Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1821-1822, Tome 12.djvu/310

302

DÉVELOPPEMENT

$\bigtriangledown u-\psi u=\Phi u,$

on aura

$\bigtriangledown u=p+\Phi u,$

où $\Gamma$ sera aussi une caractéristique de fonction distribufive. On pourra donc obtenir $u$ par la formule (3).

Comme la caractéristique $\bigtriangledown$ est entièrement arbitraire, il faudra la choisir de telle sorte que non seulement on sache trouver la dérivée inverse $\bigtriangledown ^{-1}p,$ quelle que soit la composition de $p$ en variables indépendantes, mais en outre de manière que la série (3) soit convergente.

Dans tout ce qui précède, nous avons tacitement supposé que, dans les fonctions affectées des diverses caractéristiques, toutes les variables étaient considérées corome telles ; mais on conçoit que l’on peut fort bien ne faire porter la dérivation que sur une ou plusieurs d’entre elles, en considérant les autres comme constantes. Pour indiquer cette circonstance, nous écrirons, à l’exemple de M. Servois, la variable que nous considérons seule comme telle au-dessous de la caractéristique de dérivation ; de sorte que, par exemple, si $u$ est fonction des variables indépendantes $x,y$, nous indiquerons ses dérivées partielles relatives à $x$ et $y$ par les symboles ${\frac {\bigtriangledown }{x}},{\frac {\bigtriangledown }{y}}.$

Cela posé, proposons-nous de déterminer la nature des caractéristiques, ${\frac {\mathrm {E} }{x}},{\frac {\mathrm {E} }{y}}.{\frac {\Delta }{x}},{\frac {\Delta }{y}}$ définies par les équations suivantes

${\begin{array}{lr}{\frac {\mathrm {E} }{x}}u=\psi (x+1,y),&{\frac {\Delta }{x}}u={\frac {\mathrm {E} }{x}}u-u,\\{\frac {\mathrm {E} }{y}}u=\psi (x,y+1),&{\frac {\Delta }{y}}u={\frac {\mathrm {E} }{y}}u-u,\end{array}}$

dans lesquelles nous supposons $u=\psi (x,y).$