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Chaque fois que l’on aura épuisé les indices finis et transfinis inférieurs à un nombre transfini de seconde espèce <math>\alpha</math>, sans arriver à définir <math>\varphi</math> dans tout <math>{(a, b)}</math>, c’est que les ensembles <math>e_\beta</math> existeront tous pour <math>{\beta < \alpha}</math>. Il y a alors des points communs à tous les <math>e_\beta</math> et qui constituent un ensemble fermé <math>e_\alpha</math>. L’opération <math>\mathrm{O}_\alpha</math> se réduit alors à la construction de <math>e_\alpha</math> et à la constatation, qu’après les opérations <math>{\mathrm{O}_\beta(\beta < \alpha)}</math>, on connaît <math>{\varphi(x)}</math> sauf aux points de <math>e_\alpha</math>. |
Chaque fois que l’on aura épuisé les indices finis et transfinis inférieurs à un nombre transfini de seconde espèce <math>\alpha</math>, sans arriver à définir <math>\varphi</math> dans tout <math>{(a, b)}</math>, c’est que les ensembles <math>e_\beta</math> existeront tous pour <math>{\beta < \alpha}</math>. Il y a alors des points communs à tous les <math>e_\beta</math> et qui constituent un ensemble fermé <math>e_\alpha</math>. L’opération <math>\mathrm{O}_\alpha</math> se réduit alors à la construction de <math>e_\alpha</math> et à la constatation, qu’après les opérations <math>{\mathrm{O}_\beta(\beta < \alpha)}</math>, on connaît <math>{\varphi(x)}</math> sauf aux points de <math>e_\alpha</math>. |
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La famille des opérations <math>\mathrm{O}</math> est ainsi définie, elle fournit une suite bien ordonnée d’ensembles fermés <math>e_1</math>, <math>e_2</math>, … tels que chacun contient tous les suivants et que chacun d’eux est partout non dense sur ceux qui le précèdent puisque <math>f</math> est ponctuellement discontinue sur tout ensemble fermé <math>\mathrm{F}</math>. Deux ensembles <math>e_i</math>, <math>e_j</math> d’indices différents ne peuvent donc pas être identiques, aussi (''voir'' la note de la fin du Volume) la suite des <math>e_i</math> est au plus dénombrable. En d’autres termes, après un nombre fini ou une infinité dénombrable d’opérations, nous arrivons à une {{tiret|opéra|tion}} |
La famille des opérations <math>\mathrm{O}</math> est ainsi définie, elle fournit une suite bien ordonnée d’ensembles fermés <math>e_1</math>, <math>e_2</math>, … tels que chacun contient tous les suivants et que chacun d’eux est partout non dense sur ceux qui le précèdent puisque <math>f</math> est ponctuellement discontinue sur tout ensemble fermé <math>\mathrm{F}</math>. Deux ensembles <math>e_i</math>, <math>e_j</math> d’indices différents ne peuvent donc pas être identiques, aussi (''voir'' la [[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Note|note]] de la fin du Volume) la suite des <math>e_i</math> est au plus dénombrable. En d’autres termes, après un nombre fini ou une infinité dénombrable d’opérations, nous arrivons à une {{tiret|opéra|tion}} |
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