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DÉVELOPPEMENT

En désignant par $u$ une fonction déterminée quelconque d’une ou de plusieurs variables indépendantes, convenons d’exprimer une dérivée déterminée de cette fonction, en écrivant, avant la lettre qui la représente, une caractéristique destinée à rappeler la liaison qui existe entre cette dérivée et la fonction primitive $u.$ Ainsi, $\bigtriangledown u$ étant une pareille caractéristique, $\bigtriangledown u$ représentera une dérivée de $u$ qui sera entièrement connue, lorsqu’on aura déterminé quelle est la liaison que la caractéristique $\bigtriangledown$ indique devoir exister entre la dérivée $\bigtriangledown u$ et sa primitive $u$.

Nous dirons alors que $u$ est le sujet de ce mode de dérivation, et que $\bigtriangledown u$ en est le résultat.

Que, par exemple, on aits $u={\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}\,;\ x$ étant une variable indépendante ; et que le mode de dérivation désigné par $\bigtriangledown$ consiste à changer $x$ en ${\frac {a}{x}}\,;$ on aura alors $\bigtriangledown u={\frac {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}{1+{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}={\frac {x^{2}-a^{2}}{x^{2}+a^{2}}}.$

Lorsque le sujet sera une fonction déterminée ou indéterminée de plusieurs autres fonctions, nous renfermerons ce sujet entre deux parenthèses, afin d’avertir que la caractéristique $\bigtriangledown$ porte sur sa totalité. Ainsi, $\bigtriangledown (t+u)$ exprimera la dérivée $\bigtriangledown$ de la somme des deux fonctions $t,u\,;$ de même $\bigtriangledown (pq)$ exprimera la dérivée $\bigtriangledown$ du produit des deux fonctions $p,q$ ; en général $\bigtriangledown \left[\psi (r,s)\right]$ exprimera la dérivée $\bigtriangledown$ de la fonction $\psi$ des fonctions $r,s$.

Qu’on ait, par exemple, $y=\operatorname {Log} .\left(1-x^{2}\right),\ z=\operatorname {Cos} .\left(1+x^{2}\right),$ et que le mode de dérivation désigné par $\bigtriangledown$ consiste à changer $x$ en $1-x$ ; on aura dans ce cas $\bigtriangledown \left({\frac {y}{x}}\right)={\frac {\operatorname {Log} .\left(2x-x^{2}\right)}{\operatorname {Cos} .\left(2-2x+x^{2}\right)}}.$

$\bigtriangledown u,$ quoique résultat d’une dérivation, peut, à son tour, devenir le sujet d’une dérivation nouvelle. Soit $\Gamma$ la caractéristique de cette seconde dérivation, nous représenterons son résultat par $\Gamma \bigtriangledown u.$ Cette dernière dérivée peut pareillement devenir le sujet d’une troisième dérivation ; et si $\Lambda$ en est la caractéristique, le symbole de son