$, $l''$, etc., seront à très peu près et très probablement égales ; en étendant les sommes $\textstyle \sum$ à la série totale, ou depuis ${n=1}$ jusqu’à ${n=\mu +\mu '+\mu ''+{\text{etc.}}}$, et faisant

${\frac {1}{\mu +\mu '+\mu ''+{\text{etc.}}}}{\textstyle \sum \lambda _{n}}=\lambda$,
${\frac {1}{\mu +\mu '+\mu ''+{\text{etc.}}}}{\textstyle \sum (\lambda _{n}-\lambda )^{2}}={\tfrac {1}{2}}{l_{1}}^{2}$,

on pourra prendre $l_{1}$ pour la valeur commune de $l$, $l'$, $l''$, etc. ; au moyen de quoi les limites précédentes de l’inconnue $\gamma$, et dont la