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L’étude des fonctions possédant une certaine propriété en chacun de leurs points, conduit tout naturellement à utiliser les chaînes d’intervalles<ref>''Voir'' la {{lié|note |
L’étude des fonctions possédant une certaine propriété en chacun de leurs points, conduit tout naturellement à utiliser les chaînes d’intervalles<ref>''Voir'' la [[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre VII#cite_note-p112-14|{{lié|note 2}} de la {{lié|page 112}}]].</ref>, donc la récurrence transfinie. Chacun de ces raisonnements pourra être transformé comme il vient d’être dit de façon à n’utiliser que les propriétés du continu. |
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Il semble beaucoup plus difficile d’éliminer le transfini des autres applications que nous en faisons ici : théorème de Cantor-Bendixson, résultats de {{M.|Baire}}, théorie de la totalisation. Mais une distinction s’impose. Nous avons décomposé le théorème de Cantor-Bendixson en deux énoncés {{rom-maj|VI|6}} et{{lié}}{{rom-maj|VII|7}}. L’énoncé{{lié}}{{rom-maj|VI|6}} se réfère à la notion des dérivés qui n’a été acquise que par récurrence transfinie, nous ne pouvons donc pas justifier cet énoncé sans l’emploi du transfini ; l’énoncé{{lié}}{{rom-maj|VII|7}}, au contraire, est une propriété des ensembles fermés que l’on peut espérer obtenir sans le transfini. |
Il semble beaucoup plus difficile d’éliminer le transfini des autres applications que nous en faisons ici : théorème de Cantor-Bendixson, résultats de {{M.|Baire}}, théorie de la totalisation. Mais une distinction s’impose. Nous avons décomposé le théorème de Cantor-Bendixson en deux énoncés {{rom-maj|VI|6}} et{{lié}}{{rom-maj|VII|7}}. L’énoncé{{lié}}{{rom-maj|VI|6}} se réfère à la notion des dérivés qui n’a été acquise que par récurrence transfinie, nous ne pouvons donc pas justifier cet énoncé sans l’emploi du transfini ; l’énoncé{{lié}}{{rom-maj|VII|7}}, au contraire, est une propriété des ensembles fermés que l’on peut espérer obtenir sans le transfini. |
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