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La propriété précédente entraîne cette conséquence très importante : ''deux fondions <math>f_1(x)</math> et <math>f_2(x)</math>, qui ont même intégrale dans tout intervalle, sont égales, sauf tout au plus aux points d’un ensemble de mesure nulle.'' En effet, deux telles fonctions ont, par hypothèse, même intégrale indéfinie <math>\mathrm{F(X)}</math>, donc même intégrale indéfinie <math>\Psi(\mathrm{E})</math> ; or, comme <math>{\mathrm{E}[(f_1-f_2) \neq 0]}</math> est la limite, pour <math>{\varepsilon > 0}</math> et tendant vers zéro, de <math>{\mathrm{E}[(f_1-f_2) > \varepsilon] + \mathrm{E}[(f_2-f_1) > \varepsilon]}</math>, pour <math>\varepsilon</math> assez petit l’un des deux ensembles qui viennent d’être nommés serait de mesure non nulle si <math>f_1</math> et <math>f_2</math> différaient en un ensemble de points de mesure positive<ref><math>f_1</math> et <math>f_2</math>, étant sommables, sont mesurables, et l’ensemble des points où <math>f_1</math> et <math>f_2</math> diffèrent est bien mesurable.</ref>. Et il est clair que, dans cet ensemble <math>e</math> de mesure non nulle, l’intégrale de la fonction <math>{f_1 - f_2}</math>, constamment supérieure à <math>\varepsilon</math>, ou constamment inférieure à {{corr|idem sans le signe|<math>-\varepsilon</math>}}, ne serait pas nulle. En d’autres termes, <math>{\int_e f_1\,\mathrm{d}x}</math> et <math>{\int_e f_2\,\mathrm{d}x}</math> différeraient, ce qui est contraire à l’hypothèse.