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DIVISEURS RATIONNELS

négligé de justifier cette substitution, en prouvant que sa méthode a le double avantage d’être à la fois directe et exclusive ; et les auteurs d’élémens qui ont écrit après lui n’ont peut-être pas assez insisté sur ce point. Voilà sans doute pourquoi, aujourd’hui même, quelques géomètres tiennent encore à la méthode de Newton, qui n’est pourtant qu’un mauvais crible qui, s’il ne laisse passer aucun des nombres qu’il doit retenir, en retient souvent beaucoup de ceux qu’il devrait laisser passer ; de sorte qu’après l’opération terminée, on se trouve contraint de vérifier les résultats obtenus, par leur substitution dans le premier membre de la proposée. En un mot, la méthode de Newton n’est qu’un moyen, d’ailleurs assez laborieux, d’élaguer un nombre plus ou moins considérable de ceux d’entre les diviseurs du dernier terme parmi lesquels doivent seulement se trouver les racines commensurables de la proposée.

Il serait donc fort à désirer que l’on eût, pour la recherche des facteurs rationnels des degrés supérieurs, une méthode aussi parfaite que l’est celle de Bezout pour ceux du premier degré ; mais, passé le second degré, pour lequel nous avons la ressource, souvent d’ailleurs très-pénible, du développement des racines en fractions continues^[1], nous sommes trop heureux encore, dans notre indigence, de recourir au mauvais crible de Newton. Mais, pour bien faire comprendre que son usage s’étend à la recherche des facteurs rationnels de tous les degrés, il faudrait, à ce qu’il nous paraît, présenter la méthode d’une manière un peu plus large qu’on n’a coutume de le faire dans les traités élémentaires ; et voici à peu près comment on pourrait l’exposer.

Soit l’équation donnée de degré quelconque

1. Les racines, développées en fractons continues, doivent sans doute avoir, pour chaque degré, un caractère particulier : dans le premier degré, la fraction continue se termine ; dans le second, elle se présente sous forme périodique ; mais à quel caractère reconnaîtra-t-on qu’une fraction continue proposée est racine d’une équation d’un degré supérieur ? c’est là, à ce qu’il nous paraît, une question tout-à-fait digne de l’attention des géomètres.