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Nous avons vu ([[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre II#int_sup-25|{{pg|25}}]]) que les sommes <math>{\overline{\mathrm{S}} = \textstyle\sum \delta_i\mathrm{L}_i}</math>, tendent vers une limite parfaitement déterminée quand les <math>\delta_i</math> tendent vers zéro d’une manière quelconque, cette limite est l’un des deux nombres dont il s’agit ; on l’appelle l’''intégrale par excès'' et on le représente par le symbole <math>\overline{\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x}</math>, qui s’énonce : intégrale par excès de <math>a</math> à <math>b</math> de <math>f(x)</math>. |
Nous avons vu ([[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre II#int_sup-25|{{pg|25}}]]) que les sommes <math>{\overline{\mathrm{S}} = \textstyle\sum \delta_i\mathrm{L}_i}</math>, tendent vers une limite parfaitement déterminée quand les <math>\delta_i</math> tendent vers zéro d’une manière quelconque, cette limite est l’un des deux nombres dont il s’agit ; on l’appelle l’''intégrale par excès'' et on le représente par le symbole <math>\overline{\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x}</math>, qui s’énonce : intégrale par excès de <math>a</math> à <math>b</math> de <math>f(x)</math>. |
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De la même manière, on peut démontrer l’existence d’une limite pour les sommes <math>{\underline{\mathrm{S}} = \textstyle\sum \delta_i l_i}</math>. D’ailleurs, en étudiant l’oscillation moyenne ({{pg|22}}), nous avons vu que <math>\textstyle\sum \delta_i\omega_i</math> tend vers une limite parfaitement déterminée <math>{(b-a) \omega}</math> et comme l’on a |
De la même manière, on peut démontrer l’existence d’une limite pour les sommes <math>{\underline{\mathrm{S}} = \textstyle\sum \delta_i l_i}</math>. D’ailleurs, en étudiant l’oscillation moyenne ([[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre II#subdivisions-22|{{pg|22}}]]), nous avons vu que <math>\textstyle\sum \delta_i\omega_i</math> tend vers une limite parfaitement déterminée <math>{(b-a) \omega}</math> et comme l’on a |
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{{c|<math>\overline{\mathrm{S}} - \underline{\mathrm{S}} = \sum \delta_i\omega_i</math>,}} |
{{c|<math>\overline{\mathrm{S}} - \underline{\mathrm{S}} = \sum \delta_i\omega_i</math>,}} |
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{{SA|l’existence de la limite de <math>\underline{\mathrm{S}}</math> est démontrée<ref>On pourrait aussi déduire l’existence de cette limite de l’existence de l’intégrale par excès pour <math>-f</math>.</ref>. C’est l’''intégrale par défaut'' qu’on note <math>\underline{\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x}</math>.}} |
{{SA|l’existence de la limite de <math>\underline{\mathrm{S}}</math> est démontrée<ref>On pourrait aussi déduire l’existence de cette limite de l’existence de l’intégrale par excès pour <math>-f</math>.</ref>. C’est l’''intégrale par défaut'' qu’on note <math>\underline{\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x}</math>.}} |
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