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RÉSOLUES.

$\phi (x)=A+Bx+Cx^{2},$

dans laquelle $A,B,C$ sont supposés indéterminés. On en conclura

$\phi '(x)=B+2Cx,$

d’où

$x+\phi '(x)=B+(1+2C)x$

et, par suite,

$\phi \left[x+\phi '(x)\right]=A+B\left[B+(1+2C)x\right]+C\left[B+(1+2C)x\right]^{2}\,;$

d’où en substituant dans l’équation (2)

$2\left(A+Bx+Cx^{2}\right)+\left(B+2Cx\right)^{2}$

$=2\left\{A+B\left[B+(1+2C)x\right]+C\left[B+(1+2C)x\right]^{2}\right\}.$

En développant, transposant, ordonnant et réduisant, cette équation deviendra

$(1+2C)\left[B^{2}+4C(B+C)x^{2}\right]=0\,;$

d’où l’on voit que $A$ demeure tout-à-fait indéterminé.

Or, il n’y a que deux moyens de rendre cette équation identique ; le premier est de rendre, à la fois, $B$ et $C$ nuls ; le second est de faire $C=-{\frac {1}{2}}$, quel que soit $B$ ; donc les deux seules fonctions qui résolvent le problème, dans les deux premiers degrés, sont

$\phi (x)=A,\qquad \phi (x)=A+Bx-{\frac {1}{2}}x^{2}\,;$

ce qui donne les deux équations