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&= \int_{\mathrm{E} - \mathrm{E}^{in}_\mathrm{G}} \Lambda_d\mathrm{G}(x)\,\mathrm{d}x + {\textstyle\sum [\mathrm{G}(\beta) - \mathrm{G}(\alpha)]} - \mathrm{N}(\mathrm{E}^{in}_\mathrm{G}) \text{ ;} \\ |
&= \int_{\mathrm{E} - \mathrm{E}^{in}_\mathrm{G}} \Lambda_d\mathrm{G}(x)\,\mathrm{d}x + {\textstyle\sum [\mathrm{G}(\beta) - \mathrm{G}(\alpha)]} - \mathrm{N}(\mathrm{E}^{in}_\mathrm{G}) \text{ ;} \\ |
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{{SA|le symbole <math>{\mathrm{N}(\mathrm{E}^{in}_\mathrm{G})}</math> ayant le sens indiqué {{lié|page 181}}. En tout point de <math>\mathrm{E}</math>, on a <math>{\Lambda_d\mathrm{F}(x) \geqq \Lambda_d\mathrm{G}(x)}</math> ; inégalité dont le second membre est borné sauf aux points de <math>\mathrm{E}^{in}_\mathrm{G}</math> ; donc l’ensemble <math>\mathrm{E}^{in}</math> est contenu dans <math>\mathrm{E}^{in}_\mathrm{G}</math> et par suite de mesure nulle.}} |
{{SA|le symbole <math>{\mathrm{N}(\mathrm{E}^{in}_\mathrm{G})}</math> ayant le sens indiqué [[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre IX#PN-181|{{lié|page 181}}]]. En tout point de <math>\mathrm{E}</math>, on a <math>{\Lambda_d\mathrm{F}(x) \geqq \Lambda_d\mathrm{G}(x)}</math> ; inégalité dont le second membre est borné sauf aux points de <math>\mathrm{E}^{in}_\mathrm{G}</math> ; donc l’ensemble <math>\mathrm{E}^{in}</math> est contenu dans <math>\mathrm{E}^{in}_\mathrm{G}</math> et par suite de mesure nulle.}} |
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De plus la série <math>{\textstyle\sum l\varepsilon\,m(\mathrm{E}_l)}</math> ne peut être inférieure à |
De plus la série <math>{\textstyle\sum l\varepsilon\,m(\mathrm{E}_l)}</math> ne peut être inférieure à |
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{{c|<math>\mathrm{F}(b) - \mathrm{F}(a) \leqq \int_{\mathrm{E} - \mathrm{E}^{in}} \Lambda_d\mathrm{F}(x)\,\mathrm{d}x + {\textstyle\sum [\mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)]}</math>.|m=1em}} |
{{c|<math>\mathrm{F}(b) - \mathrm{F}(a) \leqq \int_{\mathrm{E} - \mathrm{E}^{in}} \Lambda_d\mathrm{F}(x)\,\mathrm{d}x + {\textstyle\sum [\mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)]}</math>.|m=1em}} |
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Dans le cas où <math>\mathrm{E}^{in}</math> n’existe pas, couvrons tout <math>{(a, b)}</math>, à partir de <math>a</math>, à l’aide d’une chaîne d’intervalles choisis comme il suit<ref>Il est clair qu’on pourrait remplacer dans ce qui précède l’emploi des résultats empruntés au Chapitre{{lié}}{{rom-maj|IX|9}} par leur démonstration à l’aide de chaînes d’intervalles ; on aurait ainsi, au prix de quelques longueurs, un exposé plus homogène.</ref>. |
Dans le cas où <math>\mathrm{E}^{in}</math> n’existe pas, couvrons tout <math>{(a, b)}</math>, à partir de <math>a</math>, à l’aide d’une chaîne d’intervalles choisis comme il suit<ref>Il est clair qu’on pourrait remplacer dans ce qui précède l’emploi des résultats empruntés au [[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre IX|Chapitre{{lié}}{{rom-maj|IX|9}}]] par leur démonstration à l’aide de chaînes d’intervalles ; on aurait ainsi, au prix de quelques longueurs, un exposé plus homogène.</ref>. |
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