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{{SA|pour tout ensemble <math>\mathrm{E}</math>, n’ayant aucun point commun avec <math>\mathrm{E}_{s, \mathcal{P}}</math>, <math>{\mathcal{P}_s(\mathrm{E})}</math> sera par suite nul, puisque <math>{\mathcal{P}_s}</math> ne peut être ni négatif ni supérieur à <math>{\mathrm{P}_{1s}(b)}</math>. L’ensemble <math>\mathrm{E}_{s, \mathcal{P}}</math> est l’ensemble en lequel <math>{\mathcal{F}_s(\mathrm{E})}</math>, ou <math>{\mathcal{P}_s(\mathrm{E})}</math>, atteint sa limite supérieure. L’ensemble <math>\mathrm{E}_{s, \mathcal{N}}</math> des singularités de <math>{\mathcal{N}(\mathrm{E})}</math> est celui en lequel <math>{\mathcal{F}_s(\mathrm{E})}</math>, ou <math>{-\mathcal{N}_s(\mathrm{E})}</math>, atteint sa limite inférieure. L’ensemble <math>{\mathrm{E}_{s, \mathcal{P}} + \mathrm{E}_{s, \mathcal{N}}}</math> est l’ensemble dés singularités de <math>{\mathcal{A}(\mathrm{E})}</math>.}} |
{{SA|pour tout ensemble <math>\mathrm{E}</math>, n’ayant aucun point commun avec <math>\mathrm{E}_{s, \mathcal{P}}</math>, <math>{\mathcal{P}_s(\mathrm{E})}</math> sera par suite nul, puisque <math>{\mathcal{P}_s}</math> ne peut être ni négatif ni supérieur à <math>{\mathrm{P}_{1s}(b)}</math>. L’ensemble <math>\mathrm{E}_{s, \mathcal{P}}</math> est l’ensemble en lequel <math>{\mathcal{F}_s(\mathrm{E})}</math>, ou <math>{\mathcal{P}_s(\mathrm{E})}</math>, atteint sa limite supérieure. L’ensemble <math>\mathrm{E}_{s, \mathcal{N}}</math> des singularités de <math>{\mathcal{N}(\mathrm{E})}</math> est celui en lequel <math>{\mathcal{F}_s(\mathrm{E})}</math>, ou <math>{-\mathcal{N}_s(\mathrm{E})}</math>, atteint sa limite inférieure. L’ensemble <math>{\mathrm{E}_{s, \mathcal{P}} + \mathrm{E}_{s, \mathcal{N}}}</math> est l’ensemble dés singularités de <math>{\mathcal{A}(\mathrm{E})}</math>.}} |
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''L’ensemble des singularités d’une fonction <math>\mathcal{A}</math> complètement additive d’ensemble mesurable{{lié}}''B'' se décompose en deux ensembles sans points communs qui sont respectivement les ensembles des singularités de la variation positive de <math>\mathcal{A}</math> et de sa variation négative ;'' nous avons vu, en effet ({{pg|148}}), que les ensembles <math>\mathrm{E}^p</math> et <math>\mathrm{E}^n</math>, en lesquels une fonction [ici <math>{\mathcal{F}_s(\mathrm{E})}</math>] atteint sa limite supérieure et sa limite inférieure, peuvent être pris sans points communs. |
''L’ensemble des singularités d’une fonction <math>\mathcal{A}</math> complètement additive d’ensemble mesurable{{lié}}''B'' se décompose en deux ensembles sans points communs qui sont respectivement les ensembles des singularités de la variation positive de <math>\mathcal{A}</math> et de sa variation négative ;'' nous avons vu, en effet ([[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre VIII#EpEn-148|{{pg|148}}]]), que les ensembles <math>\mathrm{E}^p</math> et <math>\mathrm{E}^n</math>, en lesquels une fonction [ici <math>{\mathcal{F}_s(\mathrm{E})}</math>] atteint sa limite supérieure et sa limite inférieure, peuvent être pris sans points communs. |
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Ainsi les ensembles des singularités de <math>{\mathrm{P}_1(x)}</math> et <math>{\mathrm{N}_1(x)}</math> peuvent être pris sans points communs et l’on peut supposer qu’aucun point singulier de <math>{\mathrm{F}(x)}</math> ne fait partie de ces ensembles, puisque ces points singuliers ne forment qu’un ensemble fini ou dénombrable. Mais pour avoir l’ensemble des singularités de <math>{\mathrm{F}(x)}</math> il |
Ainsi les ensembles des singularités de <math>{\mathrm{P}_1(x)}</math> et <math>{\mathrm{N}_1(x)}</math> peuvent être pris sans points communs et l’on peut supposer qu’aucun point singulier de <math>{\mathrm{F}(x)}</math> ne fait partie de ces ensembles, puisque ces points singuliers ne forment qu’un ensemble fini ou dénombrable. Mais pour avoir l’ensemble des singularités de <math>{\mathrm{F}(x)}</math> il |
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