« Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/237 » : différence entre les versions

Nous utiliserons aussi la propriété suivante<ref>Cette propriété remplacera ici le second théorème fondamental (métrique) relatif aux nombres dérivés, de {{M.|Denjoy}}.</ref> :

''Si le rapport <math>{r[\mathrm{F}(x), x_0, x_0 + h]}</math> relatif à une fonction continue <math>{\mathrm{F}(x)}</math> est borné supérieurement uniformément pour tous les points <math>x_0</math> appartenant à un ensemble fermé <math>\mathrm{E}</math>, <math>{h > 0}</math>,''

<math>{\Lambda_d\mathrm{F}(x)}</math> a, dans l’ensemble <math>{\mathrm{E} - \mathrm{E}^{in}}</math>, une intégrale déterminée, finie, et l’on a''

{{c|<math>\mathrm{F}(b) - \mathrm{F}(a) \leqq \int_{\mathrm{E} - \mathrm{E}^{in}} \Lambda_d\mathrm{F}(x)\,\mathrm{d}x + {\textstyle\sum [\mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)]}</math>.|m=1em}}

''Lorsque <math>\mathrm{E}^{in}</math> n’existe pas, c’est le signe égal qui convient.''

Désignons par <math>\mathrm{E}_l</math> l’ensemble des points de <math>\mathrm{E}</math> en lesquels on a