« Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/51 » : différence entre les versions
m filet |
m italiques |
||
| Contenu (par transclusion) : | Contenu (par transclusion) : | ||
| Ligne 1 : | Ligne 1 : | ||
{{tiret2|fau|drait}} déterminer l’ensemble <math>\mathrm{A}</math> de toutes les valeurs limites de <math>\mathrm{S}</math><ref>Dans certains cas, on a déterminé non seulement l’ensemble des limites d’une fonction <math>\psi(\lambda)</math>, mais encore la ''fréquence'' de chacune de ces limites. Cela a été fait notamment pour la sommation de certaines séries divergentes (voir {{sc|Borel}}, ''Leçons sur les séries divergentes'', {{pg|5}}).</ref>. Pour le cas de l’intégrale, on a cette propriété que je me contenterai d’énoncer : Tout nombre compris entre les intégrales par excès et par défaut est l’une des limites des sommes <math>\mathrm{S}</math>, quand <math>\lambda</math> tend vers zéro<ref>Voir {{sc|Lebesgue}}, ''{{abréviation|Ann. de l’Éc. Norm. sup.|Annales de l’École normale supérieure}}'', 1910. À titre d’exercice concernant les intégrales par excès et par défaut, on pourra démontrer que, <math>f(x)</math> étant une fonction bornée d’oscillation moyenne <math>\omega</math> dans <math>{(a, b)}</math> et dont les limites inférieure, supérieure et l’oscillation en <math>x</math> sont <math>l(x)</math>, <math>\mathrm{L}(x)</math> et <math>\omega(x)</math>, on a |
{{tiret2|fau|drait}} déterminer l’ensemble <math>\mathrm{A}</math> de toutes les valeurs limites de <math>\mathrm{S}</math><ref>Dans certains cas, on a déterminé non seulement l’ensemble des limites d’une fonction <math>\psi(\lambda)</math>, mais encore la ''fréquence'' de chacune de ces limites. Cela a été fait notamment pour la sommation de certaines séries divergentes (''voir'' {{sc|Borel}}, ''Leçons sur les séries divergentes'', {{pg|5}}).</ref>. Pour le cas de l’intégrale, on a cette propriété que je me contenterai d’énoncer : Tout nombre compris entre les intégrales par excès et par défaut est l’une des limites des sommes <math>\mathrm{S}</math>, quand <math>\lambda</math> tend vers zéro<ref>Voir {{sc|Lebesgue}}, ''{{abréviation|Ann. de l’Éc. Norm. sup.|Annales de l’École normale supérieure}}'', 1910. À titre d’exercice concernant les intégrales par excès et par défaut, on pourra démontrer que, <math>f(x)</math> étant une fonction bornée d’oscillation moyenne <math>\omega</math> dans <math>{(a, b)}</math> et dont les limites inférieure, supérieure et l’oscillation en <math>x</math> sont <math>l(x)</math>, <math>\mathrm{L}(x)</math> et <math>\omega(x)</math>, on a |
||
{{c|<math>(b-a)\omega = \overline{\int f(x)\,\mathrm{d}x} - \underline{\int f(x)\,\mathrm{d}x} = \overline{\int \mathrm{L}(x)\,\mathrm{d}x} - \underline{\int l(x)\,\mathrm{d}x} = \overline{\int \omega(x)\,\mathrm{d}x}</math>.|m=1em}} |
{{c|<math>(b-a)\omega = \overline{\int f(x)\,\mathrm{d}x} - \underline{\int f(x)\,\mathrm{d}x} = \overline{\int \mathrm{L}(x)\,\mathrm{d}x} - \underline{\int l(x)\,\mathrm{d}x} = \overline{\int \omega(x)\,\mathrm{d}x}</math>.|m=1em}} |
||
<p style="margin:0;">Les mêmes relations sont vraies si, dans la définition de <math>\mathrm{L}(x)</math>, <math>l(x)</math>, <math>\omega(x)</math>, on exclut la valeur <math>x</math> de la variable, ou si, par ces notations, on désigne les limites supérieure, inférieure et l’oscillation à droite ou à gauche, <math>x</math> étant exclu ou non. (''Voir'' la [[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre II#cite_note-10|{{lié|note 2}}, {{pg|19}}]].)</p></ref>. |
<p style="margin:0;">Les mêmes relations sont vraies si, dans la définition de <math>\mathrm{L}(x)</math>, <math>l(x)</math>, <math>\omega(x)</math>, on exclut la valeur <math>x</math> de la variable, ou si, par ces notations, on désigne les limites supérieure, inférieure et l’oscillation à droite ou à gauche, <math>x</math> étant exclu ou non. (''Voir'' la [[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre II#cite_note-10|{{lié|note 2}}, {{pg|19}}]].)</p></ref>. |
||